«Игра в логику»

ИГРА В ЛОГИКУ

Льюис Кэрролл

---------------------|9 | 10|| | || -----x------ || |11 | 12| || | | | ||---y-----m------y'---|| | | | || |13 | 14| || -----x'----- || | ||15 | 16|---------------------

ЦВЕТА ДЛЯ ФИШЕК -------------|5 | 6|| x || | ||--y-------y'--|| | | || x' ||7 | 8|-------------

ИГРА В ЛОГИКУ

Льюис Кэрролл

Моему юному другу.

Тщетно я заклинаю; ибо никогда вновь, как бы пристально я ни вглядывался, Память, богиня застенчивая, не воплотит для моей радости ушедшие дни, и не позволит мне взглянуть на тебя, мой сказочный друг!

И все же, если бы твое лицо, в мистической грации, на мгновение улыбнулось мне, оно послало бы далеко пронзающие лучи света с Небес сквозь ночь, с помощью которых можно было бы прочитать, в самом деле, твою душу, милейший друг!

Пусть же поток долгого сна Жизни мягко течет к своему концу, с множеством веселых цветочков вдоль его извилистого пути: пусть ни один вздох не тревожит, ни одна забота не смущает моего любящего маленького друга!

NOTA BENE.

К каждому экземпляру этой книги прилагается конверт, содержащий диаграмму (похожую на фронтиспис) на картоне и девять фишек: четыре красные и пять серых.

Конверт и прочее можно приобрести отдельно по 3 пенса за штуку.

Автор будет очень благодарен за предложения, особенно от начинающих изучать логику, относительно любых изменений или дополнительных пояснений, которые могут показаться желательными. Письма следует направлять ему по адресу: «29, Бедфорд-стрит, Ковент-Гарден, Лондон».

ПРЕДИСЛОВИЕ

«Там пенилась мятежная Логика, с кляпом во рту и связанная».

Для этой игры требуется девять фишек — четыре одного цвета и пять другого: скажем, четыре красные и пять серых.

Помимо девяти фишек, требуется также ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ один игрок. Мне не известна ни одна игра, в которую можно играть с МЕНЬШИМ количеством игроков, в то время как есть много таких, где требуется БОЛЬШЕ: возьмем, к примеру, крикет, для которого нужно двадцать два. Насколько же проще, когда хочешь сыграть в игру, найти ОДНОГО игрока, чем двадцать два. В то же время, хотя достаточно и одного игрока, гораздо больше удовольствия можно получить, если двое работают вместе и исправляют ошибки друг друга.

Второе преимущество этой игры заключается в том, что, помимо бесконечного источника развлечения (количество аргументов, которые можно с ее помощью проработать, бесконечно), она даст игрокам еще и немного знаний. Но есть ли в ЭТОМ большой вред, пока вы получаете массу удовольствия?

СОДЕРЖАНИЕ.

ГЛАВА СТР. I. НОВЫЕ ЛАМПЫ ВЗАМЕН СТАРЫХ. 1. Суждения . . . . . . . 1 2. Силлогизмы . . . . . . . 20 3. Логические ошибки . . . . . . . 32 II. ПЕРЕКРЕСТНЫЕ ВОПРОСЫ. 1. Элементарные . . . . . . . 37 2. Половина меньшей диаграммы. Суждения для представления . . . . . . . 40 3. То же. Символы для интерпретации . . 42 4. Меньшая диаграмма. Суждения для представления . . . . . . . 44 5. То же. Символы для интерпретации . . 46 6. Большая диаграмма. Суждения для представления . . . . . . . 48 7. Использование обеих диаграмм . . 51 III. КОВАРНЫЕ ОТВЕТЫ. 1. Элементарные . . . . . . . 55 2. Половина меньшей диаграммы. Представленные суждения . . . . . . . 59 3. То же. Интерпретированные символы . . . 61 4. Меньшая диаграмма. Представленные суждения. 62 5. То же. Интерпретированные символы . . . 65 6. Большая диаграмма. Представленные суждения. 67 7. Использование обеих диаграмм . . . 72 IV. ПОПАЛ ИЛИ ПРОМАХНУЛСЯ . . . . . . . . . 85

ГЛАВА I.

НОВЫЕ ЛАМПЫ ВЗАМЕН СТАРЫХ.

«Легко пришло, легко ушло». _________ 1. Суждения. «Некоторые новые торты вкусные». «Ни один новый торт не является вкусным». «Все новые торты вкусные».

Вот вам три «СУЖДЕНИЯ» — единственные три вида, которые мы будем использовать в этой игре: и первое, что нужно сделать, — это научиться выражать их на доске.

Начнем с

«Некоторые новые торты вкусные».

Но прежде чем сделать это, нужно высказать одно замечание — довольно важное и отнюдь не легкое для понимания с первого раза: поэтому, пожалуйста, прочитайте это ОЧЕНЬ внимательно.

Мир содержит много ВЕЩЕЙ (таких как «булочки», «младенцы», «жуки», «ракетки» и т. д.); и эти вещи обладают многими АТРИБУТАМИ (такими как «печеный», «красивый», «черный», «сломанный» и т. д.: по сути, все, что можно «приписать», то есть «сказать, что принадлежит» какой-либо вещи, является атрибутом). Всякий раз, когда мы хотим упомянуть вещь, мы используем СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ: когда мы хотим упомянуть атрибут, мы используем ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ. Люди задавали вопрос: «Может ли вещь существовать без каких-либо принадлежащих ей атрибутов?» Это очень озадачивающий вопрос, и я не собираюсь пытаться на него ответить: давайте задерем носы и встретим его презрительным молчанием, как будто он действительно не стоит внимания. Но если они поставят вопрос иначе и спросят: «Может ли атрибут существовать без вещи, которой он мог бы принадлежать?», мы можем сразу сказать: «Нет: не больше, чем младенец мог бы отправиться в железнодорожное путешествие, если бы некому было о нем позаботиться!» Вы никогда не видели, чтобы «красивый» плавал в воздухе или валялся на полу без какой-либо вещи, которая БЫЛА БЫ красивой, не так ли?

И к чему я клоню во всей этой длинной путанице? А вот к чему. Вы можете поставить «есть» или «являются» между названиями двух ВЕЩЕЙ (например, «некоторые свиньи — это толстые животные») или между названиями двух АТРИБУТОВ (например, «розовый — это светло-красный»), и в каждом случае это будет иметь смысл. Но если вы поставите «есть» или «являются» между названием ВЕЩИ и названием АТРИБУТА (например, «некоторые свиньи — розовые»), вы НЕ получите здравого смысла (ибо как вещь может БЫТЬ атрибутом?), если только у вас нет договоренности с человеком, с которым вы разговариваете. И самая простая договоренность, я думаю, была бы такой: существительное должно подразумеваться повторенным в конце предложения, так что предложение, если его записать полностью, звучало бы как «некоторые свиньи — это розовые (свиньи)». И теперь слово «являются» обретает вполне здравый смысл.

Таким образом, чтобы придать здравый смысл суждению «некоторые новые торты вкусные», мы должны предположить, что оно записано полностью, в форме «некоторые новые торты — это вкусные (торты)». Теперь оно содержит два «ТЕРМИНА» — «новые торты» как один из них и «вкусные (торты)» как другой. «Новые торты», будучи тем, о чем мы говорим, называется «СУБЪЕКТОМ» суждения, а «вкусные (торты)» — «ПРЕДИКАТОМ». Также это суждение называется «ЧАСТНЫМ», поскольку оно говорит не о ВСЕМ своем субъекте, а только о ЧАСТИ его. Два других вида называются «ОБЩИМИ», потому что они говорят о ВСЕМ своем субъекте — один отрицает вкусность, а другой утверждает ее для ВСЕГО класса «новых тортов». Наконец, если вы хотите получить определение самого слова «СУЖДЕНИЕ», вы можете взять такое: «предложение, утверждающее, что некоторые, или никакие, или все вещи, принадлежащие к определенному классу, называемому его «субъектом», также являются вещами, принадлежащими к определенному другому классу, называемому его «предикатом»».

Вы найдете эти семь слов — СУЖДЕНИЕ, АТРИБУТ, ТЕРМИН, СУБЪЕКТ, ПРЕДИКАТ, ЧАСТНОЕ, ОБЩЕЕ — удивительно полезными, если какой-нибудь друг вдруг спросит, изучали ли вы когда-нибудь логику. Не забудьте включить все семь слов в свой ответ, и ваш друг уйдет глубоко впечатленным — «более печальным и более мудрым человеком».

Теперь, пожалуйста, посмотрите на меньшую диаграмму на доске и представьте, что это шкаф, предназначенный для всех тортов в мире (конечно, он должен быть довольно большим). И давайте предположим, что все новые торты помещаются в верхнюю половину (помеченную «x»), а все остальные (то есть не новые) — в нижнюю половину (помеченную «x'»). Таким образом, нижняя половина будет содержать ПОЖИЛЫЕ торты, СТАРЫЕ торты, ДОПОТОПНЫЕ торты — если такие есть: я сам видел их не так много — и так далее. Давайте также предположим, что все вкусные торты помещаются в левую половину (помеченную «y»), а все остальные (то есть невкусные) — в правую половину (помеченную «y'»). В настоящее время, следовательно, мы должны понимать x как «новые», x' как «не новые», y как «вкусные» и y' как «невкусные».

А теперь какие торты вы ожидали бы найти в отделении № 5?

Это часть верхней половины, видите ли; так что, если в нем есть какие-либо торты, они должны быть НОВЫМИ: и это часть левой половины; так что они должны быть ВКУСНЫМИ. Следовательно, если в этом отделении есть какие-либо торты, они должны обладать двойным «АТРИБУТОМ» «новые и вкусные»: или, если мы используем буквы, они должны быть «x y».

Заметьте, что буквы x, y написаны на двух краях этого отделения. Вы найдете это очень удобным правилом для того, чтобы знать, какие атрибуты принадлежат вещам в любом отделении. Возьмем, к примеру, № 7. Если там есть какие-либо торты, они должны быть «x' y», то есть они должны быть «не новые и вкусные».

Теперь давайте договоримся о другом — что красная фишка в отделении будет означать, что оно «ЗАНЯТО», то есть что в нем есть НЕКОТОРЫЕ торты. (Слово «некоторые» в логике означает «один или более», так что один-единственный торт в отделении был бы вполне достаточным основанием для того, чтобы сказать: «здесь есть НЕКОТОРЫЕ торты»). Также давайте договоримся, что серая фишка в отделении будет означать, что оно «ПУСТОЕ», то есть что в нем НЕТ тортов. В следующих диаграммах я буду ставить «1» (означающее «один или более»), где вы должны поставить КРАСНУЮ фишку, и «0» (означающее «ни одного»), где вы должны поставить СЕРУЮ.

Поскольку субъектом нашего суждения должны быть «новые торты», нас сейчас интересует только ВЕРХНЯЯ половина шкафа, где все торты имеют атрибут x, то есть «новые».

Теперь, сосредоточив внимание на этой верхней половине, предположим, что мы обнаружили ее помеченной вот так,

-----------| | || 1 | || | |-----------

то есть с красной фишкой в № 5. Что бы это сказало нам относительно класса «новых тортов»?

Разве это не сказало бы нам, что НЕКОТОРЫЕ из них находятся в отделении x y? То есть, что некоторые из них (помимо обладания атрибутом x, который принадлежит обоим отделениям) обладают атрибутом y (то есть «вкусные»). Это мы могли бы выразить, сказав «некоторые x-торты — это y-(торты)», или, подставив слова вместо букв,

«Некоторые новые торты — это вкусные (торты)»,

или, в более короткой форме,

«Некоторые новые торты вкусные».

Наконец-то мы выяснили, как представить первое суждение этого раздела. Если вы не ЯСНО поняли все, что я сказал, не идите дальше, а перечитывайте это снова и снова, пока НЕ поймете. После того как это будет усвоено, вы найдете все остальное довольно легким.

Это сэкономит немного хлопот при выполнении других суждений, если мы договоримся вообще опустить слово «торты». Я нахожу удобным называть весь класс вещей, для которых предназначен шкаф, «УНИВЕРСУМОМ». Таким образом, мы могли бы начать это дело со слов: «Давайте возьмем универсум тортов». (Звучит неплохо, не так ли?)

Конечно, любые другие вещи подошли бы так же хорошо, как торты. Мы могли бы составлять суждения об «универсуме ящериц» или даже об «универсуме шершней». (Разве это не был бы очаровательный универсум для жизни?)

Итак, до сих пор мы узнали, что

-----------| | || 1 | || | |-----------

означает «некоторые x — это y», т. е. «некоторые новые — вкусные».

Я думаю, вы без дальнейших объяснений увидите, что

-----------| | || | 1 || | |-----------

означает «некоторые x — это y'», т. е. «некоторые новые — не вкусные».

Теперь давайте поместим СЕРУЮ фишку в № 5 и спросим себя о значении

-----------| | || 0 | || | |-----------

Это говорит нам, что отделение x y ПУСТОЕ, что мы можем выразить как «ни один x не является y» или «ни один новый торт не является вкусным». Это второе из трех суждений в начале этого раздела.

Таким же образом,

-----------| | || | 0 || | |-----------

означало бы «ни один x не является y'» или «ни один новый торт не является не вкусным».

Интересно, что бы вы сказали об этом?

-----------| | || 1 | 1 || | |-----------

Надеюсь, у вас не будет много хлопот, чтобы понять, что это представляет ДВОЙНОЕ суждение: а именно, «некоторые x — это y, И некоторые — это y'», т. е. «некоторые новые — вкусные, а некоторые — не вкусные».

Следующее, возможно, немного сложнее:

-----------| | || 0 | 0 || | |-----------

Это означает «ни один x не является y, И ни один не является y'», т. е. «ни один новый не является вкусным, И ни один не является не вкусным»: что приводит к довольно любопытному результату, что «никакие новые не существуют», т. е. «никакие торты не являются новыми». Это потому, что «вкусные» и «не вкусные» составляют то, что мы называем «ИСЧЕРПЫВАЮЩИМ» делением класса «новые торты»: то есть вместе они ИСЧЕРПЫВАЮТ весь класс, так что все новые торты, которые существуют, должны быть найдены в одном или другом из них.

А теперь предположим, что вам нужно представить с помощью фишек противоречие к «никакие торты не являются новыми», что было бы «некоторые торты являются новыми», или, подставив буквы вместо слов, «некоторые торты являются x», как бы вы это сделали?

Это немного озадачит вас, я полагаю. Очевидно, вы должны поместить красную фишку ГДЕ-ТО в x-половине шкафа, так как вы знаете, что существуют НЕКОТОРЫЕ новые торты. Но вы не должны помещать ее в ЛЕВОЕ отделение, так как вы не знаете, являются ли они ВКУСНЫМИ: и вы не можете поместить ее в ПРАВОЕ, так как вы не знаете, являются ли они НЕ ВКУСНЫМИ.

Что же тогда вам делать? Я думаю, лучший выход из затруднения — это поместить красную фишку НА РАЗДЕЛИТЕЛЬНУЮ ЛИНИЮ между отделением xy и отделением xy'. Это я представлю (так как я всегда ставлю «1», где вы должны поставить красную фишку) диаграммой

-----------| | || -1- || | |-----------

Наши изобретательные американские кузены придумали фразу, чтобы выразить положение человека, который хочет присоединиться к той или иной из двух партий — таких как их две партии «демократы» и «республиканцы» — но не может решить, К КАКОЙ. Про такого человека говорят, что он «сидит на заборе». Теперь, это в точности положение красной фишки, которую вы только что поместили на разделительную линию. Ему нравится вид № 5, и ему нравится вид № 6, и он не знает, в КАКОЙ из них прыгнуть. Вот он и сидит верхом, глупый малый, болтая ногами, по одной с каждой стороны забора!

Теперь я собираюсь дать вам гораздо более сложную задачу. Что это означает?

-----------| | || 1 | 0 || | |-----------

Это явно ДВОЙНОЕ суждение. Оно говорит нам не только о том, что «некоторые x — это y», но также, что «ни один x не является НЕ y». Следовательно, результат — «ВСЕ x — это y», т. е. «все новые торты вкусные», что является последним из трех суждений в начале этого раздела.

Мы видим, таким образом, что общее суждение

«Все новые торты вкусные»

состоит из ДВУХ суждений, взятых вместе, а именно,

«Некоторые новые торты вкусные» и «Ни один новый торт не является не вкусным».

Таким же образом

-----------| | || 0 | 1 || | |-----------

означало бы «все x — это y'», то есть

«Все новые торты не вкусные».

А что бы вы сказали о таком суждении, как «Торт, который вы мне дали, вкусный»? Оно частное или общее?

«Частное, конечно», — охотно отвечаете вы. — «Один-единственный торт едва ли стоит называть даже «некоторыми»».

Нет, мой дорогой импульсивный читатель, оно «общее». Помните, что, как бы мало их ни было (и я признаю, что их вряд ли могло быть меньше), они (или, скорее, «он») — ВСЕ, что вы мне дали! Таким образом, если (оставив «красный» в стороне) я разделю свой универсум тортов на два класса — торты, которые вы мне дали (которым я отвожу верхнюю половину шкафа), и те, которые вы НЕ дали (которые должны идти вниз) — я обнаружу, что нижняя половина довольно полна, а верхняя — насколько возможно пуста. И затем, когда мне говорят поставить вертикальную перегородку в каждую половину, сохраняя ВКУСНЫЕ торты слева, а НЕ ВКУСНЫЕ — справа, я начинаю с того, что тщательно собираю ВСЕ торты, которые вы мне дали (время от времени говоря себе: «Щедрое создание! Как я когда-нибудь отплачу за такую доброту?»), и складываю их в левое отделение. И ЭТО НЕ ЗАНИМАЕТ МНОГО ВРЕМЕНИ!

Вот еще одно общее суждение для вас. «Барзиллай Бекалегг — честный человек». Это означает «ВСЕ Барзиллай Бекалегги, которых я сейчас рассматриваю, — честные люди». (Вы думаете, я выдумал это имя, не так ли? Но нет. Оно написано на тележке перевозчика где-то в Корнуолле.)

Этот вид общего суждения (где субъект — одна вещь) называется «ИНДИВИДУАЛЬНЫМ» суждением.

Теперь давайте возьмем «ВКУСНЫЕ торты» в качестве субъекта суждения: то есть давайте сосредоточим наши мысли на ЛЕВОЙ половине шкафа, где все торты имеют атрибут y, то есть «вкусные».

----- Предположим, мы находим его помеченным так:-- | | | 1 | Что бы это сказало нам? | | ----- | | | | | | -----

Надеюсь, нет необходимости после столь подробного объяснения ГОРИЗОНТАЛЬНОГО прямоугольника тратить много времени на ВЕРТИКАЛЬНЫЙ. Надеюсь, вы сами увидите, что это означает «некоторые y — это x», то есть

«Некоторые вкусные торты — новые».

«Но», — скажете вы, — «у нас уже был этот случай. Вы поместили красную фишку в № 5, и вы сказали нам, что это означает «некоторые новые торты вкусные»; а ТЕПЕРЬ вы говорите нам, что это означает «некоторые ВКУСНЫЕ торты — НОВЫЕ»! Может ли это означать И ТО, И ДРУГОЕ?»

Вопрос очень вдумчивый и делает вам БОЛЬШУЮ честь, дорогой читатель! Это ДЕЙСТВИТЕЛЬНО означает и то, и другое. Если вы решите взять x (то есть «новые торты») в качестве своего субъекта и рассматривать № 5 как часть ГОРИЗОНТАЛЬНОГО прямоугольника, вы можете прочитать это как «некоторые x — это y», то есть «некоторые новые торты вкусные»: но если вы решите взять y (то есть «вкусный торт») в качестве своего субъекта и рассматривать № 5 как часть ВЕРТИКАЛЬНОГО прямоугольника, ТОГДА вы можете прочитать это как «некоторые y — это x», то есть «некоторые вкусные торты — новые». Это просто два разных способа выражения одной и той же истины.

Без лишних слов я просто запишу другие способы, которыми этот вертикальный прямоугольник может быть помечен, добавляя значение в каждом случае. Сравнивая их с различными случаями горизонтального прямоугольника, вы, я надеюсь, сможете ясно их понять.

Вы найдете хорошим планом проверять себя по этой таблице, закрывая сначала один столбец, а затем другой, и «увертываясь», как говорят дети.

Также вы сделаете хорошо, если выпишете для себя две другие таблицы — одну для НИЖНЕЙ половины шкафа, а другую для его ПРАВОЙ половины.

А теперь, я думаю, мы сказали все, что нам нужно было сказать о меньшей диаграмме, и можем перейти к большей.

_________________________________________________| Символы. | Значения. _______________|_________________________________ ----- | | | | | | | | Некоторые y — это x'; | | | | т.е. Некоторые вкусные — не новые. ----- | | | | | | 1 | | | | ----- | | | ----- | | | | | Ни один y не является x; | | 0 | | т.е. Ни один вкусный не является новым. | | | | ----- | [Заметьте, что это просто другой способ | | | | выражения «Ни один новый не является вкусным».] | | | | | | | | ----- | | | ----- | | | | | | | | Некоторые y — это x', | | | | т.е. Некоторые вкусные — не новые. ----- | | | | | | 0 | | | | ----- | | | ----- | | | | | 1 | | Некоторые y — это x, и некоторые — это x'; | | | | т.е. Некоторые вкусные — новые, и некоторые — ----- | не новые. | | | | | 1 | | | | ----- | | | ----- | | | | | 0 | | Ни один y не является x, и ни один не является x'; | | | | т.е. Ни один y не существует; ----- | т.е. Ни один торт не является вкусным. | | | | | 0 | | | | ----- | | | ----- | | | | | 1 | | Все y — это x; | | | | т.е. Все вкусные — новые. ----- | | | | | 0 | | | | ----- | | | ----- | | | | | 0 | | Все y — это x'; | | | | т.е. Все вкусные — не новые. ----- | | | | | 1 | | | | ----- | | _______________|_________________________________

Это можно считать шкафом, разделенным так же, как и предыдущий, но ТАКЖЕ разделенным на две части для атрибута m. Давайте дадим m значение «полезный»: и давайте предположим, что все ПОЛЕЗНЫЕ торты помещены ВНУТРЬ центрального квадрата, а все НЕПОЛЕЗНЫЕ — СНАРУЖИ него, то есть в одном или другом из четырех причудливых ВНЕШНИХ отделений.

Мы видим, что, точно так же, как в меньшей диаграмме торты в каждом отделении имели ДВА атрибута, так и здесь торты в каждом отделении имеют ТРИ атрибута: и, точно так же, как буквы, представляющие ДВА атрибута, были написаны на КРАЯХ отделения, так и здесь они написаны по УГЛАМ. (Заметьте, что m' предполагается написанным в каждом из четырех внешних углов.) Так что мы можем в одно мгновение сказать, глядя на отделение, какие три атрибута принадлежат вещам в нем. Например, возьмем № 12. Здесь мы находим x, y', m по углам: так что мы знаем, что торты в нем, если они есть, имеют тройной атрибут «xy'm», то есть «новые, не вкусные и полезные». Опять же, возьмем № 16. Здесь мы находим по углам x', y', m': так что торты в нем — «не новые, не вкусные и неполезные». (Удивительно непривлекательные торты!)

Потребовалось бы слишком много времени, чтобы пройти через все суждения, содержащие x и y, x и m, и y и m, которые могут быть представлены на этой диаграмме (их всего девяносто шесть, так что я уверен, вы меня извините!), и я должен ограничиться тем, что сделаю два или три в качестве образцов. Вы сделаете хорошо, если проработаете гораздо больше самостоятельно.

Взяв верхнюю половину отдельно, так что наш субъект — «новые торты», как нам представить «ни один новый торт не является полезным»?

Это, если писать буквы вместо слов, «ни один x не является m». Теперь это говорит нам, что ни один из тортов, принадлежащих к верхней половине шкафа, не находится ВНУТРИ центрального квадрата: то есть два отделения, № 11 и № 12, ПУСТЫ. И это, конечно, представлено

-------------------| | || _____|_____ || | | | || | 0 | 0 | || | | | |-------------------

А теперь как нам представить противоречащее суждение «НЕКОТОРЫЕ x — это m»? Это трудность, которую я уже рассматривал. Я думаю, лучший способ — поместить красную фишку НА РАЗДЕЛИТЕЛЬНУЮ ЛИНИЮ между № 11 и № 12 и понимать это как означающее, что ОДНО из двух отделений «занято», но что мы в настоящее время не знаем, КАКОЕ. Это я представлю так:--

-------------------| | || _____|_____ || | | | || | -1- | || | | | |-------------------

Теперь давайте выразим «все x — это m».

Это состоит, как мы знаем, из ДВУХ суждений,

«Некоторые x — это m» и «Ни один x не является m'».

Давайте сначала выразим отрицательную часть. Это говорит нам, что ни один из тортов, принадлежащих к верхней половине шкафа, не находится СНАРУЖИ центрального квадрата: то есть два отделения, № 9 и № 10, ПУСТЫ. Это, конечно, представлено

-------------------| 0 | 0 || _____|_____ || | | | || | | | || | | | |-------------------

Но нам еще предстоит представить «Некоторые x — это m». Это говорит нам, что есть НЕКОТОРЫЕ торты в прямоугольнике, состоящем из № 11 и № 12: поэтому мы помещаем нашу красную фишку, как в предыдущем примере, на разделительную линию между № 11 и № 12, и результат —

-------------------| 0 | 0 || _____|_____ || | | | || | -1- | || | | | |-------------------

Теперь давайте попробуем одну или две интерпретации.

Что нам делать с этим относительно x и y?

-------------------| | 0 || _____|_____ || | | | || | 1 | 0 | || | | | |-------------------

Это говорит нам относительно квадрата xy', что он полностью «пуст», так как ОБА отделения так помечены. Относительно квадрата xy это говорит нам, что он «занят». Правда, только ОДНО отделение в нем так помечено; но этого вполне достаточно, независимо от того, «занято» другое или «пусто», чтобы установить факт, что в квадрате ЕСТЬ ЧТО-ТО.

Если, следовательно, мы перенесем наши отметки на меньшую диаграмму, чтобы избавиться от m-подразделений, мы имеем право пометить ее

-----------| | || 1 | 0 || | |-----------

что означает, вы знаете, «все x — это y».

Результат был бы точно таким же, если бы данный прямоугольник был помечен так:--

-------------------| 1 | 0 || _____|_____ || | | | || | | 0 | || | | | |-------------------

Еще раз: как мы интерпретируем это относительно x и y?

-------------------| 0 | 1 || _____|_____ || | | | || | | | || | | | |-------------------

Это говорит нам относительно квадрата xy, что ОДНО из его отделений «пусто». Но эта информация совершенно бесполезна, так как в ДРУГОМ отделении нет отметки. Если бы другое отделение тоже оказалось «пустым», квадрат был бы «пустым»: и если бы оно оказалось «занятым», квадрат был бы «занятым». Так что, поскольку мы не знаем, КАКОЙ случай имеет место, мы ничего не можем сказать об ЭТОМ квадрате.

Другой квадрат, квадрат xy', мы знаем (как в предыдущем примере), что он «занят».

Если, следовательно, мы перенесем наши отметки на меньшую диаграмму, мы получим только это:--

-----------| | || | 1 || | |-----------

что означает, вы знаете, «некоторые x — это y'».

Эти принципы могут быть применены ко всем другим прямоугольникам. Например, чтобы представить «все y' — это m'», мы должны пометить ПРАВЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (тот, который имеет атрибут y') так:-- ------- | | |--- | | 0 | | |---|-1-| | 0 | | |--- | | -------

и, если бы нам сказали интерпретировать нижнюю половину шкафа, помеченную следующим образом, относительно x и y,

-------------------| | | | || | | 0 | || | | | || -----|----- || 1 | 0 |-------------------

мы должны были бы перенести ее на меньшую диаграмму так,

-----------| | || 1 | 0 || | |-----------

и прочитать это как «все x' — это y».

Нужно сделать еще два замечания о суждениях.

Одно из них заключается в том, что в каждом суждении, начинающемся с «некоторые» или «все», утверждается ФАКТИЧЕСКОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ «субъекта». Если, например, я говорю «все скряги эгоистичны», я имею в виду, что скряги ДЕЙСТВИТЕЛЬНО СУЩЕСТВУЮТ. Если бы я хотел избежать этого утверждения и просто изложить ЗАКОН, что скупость обязательно влечет за собой эгоизм, я бы сказал «ни один скряга не является неэгоистичным», что не утверждает, что какие-либо скряги вообще существуют, а лишь то, что, если бы они СУЩЕСТВОВАЛИ, они БЫЛИ БЫ эгоистичны.

Другое заключается в том, что, когда суждение начинается с «некоторые» или «ни один» и содержит более двух атрибутов, эти атрибуты могут быть переставлены и перемещены от одного термина к другому «ad libitum». Например, «некоторые abc — это def» могут быть переставлены как «некоторые bf — это acde», каждое из которых эквивалентно «некоторым вещам, которые являются abcdef». Опять же, «Ни один мудрый старик не является опрометчивым и безрассудным игроком» может быть переставлено как «Ни один опрометчивый старый игрок не является мудрым и безрассудным», каждое из которых эквивалентно «Ни один человек не является мудрым старым опрометчивым безрассудным игроком».

2. Силлогизмы

Теперь предположим, что мы делим наш универсум вещей тремя способами относительно трех различных атрибутов. Из этих трех атрибутов мы можем составить три различные пары (например, если бы они были a, b, c, мы могли бы составить три пары ab, ac, bc). Также предположим, что нам даны два суждения, содержащие две из этих трех пар, и что из них мы можем доказать третье суждение, содержащее третью пару. (Например, если мы делим наш универсум для m, x и y; и если нам даны два суждения «ни один m не является x'» и «все m' — это y», содержащие две пары mx и my, возможно, было бы возможно доказать из них третье суждение, содержащее x и y.)

В таком случае мы называем данные суждения «ПОСЫЛКАМИ», третье — «ЗАКЛЮЧЕНИЕМ», а весь набор — «СИЛЛОГИЗМОМ».

Очевидно, ОДИН из атрибутов должен встречаться в обеих посылках; иначе один должен встречаться в ОДНОЙ посылке, а его ПРОТИВОРЕЧИЕ — в другой.

В первом случае (когда, например, посылки — «некоторые m — это x» и «ни один m не является y'») термин, который встречается дважды, называется «СРЕДНИМ ТЕРМИНОМ», потому что он служит своего рода связующим звеном между двумя другими терминами.

Во втором случае (когда, например, посылки — «ни один m не является x'» и «все m' — это y») два термина, которые содержат эти противоречащие атрибуты, могут быть названы «СРЕДНИМИ ТЕРМИНАМИ».

Таким образом, в первом случае класс «m-вещей» является средним термином; а во втором случае два класса «m-вещей» и «m'-вещей» являются средними терминами.

Атрибут, который встречается в среднем термине или терминах, исчезает в заключении и, как говорят, «элиминируется», что буквально означает «выставлен за дверь».

Теперь давайте попробуем сделать заключение из двух посылок--

«Некоторые новые торты неполезны; Ни один вкусный торт не является неполезным».

Чтобы выразить их с помощью фишек, нам нужно разделить торты ТРЕМЯ различными способами относительно новизны, вкусности и полезности. Для этого мы должны использовать большую диаграмму, сделав x означающим «новые», y — «вкусные», а m — «полезные». (Все, что ВНУТРИ центрального квадрата, предполагается имеющим атрибут m, а все, что СНАРУЖИ него, — атрибут m', т. е. «не-m».)

Вам лучше принять правило делать m атрибутом, который встречается в СРЕДНЕМ термине или терминах. (Я выбрал m в качестве символа, потому что «middle» (средний) начинается с «m».)

Теперь, представляя две посылки, я предпочитаю начать с ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ (той, которая начинается с «ни один»), потому что СЕРЫЕ фишки всегда можно разместить с УВЕРЕННОСТЬЮ, и тогда они помогут зафиксировать положение красных фишек, которые иногда немного не уверены, где им будут больше всего рады.

Давайте выразим «ни один вкусный торт не является неполезным (тортом)», т. е. «ни один y-торт не является m'-(тортом)». Это говорит нам, что ни один из тортов, принадлежащих к y-половине шкафа, не находится в его m'-отделениях (т. е. тех, что снаружи центрального квадрата). Следовательно, два отделения, № 9 и № 15, оба «ПУСТЫ»; и мы должны поместить серую фишку в КАЖДОЕ из них, так:--

-----------|0 | || --|-- || | | | ||--|-----|--|| | | | || --|-- ||0 | |-----------

Теперь нам нужно выразить другую посылку, а именно: «некоторые новые торты неполезны (торты)», т. е. «некоторые x-торты — это m'-(торты)». Это говорит нам, что некоторые из тортов в x-половине шкафа находятся в его m'-отделениях. Следовательно, ОДНО из двух отделений, № 9 и № 10, «занято»: и, поскольку нам не говорят, в КАКОЕ из этих двух отделений поместить красную фишку, обычным правилом было бы положить ее на разделительную линию между ними: но в этом случае другая посылка решила дело за нас, объявив № 9 ПУСТЫМ. Следовательно, у красной фишки нет выбора, и она ДОЛЖНА пойти в № 10, так:--

-----------|0 | 1|| --|-- || | | | ||--|-----|--|| | | | || --|-- ||0 | |-----------

А теперь какие фишки позволит нам эта информация поместить в МЕНЬШУЮ диаграмму, чтобы получить какое-то суждение, включающее только x и y, исключая m? Давайте возьмем ее четыре отделения, одно за другим.

Во-первых, № 5. Все, что мы знаем об ЭТОМ, — это то, что его ВНЕШНЯЯ часть пуста: но мы ничего не знаем о его внутренней части. Таким образом, квадрат МОЖЕТ быть пустым, или он МОЖЕТ иметь что-то в себе. Кто может сказать? Поэтому мы не осмеливаемся поместить НИКАКУЮ фишку в этот квадрат.

Во-вторых, что насчет № 6? Здесь мы немного лучше осведомлены. Мы знаем, что в нем ЕСТЬ ЧТО-ТО, так как есть красная фишка в его внешней части. Правда, мы не знаем, пуста ли его внутренняя часть или занята: но что с ТОГО? Один-единственный торт в одном углу квадрата — вполне достаточное оправдание для того, чтобы сказать: «ЭТОТ КВАДРАТ ЗАНЯТ», и для того, чтобы пометить его красной фишкой.

Что касается № 7, мы в том же положении, что и с № 5 — мы находим его ЧАСТИЧНО «пустым», но мы не знаем, пуста ли другая часть или занята: поэтому мы не осмеливаемся пометить этот квадрат.

А что касается № 8, у нас просто нет никакой информации вообще.

Результат —

-------| | 1 ||---|---|| | |-------

Наше «заключение», таким образом, должно быть получено из довольно скудной информации о том, что в квадрате xy' есть красная фишка. Следовательно, наше заключение — «некоторые x — это y'», т. е. «некоторые новые торты не вкусные (торты)»: или, если вы предпочитаете взять y' в качестве своего субъекта, «некоторые не вкусные торты — новые (торты)»; но другое выглядит аккуратнее.

Теперь мы запишем весь силлагизм целиком, используя символ &there4[*] для обозначения «следовательно» и опуская слово «пирожные» в конце каждого суждения ради краткости.

[*][Примечание Бретта: Использование символа &there4 — выбор довольно произвольный. В обычной практике нет шрифта, который корректно отображал бы символ «следовательно» (три точки, расположенные треугольником). Однако это можно сделать в HTML, поэтому, если документ читается в браузере, символ будет распознан правильно. Это слабое оправдание.]

«Некоторые новые пирожные — невкусные; Ни одно хорошее пирожное не является невкусным; &there4 Некоторые новые пирожные — невкусные».

И вот вы успешно решили свой первый «СИЛЛАГИЗМ». Позвольте мне поздравить вас и выразить надежду, что это лишь начало долгой и славной череды подобных побед!

Мы разберем еще один силлагизм — немного посложнее предыдущего, — и тогда, я думаю, вас можно будет смело оставить играть в эту Игру самостоятельно или (что еще лучше) с любым другом, который способен и желает принять участие в этом занятии.

Давайте посмотрим, что можно сделать с двумя посылками:

«Все драконы — сверхъестественные; Все шотландцы — расчетливые».

Помните, я не гарантирую, что посылки являются ФАКТАМИ. Во-первых, я даже никогда не видел дракона; а во-вторых, для нас, как для ЛОГИКОВ, не имеет ни малейшего значения, истинны наши посылки или ложны: все, что МЫ должны сделать, — это выяснить, ВЕДУТ ЛИ ОНИ ЛОГИЧЕСКИ К ЗАКЛЮЧЕНИЮ, так чтобы, если ОНИ были истинны, ОНО было бы истинным тоже.

Видите ли, теперь мы должны отказаться от «пирожных», иначе наш шкафчик будет нам бесполезен. Мы должны взять в качестве нашего «универсума» какой-нибудь класс вещей, который включал бы в себя драконов и шотландцев: скажем, «животные»? И поскольку «расчетливые» — это, очевидно, атрибут, принадлежащий «средним терминам», пусть m обозначает «расчетливые», x — «драконы», а y — «шотландцы». Таким образом, наши две посылки в полном виде выглядят так:

«Все животные-драконы — сверхъестественные (животные); Все животные-шотландцы — расчетливые (животные)».

И их можно выразить, используя буквы вместо слов, следующим образом:

«Все x суть m'; Все y суть m».

Первая посылка, как вы уже знаете, состоит из двух частей:

«Некоторые x суть m'» и «Ни один x не есть m».

И вторая также состоит из двух частей:

«Некоторые y суть m» и «Ни один y не есть m'».

Давайте сначала возьмем отрицательные части.

Итак, нам нужно отметить на большой диаграмме сначала «ни один x не есть m», а затем «ни один y не есть m'». Думаю, вы без дальнейших объяснений увидите, что два результата по отдельности выглядят так:

----------- ----------- | | | |0 | | | --|-- | | --|-- | |0 | 0| | | | | | |--|--|--|--| |--|--|--|--| | | | | | | | | | | | --|-- | | --|-- | | | | |0 | | ----------- -----------

и что эти два результата при объединении дают нам

----------- |0 | | | --|-- | |0 | 0| | |--|--|--|--| | | | | | --|-- |0 | | -----------

Теперь нам нужно отметить две положительные части: «некоторые x суть m'» и «некоторые y суть m».

Единственные два отсека, доступные для вещей, которые являются xm', — это № 9 и № 10. Из них № 9 уже помечен как «пустой»; поэтому наша красная фишка должна отправиться в № 10.

Точно так же единственные два отсека, доступные для ym, — это № 11 и № 13. Из них № 11 уже помечен как «пустой»; поэтому наша красная фишка ДОЛЖНА отправиться в № 13.

Окончательный результат:

----------- |0 | 1| | --|-- | |0 | 0| | |--|--|--|--| | |1 | | | | --|-- |0 | | -----------

А теперь, какая часть этой информации может быть с пользой перенесена на меньшую диаграмму?

Давайте возьмем ее четыре отсека, один за другим.

Что касается № 5? Мы видим, что он полностью «пуст». (Поэтому отметьте его серой фишкой.)

Что касается № 6? Мы видим, что он «занят». (Поэтому отметьте его красной фишкой.)

Что касается № 7? То же самое.

Что касается № 8? Информации нет.

Меньшая диаграмма теперь довольно щедро размечена:

------- | 0 | 1 | |---|---| | 1 | | -------

И какой вывод мы можем из этого прочитать? Ну, невозможно упаковать столь обильную информацию в ОДНО суждение: на этот раз нам придется позволить себе ДВА.

Во-первых, взяв x в качестве субъекта, мы получаем «все x суть y'», то есть,

«Все драконы — не-шотландцы»:

во-вторых, взяв y в качестве субъекта, мы получаем «все y суть x'», то есть,

«Все шотландцы — не-драконы».

Давайте теперь запишем все вместе: наши две посылки и пару наших выводов.

«Все драконы — сверхъестественные; Все шотландцы — расчетливые. &there4 Все драконы — не-шотландцы; Все шотландцы — не-драконы».

Позвольте мне в заключение упомянуть, что вы, возможно, встретите логические трактаты, в которых не предполагается, что какая-либо вещь СУЩЕСТВУЕТ вообще, а под «некоторые x суть y» понимается «атрибуты x и y СОВМЕСТИМЫ, так что вещь может обладать обоими одновременно», а под «ни один x не есть y» — «атрибуты x и y НЕСОВМЕСТИМЫ, так что ничто не может обладать обоими одновременно».

В таких трактатах суждения имеют совсем не те значения, что в нашей «Игре логики», и будет полезно точно понять, в чем заключается разница.

Сначала возьмем «некоторые x суть y». Здесь МЫ понимаем «суть» как «суть, как реальный ФАКТ», что, конечно, подразумевает, что некоторые x-вещи СУЩЕСТВУЮТ. Но ОНИ (авторы этих других трактатов) понимают «суть» только как «МОГУТ быть», что вовсе не подразумевает, что что-то СУЩЕСТВУЕТ. Так что они имеют в виду МЕНЬШЕ, чем мы: наше значение включает их (ибо, конечно, «некоторые x СУТЬ y» включает «некоторые x МОГУТ БЫТЬ y»), но их значение НЕ включает наше. Например, «некоторые валлийские гиппопотамы — тяжелые» было бы ИСТИНОЙ согласно этим авторам (поскольку атрибуты «валлийский» и «тяжелый» вполне СОВМЕСТИМЫ у гиппопотама), но это было бы ЛОЖЬЮ в нашей Игре (поскольку нет валлийских гиппопотамов, которые БЫЛИ БЫ тяжелыми).

Во-вторых, возьмем «ни один x не есть y». Здесь МЫ понимаем «есть» только как «есть, как реальный ФАКТ», что вовсе не подразумевает, что ни один x НЕ МОЖЕТ быть y. Но ОНИ понимают суждение так, что не только ни один не ЕСТЬ y, но и ни один НЕ МОЖЕТ БЫТЬ y. Так что они имеют в виду больше, чем мы: их значение включает наше (ибо, конечно, «ни один x НЕ МОЖЕТ быть y» включает «ни один x НЕ ЕСТЬ y»), но наше НЕ включает их. Например, «ни один полицейский не имеет рост восемь футов» было бы ИСТИНОЙ в нашей Игре (поскольку, как реальный факт, таких великолепных экземпляров никогда не встречается), но это было бы ЛОЖЬЮ согласно этим авторам (поскольку атрибуты «принадлежащий к полиции» и «рост восемь футов» вполне СОВМЕСТИМЫ: нет ничего, что ПОМЕШАЛО БЫ полицейскому вырасти до такого роста, если его достаточно натереть маслом Макассар Роуленда — которое, как говорят, заставляет расти ВОЛОСЫ, если втирать его в волосы, и поэтому, конечно, заставит расти ПОЛИЦЕЙСКОГО, если втирать его в полицейского).

В-третьих, возьмем «все x суть y», которое состоит из двух частичных суждений: «некоторые x суть y» и «ни один x не есть y'». Здесь, конечно, трактаты имеют в виду МЕНЬШЕ, чем мы, в ПЕРВОЙ части и больше, чем мы, во ВТОРОЙ. Но эти две операции не уравновешивают друг друга — не больше, чем можно утешить человека, у которого сломали один из дымоходов, подарив ему лишнюю дверную ступеньку.

Если вы встретите силлагизмы такого рода, вы можете решить их довольно легко с помощью системы, которую я вам дал: вам нужно только сделать так, чтобы «суть» означало «СПОСОБНЫ быть», и все пойдет гладко. Ибо «некоторые x суть y» превратится в «некоторые x способны быть y», то есть «атрибуты x и y СОВМЕСТИМЫ». А «ни один x не есть y» превратится в «ни один x не способен быть y», то есть «атрибуты x и y НЕСОВМЕСТИМЫ». И, конечно, «все x суть y» превратится в «некоторые x способны быть y, и ни один не способен быть y'», то есть «атрибуты x и y СОВМЕСТИМЫ, а атрибуты x и y' НЕСОВМЕСТИМЫ». Используя диаграммы для этой системы, вы должны понимать красную фишку как «в этом отсеке ВОЗМОЖНО что-то есть», а серую — как «в этом отсеке НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ничего».

3. Логические ошибки.

И вот вы думаете, что главное применение логики в реальной жизни — это выводить заключения из рабочих посылок и убеждаться, что заключения, сделанные другими людьми, верны? Я бы хотел, чтобы это было так! Общество было бы гораздо менее подвержено панике и другим заблуждениям, а ПОЛИТИЧЕСКАЯ жизнь, в особенности, была бы совсем другим делом, если бы даже большинство аргументов, разбросанных по всему миру, были верны! Но, боюсь, все как раз наоборот. На ОДНУ рабочую пару посылок (я имею в виду пару, которая ведет к логическому заключению), которую вы встретите, читая газету или журнал, вы, вероятно, найдете ПЯТЬ, которые вообще не ведут ни к какому заключению; и даже когда посылки ЯВЛЯЮТСЯ рабочими, на ОДИН случай, когда автор делает правильный вывод, приходится, вероятно, ДЕСЯТЬ, когда он делает неправильный.

В первом случае вы можете сказать: «ПОСЫЛКИ ошибочны»; во втором: «ЗАКЛЮЧЕНИЕ ошибочно».

Главная польза, которую вы найдете в логическом навыке, которому может научить вас эта Игра, будет заключаться в обнаружении «ЛОГИЧЕСКИХ ОШИБОК» этих двух видов.

Первый вид логической ошибки — «ошибочные посылки» — вы обнаружите, когда, отметив их на большой диаграмме, попытаетесь перенести отметки на меньшую. Вы возьмете ее четыре отсека, один за другим, и спросите для каждого по очереди: «Какую отметку я могу поставить ЗДЕСЬ?»; и в КАЖДОМ из них ответом будет «Информации нет!», что показывает, что ЗАКЛЮЧЕНИЯ НЕТ ВОВСЕ. Например,

«Все солдаты — храбрые; Некоторые англичане — храбрые. &there4 Некоторые англичане — солдаты».

выглядит необычайно ПОХОЖИМ на силлагизм и может легко обмануть менее опытного логика. Но ВАС на такую уловку не поймать! Вы бы просто выписали посылки и затем спокойно заметили: «Ошибочные ПОСЫЛКИ!»; вы бы не снизошли до того, чтобы спрашивать, какой ВЫВОД автор претендовал сделать, — зная, что, ЧТО БЫ это ни было, это ДОЛЖНО быть неправильно. Вы были бы в такой же безопасности, как та мудрая мать, которая сказала: «Мэри, просто поднимись в детскую, посмотри, что делает малыш, И СКАЖИ ЕМУ, ЧТОБЫ ОН ЭТОГО НЕ ДЕЛАЛ!»

Другой вид логической ошибки — «ошибочное заключение» — вы не обнаружите, пока не отметите ОБЕ диаграммы, не прочитаете правильный вывод и не сравните его с выводом, который сделал автор.

Но помните, вы не должны говорить «ОШИБОЧНОЕ заключение» просто потому, что оно не ИДЕНТИЧНО правильному: оно может быть ЧАСТЬЮ правильного заключения и, таким образом, быть вполне верным, НАСКОЛЬКО ОНО ИДЕТ. В этом случае вы бы просто заметили с жалостливой улыбкой: «ДЕФЕКТИВНОЕ заключение!» Предположим, например, вы встретили такой силлагизм:

«Все бескорыстные люди — щедрые; Ни один скупой не является щедрым. &there4 Ни один скупой не является бескорыстным».

посылки которого можно выразить буквами так:

«Все x' суть m; Ни один y не есть m».

Здесь правильным выводом было бы «Все x' суть y'» (то есть «Все бескорыстные люди — не скупые»), в то время как вывод, сделанный автором, — «Ни один y не есть x'» (что то же самое, что «Ни один x' не есть y», и поэтому является ЧАСТЬЮ «Все x' суть y'»). Здесь вы бы просто сказали: «ДЕФЕКТИВНОЕ заключение!» То же самое произошло бы, если бы вы были в кондитерской, и вошел бы маленький мальчик, положил два пенса и триумфально ушел с одной булочкой за пенни. Вы бы печально покачали головой и заметили: «Дефективное заключение! Бедный малыш!» И, возможно, вы бы спросили молодую леди за прилавком, позволит ли она ВАМ съесть булочку, за которую мальчик заплатил и которую оставил; и, возможно, ОНА ответила бы: «Не позволю!»

Но если бы в приведенном выше примере автор сделал вывод «Все скупые — эгоисты» (то есть «Все y суть x»), это выходило бы ЗА ПРЕДЕЛЫ его законных прав (поскольку это утверждало бы СУЩЕСТВОВАНИЕ y, чего нет в посылках), и вы бы очень правильно сказали: «Ошибочное заключение!»

Теперь, когда вы будете читать другие трактаты по логике, вы встретите различные виды (так называемых) «логических ошибок», которые отнюдь не ВСЕГДА таковы. Например, если бы вы предложили одному из этих логиков пару посылок

«Ни один честный человек не обманывает; Ни один нечестный человек не заслуживает доверия».

и спросили бы его, какой вывод следует, он, вероятно, сказал бы: «Никакого! Ваши посылки нарушают ДВА различных правила и являются настолько ошибочными, насколько это вообще возможно!» Затем, предположим, вы были бы достаточно смелы, чтобы сказать: «Вывод — "Ни один человек, который обманывает, не заслуживает доверия"», я боюсь, ваш логический друг поспешно отвернулся бы — возможно, сердитый, возможно, просто презрительный: в любом случае результат был бы неприятным. Я СОВЕТУЮ ВАМ НЕ ПЫТАТЬСЯ ПРОВЕСТИ ЭТОТ ЭКСПЕРИМЕНТ!

«Но почему это так?» — скажете вы. — «Вы хотите сказать нам, что все эти логики неправы?» Отнюдь нет, дорогой Читатель! С ИХ точки зрения, они совершенно правы. Но они не включают в свою систему ничего похожего на ВСЕ возможные формы силлагизмов.

Они испытывают своего рода нервный страх перед атрибутами, начинающимися с отрицательной частицы. Например, такие суждения, как «Все не-x суть y», «Ни один x не есть не-y», находятся совершенно вне их системы. И таким образом, исключив (из чистого нервозного напряжения) множество очень полезных форм, они создали правила, которые, хотя и вполне применимы к тем немногим формам, которые они допускают, совершенно бесполезны, когда вы рассматриваете все возможные формы.

Давайте не будем ссориться с ними, дорогой Читатель! В мире достаточно места для нас обоих. Давайте спокойно возьмем нашу более широкую систему: и если они решат закрыть глаза на все эти полезные формы и сказать: «Они вообще не являются силлагизмами!», мы можем лишь отойти в сторону и позволить им Броситься навстречу своей Судьбе! Вряд ли есть что-то ваше, на что так опасно Бросаться, как на свою Судьбу. Вы можете Броситься на свои грядки с картофелем или клубникой, не причинив большого вреда: вы можете даже Броситься на свой балкон (если это не новый дом, построенный по контракту и без прораба) и пережить эту безрассудную затею: но если вы однажды Броситесь на свою СУДЬБУ — что ж, вы должны будете принять последствия!

ГЛАВА II.

ЗАПУТАННЫЕ ВОПРОСЫ.

«Человек в пустыне спросил меня: "Сколько клубники растет в море?"»

1. Элементарные.

1. Что такое «атрибут»? Приведите примеры.

2. Когда уместно ставить «есть» или «суть» между двумя именами? Приведите примеры.

3. Когда это НЕ уместно? Приведите примеры.

4. Когда это НЕ уместно, о каком простейшем соглашении нужно договориться, чтобы это стало уместным?

5. Объясните понятия «суждение», «термин», «субъект» и «предикат». Приведите примеры.

6. Что такое «частные» и «общие» суждения? Приведите примеры.

7. Дайте правило, позволяющее узнать, глядя на меньшую диаграмму, какие атрибуты принадлежат вещам в каждом отсеке.

8. Что означает «некоторые» в логике? [См. стр. 55, 6]

9. В каком смысле мы используем слово «универсум» в этой Игре?

10. Что такое «двойное» суждение? Приведите примеры.

11. Когда класс вещей считается «исчерпывающе» разделенным? Приведите примеры.

12. Объясните выражение «сидеть на заборе».

13. Какие два частичных суждения составляют, если их взять вместе, «все x суть y»?

14. Что такое «индивидуальные» суждения? Приведите примеры.

15. Какие виды суждений подразумевают в этой Игре СУЩЕСТВОВАНИЕ своих субъектов?

16. Когда суждение содержит более двух атрибутов, эти атрибуты могут в некоторых случаях быть переставлены и перенесены с одного термина на другой. В каких случаях это можно сделать? Приведите примеры.

__________

Разбейте каждое из следующих суждений на два частичных суждения:

17. Все тигры свирепы.

18. Все яйца, сваренные вкрутую, — невкусные.

19. Я счастлив.

20. Джона нет дома.

__________

[См. стр. 56, 7]

21. Дайте правило, позволяющее узнать, глядя на большую диаграмму, какие атрибуты принадлежат вещам, содержащимся в каждом отсеке.

22. Объясните понятия «посылки», «заключение» и «силлагизм». Приведите примеры.

23. Объясните выражения «средний термин» и «средние термины».

24. При разметке пары посылок на большой диаграмме почему лучше отмечать ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ суждения перед УТВЕРДИТЕЛЬНЫМИ?

25. Почему для нас, как для логиков, не имеет значения, истинны посылки или ложны?

26. Как мы можем решать силлагизмы, в которых нам говорят, что «некоторые x суть y» следует понимать как «атрибуты x и y СОВМЕСТИМЫ», а «ни один x не есть y» — как «атрибуты x и y НЕСОВМЕСТИМЫ»?

27. Какие существуют два вида «логических ошибок»?

28. Как мы можем обнаружить «ошибочные посылки»?

29. Как мы можем обнаружить «ошибочное заключение»?

30. Иногда заключение, предлагаемое нам, не идентично правильному заключению, и все же его нельзя справедливо назвать «ошибочным». Когда это происходит? И какое название мы можем дать такому заключению?

[См. стр. 57-59]

2. Половина меньшей диаграммы.

Суждения, которые нужно представить.

----------- | | | | x | | | --y-----y'-

__________

1. Некоторые x суть не-y.

2. Все x суть не-y.

3. Некоторые x суть y, а некоторые суть не-y.

4. Ни один x не существует.

5. Некоторые x существуют.

6. Ни один x не есть не-y.

7. Некоторые x суть не-y, и некоторые x существуют.

__________

Принимая x = «судьи»; y = «справедливые»;

8. Ни один судья не является справедливым.

9. Некоторые судьи — несправедливые.

10. Все судьи — справедливые.

__________

Принимая x = «сливы»; y = «полезные»;

11. Некоторые сливы — полезные.

12. Нет полезных слив.

13. Сливы: некоторые из них полезные, а некоторые нет.

14. Все сливы — вредные.

[См. стр. 59, 60]

----- | | | x | | | |--y--| | | | x' | | -----

__________

Принимая y = «прилежные студенты»; x = «успешные»;

15. Ни один прилежный студент не является неуспешным.

16. Все прилежные студенты — успешные.

17. Ни один студент не является прилежным.

18. Есть некоторые прилежные, но неуспешные студенты.

19. Некоторые студенты — прилежные.

[См. стр. 60, 1]

3. Половина меньшей диаграммы.

Символы, которые нужно интерпретировать.

__________

----------- | | | | x | | | --y-----y'-

__________

------- ------- | | | | | | 1. | | 0 | 2. | 0 | 0 | | | | | | | ------- -------

------- ------- | | | | | | 3. | - | 4. | 0 | 1 | | | | | | | ------- -------

__________

Принимая x = «хорошие загадки»; y = «трудные»;

------- ------- | | | | | | 5. | 1 | | 6. | 1 | 0 | | | | | | | ------- -------

------- ------- | | | | | | 7. | 0 | 0 | 8. | 0 | | | | | | | | ------- -------

__________

[См. стр. 61, 2]

Принимая x = «омар»; y = «эгоистичный»;

------- ------- | | | | | | 9. | | 1 | 10. | 0 | | | | | | | | ------- -------

------- ------- | | | | | | 11. | 0 | 1 | 12. | 1 | 1 | | | | | | | ------- -------

__________

----- | | x | | | |--y'-| | | x' | | -----

Принимая y = «здоровые люди»; x = «счастливые»;

--- --- --- --- | 0 | | | | 1 | | 0 | 13. |---| 14. |-1-| 15. |---| 16. |---| | 1 | | | | 1 | | | --- --- --- ---

[См. стр. 62]

4. Меньшая диаграмма.

Суждения, которые нужно представить.

----------- | | | | x | | |--y--|--y'-| | x' | | | | -----------

__________

1. Все y суть x.

2. Некоторые y суть не-x.

3. Ни один не-x не есть не-y.

4. Некоторые x суть не-y.

5. Некоторые не-y суть x.

6. Ни один не-x не есть y.

7. Некоторые не-x суть не-y.

8. Все не-x суть не-y.

9. Некоторые не-y существуют.

10. Ни один не-x не существует.

11. Некоторые y суть x, а некоторые суть не-x.

12. Все x суть y, и все не-y суть не-x.

[См. стр. 62, 3]

Принимая «нации» как универсум; x = «цивилизованные»; y = «воинственные»;

13. Ни одна нецивилизованная нация не является воинственной.

14. Все невоинственные нации — нецивилизованные.

15. Некоторые нации — невоинственные.

16. Все воинственные нации — цивилизованные, и все цивилизованные нации — воинственные.

17. Ни одна нация не является нецивилизованной.

__________

Принимая «крокодилы» как универсум; x = «голодные»; y = «дружелюбные»;

18. Все голодные крокодилы — недружелюбные.

19. Ни один крокодил не является дружелюбным, когда он голоден.

20. Некоторые крокодилы, когда не голодны, — дружелюбные; но некоторые — нет.

21. Ни один крокодил не является дружелюбным, и некоторые — голодные.

22. Все крокодилы, когда не голодны, — дружелюбные; и все недружелюбные крокодилы — голодные.

23. Некоторые голодные крокодилы — дружелюбные, а некоторые, которые не голодны, — недружелюбные.

[См. стр. 63, 4]

5. Меньшая диаграмма.

Символы, которые нужно интерпретировать.

__________

----------- | | | | x | | |--y--|--y'-| | x' | | | | -----------

__________

------- ------- | | | | | | 1. |---|---| 2. |---|---| | 1 | | | | 0 | ------- -------

------- ------- | | 1 | | | | 3. |---|---| 4. |---|---| | | 0 | | 0 | 0 | ------- -------

__________

Принимая «дома» как универсум; x = «построенные из кирпича»; y = «двухэтажные»; интерпретируйте

------- ------- | 0 | | | | | 5. |---|---| 6. |---|---| | 0 | | | - | ---|---

------- ------- | | 0 | | | | 7. |---|---| 8. |---|---| | | | | 0 | 1 | ------- -------

[См. стр. 65]

Принимая «мальчики» как универсум; x = «толстые»; y = «активные»; интерпретируйте

------- ------- | 1 | 1 | | | 0 | 9. |---|---| 10. |---|---| | | | | | 1 | ------- -------

------- ------- | 0 | 1 | | 1 | | 11. |---|---| 12. |---|---| | | 0 | | 0 | 1 | ------- -------

__________

Принимая «кошки» как универсум; x = «зеленоглазые»; y = «добродушные»; интерпретируйте

------- ------- | 0 | 0 | | | 1 | 13. |---|---| 14. |---|---| | | 0 | | 1 | | ------- -------

------- ------- | 1 | | | 0 | 1 | 15. |---|---| 16. |---|---| | | 0 | | 1 | 0 | ------- -------

[См. стр. 65, 6]

6. Большая диаграмма.

Суждения, которые нужно представить.

__________

----------- | | | | --x-- | | | | | | |--y--m--y'-| | | | | | | --x'- | | | | -----------

__________

1. Ни один x не есть m.

2. Некоторые y суть m'.

3. Все m суть x'.

4. Ни один m' не есть y'.

5. Ни один m не есть x; Все y суть m.

6. Некоторые x суть m; Ни один y не есть m.

7. Все m суть x'; Ни один m не есть y.

8. Ни один x' не есть m; Ни один y' не есть m'.

[См. стр. 67, 8]

Принимая «кролики» как универсум; m = «жадные»; x = «старые»; y = «черные»; представьте

9. Ни один старый кролик не является жадным.

10. Некоторые нежадные кролики — черные.

11. Все белые кролики свободны от жадности.

12. Все жадные кролики — молодые.

13. Ни один старый кролик не является жадным; Все черные кролики — жадные.

14. Все кролики, которые не жадные, — черные; Ни один старый кролик не свободен от жадности.

__________

Принимая «птицы» как универсум; m = «которые поют громко»; x = «хорошо накормленные»; y = «счастливые»; представьте

15. Все хорошо накормленные птицы поют громко; Ни одна птица, которая поет громко, не является несчастной.

16. Все птицы, которые не поют громко, — несчастные; Ни одна хорошо накормленная птица не перестает петь громко.

__________

Принимая «люди» как универсум; m = «в доме»; x = «Джон»; y = «страдающий зубной болью»; представьте

17. Джон в доме; Каждый в доме страдает от зубной боли.

18. В доме никого нет, кроме Джона; Никто вне дома не имеет зубной боли.