«Организация мысли: образовательная и научная»

Давайте теперь отложим на мгновение ограничения, вызванные скукой средних учеников и нехваткой времени из-за других предметов, и рассмотрим, что геометрия может предложить в плане гуманитарного образования. Я укажу некоторые этапы предмета, не имея в виду, что они обязательно должны изучаться в этом исключительном порядке. Первый этап — изучение конгруэнтности. Наше восприятие конгруэнтности на практике зависит от наших суждений о неизменности внутренних свойств тел при изменении их внешних обстоятельств. Но как бы она ни возникала, конгруэнтность по сути является корреляцией двух областей пространства, точка за точкой, так что все гомологичные расстояния и все гомологичные углы равны. Следует заметить, что определение равенства длин и углов — это их конгруэнтность, и все тесты на равенство, такие как использование ярдовой меры, являются лишь устройствами для облегчения немедленных суждений о конгруэнтности. Я делаю эти замечания, чтобы предположить, что, помимо рассуждений, связанных с ней, конгруэнтность, как пример более широкой и очень далеко идущей идеи, а также сама по себе, вполне заслуживает внимательного рассмотрения. Предложения, касающиеся ее, проясняют элементарные свойства треугольника, параллелограмма и круга, а также отношения двух плоскостей друг к другу. Очень желательно ограничить доказанные предложения этой части самыми узкими рамками, отчасти путем принятия избыточных аксиоматических предложений, а отчасти путем введения только тех предложений, которые имеют абсолютно фундаментальное значение.

Второй этап — изучение подобия. Это можно свести к трем или четырем фундаментальным предложениям. Подобие — это расширение идеи конгруэнтности и, подобно этой идее, является еще одним примером взаимно однозначного соответствия точек пространств. Любое расширение изучения этого предмета вполне могло бы идти в направлении исследования одного или двух простых свойств подобных и подобно расположенных прямолинейных фигур. Весь предмет получает свое непосредственное применение в планах и картах. Важно, однако, помнить, что тригонометрия — это действительно метод, с помощью которого основные теоремы становятся доступными для использования.

Третий этап — изучение элементов тригонометрии. Это изучение периодичности, вносимой вращением, и свойств, сохраняемых при корреляции подобных фигур. Здесь мы впервые вводим небольшое использование алгебраического анализа, основанного на изучении числа и количества. Важность периодического характера функций требует полной иллюстрации. Простейшие свойства функций — единственные, которые требуются для решения треугольников и последующих применений в геодезии. Богатство формул, часто важных самих по себе, но совершенно бесполезных для этого типа обучения, которые переполняют наши книги, должно быть строго исключено, за исключением тех случаев, когда они могут быть доказаны учениками как прямые примеры учебного материала.

Этот вопрос об исключении формул лучше всего иллюстрируется рассмотрением этого примера тригонометрии, хотя, конечно, я мог попасть в неудачный случай, в котором мое суждение ошибочно. Большая часть образовательного преимущества предмета может быть получена путем ограничения изучения тригонометрией одного угла и исключением формул сложения для синуса и косинуса суммы двух углов. Функции могут быть представлены графически, а решение треугольников осуществлено. Таким образом, аспекты науки как (1) аналитически воплощающие непосредственные результаты некоторых теорем, выведенных из конгруэнтности и подобия, (2) как решение основной проблемы геодезии, (3) как изучение фундаментальных функций, необходимых для выражения периодичности и волнового движения, будут запечатлены в умах учеников как учебным материалом, так и примерами.

Если возникнет желание расширить этот курс, следует добавить формулы сложения. Но следует проявлять большую осторожность, чтобы не специализировать учеников на богатстве формул, которые следуют за ними. Под «исключить» подразумевается, что ученики не должны тратить время или энергию на приобретение каких-либо навыков в их выведении. Учителю может быть интересно проработать несколько таких примеров перед классом. Но такие результаты не входят в число тех, которые учащиеся должны запоминать. Также я бы исключил всю тему описанных и вписанных окружностей как из тригонометрии, так и из предыдущих геометрических курсов. Это все очень красиво, но я не понимаю, какова ее функция в элементарной непрофессиональной учебной программе.

Соответственно, фактический учебный материал предмета сводится к очень управляемым пропорциям. Мне на днях рассказали об американском колледже, где студенты должны знать наизусть девяносто формул или результатов только по тригонометрии. Мы не настолько плохи. Фактически, в тригонометрии мы почти приблизились к идеалу, намеченному здесь, насколько это касается наших элементарных курсов.

Четвертый этап вводит аналитическую геометрию. Изучение графиков в алгебре уже использовало фундаментальные понятия, и все, что теперь требуется, — это строго сокращенный курс по прямой линии, окружности и трем типам конических сечений, определяемых формами их уравнений. В этом месте нужно сделать два замечания. Часто желательно давать нашим ученикам математическую информацию, которую мы не доказываем. Например, в координатной геометрии приведение общего уравнения второй степени, вероятно, выходит за рамки способностей большинства студентов того типа, которых мы рассматриваем. Но это не должно мешать нам объяснять фундаментальное положение коник как исчерпывающих возможные типы таких кривых.

Второе замечание — выступить за полное устранение геометрических коник как отдельного предмета. Естественно, в подходящих случаях анализ аналитической геометрии будет облегчен использованием прямого вывода из какой-либо простой фигуры. Но геометрические коники, как они развиты из определения конического сечения по свойству фокуса и директрисы, страдают от вопиющих дефектов. Это безнадежно сложно. Фундаментальное определение коники, SP = e · PM, обычное в этом предмете на данном этапе, совершенно плохое. Оно очень сложное и не имеет очевидной важности. Почему такие кривые вообще должны изучаться, больше, чем те, которые определяются неопределенным числом других формул? Но когда мы начали изучение декартовых методов, уравнения первой и второй степени — это, естественно, первые вещи, о которых стоит подумать.

В этом идеальном курсе геометрии пятый этап занят элементами проективной геометрии. Общие идеи двойного отношения и проекции здесь фундаментальны. Проекция — это еще более общий пример того взаимно однозначного соответствия, которое мы уже рассматривали в рамках конгруэнтности и подобия. Здесь опять же мы должны избегать опасности быть вовлеченными в сбивающее с толку богатство деталей.

Интеллектуальная идея, которую должна иллюстрировать проективная геометрия, — это важность в рассуждении корреляции всех случаев, которые могут быть доказаны как обладающие общими идентичными свойствами. Сохранение проективных свойств при проекции — это одна важная образовательная идея предмета. Двойное отношение входит только как фундаментальное метрическое свойство, которое сохраняется. Немногие рассмотренные предложения выбраны для иллюстрации двух родственных процессов, которые становятся возможными благодаря этой процедуре. Один из них — доказательство через упрощение. Здесь упрощение психологическое, а не логическое — ибо общий случай логически самый простой. Имеется в виду: доказательство путем рассмотрения случая, который фактически наиболее знаком нам или о котором легче всего думать. Другая процедура — выведение частных случаев из известных общих истин, как только у нас есть средства для обнаружения таких случаев или критерий для их проверки.

Проективное определение конических сечений и идентичность результатов, полученных с кривыми, выведенными из общего уравнения второй степени, поддаются простому изложению, но лежат на границе предмета. Это тот тип темы, по которой можно дать информацию, а доказательства опустить.

Курс геометрии, как он задуман здесь в своем полном идеале — а идеалы никогда не могут быть реализованы — не является длинным. Фактическое количество математических дедукций на каждом этапе в форме учебного материала очень незначительно. Но должно быть дано гораздо больше объяснений, важность каждого предложения должна быть проиллюстрирована примерами, либо решенными, либо предназначенными для решения студентами, выбранными так, чтобы указать области мысли, к которым оно применяется. Благодаря такому курсу студент получил бы анализ ведущих свойств пространства и главных методов, с помощью которых они исследуются.

Изучение элементов математики, задуманное в этом духе, составило бы подготовку в логическом методе вместе с приобретением точных идей, которые лежат в основе научных и философских исследований вселенной. Было бы легко продолжить отличные реформы в математическом обучении, которых это поколение уже достигло, чтобы включить в учебную программу этот более широкий и философский дух? Откровенно говоря, я думаю, что этого результата было бы очень трудно достичь в результате усилий отдельных лиц. По причинам, которые я уже кратко указал, все реформы в образовании очень трудно осуществить. Но постоянное давление объединенных усилий, при условии, что идеал действительно присутствует в умах массы учителей, может сделать многое и в конечном итоге приводит к удивительным модификациям. Постепенно пишутся необходимые книги, еще более постепенно реформируются экзамены, чтобы придать вес менее техническим аспектам предмета, и тогда весь недавний опыт показал, что большинство учителей только рады приветствовать любые практические средства спасения предмета от упрека в том, что он является механической дисциплиной.

ГЛАВА V ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИКИ В ОТНОШЕНИИ К ЭЛЕМЕНТАРНОМУ ПРЕПОДАВАНИЮ

(International Congress of Mathematicians, Cambridge, August, 1912)

Мы имеем дело не с продвинутым обучением нескольких студентов-математиков, а с математическим образованием большинства мальчиков в наших средних школах. Опять же, этих мальчиков нужно разделить на две секции: одна секция состоит из тех, кто желает ограничить свое математическое образование; другая секция состоит из тех, кому потребуется некоторая математическая подготовка для их последующей профессиональной карьеры, либо в форме определенных математических результатов, либо в форме математически тренированных умов.

Я буду называть последнюю из этих двух секций математической секцией, а первую — нематематической секцией. Но я должен повторить, что под математической секцией подразумевается то большое количество мальчиков, которые желают изучать больше, чем минимальное количество математики. Более того, большинство моих замечаний об этих секциях мальчиков применимы также к элементарным классам наших университетских студентов.

Предметом этой статьи является исследование места, которое должно занимать современное исследование принципов математики в образовании обеих этих секций школьников.

Чтобы найти точку опоры, с которой начать исследование, давайте спросим, почему нематематическую секцию следует учить какой-либо математике вообще, помимо самых элементарных основ арифметики. Каковы качества ума, которые математическая подготовка призвана выработать, когда она используется как элемент гуманитарного образования?

Мой ответ, который в равной степени относится к обеим секциям студентов, заключается в том, что существуют две родственные формы умственной дисциплины, которые должны быть приобретены с помощью хорошо разработанного математического курса. Эти две формы, хотя и тесно связаны, совершенно различны.

Первая форма дисциплины по своей сути вовсе не является логической. Это способность ясно схватывать абстрактные идеи и соотносить их с конкретными обстоятельствами. Другими словами, первое использование математики — укрепление способности к абстрактному мышлению. Повторяю, что по своей сути это не имеет ничего общего с логикой, хотя на самом деле логическая дисциплина — лучший метод достижения желаемого эффекта. Приобретается не философская теория абстрактных идей, а привычка и способность использовать их. Есть один и только один способ приобрести привычку и способность использовать что-либо, а именно простой обыденный метод привычного использования. Другого короткого пути нет. Если в образовании мы желаем произвести определенную конфигурацию ума, мы должны изо дня в день и из года в год приучать умы студентов расти в желаемую структурную форму. Таким образом, чтобы научить способности схватывать абстрактные идеи и привычке использовать их, мы должны выбрать группу таких идей, которые важны и о которых также легко думать, потому что они ясны и определенны.

Фундаментальные математические истины, касающиеся геометрии, отношения, количества и числа, удовлетворяют этим условиям, как никакие другие. Отсюда фундаментальное универсальное положение, занимаемое математикой как элементом гуманитарного образования.

Но каковы фундаментальные математические истины, касающиеся геометрии, количества и числа?

В этой точке мы подходим к великому вопросу об отношении между современной наукой о принципах математики и математическим образованием.

Мой ответ на вопрос об этих фундаментальных математических истинах заключается в том, что в каком-либо абсолютном смысле их нет. Не существует уникального небольшого набора независимых примитивных недоказанных предложений, которые являются необходимыми отправными точками всех математических рассуждений по этим предметам. В математическом рассуждении единственными абсолютно необходимыми предпосылками являются те, которые делают возможной логическую дедукцию. Между этими абсолютными логическими истинами и так называемыми фундаментальными истинами, касающимися геометрии, количества и числа, существует целый новый мир математических предметов, касающихся логики предложений, классов и отношений.

Но этот предмет слишком абстрактен, чтобы сформировать элементарную тренировочную площадку в трудном искусстве абстрактного мышления.

Именно по этой причине мы должны пойти на компромисс и начать с таких очевидных общих идей, которые естественным образом приходят на ум всем людям, когда они воспринимают объекты своими чувствами.

В геометрии идеи, разработанные греками и представленные Евклидом, грубо говоря, адаптированы для нашей цели, а именно: идеи объемов, поверхностей, линий, прямолинейности и кривизны, пересечения и конгруэнтности, большего и меньшего, подобия, формы и масштаба. Фактически, мы используем в образовании те общие идеи пространственных свойств, которые должны привычно присутствовать в уме любого, кто собирается наблюдать мир явлений с пониманием.

Таким образом, мы возвращаемся к мнению Платона о том, что для гуманитарного образования геометрия, какой он ее знал, является царицей наук.

В дополнение к геометрии остаются идеи количества, отношения и числа. На практике это означает элементарную алгебру. Здесь заметными идеями являются идеи «любого числа», другими словами, использование привычных x, y, z и зависимости переменных друг от друга, или, иначе, идея функциональности. Все это должно постепенно приобретаться постоянным использованием самых простых функций, которые мы можем придумать: линейных функций, графически представленных прямыми линиями; квадратичных функций, графически представленных параболами; и тех простых неявных функций, графически представленных коническими сечениями. Оттуда, при удаче и желающем учиться классе, мы можем перейти к идеям скоростей роста, все еще ограничиваясь простейшими возможными случаями.

Я хочу здесь подчеркнуто напомнить вам, что как в геометрии, так и в алгебре ясное понимание этих общих идей — это не то, с чего начинает ученик, это цель, к которой он должен прийти. Метод прогрессии — постоянная практика в рассмотрении простейших частных случаев, и цель — не философский анализ, а способность использования.

Но как он должен практиковаться в их использовании? Он не может просто сесть и думать об отношении y = x + 1, он должен использовать его каким-то простым очевидным способом.

Это подводит нас ко второй силе ума, которая должна быть выработана математической подготовкой, а именно к силе логического рассуждения. Здесь опять же важно учить не знанию философии логики, а привычке мыслить логически. Под логикой я имею в виду дедуктивную логику.

Дедуктивная логика — это наука об определенных отношениях, таких как импликация и т. д., между общими идеями. Когда начинается логика, определенные частные индивидуальные вещи изгоняются. Я не могу логически соотнести эту вещь с той вещью, например, эту ручку с той ручкой, кроме как косвенным путем соотнесения некоторой общей идеи, которая применяется к этой ручке, с некоторой общей идеей, которая применяется к той ручке. И индивидуальности двух ручек совершенно не имеют отношения к логическому процессу. Этот процесс полностью касается двух общих идей. Таким образом, практика логики — это определенный способ использования ума при рассмотрении таких идей; и элементарная математическая подготовка фактически есть не что иное, как логическое использование общих идей относительно геометрии и алгебры, которые мы перечислили выше. Поэтому она имеет, как я начал эту статью с утверждения, двойное преимущество. Она делает ум способным к абстрактному мышлению, и она достигает этой цели, тренируя ум в самом важном виде абстрактного мышления, а именно в дедуктивной логике.

Я могу напомнить вам, что можно было бы сделать другие выборы типа абстрактного мышления. Мы могли бы тренировать детей непосредственно созерцать красоту абстрактных моральных идей в надежде сделать их религиозными мистиками. Общая практика образования решила в пользу логики, как она представлена в элементарной математике.

Теперь мы должны ответить на дальнейший вопрос: какова роль логической точности в преподавании математики? Наш общий ответ на подразумеваемый вопрос очевиден: логическая точность — это одна из двух целей преподавания математики, и это единственное оружие, с помощью которого преподавание математики может достичь своей другой цели. Преподавать математику — значит преподавать логическую точность. Учитель математики, который не научил этому, не научил ничему.

Но после того, как этот тезис был сформулирован в такой безоговорочной форме, его значение должно быть тщательно объяснено; ибо в противном случае его реальное отношение к проблеме будет полностью неверно понято.

Логическая точность — это способность, которую нужно приобрести. Это качество ума, которое целью преподавания является привить. Таким образом, привычка читать великую литературу — это цель, к которой стремится литературное образование. Но мы не ожидаем, что ребенок начнет свой первый урок с самостоятельного чтения Шекспира. Мы признаем, что чтение невозможно, пока ученик не выучил алфавит и не может читать по слогам, и тогда мы начинаем с книг в одно слог.

Таким же образом математическое образование должно расти в логической точности. Глупо ожидать такого же тщательного логического анализа в начале подготовки, какой был бы уместен в конце. Это полное искажение моего тезиса — толковать его как означающий, что математическая подготовка должна предполагать у ученика способность к концентрированному логическому мышлению. Мой тезис на самом деле прямо противоположный, а именно: эта способность не может быть предположена, ее нужно приобрести, и математическая подготовка есть не что иное, как процесс ее приобретения. Вся моя основа предположений заключается в том, что эта способность изначально не существует в полностью развитом состоянии. Конечно, как и любая другая способность, которая приобретается, она должна развиваться постепенно.

Различные этапы развития должны направляться суждением и гением учителя. Но что существенно, так это то, что учитель должен ясно держать в уме, что именно эта способность к логически точному рассуждению является всей целью его усилий. Если его ученики в какой-то мере приобрели это, они приобрели все.

Мы еще не полностью рассмотрели эту часть нашего предмета. Логическая точность — это полное осознание шагов аргументации. Но каковы шаги аргументации? Полное изложение всех шагов — слишком сложная и трудная операция, чтобы быть введенной в математическое рассуждение образовательной учебной программы. Такое изложение включает введение абстрактных логических идей, которые очень трудно схватить, потому что так редко возникает необходимость делать их явными в обычном мышлении. Поэтому они не являются подходящим предметным полем для элементарного образования.

Я не думаю, что возможно провести какую-либо теоретическую линию между теми логическими шагами, которые формируют теоретически полное логическое исследование, и теми, которые достаточно полны для большинства практических целей, включая цели образования. Вопрос психологический, который должен быть решен процессом эксперимента. Цель, которую нужно достичь, — получить ту степень логической бдительности, которая позволит ее обладателям обнаруживать ошибки и знать типы здравой логической дедукции. Цели идти дальше отчасти философские, а также отчасти обнажить абстрактные идеи, исследование которых само по себе важно. Но обе эти цели чужды образованию.

Мое мнение заключается в том, что в целом тип логической точности, переданный нам греческими математиками, грубо говоря, — это то, что нам нужно. В геометрии это означает тот тип точности, который мы находим у Евклида. Я не имею в виду, что мы должны использовать его знаменитые «Начала» как учебник, ни то, что здесь и там некоторая сжатость в его способе изложения не является целесообразной. Все это лишь детали. Что я действительно имею в виду, так это то, что тот тип логического перехода, который он сделал явным, мы должны сделать явным, и что тот тип перехода, который он опускает, мы должны опускать.

Я сомневаюсь, однако, целесообразно ли погружать студента в полную строгость евклидовой геометрии без некоторого смягчения. Именно по этой причине современная привычка, по крайней мере в Англии, делать большой упор на начальных этапах на обучение ученика простым конструкциям из численных данных заслуживает похвалы. Это означает, что после небольшого количества рассуждений на евклидовой основе точности ум учащегося освобождается путем выполнения вещей в различных частных случаях и отмечания с помощью грубых измерений, что желаемые результаты действительно достигаются. Важно, однако, чтобы измерения не принимались за доказательства. Их цель — заставить начинающего понять, что абстрактные идеи действительно означают.

Опять же в алгебре обозначения и практическое использование символов должны быть приобретены в простейших случаях, а более теоретическая обработка символики должна быть отложена на подходящий более поздний этап. Моим правилом было бы изначально изучать значение идей через грубую практику простыми способами и уточнять логическую процедуру в подготовке к продвижению к большей общности. Фактически тезис моей статьи может быть сформулирован иначе: цель математического образования — приобрести способности анализа, обобщения и рассуждения. Два процесса анализа и обобщения были в моем предыдущем утверждении объединены как способность схватывать абстрактные идеи.

Но чтобы анализировать и обобщать, мы должны начать с грубого материала идей, которые должны быть проанализированы и обобщены. Соответственно, это позитивная ошибка в образовании — начинать с конечных продуктов этого процесса, а именно идей в их очищенных, проанализированных и обобщенных формах. Мы тем самым пропускаем важную часть подготовки, которая состоит в том, чтобы взять идеи в том виде, в каком они фактически существуют в уме ребенка, и упражнять ребенка в трудном искусстве цивилизовать их и одевать их.

Школьный учитель на самом деле миссионер, дикари — это идеи в уме ребенка; и миссионер уклоняется от своей главной задачи, если он отказывается рисковать своим телом среди каннибалов.

В этой точке я хотел бы обратить ваше внимание на тех учеников, которые формируют математическую секцию. Существует широко распространенная идея, что можно преподавать математику относительно продвинутого типа — например, дифференциальное исчисление — способом, полезным для физиков и инженеров, без какого-либо внимания к ее логике или теории.

Это кажется мне глубокой ошибкой. Это подразумевает, что чисто механическое знание без понимания способов достижения математических результатов полезно в прикладной науке. Оно не имеет никакой пользы. Сами результаты могут быть найдены изложенными в соответствующих карманных книгах и других элементарных справочных работах. Никому при применении результата не нужно беспокоиться о том, почему он верен. Он принимает его и применяет. Что имеет высшую важность в физике и инженерии, так это математически тренированный ум, и такой ум может быть приобретен только надлежащей математической дисциплиной.

Я полностью признаю, что правильный способ начать такой предмет, как дифференциальное исчисление, — это быстро погрузиться в использование обозначений в нескольких абсурдно простых случаях с грубым объяснением идеи скоростей роста. Обозначения, как они известны таким образом, могут затем использоваться лекторами в физических и инженерных лабораториях. Но математическая подготовка прикладных ученых состоит в том, чтобы сделать эти идеи точными, а доказательства — аккуратными.

Я надеюсь, что тезис этой статьи относительно положения логической точности в преподавании математики был сделан ясным. Привычка логической точности с ее необходимой концентрацией мысли на абстрактных идеях не полностью возможна на начальных этапах обучения. Это идеал, к которому должен стремиться учитель. Также логическая точность, в смысле логической эксплицитности, не является абсолютной вещью: это дело большего или меньшего. Соответственно, количество эксплицитности, которое должно быть введено на каждом этапе прогресса, должно зависеть от практического суждения учителя. Наконец, в некотором смысле, просвещенный ум менее эксплицитен; ибо он путешествует быстрее по хорошо запомненному пути и может избавить от хлопот облечения в слова цепочек мыслей, которые очень очевидны для него. Но, с другой стороны, он искупает эту быстроту концентрацией на каждом тонком моменте, где может скрываться ошибка. Привычка логической точности — это инстинкт для тонкой трудности.

ГЛАВА VI ОРГАНИЗАЦИЯ МЫШЛЕНИЯ

(Presidential Address to Section A, British Association, Newcastle, 1916)

Предметом этого обращения является организация мышления, тема, очевидно, способная ко многим разнообразным способам обработки. Я намерен более конкретно дать некоторый отчет о том департаменте логической науки, с которым были связаны некоторые из моих собственных исследований. Но я стремлюсь, если мне удастся это сделать, обработать этот отчет так, чтобы показать отношение с определенными соображениями, которые лежат в основе общей научной деятельности.

Не случайно, что век науки развился в век организации. Организованное мышление — основа организованного действия. Организация — это приспособление разнообразных элементов так, чтобы их взаимные отношения могли демонстрировать некоторое предопределенное качество. Эпическая поэма — это триумф организации, то есть сказать, это триумф в маловероятном случае того, что она является хорошей эпической поэмой. Это успешная организация множества звуков слов, ассоциаций слов, живописных воспоминаний о разнообразных событиях и чувствах, обычно происходящих в жизни, объединенных со специальным повествованием великих событий: целое так расположено, чтобы возбуждать эмоции, которые, как определено Мильтоном, просты, чувственны и страстны. Количество успешных эпических поэм соизмеримо, или, скорее, обратно соизмеримо с очевидной трудностью задачи организации.

Наука — это организация мышления. Но пример эпической поэмы предупреждает нас, что наука — это не любая организация мышления. Это организация определенного типа, который мы постараемся определить.

Наука — это река с двумя источниками, практическим источником и теоретическим источником. Практический источник — это желание направить наши действия на достижение предопределенных целей. Например, британская нация, сражающаяся за справедливость, обращается к науке, которая учит ее важности соединений азота. Теоретический источник — это желание понять. Теперь я собираюсь подчеркнуть важность теории в науке. Но чтобы избежать недопонимания, я самым решительным образом заявляю, что я не считаю один источник в каком-либо смысле более благородным, чем другой, или внутренне более интересным. Я не могу понять, почему более благородно стремиться понять, чем заниматься правильным упорядочиванием своих действий. Оба имеют свои плохие стороны; есть злые цели, направляющие действия, и есть неблагородные любопытства понимания.

Важность, даже на практике, теоретической стороны науки проистекает из того факта, что действие должно быть немедленным и происходит при обстоятельствах, которые чрезмерно сложны. Если мы будем ждать необходимости действия, прежде чем начнем упорядочивать наши идеи, в мирное время мы потеряем нашу торговлю, а в войне мы проиграем битву. Успех на практике зависит от теоретиков, которые, ведомые другими мотивами исследования, были там раньше и по какой-то счастливой случайности наткнулись на релевантные идеи. Под теоретиком я не имею в виду человека, который витает в облаках, но человека, чей мотив для мышления — желание правильно сформулировать правила, согласно которым происходят события. Успешный теоретик должен быть чрезмерно заинтересован в немедленных событиях, иначе он вовсе не склонен правильно сформулировать что-либо о них. Конечно, оба источника науки существуют во всех людях.

Теперь, что это за организация мышления, которую мы называем наукой? Первый аспект современной науки, который поразил вдумчивых наблюдателей, — это ее индуктивный характер. Природа индукции, ее важность и правила индуктивной логики были рассмотрены длинным рядом мыслителей, особенно английских мыслителей: Бэконом, Гершелем, Дж. С. Миллем, Венном, Джевонсом и другими. Я не собираюсь погружаться в анализ процесса индукции. Индукция — это механизм, а не продукт, и именно продукт я хочу рассмотреть. Когда мы поймем продукт, мы будем в более сильной позиции, чтобы улучшить механизм.

Во-первых, есть один момент, который необходимо подчеркнуть. Существует тенденция при анализе научных процессов предполагать данное собрание концептов, применяемых к природе, и воображать, что открытие законов природы состоит в выборе с помощью индуктивной логики одного из определенного набора возможных альтернативных отношений, которые могут существовать между вещами в природе, отвечающими этим очевидным концептам. В некотором смысле это предположение довольно верно, особенно в отношении более ранних стадий науки. Человечество обнаружило себя в обладании определенными концептами относительно природы — например, концептом довольно постоянных материальных тел — и приступило к определению законов, которые соотносили соответствующие перцепты в природе. Но формулировка законов изменила концепты, иногда мягко, добавленной точностью, иногда насильственно. Поначалу этот процесс не был сильно замечен или, по крайней мере, ощущался как процесс, ограниченный узкими рамками, не затрагивающий фундаментальные идеи. На стадии, на которой мы сейчас находимся, формулировка концептов может быть увидена как столь же важная, как формулировка эмпирических законов, соединяющих события во вселенной, как она концептуализирована нами. Например, концепты жизни, наследственности, материального тела, молекулы, атома, электрона, энергии, пространства, времени, количества и числа. Я не догматизирую о лучшем способе привести такие идеи в порядок. Конечно, это будет сделано только теми, кто посвятил себя специальному изучению фактов, о которых идет речь. Успех никогда не бывает абсолютным, и прогресс в правильном направлении — результат медленного, постепенного процесса постоянного сравнения идей с фактами. Критерий успеха заключается в том, что мы должны быть способны сформулировать эмпирические законы, то есть утверждения отношений, соединяющие различные части вселенной, как она концептуализирована таким образом, законы со свойством, что мы можем интерпретировать фактические события наших жизней как наше фрагментарное знание этого концептуализированного взаимосвязанного целого.

Но что такое реальный мир для целей науки? Должна ли наука ждать завершения метафизических дебатов, прежде чем она сможет определить свой собственный предмет? Я полагаю, что у науки есть гораздо более прозаическая отправная точка. Ее задача — открытие отношений, существующих внутри того потока восприятий, ощущений и эмоций, который формирует наш жизненный опыт. Панорама, создаваемая зрением, слухом, вкусом, обонянием, осязанием и более неясными чувственными ощущениями, является единственным полем деятельности. Именно так наука становится мыслительной организацией опыта. Наиболее очевидным аспектом этого поля реального опыта является его беспорядочный характер. Для каждого человека это континуум, фрагментарный и с нечетко дифференцированными элементами. Сравнение чувственного опыта разных людей порождает свои трудности. Я настаиваю на радикально неупорядоченном, плохо согласованном характере полей реального опыта, с которых начинает наука. Постижение этой фундаментальной истины — первый шаг к мудрости при построении философии науки. Этот факт скрыт влиянием языка, сформированного наукой, который навязывает нам точные концепты, как если бы они представляли собой непосредственные результаты опыта. В результате мы воображаем, что имеем непосредственный опыт мира идеально определенных объектов, вовлеченных в идеально определенные события, которые, как нам известно из прямого свидетельства наших чувств, происходят в точные моменты времени, в пространстве, образованном точными точками, без частей и без величины: аккуратный, опрятный, упорядоченный, точный мир, который является целью научного мышления.

Мое утверждение состоит в том, что этот мир — это мир идей, что его внутренние отношения — это отношения между абстрактными концептами и что прояснение точной связи между этим миром и чувствами реального опыта является фундаментальным вопросом научной философии. Вопрос, который я предлагаю вам рассмотреть, таков: как точное мышление применяется к фрагментарным, расплывчатым континуумам опыта? Я не говорю, что оно не применяется: совсем наоборот. Но я хочу знать, как именно оно применяется. Решение, которое я ищу, — это не фраза, какой бы блестящей она ни была, а солидная отрасль науки, построенная с медленным терпением, показывающая в деталях, как осуществляется это соответствие.

Первые великие шаги в организации мышления были обусловлены исключительно практическим источником научной деятельности, без какой-либо примеси теоретического импульса. Их медленное осуществление было причиной, а также следствием постепенной эволюции умеренно рациональных существ. Я имею в виду формирование концептов определенных материальных объектов, определенного течения времени, одновременности, повторяемости, определенного относительного положения и аналогичных фундаментальных идей, в соответствии с которыми поток нашего опыта ментально упорядочивается для удобства обращения: по сути, весь аппарат здравого смысла. Представьте себе какой-нибудь определенный стул. Концепт этого стула — это просто концепт всех взаимосвязанных переживаний, связанных с этим стулом, — а именно, опыта людей, которые его сделали, людей, которые его продали, людей, которые его видели или использовали, человека, который сейчас испытывает комфортное чувство опоры, в сочетании с нашими ожиданиями аналогичного будущего, завершающегося, наконец, другим набором переживаний, когда стул ломается и становится дровами. Формирование такого типа концепта было колоссальной работой, и зоологи и геологи говорят нам, что на это ушли многие десятки миллионов лет. Я вполне могу в это поверить.

Теперь я подчеркну два момента. Во-первых, наука укоренена в том, что я только что назвал всем аппаратом мышления здравого смысла. Это тот данность, с которой она начинает и к которой должна возвращаться. Мы можем поразмышлять, если нас это забавляет, о других существах на других планетах, которые организовали аналогичный опыт в соответствии с совершенно иным концептуальным кодом, — а именно, которые направили свое главное внимание на другие отношения между своими различными переживаниями. Но задача слишком сложна, слишком гигантска, чтобы ее можно было пересмотреть в основных чертах. Вы можете отшлифовать здравый смысл, вы можете противоречить ему в деталях, вы можете удивить его. Но в конечном счете вся ваша задача — удовлетворить его.

Во-вторых, ни здравый смысл, ни наука не могут продолжать свою задачу организации мышления, не отступая в некотором отношении от строгого рассмотрения того, что является актуальным в опыте. Подумайте снова о стуле. Среди переживаний, на которых основан его концепт, я включил наши ожидания его будущей истории. Мне следовало бы пойти дальше и включить наше воображение всех возможных переживаний, которые в обычном языке мы назвали бы восприятиями стула, которые могли бы произойти. Это сложный вопрос, и я не вижу пути к его решению. Но в настоящее время при построении теории пространства и времени кажутся непреодолимыми трудности, если мы отказываемся признать идеальные переживания.

Это имагинативное восприятие переживаний, которые, если бы они произошли, были бы согласованы с нашим реальным опытом, кажется фундаментальным в нашей жизни. Оно не является ни полностью произвольным, ни полностью детерминированным. Это расплывчатый фон, который лишь частично становится определенным благодаря изолированным актам мышления. Рассмотрим, например, наши мысли о невидимой флоре Бразилии.

Идеальные переживания тесно связаны с нашим имагинативным воспроизведением реального опыта других людей, а также с нашим почти неизбежным представлением о себе как о получающих впечатления от внешней сложной реальности вне нас. Возможно, что адекватный анализ каждого источника и каждого типа опыта дает доказательное подтверждение такой реальности и ее природы. Действительно, вряд ли можно сомневаться, что это так. Точное прояснение этого вопроса — проблема метафизики. Один из пунктов, на котором я настаиваю в этом обращении, заключается в том, что основа науки не зависит от принятия каких-либо выводов метафизики; но что и наука, и метафизика начинают с одной и той же данной основы непосредственного опыта и в основном движутся в противоположных направлениях в своих разнообразных задачах.

Например, метафизика исследует, как наши восприятия стула соотносят нас с некоторой истинной реальностью. Наука собирает эти восприятия в определенный класс, добавляет к ним идеальные восприятия аналогичного рода, которые при определенных обстоятельствах были бы получены, и этот единый концепт этого набора восприятий — это все, что нужно науке; если только вы не предпочитаете, чтобы мысль находила свое происхождение в какой-нибудь легенде о тех великих братьях-близнецах, Коке и Булле.

Моя непосредственная задача — исследовать природу структуры науки. Наука по сути логична. Связь между ее концептами — это логическая связь, а основания для ее детальных утверждений — логические основания. Король Иаков сказал: «Нет епископов — нет короля». С большей уверенностью мы можем сказать: «Нет логики — нет науки». Причина инстинктивной неприязни, которую большинство ученых испытывают к признанию этой истины, заключается, я думаю, в бесплодном провале логической теории в течение последних трех или четырех столетий. Мы можем проследить этот провал до поклонения авторитетам, которое в некоторых отношениях усилилось в ученом мире во времена Возрождения. Человечество тогда сменило авторитет, и этот факт временно подействовал как освобождение. Но главный факт, и мы можем найти жалобы на него в самом начале современного движения, заключался в установлении почтительного отношения к любому утверждению, сделанному классическим автором. Ученые стали комментаторами истин, слишком хрупких, чтобы выдержать перевод. Наука, которая колеблется забыть своих основателей, потеряна. Этому колебанию я приписываю бесплодность логики. Другая причина недоверия к логической теории и математике — вера в то, что дедуктивное рассуждение не может дать вам ничего нового. Ваши выводы содержатся в ваших посылках, которые по гипотезе вам известны.

Во-первых, это последнее осуждение логики игнорирует фрагментарный, несвязный характер человеческого знания. Знать одну посылку в понедельник, а другую во вторник бесполезно для вас в среду. Наука — это постоянная запись посылок, дедукций и выводов, проверенная на всем протяжении ее соответствием фактам. Во-вторых, неправда, что, когда мы знаем посылки, мы также знаем выводы. В арифметике, например, человечество — не мальчики-счетчики. Любая теория, доказывающая, что они сведущи в последствиях своих предположений, должна быть неверной. Мы можем представить существ, обладающих такой проницательностью. Но мы не такие существа. Оба этих ответа, я думаю, верны и уместны. Но они неудовлетворительны. Они слишком похожи на дубинки, слишком внешние. Нам нужно что-то более объясняющее ту самую реальную трудность, которую предполагает вопрос. На самом деле истинный ответ заложен в обсуждении нашей главной проблемы отношения логики к естествознанию.

Необходимо будет наметить в общих чертах некоторые релевантные особенности современной логики. Делая это, я постараюсь избежать глубоких общих дискуссий и мелких технических классификаций, которые занимают основную часть традиционной логики. Характерно для науки на ее ранних стадиях — а логика окаменела на такой стадии — быть одновременно амбициозно глубокой в своих целях и тривиальной в обращении с деталями.

Мы можем различить четыре отдела логической теории. По аналогии, которая не так уж далека, я назову эти отделы или секции арифметической секцией, алгебраической секцией, секцией теории общих функций, аналитической секцией. Я не имею в виду, что арифметика возникает в первой секции, алгебра во второй секции и так далее; но названия наводят на мысли о некоторых качествах мышления в каждой секции, которые напоминают аналогичные качества в арифметике, в алгебре, в общей теории математической функции и в математическом анализе свойств конкретных функций.

Первая секция — а именно, арифметическая стадия — имеет дело с отношениями определенных пропозиций друг к другу, точно так же, как арифметика имеет дело с определенными числами. Рассмотрим любую определенную пропозицию; назовем ее «p». Мы полагаем, что всегда есть другая пропозиция, которая является прямым противоречием «p»; назовем ее «не-p». Когда у нас есть две пропозиции, p и q, мы можем сформировать производные пропозиции из них и из их противоречий. Мы можем сказать: «По крайней мере одна из p или q истинна, а возможно, и обе». Назовем эту пропозицию «p или q». Я могу упомянуть в скобках, что один из величайших ныне живущих философов заявил, что такое использование слова «или» — а именно, «p или q» в том смысле, что либо одна, либо обе могут быть истинными, — заставляет его отчаяться в точности выражения. Мы должны встретить его гнев, который для меня непостижим.

Таким образом, мы получили четыре новые пропозиции, а именно: «p или q», «не-p или q», «p или не-q» и «не-p или не-q». Назовем их набором дизъюнктивных производных. Всего пока восемь пропозиций: p, не-p, q, не-q и четыре дизъюнктивные производные. Любая пара из этих восьми пропозиций может быть взята и подставлена вместо p и q в вышеупомянутой обработке. Таким образом, каждая пара дает восемь пропозиций, некоторые из которых могли быть получены ранее. Действуя таким образом, мы приходим к бесконечному набору пропозиций возрастающей сложности, в конечном счете производных от двух исходных пропозиций p или q. Конечно, важны лишь немногие. Аналогично мы можем начать с трех пропозиций p, q, r или с четырех пропозиций p, q, r, s и так далее. Любая из пропозиций этих совокупностей может быть истинной или ложной. У нее нет другой альтернативы. Чем бы она ни была, истиной или ложью, назовем это «истинностным значением» пропозиции.

Первая секция логического исследования заключается в том, чтобы установить, что мы знаем об истинностных значениях этих пропозиций, когда мы знаем истинностные значения некоторых из них. Исследование, насколько оно стоит того, чтобы его проводить, не очень заумно, и лучший способ выражения его результатов — это деталь, которую я сейчас не буду рассматривать. Это исследование образует арифметическую стадию.

Следующая секция логики — это алгебраическая стадия. Разница между арифметикой и алгеброй заключается в том, что в арифметике рассматриваются определенные числа, а в алгебре вводятся символы — а именно буквы, — которые обозначают любые числа. Идея числа также расширяется. Эти буквы, обозначающие любые числа, иногда называют переменными, а иногда параметрами. Их существенная характеристика заключается в том, что они неопределенны, если только алгебраические условия, которым они удовлетворяют, не определяют их неявно. Тогда их иногда называют неизвестными. Алгебраическая формула с буквами — это пустая форма. Она становится определенным арифметическим утверждением, когда вместо букв подставляются определенные числа. Важность алгебры — это дань изучению формы. Рассмотрим теперь следующую пропозицию —

Удельная теплоемкость ртути равна 0,033.

Это определенная пропозиция, которая при определенных ограничениях истинна. Но истинностное значение пропозиции нас не касается непосредственно. Вместо ртути подставим просто букву, которая является именем чего-то неопределенного: мы получим —

Удельная теплоемкость x равна 0,033.

Это не пропозиция; Рассел назвал это пропозициональной функцией. Это логическая аналогия алгебраического выражения. Запишем f(x) для любой пропозициональной функции.

Мы могли бы также обобщить еще дальше и сказать:

Удельная теплоемкость x равна y.

Таким образом, мы получаем другую пропозициональную функцию, F(x, y), от двух аргументов x и y, и так далее для любого количества аргументов.

Теперь рассмотрим f(x). Существует диапазон значений x, для которых f(x) является пропозицией, истинной или ложной. Для значений x вне этого диапазона f(x) вообще не является пропозицией и не является ни истинной, ни ложной. Она может иметь для нас расплывчатые ассоциации, но не имеет единого значения определенного утверждения. Например,

Удельная теплоемкость воды равна 0,033

это пропозиция, которая ложна; и —

Удельная теплоемкость добродетели равна 0,033

это, я полагаю, вообще не пропозиция; так что она не является ни истинной, ни ложной, хотя ее составные части вызывают различные ассоциации в нашем уме. Этот диапазон значений, для которых f(x) имеет смысл, называется «типом» аргумента x.

Но существует также диапазон значений x, для которых f(x) является истинной пропозицией. Это класс тех значений аргумента, которые удовлетворяют f(x). Этот класс может не иметь членов, или, в другой крайности, класс может быть всем типом аргументов.

Таким образом, мы мыслим две общие пропозиции относительно неопределенного числа пропозиций, которые разделяют одну и ту же логическую форму, то есть которые являются значениями одной и той же пропозициональной функции. Одна из этих пропозиций:

f(x) дает истинную пропозицию для каждого значения x соответствующего типа;

другая пропозиция:

Существует значение x, для которого f(x) истинна.

Даны две или более пропозициональные функции f(x) и ϕ(x) с одним и тем же аргументом x, мы формируем производные пропозициональные функции, а именно:

f(x) или ϕ(x), f(x) или не-ϕ(x),

и так далее с противоречиями, получая, как и на арифметической стадии, бесконечную совокупность пропозициональных функций. Также каждая пропозициональная функция дает две общие пропозиции. Теория взаимосвязи между истинностными значениями общих пропозиций, возникающих из любой такой совокупности пропозициональных функций, образует простую и элегантную главу математической логики.

В этой алгебраической секции логики возникает теория типов, как мы уже отмечали. Ею нельзя пренебрегать без внесения ошибки. Ее теория должна быть установлена по крайней мере какой-то надежной гипотезой, даже если она не доходит до философского основания вопроса. Эта часть предмета неясна и трудна и не была окончательно прояснена, хотя блестящая работа Рассела открыла этот предмет.

Последний импульс современной логике пришел от независимого открытия важности логической переменной Фреге и Пеано. Фреге пошел дальше Пеано, но из-за неудачной символики сделал свою работу настолько неясной, что никто полностью не осознал его смысл, кто не открыл его для себя сам. Но движение имеет большую историю, восходящую к Лейбницу и даже к Аристотелю. Среди английских авторов — Де Морган, Буль и сэр Альфред Кемпе; их работа первоклассная.

Третья логическая секция — это стадия теории общих функций. На логическом языке мы совершаем на этой стадии переход от интенсионала к экстенсионалу и исследуем теорию денотации. Возьмем пропозициональную функцию f(x). Существует класс, или диапазон значений для x, члены которого удовлетворяют f(x). Но тот же диапазон может быть классом, члены которого удовлетворяют другой пропозициональной функции ϕ(x). Необходимо исследовать, как обозначить класс способом, который безразличен к различным пропозициональным функциям, удовлетворяемым любым членом этого класса, и только им. Что нужно сделать, так это проанализировать природу пропозиций о классе — а именно тех пропозиций, истинностные значения которых зависят от самого класса, а не от конкретного значения, которым класс обозначен.

Более того, существуют пропозиции о предполагаемых индивидах, обозначенных описательными фразами: например, пропозиции о «нынешнем короле Англии», который существует, и «нынешнем императоре Бразилии», который не существует. Более сложные, но аналогичные вопросы, включающие пропозициональные функции двух переменных, включают понятие «корреляции», точно так же, как функции одного аргумента включают классы. Аналогично функции трех аргументов дают трехсторонние корреляции и так далее. Эта логическая секция — та, которую Рассел сделал исключительно своей благодаря работе, которая всегда должна оставаться фундаментальной. Я назвал это секцией функциональной теории, потому что ее идеи необходимы для построения логических обозначающих функций, которые включают в качестве частного случая обычные математические функции, такие как синус, логарифм и т. д. На каждой из этих трех стадий будет необходимо постепенно вводить соответствующую символику, если мы хотим перейти к четвертой стадии.

Четвертая логическая секция, аналитическая стадия, занимается исследованием свойств специальных логических конструкций, то есть классов и корреляций особого рода. Вся математика включена сюда. Так что секция большая. На самом деле, это математика, ни больше ни меньше, но она включает анализ математических идей, ранее не входивших в сферу этой науки и, по сути, вообще не рассматривавшихся. Сущность этой стадии — конструкция. Именно с помощью подходящих конструкций разрабатывается великий каркас прикладной математики, включающий теории числа, количества, времени и пространства.

Невозможно даже в кратком изложении объяснить, как математика развивается из концептов класса и корреляции, включая многосторонние корреляции, которые установлены в третьей секции. Я могу лишь сослаться на заголовки процесса, который полностью разработан в работе Principia Mathematica г-на Рассела и меня самого. В этом процессе развития есть семь специальных видов корреляций, которые представляют особый интерес. Первый вид включает корреляции «один-ко-многим», «многие-к-одному» и «один-к-одному». Второй вид включает сериальные отношения, то есть корреляции, с помощью которых члены некоторого поля располагаются в сериальном порядке, так что, в смысле, определенном отношением, любой член поля находится либо до, либо после любого другого члена. Третий класс включает индуктивные отношения, то есть корреляции, от которых зависит теория математической индукции. Четвертый класс включает селективные отношения, которые требуются для общей теории арифметических операций и в других местах. Именно в связи с такими отношениями возникает для рассмотрения знаменитая мультипликативная аксиома. Пятый класс включает векторные отношения, из которых возникает теория количества. Шестой класс включает отношения отношений, которые связывают число и количество. Седьмой класс включает трехсторонние и четырехсторонние отношения, которые встречаются в геометрии.

Простое перечисление технических названий, подобных вышеприведенным, не очень проясняет дело, хотя может помочь в понимании разграничений предмета. Пожалуйста, помните, что названия — это технические названия, несомненно, призванные наводить на мысли, но используемые в строго определенных смыслах. Мы много пострадали от критиков, которые считают достаточным критиковать нашу процедуру на скудном основании знания словарных значений таких терминов. Например, корреляция «один-к-одному» зависит от понятия класса только с одним членом, и это понятие определяется без обращения к концепту числа один. Понятие разнообразия — это все, что нужно. Таким образом, класс имеет только один член, если (1) класс значений x, который удовлетворяет пропозициональной функции,

x не является членом ,

не является всем типом релевантных значений x, и если (2) пропозициональная функция,

x и y являются членами , и x отличен от y

ложна, каковы бы ни были значения x и y в релевантном типе.

Аналогичные процедуры очевидно возможны для более высоких конечных кардинальных чисел. Таким образом, шаг за шагом, весь цикл текущих математических идей способен к логическому определению. Процесс детальный и трудоемкий, и, как всякая наука, он не знает царского пути воздушных фраз. Сущность процесса заключается, во-первых, в конструировании понятия в терминах форм пропозиций, то есть в терминах релевантных пропозициональных функций, и, во-вторых, в доказательстве фундаментальных истин, которые справедливы относительно этого понятия, путем обращения к результатам, полученным в алгебраической секции логики.

Будет видно, что в этом процессе весь аппарат специальных неопределимых математических концептов и специальных априорных математических посылок относительно числа, количества и пространства исчез. Математика — это просто аппарат для анализа дедукций, которые могут быть сделаны из любых конкретных посылок, предоставленных здравым смыслом или более утонченным научным наблюдением, поскольку эти дедукции зависят от форм пропозиций. Пропозиции определенных форм постоянно встречаются в мышлении. Наша существующая математика — это анализ дедукций, которые касаются этих форм и в некотором отношении важны, либо из практической пользы, либо из теоретического интереса. Здесь я говорю о науке в том виде, в каком она фактически существует. Теоретическое определение математики должно включать в свою сферу любые дедукции, зависящие от простых форм пропозиций. Но, конечно, никто не захотел бы развивать ту часть математики, которая в каком-либо смысле не является важной.