«Четвертое измерение»

Fig. 4 (132).

Очевидно, у нас будет просто квадрат, который находится в плоскости xz, квадрат ACDB. Остальная часть куба простирается в направлении y, и, поскольку у нас нет пространства, так определенного, у нас есть только грань куба. Это представлено на рис. 4.

Теперь предположим, что весь куб поворачивается из направления x в направление w. Сообразно с нашим методом, мы не будем принимать во внимание весь куб сразу, а начнем с грани ABCD.

Fig. 5 (133).

Пусть эта грань начнет поворачиваться. Рис. 5 представляет одно из положений, которое она займет; линия AB остается на оси z. Остальная часть грани простирается между направлением x и w.

Теперь, поскольку мы можем взять любые три оси, давайте посмотрим на то, что лежит в пространстве zyw, и исследуем поворот там. Мы должны теперь позволить оси z исчезнуть и позволить оси w проходить в направлении, в котором шла z.

Fig. 6 (134).

Делая это представление, что мы видим от куба? Очевидно, мы видим только нижнюю грань. Остальная часть куба лежит в пространстве xyz. В пространстве xyz у нас просто основание куба, лежащее в плоскости xy, как показано на рис. 6.

Теперь пусть произойдет поворот x в w. Квадрат ACEG повернется вокруг линии AE. Это ребро останется вдоль оси y и будет неподвижным, как бы далеко ни поворачивался квадрат.

Fig. 7 (135).

Таким образом, если куб поворачивается поворотом x в w, оба ребра AB и AC остаются неподвижными; следовательно, вся грань ABEF в плоскости yz остается фиксированной. Поворот произошел вокруг грани ABEF.

Предположим, что этот поворот продолжается, пока AC не пойдет влево от A. Куб займет положение, показанное на рис. 8. Это зеркальное изображение куба на рис. 3. Никаким вращением в трехмерном пространстве куб нельзя привести из положения на рис. 3 к тому, что показано на рис. 8.

Fig. 8 (136).

Мы можем думать об этом повороте как о повороте грани ABCD вокруг AB и повороте каждого сечения, параллельного ABCD, вокруг вертикальной линии, в которой оно пересекает грань ABEF, причем пространство, в котором происходит поворот, является другим, нежели то, в котором лежит куб.

Одним из условий, таким образом, нашего исследования в направлении бесконечно малого является то, что мы формируем концепцию вращения вокруг плоскости. Создание тела в состоянии, в котором оно представляет появление зеркального изображения своего прежнего состояния, является критерием для четырехмерного вращения.

Существует некоторое свидетельство возникновения таких трансформаций тел в изменении тел от тех, которые производят правостороннюю поляризацию света, к тем, которые производят левостороннюю поляризацию; но это не тот пункт, которому можно придать очень большое значение.

Тем не менее, в этой связи позвольте мне процитировать замечание из обращения проф. Джона Г. Маккендрика по физиологии перед Британской ассоциацией в Глазго. Обсуждая возможность наследственного производства характеристик через материальную структуру яйцеклетки, он оценивает, что в ней существует 12 000 000 000 биофоров, или предельных частиц живой материи, достаточное число, чтобы объяснить наследственную передачу, и замечает: «Таким образом, мыслимо, что жизненные активности могут также определяться видом движения, которое происходит в молекулах того, о чем мы говорим как о живой материи. Оно может быть иным по виду, чем некоторые из движений, известных физикам, и мыслимо, что жизнь может быть передачей мертвой материи, молекулы которой уже имеют особый вид движения, формы движения sui generis».

В мире органических существ симметричные структуры — те, что обладают право-левой симметрией, — встречаются повсеместно. Если допустить существование четырех измерений, то простейший поворот дает зеркальную форму, а путем складывания можно получить структуры, дублированные справа и слева, точно так же, как это происходит с симметрией на плоскости.

Таким образом, одну весьма общую характеристику форм организмов можно объяснить предположением, что в жизненном процессе задействовано четырехмерное движение.

Но соответствуют ли четырехмерные движения в других отношениях требованию физиологов к особому виду движения, я не знаю. Наша задача — рассмотреть доказательства их существования в физике. Для этой цели необходимо исследовать значение вращения вокруг плоскости в случае растяжимой и жидкой материи.

Остановимся еще немного на вращении твердого тела. Глядя на куб на рис. 3, который вращается вокруг грани ABFE, мы видим, что любая линия на этой грани может занять место вертикальных и горизонтальных линий, которые мы рассматривали. Возьмем диагональную линию AF и сечение через нее до GH. Те части материи, которые в этом сечении на рис. 3 находились по одну сторону от AF, на рис. 8 находятся по другую сторону от нее. Они совершили оборот вокруг линии AF. Таким образом, вращение вокруг грани можно рассматривать как ряд вращений сечений вокруг параллельных линий, лежащих на ней.

Вращение вокруг двух различных линий в трехмерном пространстве невозможно. Возьмем другую иллюстрацию: предположим, что A и B — две параллельные линии в плоскости xy, и пусть CD и EF — два стержня, пересекающие их. Теперь, в пространстве xyz, если стержни вращаются вокруг линий A и B в одном и том же направлении, они опишут два независимых круга.

Fig. 9 (137).

Когда конец F будет опускаться, конец C будет подниматься. Они встретятся и столкнутся.

Но если мы будем вращать стержни вокруг плоскости AB посредством вращения z в w, эти движения не будут конфликтовать. Предположим, что вся фигура удалена, за исключением плоскости xz, и из этой плоскости проведем ось w, так что мы будем смотреть на пространство xzw.

Здесь, на рис. 10, мы не видим линий A и B. Мы видим точки G и H, в которых A и B пересекают ось x, но мы не видим сами линии, так как они проходят в направлении y, а оно отсутствует на нашем чертеже.

Теперь, если стержни движутся с вращением z в w, они будут поворачиваться в параллельных плоскостях, сохраняя свое относительное положение. Точка D, например, опишет круг. В одно время она будет над линией A, в другое — под ней. Следовательно, она вращается вокруг A.

Fig. 10 (138).

Не только два стержня, но и любое количество стержней, пересекающих плоскость, будут гармонично двигаться вокруг нее. Мы можем представить себе это вращение, предположив, что стержни, стоящие вдоль одной линии, движутся вокруг этой линии, и помня, что этому вращению не противоречит то, что стержни, стоящие вдоль другой линии, также движутся вокруг нее, при этом относительное положение всех стержней сохраняется. Теперь, если стержни плотно прижаты друг к другу, они могут представлять собой диск материи, и мы видим, что диск материи может вращаться вокруг центральной плоскости.

Вращение вокруг плоскости в точности аналогично вращению вокруг оси в трех измерениях. Если мы хотим, чтобы стержень вращался, его концы должны быть свободны; так и если мы хотим, чтобы диск материи вращался вокруг своей центральной плоскости посредством четырехмерного поворота, весь контур должен быть свободен. Весь контур соответствует концам стержня. Каждую точку контура можно рассматривать как конец оси в теле, вокруг каждой точки которой происходит вращение материи в диске.

Если один конец стержня зажат, мы можем скрутить стержень, но не повернуть его; так и если какая-либо часть контура диска зажата, мы можем придать диску кручение, но не повернуть его вокруг центральной плоскости. В случае растяжимых материалов длинный тонкий стержень будет скручиваться вокруг своей оси, даже если ось изогнута, как, например, в случае кольца из индийской резины.

Аналогичным образом, в четырех измерениях мы можем иметь вращение вокруг изогнутой плоскости, если можно так выразиться. Сферу можно вывернуть наизнанку в четырех измерениях.

Fig. 11 (139).

Пусть рис. 11 представляет сферическую поверхность, по обе стороны которой существует слой материи. Толщина материи представлена стержнями CD и EF, выступающими одинаково наружу и внутрь.

Теперь возьмем сечение сферы плоскостью yz — мы получим круг (рис. 12). Теперь пусть ось w будет проведена вместо оси x, так что мы получим представленное пространство yzw. В этом пространстве все, что будет видно от сферы, — это нарисованный круг.

Fig. 12 (140).

Здесь мы видим, что нет препятствий, мешающих стержням вращаться. Если материя достаточно эластична, чтобы податься настолько, чтобы частицы в E и C разделились так же, как они разделены в F и D, они могут вращаться до положения D и F, и аналогичное движение возможно для всех остальных частиц. Нет никакой материи или препятствия, которые мешали бы им двигаться наружу в направлении w, а затем вокруг окружности как оси. Теперь, то, что справедливо для одного сечения, будет справедливо для всех, так как четвертое измерение перпендикулярно всем сечениям, которые можно сделать из сферы.

Мы предположили, что материя, из которой состоит сфера, является трехмерной. Если бы материя имела небольшую толщину в четвертом измерении, на рис. 12 была бы небольшая толщина над плоскостью бумаги — толщина, равная толщине материи в четвертом измерении. Стержни пришлось бы заменить тонкими пластинами. Но это не изменило бы возможности вращения. Это движение обсуждается Ньюкомом в первом томе «Американского журнала математики».

Рассмотрим теперь не просто растяжимое тело, а жидкое. Масса вращающейся жидкости, водоворот, вихрь или тор обладает многими замечательными свойствами. При первом рассмотрении мы ожидали бы, что вращающаяся масса жидкости немедленно рассеется и растворится в окружающей жидкости. Вода слетает с вращающегося колеса, и мы ожидали бы, что вращающаяся жидкость рассеется. Но посмотрите, как странно устойчивы водовороты в реке. Кольца, которые возникают в клубах дыма и существуют так долго, — это вихри, изогнутые так, что их противоположные концы соединяются. Циклон может преодолевать огромные расстояния.

Гельмгольц первым исследовал свойства вихрей. Он изучал их так, как они возникали бы в идеальной жидкости — то есть в жидкости без трения одной движущейся части о другую. В такой среде вихри были бы неразрушимы. Они существовали бы вечно, меняя свою форму, но всегда состояли бы из одной и той же части жидкости. Но прямой вихрь не мог бы существовать, будучи полностью окруженным жидкостью. Концы вихря должны достигать какой-либо границы внутри или вне жидкости.

Вихрь, который изогнут так, что его противоположные концы соединяются, способен существовать, но ни один вихрь не имеет свободного конца в жидкости. Жидкость вокруг вихря всегда находится в движении, и один вихрь создает определенное движение в другом.

Лорд Кельвин выдвинул гипотезу, что части жидкости, обособленные в вихри, объясняют происхождение материи. Свойства эфира в отношении его способности распространять возмущения можно объяснить предположением о наличии в нем вихрей, а не свойством жесткости. Однако трудно представить себе какое-либо расположение вихревых колец и бесконечных вихревых нитей в эфире.

Теперь дальнейшее рассмотрение четырехмерных вращений показывает существование такого вида вихря, который сделал бы эфир, наполненный однородным вихревым движением, легко представимым.

Чтобы понять природу этого вихря, мы должны сделать шаг, принимая полное значение четырехмерной гипотезы. Допустив наличие четырехмерных осей, мы увидели, что вращение одной в другую оставляет две другие неизменными, и эти две образуют осевую плоскость, вокруг которой происходит вращение. Но как насчет этих двух? Обязательно ли они остаются неподвижными? Ничто не мешает вращению этих двух, одной в другую, происходящему одновременно с первым вращением. Эта возможность двойного вращения заслуживает самого пристального внимания, ибо это тот вид движения, который отчетливо характерен для четырех измерений.

Вращение вокруг плоскости аналогично вращению вокруг оси. Но в трехмерном пространстве нет движения, аналогичного двойному вращению, при котором, пока ось 1 переходит в ось 2, ось 3 переходит в ось 4.

Рассмотрим четырехмерное тело с четырьмя независимыми осями: x, y, z, w. Точка в нем может двигаться только в одном направлении в данный момент. Если тело обладает скоростью вращения, при которой ось x переходит в ось y, а все параллельные сечения движутся аналогичным образом, то точка опишет круг. Если теперь, в дополнение к вращению, при котором ось x переходит в ось y, тело совершает вращение, при котором ось z переходит в ось w, то рассматриваемая точка будет иметь двойное движение вследствие двух поворотов. Движения сложатся, и точка опишет круг, но не тот же самый круг, который она описала бы в силу каждого вращения в отдельности.

Мы знаем, что если телу в трехмерном пространстве придать два вращательных движения, они объединятся в единое вращательное движение вокруг определенной оси. Оно находится в том же состоянии, что и при одном вращательном движении. Направление оси меняется — вот и все. Это неверно для четырехмерного тела. Два вращения, x в y и z в w, независимы. Тело, подверженное обоим, находится в совершенно ином состоянии, чем когда оно подвержено только одному. Когда оно подвержено вращению, такому как x в y, целая плоскость в теле, как мы видели, остается неподвижной. Когда оно подвержено двойному вращению, никакая часть тела не остается неподвижной, кроме точки, общей для двух плоскостей вращения.

Если два вращения равны по скорости, каждая точка тела описывает круг. Все точки, равноудаленные от неподвижной точки, описывают круги одинакового размера.

Мы можем представить четырехмерную сферу с помощью двух диаграмм, в одной из которых мы берем три оси: x, y, z; в другой — оси x, w и z. На рис. 13 мы видим четырехмерную сферу в пространстве xyz. Рис. 13 показывает все, что мы можем видеть от четырехмерной сферы в пространстве xyz, ибо он представляет все точки в этом пространстве, которые находятся на равном расстоянии от центра.

Возьмем теперь сечение xz и пусть ось w займет место оси y. Здесь, на рис. 14, мы имеем пространство xzw. В этом пространстве мы должны взять все точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра, следовательно, мы получаем другую сферу. Если бы у нас была трехмерная сфера, как было показано ранее, мы имели бы просто круг в пространстве xzw — круг xz, видимый в пространстве xzw. Но теперь, рассматривая вид в пространстве xzw, мы имеем сферу и в этом пространстве. Аналогичным образом, какой бы набор из трех осей мы ни взяли, мы получаем сферу.

Showing axes xyz

Fig. 13 (141).

Showing axes xwz

Fig. 14 (142).

На рис. 13 представим, что происходит вращение в направлении xy. Точка x повернется к y, а p — к p'. Ось zz' остается неподвижной, и эта ось — это все, что мы можем видеть от плоскости zw в пространственном сечении, представленном на рисунке.

На рис. 14 представим, что происходит вращение от z к w. Ось w теперь занимает положение, ранее занимаемое осью y. Это не означает, что ось w может совпадать с осью y. Это указывает на то, что мы смотрим на четырехмерную сферу с другой точки зрения. Любой вид в трехмерном пространстве покажет нам три оси, и на рис. 14 мы смотрим на xzw.

Единственная часть, которая идентична на двух диаграммах, — это круг осей x и z, которые содержатся в обеих диаграммах. Таким образом, плоскость zxz' одна и та же в обоих случаях, и точка p представляет одну и ту же точку на обеих диаграммах. Теперь, на рис. 14, пусть произойдет вращение zw: ось z повернется к точке w оси w, а точка p будет двигаться по кругу вокруг точки x.

Таким образом, на рис. 13 точка p движется по кругу, параллельному плоскости xy; на рис. 14 она движется по кругу, параллельному плоскости zw, как показано стрелкой.

Теперь предположим, что оба этих независимых вращения сложены: точка p будет двигаться по кругу, но этот круг не будет совпадать ни с одним из кругов, в которые ее привело бы любое из вращений по отдельности. Круг, по которому будет двигаться точка p, будет зависеть от ее положения на поверхности четырехмерной сферы.

В этом двойном вращении, возможном в четырехмерном пространстве, существует вид движения, совершенно не похожий ни на что, с чем мы знакомы в трехмерном пространстве. Чтобы определить, проявляют ли малые частицы материи характеристики четырехмерных движений, необходимо предварительно ознакомиться с основными характеристиками этого двойного вращения. И здесь я должен полагаться на формальное и логическое согласие, а не на интуитивное понимание, которое может быть получено только путем более детального изучения.

Во-первых, это двойное вращение состоит из двух разновидностей или видов, которые мы назовем видами A и B. Рассмотрим четыре оси: x, y, z, w. Вращение x в y может сопровождаться вращением z в w. Назовем это видом A.

Но также вращение x в y может сопровождаться вращением не z в w, а w в z. Назовем это видом B.

Они различаются только одним из составляющих вращений. Одно не является отрицанием другого. Это полуотрицание. Противоположностью вращения x в y, z в w было бы y в x, w в z. Полуотрицание — это x в y и w в z.

Если четыре измерения существуют, а мы не можем их воспринимать, потому что протяженность материи в четвертом измерении настолько мала, что все движения скрыты от прямого наблюдения, за исключением тех, что являются трехмерными, мы не должны наблюдать эти двойные вращения, а только их эффекты в трехмерных движениях того типа, с которым мы знакомы.

Если материя в своих малых частицах четырехмерна, мы должны ожидать, что это двойное вращение будет универсальной характеристикой атомов и молекул, ибо ни одна часть материи не находится в покое. Последствия этого корпускулярного движения можно наблюдать, но только в форме обычного вращения или смещения. Таким образом, если теория четырех измерений верна, то в корпускулах материи мы имеем целый мир движения, который мы никогда не сможем изучить напрямую, а только путем умозаключений.

Вращение A, как я его определил, состоит из двух равных вращений — одного вокруг плоскости zw, другого вокруг плоскости xy. Очевидно, что эти вращения не обязательно равны. Тело может двигаться с двойным вращением, в котором эти два независимых компонента не равны; но в таком случае мы можем считать, что тело движется с составным вращением — вращением вида A или B и, в дополнение, вращением вокруг плоскости.

Если мы объединим движение A и B, мы получим вращение вокруг плоскости; ибо, поскольку первое есть x в y и z в w, а второе — x в y и w в z, при их сложении вращения z в w и w в z нейтрализуют друг друга, и мы получаем только вращение x в y, которое является вращением вокруг плоскости zw. Аналогично, если мы возьмем вращение B, y в x и z в w, мы получим, объединив его с вращением A, вращение z в w вокруг плоскости xy. В этом случае плоскость вращения находится в трехмерном пространстве xyz, и мы имеем — то, что было описано ранее, — скручивание вокруг плоскости в нашем пространстве.

Рассмотрим теперь часть идеальной жидкости, совершающую движение A. Можно доказать, что она обладает свойствами вихря. Она образует постоянную индивидуальность — обособленную часть жидкости, — сопровождаемую движением окружающей жидкости. Она обладает свойствами, аналогичными свойствам вихревой нити. Но для ее существования не обязательно, чтобы ее концы достигали границы жидкости. Она самодостаточна и, если ее не тревожить, кругла в каждом сечении.

Fig. 15 (143).

Если мы предположим, что эфир обладает своими свойствами передачи вибрации благодаря таким вихрям, мы должны спросить, как они располагаются в четырехмерном пространстве. Поместив круглый диск на плоскость и окружив его шестью другими, мы обнаружим, что если центральному придать вращательное движение, оно передает другим вращение, которое является антагонистичным в каждых двух соседних. Если A вращается, как показано стрелкой, B и C будут двигаться противоположными путями, и каждый стремится уничтожить движение другого.

Теперь, если мы предположим, что сферы расположены аналогичным образом в трехмерном пространстве, они будут сгруппированы в фигуры, которые для трехмерного пространства являются тем же, чем шестиугольники для плоскости. Если сжать вместе несколько сфер из мягкой глины так, чтобы заполнить промежутки, каждая примет форму четырнадцатигранной фигуры, называемой тетрадекаэдром.

Теперь, предполагая, что пространство заполнено такими тетрадекаэдрами, и помещая сферу в каждый из них, можно обнаружить, что одна сфера касается восьми других. Остальные шесть сфер из четырнадцати, окружающих центральную, не будут касаться ее, но будут касаться трех из тех, что находятся с ней в контакте. Следовательно, если центральная сфера вращается, она не обязательно будет приводить в движение окружающие ее так, что их движения будут антагонистичны друг другу, но скорости не расположатся систематическим образом.

В четырехмерном пространстве фигура, которая образует следующий член ряда шестиугольник, тетрадекаэдр, является тридцатигранной фигурой. Ее гранями являются десять твердых тетрадекаэдров и двадцать шестиугольных призм. Такие фигуры точно заполнят четырехмерное пространство, причем пять из них сходятся в каждой точке. Если теперь в каждой из этих фигур мы предположим, что помещена твердая четырехмерная сфера, любая сфера окружена тридцатью другими. Из них она касается десяти, и, если она вращается, она приводит в движение остальные посредством этих десяти. Теперь, если мы представим, что центральной сфере придано вращение A или B, она будет поворачивать всю массу сфер систематическим образом. Предположим, что четырехмерное пространство заполнено такими сферами, каждая из которых вращается с двойным вращением; вся масса образовала бы одну согласованную систему движения, в которой каждая сфера приводила бы в движение любую другую без трения или отставания.

Каждая сфера имела бы одинаковый вид вращения. В трехмерном пространстве, если одно тело приводит в движение другое, второе тело вращается с противоположным видом вращения; но в четырехмерном пространстве каждая из этих четырехмерных сфер имела бы двойное отрицание вращения соседней, а мы видели, что двойное отрицание вращения A или B по-прежнему является вращением A или B. Таким образом, четырехмерное пространство могло бы быть заполнено системой самосохраняющейся живой энергии. Если мы представим, что четырехмерные сферы состоят из жидкой, а не твердой материи, то, даже если бы жидкость была не совсем идеальной и существовал бы небольшой замедляющий эффект одного вихря на другой, система все равно поддерживала бы себя.

В этой гипотезе мы должны рассматривать эфир как обладающий энергией, а его передачу вибраций — не как перенос движения, сообщенного извне, а как модификацию его собственного движения.

Теперь мы владеем некоторыми концепциями четырехмерной механики и отвлечемся от линии их развития, чтобы узнать, есть ли какие-либо доказательства их применимости к процессам природы.

Существует ли какой-либо способ движения в области малого, который, давая трехмерные движения в качестве своего эффекта, все же сам по себе ускользает от охвата наших механических теорий? Я бы указал на электричество. Благодаря трудам Фарадея и Максвелла мы убеждены, что явления электричества имеют природу напряжения и деформации среды; но в их объяснении все еще остается пробел, который нужно преодолеть: законы упругости, которые предполагает Максвелл, — это не законы обычной материи. И, чтобы привести другой пример: магнитный полюс вблизи тока стремится двигаться. Максвелл показал, что давления на него аналогичны скоростям в жидкости, которые существовали бы, если бы вихрь занял место электрического тока: но мы не можем указать определенное механическое объяснение этих давлений. Должен существовать какой-то способ движения тела или среды, в силу которого тело называется электризованным.

Возьмем ионы, которые переносят заряды электричества в 500 раз большие по отношению к их массе, чем те, что переносятся молекулами водорода при электролизе. В отношении какого движения можно сказать, что эти ионы электризованы? Можно показать, что энергия, которой они обладают, не является энергией вращения. Подумайте о коротком вращающемся стержне. Если его перевернуть, обнаружится, что он вращается в противоположном направлении. Теперь, если вращение в одном направлении соответствует положительному электричеству, вращение в противоположном направлении соответствует отрицательному электричеству, и мельчайшие электризованные частицы меняли бы свои заряды при переворачивании — абсурдное предположение.

Если мы остановимся на способе движения как определении электричества, мы должны иметь две его разновидности, одну для положительного и одну для отрицательного; и тело, обладающее одним видом, не должно приобретать другой при любом изменении своего положения.

Все трехмерные движения состоят из вращений и трансляций, и ни одно из них не удовлетворяет этому первому условию для использования в качестве определения электричества.

Но рассмотрим двойное вращение видов A и B. Тело, вращающееся с движением A, не может изменить свое движение на вид B при переворачивании каким-либо образом. Предположим, тело имеет вращение x в y и z в w. Поворачивая его вокруг плоскости xy, мы меняем направление движения x в y на противоположное. Но мы также меняем движение z в w, ибо точка на конце положительной оси z теперь находится на конце отрицательной оси z, и, поскольку мы не вмешивались в ее движение, она идет в направлении положительного w. Следовательно, мы имеем y в x и w в z, что то же самое, что x в y и z в w. Таким образом, оба компонента меняются на противоположные, и мы снова имеем движение A. Вид B — это полуотрицание, с изменением на противоположное только одного компонента.

Следовательно, система молекул с движением A не уничтожала бы его друг в друге и передавала бы его телу, находящемуся с ними в контакте. Таким образом, движения A и B обладают первым требованием, которое должно предъявляться к любому способу движения, представляющему электричество.

Проследим последствия определения положительного электричества как движения A, а отрицательного — как движения B. Сочетание положительного и отрицательного электричества создает ток. Представьте вихрь в эфире вида A и соедините с ним вихрь вида B. Движение A и движение B создают вращение вокруг плоскости, которое в эфире является вихрем вокруг осевой поверхности. Это вихрь того вида, который мы представляем как часть сферы, выворачивающейся наизнанку. Теперь такой вихрь должен иметь свой край на границе эфира — на теле в эфире.

Предположим, что проводник — это тело, обладающее свойством служить концевой опорой такого вихря. Тогда концепция, которую мы должны сформировать о замкнутом токе, — это вихревой слой, край которого проходит вдоль контура проводящего провода. Весь провод тогда будет подобен центрам, на которых вращается шпиндель в трехмерном пространстве, и любое прерывание непрерывности провода создаст натяжение вместо непрерывного вращения.

Поскольку направление вращения вихря идет из трехмерного направления в четвертое измерение и обратно, у тока не будет направления потока; но он будет иметь две стороны, в зависимости от того, идет ли z к w или z идет к отрицательному w.

Мы можем провести любую линию от одной части контура к другой; тогда эфир вдоль этой линии вращается вокруг своих точек.

Этот геометрический образ соответствует определению электрической цепи. Известно, что действие происходит не в проводе, а в среде, и известно, что в проводе нет направления потока.

В трехмерной механике не было предложено объяснения того, как действие может быть наложено на всю область и при этом обязательно исчерпывать себя вдоль замкнутой границы, как это происходит в электрическом токе. Но это явление в точности соответствует определению четырехмерного вихря.

Если мы возьмем очень длинный магнит, настолько длинный, что один из его полюсов практически изолирован, и поместим этот полюс вблизи электрической цепи, мы обнаружим, что он движется.

Теперь, предполагая для простоты, что провод, определяющий ток, имеет форму круга, если мы возьмем несколько маленьких магнитов и расположим их так, чтобы они указывали в одном направлении, перпендикулярном плоскости круга, так что они заполняют его, а провод связывает их, мы обнаружим, что этот слой магнитов оказывает на магнитный полюс такое же действие, как и ток. Слой магнитов может быть изогнут, но его край должен совпадать с проводом. Совокупность магнитов тогда эквивалентна вихревому слою, а элементарный магнит — его части. Таким образом, мы должны думать о магните как об обусловливающем вращение в эфире вокруг плоскости, которая делит пополам под прямым углом линию, соединяющую его полюса.

Если в цепи запускается ток, мы должны представить себе вихри, подобные чашам, выворачивающимся наизнанку, начиная от контура. При достижении параллельной цепи, если бы вихревой слой был прерван и мгновенно соединен со второй цепью свободным краем, осевая плоскость лежала бы между двумя цепями, и точка на второй цепи напротив точки на первой соответствовала бы точке напротив нее на первой; следовательно, мы ожидали бы ток в противоположном направлении во второй цепи. Таким образом, явления индукции не противоречат гипотезе о вихре вокруг осевой плоскости.

В четырехмерном пространстве, в котором все четыре измерения были бы соизмеримы, интенсивность действия, передаваемого средой, изменялась бы обратно пропорционально кубу расстояния. Теперь, действие тока на магнитный полюс изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния; следовательно, на измеримых расстояниях протяженность эфира в четвертом измерении нельзя предполагать иной, кроме как малой по сравнению с этими расстояниями.

Если мы предположим, что эфир заполнен вихрями в форме четырехмерных сфер, вращающихся с движением A, то движение B соответствовало бы электричеству в теории одной жидкости. Таким образом, существовала бы возможность существования электричества в двух формах: статически, само по себе, и, в сочетании с универсальным движением, в форме тока.

Чтобы прийти к определенному выводу, необходимо исследовать результирующие давления, которые сопровождают расположение твердых вихрей с поверхностными.

Резюмируя:

Движения и механика четырехмерного пространства определенны и понятны. Вихрь с поверхностью в качестве оси дает геометрический образ замкнутой цепи, и существуют вращения, которые своей полярностью дают возможное определение статического электричества. [7]

[7] Эти двойные вращения видов A и B я хотел бы назвать гамильтонами и ко-гамильтонами, ибо это примечательный факт, что в своих «Кватернионах» сэр Уильям Роуэн Гамильтон дал теорию либо вида A, либо вида B. Они следуют законам его символов I, J, K.

Гамильтоны и ко-гамильтоны кажутся естественными единицами геометрического выражения. В статье в «Трудах Королевской ирландской академии» за ноябрь 1903 года, о которой уже упоминалось, я показал некоторую замечательную легкость, которая достигается при работе с композицией трех- и четырехмерных вращений путем изменения обозначений Гамильтона, что позволяет применять его систему как к вращениям вида A, так и вида B.

Возражение, которое часто выдвигалось против системы Гамильтона, а именно, что только при особых условиях применения его процессы дают геометрически интерпретируемые результаты, может быть устранено, если мы предположим, что он на самом деле имел дело с четырехмерным движением, и изменим его обозначения, чтобы привести это обстоятельство к явному признанию.

ПРИЛОЖЕНИЕ I МОДЕЛИ

В главе XI было дано описание, которое позволит любому сделать набор моделей, иллюстрирующих тессеракт и его свойства. Набор, который здесь предполагается использовать, состоит из:

1. Трех наборов по двадцать семь кубов в каждом.

2. Двадцати семи пластин.

3. Двенадцати кубов с точками, линиями, гранями, различающимися по цветам, которые будут называться каталожными кубами.

Подготовка двенадцати каталожных кубов требует значительного количества времени. Использовать их выгодно, но их можно заменить чертежами видов тессеракта или ссылкой на рис. 103, 104, 105, 106 текста.

Пластины окрашены так же, как двадцать семь кубов первого кубического блока на рис. 101, того, что с красными, белыми, желтыми осями.

Цвета трех наборов из двадцати семи кубов — это цвета кубов, показанных на рис. 101.

Пластины используются для формирования представления куба на плоскости, и от них вполне может отказаться тот, кто привык иметь дело с объемными фигурами. Но вся теория зависит от тщательного наблюдения за тем, как куб был бы представлен этими пластинами.

На первом этапе, этапе формирования ясного представления о том, как плоское существо представляло бы трехмерное пространство, нужен только один из каталожных кубов и один из трех блоков.

Применение к переходу от плоскости к объему.

Посмотрите на рис. 1 видов тессеракта или, что то же самое, возьмите каталожный куб № 1 и поместите его перед собой так, чтобы красная линия шла вверх, белая линия — вправо, желтая линия — прочь. Три измерения пространства тогда отмечены этими линиями или осями. Теперь возьмите кусок картона или книгу и поместите ее так, чтобы она образовала стену, простирающуюся вверх и вниз не напротив вас, а уходящую прочь параллельно стене комнаты с вашей левой стороны.

Прикладывая каталожный куб к этой стене, мы видим, что он входит в контакт с ней красной и желтой линиями и включенной оранжевой гранью.

В мире плоского существа его вид куба был бы квадратом, окруженным красной и желтой линиями с серыми точками.

Теперь, удерживая красную линию неподвижной, поверните куб вокруг нее так, чтобы желтая линия ушла вправо, а белая линия вошла в контакт с плоскостью.

В этом случае плоскому существу представляется другой вид: квадрат, окруженный красной и белой линиями и серыми точками. Вы должны особо заметить, что когда желтая линия уходит под прямым углом к плоскости, а белая входит, последняя не идет в том же направлении, в котором шла желтая.

От фиксированной серой точки у основания красной линии желтая линия шла прочь от вас. Белая линия теперь идет к вам. Этот поворот под прямым углом заставляет линию, которая раньше была вне плоскости, войти в нее в направлении, противоположном тому, в котором шла линия, только что покинувшая плоскость. Если куб не прорывается сквозь плоскость, это всегда правило.

Снова поверните куб обратно в нормальное положение с красной линией вверх, белой вправо и желтой прочь, и попробуйте другой поворот.

Вы можете оставить желтую линию неподвижной и повернуть куб вокруг нее. В этом случае красная линия уходит вправо, а белая линия войдет, указывая вниз.

Вам придется приподнять куб со стола, чтобы выполнить этот поворот. Всегда необходимо, когда вертикальная ось выходит из пространства, представлять себе подвижную опору, которая позволит линии, которая вышла раньше, войти снизу.

Рассмотрев три способа поворота куба так, чтобы представить разные грани плоскости, исследуйте, каким было бы появление, если бы в куске картона было вырезано квадратное отверстие, и куб прошел бы сквозь него. Отверстие можно действительно вырезать, и будет видно, что в нормальном положении, с красной осью вверх, желтой прочь и белой вправо, квадрат, впервые воспринятый плоским существом — тот, что ограничен красной и желтой линиями, — был бы заменен другим квадратом, линия которого к вам — розовая, линия сечения розовой грани. Линия сверху — светло-желтая, снизу — светло-желтая, а на противоположной стороне, прочь от вас, — розовая.

Таким же образом куб можно протолкнуть через квадратное отверстие в плоскости из любого положения, в которое вы его уже повернули. В каждом случае плоское существо будет воспринимать разный набор контурных линий.

Наблюдая эти факты о каталожном кубе, перейдите теперь к первому блоку из двадцати семи кубов.

Вы замечаете, что цветовая схема на каталожном кубе и на этом наборе блоков одинакова.

Поместите их перед собой: серый или нулевой куб на столе, над ним красный куб, а сверху снова нулевой куб. Затем прочь от вас поместите желтый куб, а за ним нулевой куб. Затем вправо поместите белый куб, а за ним еще один нулевой. Затем завершите блок согласно схеме каталожного куба, поместив в самый центр охристый куб.

Теперь у вас есть куб, подобный тому, что описан в тексте. Для простоты в некоторых случаях этот кубический блок можно свести к одному из восьми кубов, исключив окончания в каждом направлении. Таким образом, вместо нулевого, красного, нулевого — трех кубов, вы можете взять нулевой, красный — два куба и так далее.

Однако полезно попрактиковаться в представлении на плоскости блока из двадцати семи кубов. Для этой цели возьмите пластины и выстройте их против куска картона или книги таким образом, чтобы представить разные аспекты куба.

Действуйте следующим образом:

Первое: куб в нормальном положении.

Поместите девять пластин против картона, чтобы представить девять кубов в стене красной и желтой осей, обращенных к картону; они представляют аспект куба, когда он касается плоскости.

Теперь сдвиньте их вдоль картона и сделайте другой набор из девяти пластин, чтобы представить появление, которое куб представил бы плоскому существу, если бы он прошел наполовину сквозь плоскость.

Там была бы белая пластина, над ней розовая, над ней еще одна белая и шесть других, представляющих то, что было бы природой сечения через середину блока кубов. Сечение можно представить как тонкий срез, вырезанный двумя параллельными разрезами через куб. Расположив эти девять пластин, сдвиньте их вдоль плоскости и сделайте еще один набор из девяти, чтобы представить, каким было бы появление куба, когда он почти полностью прошел сквозь нее. Этот набор из девяти будет таким же, как первый набор из девяти.

Теперь у нас на плоскости три набора по девять пластин в каждом, которые представляют три сечения блока из двадцати семи.

Они поставлены рядом друг с другом. Мы видим, что не имеет значения, в каком порядке поставлены наборы из девяти. По мере того как куб проходит сквозь плоскость, они представляют появления, которые следуют одно за другим. Если бы они были тем, что они представляли, они не могли бы существовать на одной плоскости вместе.

Это довольно важный момент: заметить, что они не должны сосуществовать на плоскости и что порядок, в котором они помещены, безразличен. Когда мы представляем четырехмерное тело, наши твердые кубы для нас находятся в том же положении, что и пластины для плоского существа. Вы также должны заметить, что каждая из этих пластин представляет только самый тонкий срез куба. Набор из девяти пластин, установленный первым, представляет боковую поверхность блока. Это, так сказать, своего рода поднос — начало, от которого отходит твердый куб. Пластины, как мы их используем, имеют толщину, но эта толщина — необходимость конструкции. Их следует рассматривать как имеющие лишь толщину линии.

Если теперь блок кубов проходил бы сквозь плоскость со скоростью дюйм в минуту, появление для плоского существа было бы представлено:

1. Первый набор из девяти пластин, длящийся одну минуту.

2. Второй набор из девяти пластин, длящийся одну минуту.

3. Третий набор из девяти пластин, длящийся одну минуту.

Теперь появления, которые куб представил бы плоскому существу в других положениях, можно показать с помощью этих пластин. Использование таких пластин было бы средством, с помощью которого плоское существо могло бы приобрести знакомство с нашим кубом. Поверните каталожный куб (или представьте, что цветная фигура повернута) так, чтобы красная линия шла вверх, желтая — вправо, а белая — к вам. Затем поверните блок кубов, чтобы занять аналогичное положение.

Блок теперь имеет другую стену в контакте с плоскостью. Его появление для плоского существа будет не таким, как раньше. У него, однако, достаточно пластин, чтобы представить этот новый набор появлений. Но он должен переделать свое прежнее расположение их.

Он должен взять нулевую, красную и нулевую пластину из первого своего набора пластин, затем белую, розовую и белую из второго, а затем нулевую, красную и нулевую из третьего набора пластин.

Он берет первый столбец из первого набора, первый столбец из второго набора и первый столбец из третьего набора.

Чтобы представить появление «наполовину пройденного», которое выглядит так, будто очень тонкий срез был вырезан наполовину через блок, он должен взять второй столбец каждого из своих наборов пластин, а чтобы представить окончательное появление — третий столбец каждого набора.

Теперь поверните каталожный куб обратно в нормальное положение, а также блок кубов.

Есть еще один поворот — поворот вокруг желтой линии, при котором белая ось оказывается ниже опоры.

Вы не можете прорваться сквозь поверхность стола, поэтому вы должны представить, что старая опора поднята. Тогда верх блока кубов в его новом положении находится на уровне, на котором раньше было его основание.

Теперь, представляя появление на плоскости, мы должны провести горизонтальную линию, чтобы представить старое основание. Линию следует провести на высоте трех дюймов на картоне.

Ниже этого можно расположить репрезентативные пластины.

Легко увидеть, что они собой представляют. Старые расположения должны быть разобраны, а слои взяты по порядку, первый слой каждого — для представления аспекта блока, когда он касается плоскости.

Затем вторые слои будут представлять появление наполовину пройденного, а третьи слои будут представлять окончательное появление.

Очевидно, что пластины по отдельности не представляют одну и ту же часть куба в этих разных представлениях.

В первом случае каждая пластина представляет сечение или грань, перпендикулярную белой оси, во втором случае — грань или сечение, которое проходит перпендикулярно желтой оси, а в третьем случае — сечение или грань, перпендикулярную красной оси.

Но с помощью этих девяти пластин плоское существо может представить весь кубический блок. Он может коснуться и потрогать каждую часть кубического блока, нет такой его части, которую он не мог бы наблюдать. Беря его по частям, по две оси за раз, он может изучить его целиком.

Наше представление блока тессерактов.

Посмотрите на виды тессеракта 1, 2, 3 или возьмите каталожные кубы 1, 2, 3 и поместите их перед собой в любом порядке, скажем, слева направо, поместив 1 в нормальное положение, красная ось вверх, белая вправо, желтая прочь.

Теперь заметьте, что в каталожном кубе 2 цвета каждой области получены из цветов соответствующей области куба 1 путем добавления синего. Таким образом, нуль + синий = синий, и углы куба 2 — синие. Далее, красный + синий = фиолетовый, и вертикальные линии куба 2 — фиолетовые. Синий + желтый = зеленый, и линия, уходящая вдаль, окрашена в зеленый цвет.

С помощью этих наблюдений вы можете убедиться, что каталожный куб 2 расположен правильно. Каталожный куб 3 точно такой же, как номер 1.

Имея эти кубы в том, что мы можем назвать их нормальным положением, приступайте к сборке трех наборов блоков.

Это легко сделать в соответствии с цветовой схемой на каталожных кубах.

Первый блок нам уже известен. Соберите второй блок, начиная с синего углового куба, поместив на него фиолетовый, и так далее.

Имея эти три блока, мы получаем средство для представления внешнего вида группы из восьмидесяти одного тессеракта.

Давайте на мгновение рассмотрим, в чем заключается аналогия для плоского существа.

У него есть три набора по девять пластин в каждом. У нас есть три набора по двадцать семь кубов в каждом.

Наши кубы подобны его пластинам. Как его пластины не являются теми вещами, которые они для него представляют, так и наши кубы не являются теми вещами, которые они представляют для нас.

Пластины плоского существа являются для него гранями кубов.

Наши кубы, следовательно, являются гранями тессерактов, кубами, посредством которых они соприкасаются с нашим пространством.

Подобно тому, как каждый набор пластин в случае плоского существа можно рассматривать как своего рода поднос, из которого выходили объемные внутренности кубов, так и наши три блока кубов можно рассматривать как трехмерные подносы, каждый из которых является началом дюйма объемного содержимого четырехмерных тел, исходящих из них.

Теперь мы хотим использовать названия «нуль», «красный», «белый» и т. д. для тессерактов. Используемые нами кубы — это лишь грани тессеракта. Давайте обозначим этот факт, называя куб нулевого цвета «нулевой гранью», или, сокращенно, «нуль-грань», имея в виду, что это грань тессеракта.

Чтобы определить, какая это грань, давайте посмотрим на каталожный куб 1 или на первый из видов тессеракта, который можно использовать вместо моделей. У него есть три оси: красная, белая, желтая — в нашем пространстве. Следовательно, куб, определяемый этими осями, является гранью тессеракта, которую мы сейчас имеем перед собой. Это охра-грань. Однако достаточно просто говорить «нуль-грань», «красная грань» для кубов, которые мы используем.

Чтобы запечатлеть это в своем сознании, представьте, что тессеракты действительно исходят из каждого куба. Тогда, перемещая кубы, вы перемещаете вместе с ними и тессеракты. Вы перемещаете грань, но тессеракт следует за ней, как куб следует за своей гранью, когда она сдвигается в плоскости.

Куб «нуль» в нормальном положении — это куб, в котором есть красная, желтая и белая оси. Это грань, имеющая их, но лишенная синей. Таким образом вы можете определить, с какой гранью имеете дело. Я буду писать «гр.» после названия каждого тессеракта, точно так же, как плоское существо могло бы называть каждую из своих пластин «нулевая пластина», «желтая пластина» и т. д., чтобы обозначить, что они являются представлениями.

Итак, в первом блоке из двадцати семи кубов у нас есть следующее: нуль-гр., красная гр., нуль-гр. — идущие вверх; белая гр., нуль-гр. — лежащие справа, и так далее. Начиная с нулевой точки и перемещаясь вверх на один дюйм, мы находимся в нулевой области; то же самое для направлений «вдаль» и «вправо». И если бы мы переместились в четвертом измерении на дюйм, мы все равно остались бы в нулевой области. Тессеракт простирается одинаково во все четыре стороны. Следовательно, внешний вид, который мы имеем в этом первом блоке, подошел бы так же хорошо, если бы блок тессерактов перемещался через наше пространство на определенное расстояние. Для любого расстояния менее дюйма их поперечного движения мы имели бы тот же самый вид. Вы должны, однако, заметить, что у нас не было бы нулевой грани после того, как движение началось.

Когда тессеракт, например «нуль», переместился бы хоть немного, мы имели бы не грань «нуль», а сечение «нуль» в нашем пространстве. Следовательно, когда мы думаем о движении через наше пространство, мы должны называть наши кубы сечениями тессеракта. Таким образом, при прохождении «нуль» мы увидели бы сначала нуль-гр., затем нуль-сечение и, наконец, снова нуль-гр.

Представьте теперь, что весь первый блок из двадцати семи тессерактов переместился поперек нашего пространства на расстояние в один дюйм. Тогда второй набор тессерактов, которые первоначально находились на расстоянии дюйма от нашего пространства, был бы готов войти.

Их цвета показаны во втором блоке из двадцати семи кубов, который находится перед вами. Они представляют грани тессерактов из того набора тессерактов, который лежал на расстоянии дюйма от нашего пространства. Они готовы войти, и мы можем наблюдать их цвета. На месте, которое раньше занимала нуль-гр., у нас синяя гр., вместо красной гр. у нас фиолетовая гр. и так далее. Каждый тессеракт окрашен так же, как тот, чье место он занимает в этом движении, с добавлением синего цвета.

Теперь, если блок тессерактов продолжает двигаться со скоростью дюйм в минуту, этот следующий набор тессерактов будет проходить через наше пространство в течение минуты. Мы увидим, если взять для примера «нуль», прежде всего нулевую грань, затем нулевое сечение, а затем снова нулевую грань.

В конце второй минуты второй набор тессерактов прошел, и входит третий набор. Он, как видите, окрашен точно так же, как первый. В общей сложности эти три набора простираются на три дюйма в четвертом измерении, делая блок тессерактов равным по величине во всех измерениях.

Теперь перед нами полный каталог всех тессерактов в нашей группе. Мы видели их все, и мы будем называть это расположение блоков «нормальным положением». Мы видели каждый тессеракт настолько, насколько это возможно в трехмерном пространстве. Каждая часть каждого тессеракта побывала в нашем пространстве, и мы могли бы прикоснуться к ней.

Четвертое измерение предстало перед нами как длительность существования блока.

Если бы частица нашей материи подверглась такому же движению, она была бы мгновенно удалена из нашего пространства. Будучи тонкой в четвертом измерении, она сразу же выводится из нашего пространства движением в четвертом измерении.

Но блок тессерактов, который мы представляем, имея протяженность в четвертом измерении, остается неподвижно перед нашими глазами в течение трех минут, когда подвергается этому поперечному движению.

Теперь нам нужно сформировать представления о других видах той же группы тессерактов, которые возможны в нашем пространстве.

Давайте повернем блок тессерактов так, чтобы другая его грань вошла в контакт с нашим пространством, и тогда, наблюдая за тем, что у нас есть и какие изменения происходят, когда блок пересекает наше пространство, мы получим другой его вид. Измерение, которое раньше представало как длительность, станет протяженностью в одном из наших известных измерений, а измерение, которое совпадало с одним из наших пространственных измерений, предстанет как длительность.

Оставив каталожный куб 1 в нормальном положении, уберите остальные два или предположите, что они убраны. У нас в пространстве есть красная, желтая и белая оси. Пусть белая ось уйдет в неизвестность и займет положение, которое занимает синяя ось. Тогда синяя ось, которая теперь проходит в том направлении, войдет в пространство. Но она войдет, не указывая в ту же сторону, что и белая ось сейчас. Она будет указывать в противоположном направлении. Она войдет, направляясь влево, вместо того чтобы направляться вправо, как это делает сейчас белая ось.

Когда происходит этот поворот, каждая часть куба 1 исчезнет, за исключением левой грани — оранжевой грани.

И новый куб, который появится в нашем пространстве, будет простираться влево от этой оранжевой грани, имея оси: красную, желтую, синюю.

Возьмите модели 4, 5, 6. Поместите 4, или предположите, что вид тессеракта № 4 помещен так, что его оранжевая грань совпадает с оранжевой гранью 1, красная линия — с красной линией, а желтая линия — с желтой линией, при этом синяя линия указывает влево. Затем уберите куб 1, и мы получим грань тессеракта, которая входит, когда белая ось проходит в положительном неизвестном направлении, а синяя ось входит в наше пространство.

Теперь поместите каталожный куб 5 в какое-нибудь положение, неважно какое, скажем, слева; и расположите его так, чтобы существовало соответствие цвета цвету линии, которая выходит из пространства. Линия, которая выходит из пространства, — белая, следовательно, каждая часть этого куба 5 должна отличаться от соответствующей части куба 4 изменением в направлении белого.

Таким образом, у нас есть белые точки в 5, соответствующие нулевым точкам в 4. У нас есть розовая линия, соответствующая красной линии, светло-желтая линия, соответствующая желтой линии, охра-грань, соответствующая оранжевой грани. Это сечение куба полностью описано в главе XI. Наконец, куб 6 является копией 1.

Эти каталожные кубы позволят нам собрать наши модели блока тессерактов.

Прежде всего, для набора тессерактов, которые, начинаясь в нашем пространстве, простираются на один дюйм в неизвестность, у нас есть образец каталожного куба 4.

Мы видим, что можем собрать блок из двадцати семи граней тессерактов по цветовой схеме куба 4, взяв левую стенку блока 1, затем левую стенку блока 2 и, наконец, левую стенку блока 3. То есть мы берем три первые стенки нашего предыдущего расположения, чтобы сформировать первый кубический блок этого нового.

Это будет представлять кубические грани, которыми группа тессерактов в своем новом положении касается нашего пространства. У нас идут вверх: нуль-гр., красная гр., нуль-гр. На следующей вертикальной линии, на стороне, удаленной от нас, у нас: желтая гр., оранжевая гр., желтая гр., а затем снова первые цвета. Затем следующие три колонки: синяя гр., фиолетовая гр., синяя гр.; зеленая гр., коричневая гр., зеленая гр.; синяя гр., фиолетовая гр., синяя гр. Последние три колонки такие же, как первые.

Эти тессеракты касаются нашего пространства, и ни один из них ни одной своей частью не находится на расстоянии более дюйма от него. Что лежит за ними в неизвестности?

Об этом можно узнать, посмотрев на каталожный куб 5. Согласно его цветовой схеме, мы видим, что нужно взять вторую стенку каждого из наших старых расположений. Сложив их вместе, мы получаем в качестве угла белую гр., над ней розовую гр., над ней белую. Колонку рядом с этой, удаленную от нас, следует рассматривать так: светло-желтая гр., охра-гр., светло-желтая гр., а за ней — колонка, подобная первой. Затем для середины блока: светло-синяя гр., над ней светло-фиолетовая, затем светло-синяя. В центральной колонке внизу находится светло-зеленая гр., в центре — светло-коричневая, а вверху — светло-зеленая гр. Последняя стенка такая же, как первая.

Третий блок создается путем взятия третьих стенок нашего предыдущего расположения, которое мы назвали нормальным.

Вы можете спросить, какие грани и какие сечения представляют наши кубы. Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрите, какие оси у вас есть в нашем пространстве. У вас есть красная, желтая, синяя. Теперь они определяют коричневый цвет. Цвета красный, желтый, синий, как мы полагаем, при смешивании дают коричневый цвет. И тот куб, который определяется красной, желтой и синей осями, мы называем коричневым кубом.

Когда блок тессерактов в своем новом положении начинает двигаться через наше пространство, каждый тессеракт в нем дает сечение в нашем пространстве. Это сечение поперечно белой оси, которая теперь проходит в неизвестности.

Когда тессеракт в своем нынешнем положении проходит через наше пространство, мы должны увидеть сначала первый из блоков кубических граней, которые мы установили — они продержались бы минуту, затем пришел бы второй блок, а затем третий. Сначала у нас был бы куб из граней тессерактов, каждая из которых была бы коричневой. Как только движение началось, у нас появились бы сечения тессерактов, поперечные белой линии.

Существует еще два аналогичных положения, в которых может быть размещен блок тессерактов. Чтобы найти третье положение, верните блоки в нормальное расположение.

Пусть желтая ось уйдет в положительное неизвестное, а синяя ось, следовательно, войдет, направляясь к нам. Желтая уходила вдаль, поэтому синяя войдет, направляясь к нам.