«Четвертое измерение»

Fig. 79.

Предположим, что этот процесс увеличения количества квадратов продолжается бесконечно, а общая фигура уменьшается в размере; мы получили бы квадрат, внутренняя часть которого была бы вся оранжевой, в то время как линии вокруг него были бы красными и желтыми, а просто точки — нулевого цвета, как на рис. 80. Таким образом, все точки, линии и площадь имели бы цвет.

Fig. 80.

Мы можем считать, что эта схема возникает следующим образом: пусть нулевая точка движется в желтом направлении и очерчивает желтую линию, заканчиваясь в нулевой точке. Затем пусть вся линия, очерченная таким образом, движется в красном направлении. Нулевые точки на концах линии создадут красные линии и закончатся в нулевых точках. Желтая линия очертит желто-красный, или оранжевый, квадрат.

Теперь, возвращаясь к рис. 78, мы видим, что эти два способа именования, тот, с которого мы начали, и тот, к которому мы пришли, могут быть объединены.

Благодаря своему положению в группе из четырех квадратов на рис. 77, нулевой квадрат имеет отношение к желтому и красному направлениям. Мы можем, следовательно, говорить о красной линии нулевого квадрата без путаницы, подразумевая под этим линию AB, рис. 81, которая идет вверх от начальной нулевой точки A на рисунке, как он нарисован. Желтая линия нулевого квадрата — это его нижняя горизонтальная линия AC, как она расположена на рисунке.

Fig. 81.

Если мы хотим обозначить верхнюю желтую линию BD, рис. 81, мы можем называть ее желтой γ-линией, подразумевая желтую линию, которая отделена от первичной желтой линии красным движением.

Подобным образом каждый из других квадратов имеет нулевые точки, красные и желтые линии. Хотя желтый квадрат весь желтый, его линию CD, например, можно назвать его красной линией.

Эта номенклатура может быть расширена.

Если восемь кубов, нарисованных на рис. 82, поставить близко друг к другу, как на правой стороне диаграммы, они образуют куб, и в них, расположенных таким образом, движение вверх представлено добавлением красного к нулевому цвету, движение в сторону — добавлением желтого, движение вправо — добавлением белого. Белый используется как цвет, как пигмент, который вызывает изменение цвета пигментов, с которыми он смешивается. С какого бы куба нижнего набора мы ни начали, движение вверх приводит нас к кубу, показывающему изменение на красный, таким образом светло-желтый становится светло-желто-красным, или светло-оранжевым, который называется охристым. А при движении вправо от нулевого слева у нас происходит изменение, включающее введение белого, в то время как желтое изменение идет спереди назад. Существует три цветовые оси — красная, белая, желтая — и они проходят в положении, которое кубы занимают на чертеже — вверх, вправо, в сторону, — но их можно было бы повернуть, чтобы они занимали любые положения в пространстве.

Fig. 82.

Fig. 83.

Мы можем удобно представить блок кубов тремя наборами квадратов, каждый из которых представляет основание куба.

Таким образом, блок, рис. 83, может быть представлен слоями справа. Здесь, как и в случае с плоскостью, начальные цвета повторяются в конце серии.

Fig. 84.

Переходя теперь к увеличению количества кубов, мы получаем рис. 84, в котором даны начальные буквы цветов вместо их полных названий.

Здесь мы видим, что нулевых кубов четыре, как и раньше, но серии, которые исходят из начального угла, будут стремиться стать линиями кубов, как и наборы кубов, параллельные им, начинающиеся от других углов. Таким образом, из начального нулевого исходит линия красных кубов, линия белых кубов и линия желтых кубов.

Если количество кубов значительно увеличить, а размер всего куба уменьшить, мы получим куб с нулевыми точками и ребрами, окрашенными в эти три цвета.

Светло-желтые кубы увеличиваются двумя способами, образуя в конечном итоге слой кубов, то же самое верно для оранжевых и розовых наборов. Следовательно, в конечном итоге куб, сформированный таким образом, имел бы красные, белые и желтые линии, окружающие розовые, оранжевые и светло-желтые грани. Охристые кубы увеличиваются тремя способами, и, следовательно, в конечном итоге вся внутренняя часть куба была бы окрашена в охристый цвет.

Таким образом, у нас есть номенклатура для точек, линий, граней и твердого содержимого куба, и его можно назвать так, как показано на рис. 85.

Fig. 85.

Мы можем считать, что куб создается следующим образом. Нулевая точка движется в направлении, которому мы придаем цветовое обозначение «желтый»; она создает желтую линию и заканчивается в нулевой точке. Желтая линия, созданная таким образом, движется в направлении, которому мы даем цветовое обозначение «красный». Это направление вверх на рисунке. Желтая линия очерчивает желто-красный, или оранжевый, квадрат, и каждая из ее нулевых точек очерчивает красную линию и заканчивается в нулевой точке.

Этот оранжевый квадрат движется в направлении, которому мы приписываем цветовое обозначение «белый», в данном случае это направление вправо. Квадрат очерчивает куб, окрашенный в оранжевый, красный или охристый цвет, красные линии очерчивают красно-белые, или розовые, квадраты, а желтые линии очерчивают светло-желтые квадраты, каждая линия заканчивается линией своего цвета. В то время как точки каждая очерчивают нулевую + белую, или белую, линию, чтобы закончиться в нулевой точке.

Теперь, возвращаясь к первому блоку из восьми кубов, мы можем назвать каждую точку, линию и квадрат в них, ссылаясь на цветовую схему, которую они определяют своим отношением друг к другу.

Таким образом, на рис. 86 нулевой куб касается красного куба светло-желтым квадратом; он касается желтого куба розовым квадратом и касается белого куба оранжевым квадратом.

Fig. 86.

Существует три оси, которым присвоены цвета красный, желтый и белый; грани каждого куба обозначаются путем взятия этих цветов парами. Взяв все цвета вместе, мы получаем цветовое название для твердости куба.

Давайте теперь спросим себя, как куб мог бы быть представлен плоскому существу. Не вдаваясь в вопрос о том, как он мог бы иметь реальный опыт этого, давайте посмотрим, как, если бы мы могли повернуть его и показать ему, он, в силу своих ограничений, мог бы получить информацию о нем. Если бы куб был помещен своими красной и желтой осями против плоскости, то есть опирался бы на нее своей оранжевой гранью, плоское существо наблюдало бы квадрат, окруженный красными и желтыми линиями и имеющий нулевые точки. См. пунктирный квадрат, рис. 87.

Fig. 87.

Мы могли бы повернуть куб вокруг красной линии так, чтобы другая грань оказалась в соприкосновении с плоскостью.

Предположим, куб повернут вокруг красной линии. Когда он поворачивается из своего первого положения, вся его часть, кроме красной линии, покидает плоскость — выходит абсолютно за пределы восприятия плоского существа. Но когда желтая линия указывает прямо из плоскости, тогда розовая грань входит с ней в контакт. Таким образом, та же красная линия остается такой, какой он видел ее сначала, теперь к нему обращена грань, окруженная белыми и красными линиями.

Fig. 88.

Если мы назовем направление вправо неизвестным направлением, то линия, которую он видел раньше, желтая линия, уходит в это неизвестное направление, а линия, которая раньше шла в неизвестное направление, входит. Она входит в направлении, противоположном тому, в котором шла желтая линия раньше; внутренняя часть грани, теперь прижатой к плоскости, розовая. Свойство двух линий под прямым углом заключается в том, что если одна поворачивается из заданного направления и встает под прямым углом к нему, то другая из двух линий входит, но идет в противоположном направлении в этом заданном направлении, как на рис. 88.

Теперь эти два представления куба казались бы плоскому существу совершенно разными материальными телами, имеющими общую только ту линию, в которой они оба встречаются.

Опять же, наш куб можно повернуть вокруг желтой линии. В этом случае желтый квадрат исчез бы, как и раньше, но новый квадрат вошел бы в плоскость после того, как куб повернулся бы на угол 90° вокруг этой линии. Нижний квадрат куба вошел бы таким образом на рис. 89. Куб, предполагаемый в контакте с плоскостью, вращается вокруг нижней желтой линии, и тогда нижняя грань оказывается в контакте с плоскостью.

Здесь, как и раньше, красная линия, уходящая в неизвестное измерение, белая линия, которая раньше шла в неизвестном измерении, вошла бы вниз в противоположном смысле тому, в котором шла красная линия раньше.

Fig. 89.

Теперь, если мы используем i, j, k для трех пространственных направлений: i — слева направо, j — от близкого к далекому, k — снизу вверх; тогда, используя цветовые названия для осей, мы имеем, что прежде всего белый идет по i, желтый идет по j, красный идет по k; затем после первого поворота вокруг оси k белый идет по отрицательному j, желтый идет по i, красный идет по k; таким образом, у нас есть таблица:

i j k

1st position white yellow red

2nd position yellow white— red

3rd position red yellow white—

Здесь белый со знаком минус после него в столбце под j означает, что белый идет в отрицательном смысле направления j.

Мы можем выразить этот факт следующим образом: в плоскости есть место для двух осей, в то время как у тела их три. Поэтому в плоскости мы можем представить любые две. Если мы хотим сохранить ось, которая идет в неизвестном измерении, всегда идущей в положительном смысле, то ось, которая первоначально шла в неизвестном измерении (белая ось), должна входить в отрицательном смысле той оси, которая выходит из плоскости в неизвестное измерение.

Очевидно, что неизвестное направление, направление, в котором сначала идет белая линия, совершенно отлично от любого направления, которое знает плоское существо. Белая линия может входить к нему или идти вниз. Если он смотрит на квадрат, который является гранью куба (глядя на него вдоль линии), то при любой одной из ограничивающих линий, остающейся неподвижной, может войти другая грань куба, а именно любая из граней, в которых есть белая линия. И белая линия входит иногда в одном из пространственных направлений, которые он знает, иногда в другом.

Теперь этот поворот, который оставляет линию неизменной, — это нечто совершенно отличное от любого поворота, который он знает в плоскости. В плоскости фигура поворачивается вокруг точки. Квадрат может поворачиваться вокруг нулевой точки в его плоскости, и красная и желтая линии меняются местами, только, конечно, как и при любом вращении линий под прямым углом, если красный идет туда, где был желтый, желтый входит в отрицательном смысле старого направления красного.

Этот поворот, как его представляет себе плоское существо, мы назвали бы поворотом вокруг оси, перпендикулярной плоскости. То, что он называет поворотом вокруг нулевой точки, мы называем поворотом вокруг белой линии, как она выступает из его плоскости. Нет такой вещи, как поворот вокруг точки, всегда есть ось, и на самом деле поворачивается гораздо больше, чем осознает плоское существо.

Принимая теперь другую точку зрения, давайте предположим, что кубы представлены плоскому существу путем прохождения поперек его плоскости. Давайте предположим, что слой материи, по которому скользит плоское существо и все объекты в его мире, имеет такую природу, что объекты могут проходить сквозь него, не разрушая его. Давайте предположим, что он имеет ту же природу, что и пленка мыльного пузыря, так что он смыкается вокруг объектов, проталкиваемых сквозь него, и, как бы объект ни менял свою форму при прохождении сквозь него, давайте предположим, что эта пленка доходит до контура объекта в каждой части, сохраняя свою плоскую поверхность неповрежденной.

Тогда мы можем протолкнуть куб или любой объект сквозь пленку, и плоское существо, которое скользит в пленке, узнает контур куба именно там, где пленка встречается с ним.

Fig. 90.

Рис. 90 представляет куб, проходящий сквозь плоскую пленку. Плоское существо теперь входит в контакт с очень тонким срезом куба где-то между левой и правой гранями. Этот очень тонкий срез он считает не имеющим толщины, и, следовательно, его представление о нем — это то, что мы называем сечением. Оно ограничено для него розовыми линиями спереди и сзади, исходящими от части розовой грани, с которой он находится в контакте, и сверху и снизу — светло-желтыми линиями. Его углы — это не нулевые точки, а белые точки, и его внутренняя часть — охристая, цвет внутренней части куба.

Если теперь мы предположим, что куб имеет дюйм в каждом измерении и проходит справа налево сквозь плоскость, то мы объяснили бы явления, представленные плоскому существу, сказав: «Прежде всего, у вас есть грань куба, это длится всего мгновение; затем у вас есть фигура той же формы, но иначе окрашенная. Это, что, кажется, не движется для вас ни в каком направлении, которое вы знаете, на самом деле движется поперек вашего плоского мира. Его внешний вид неизменен, но каждый момент это нечто иное — сечение дальше, в белом, неизвестном измерении. Наконец, в конце минуты входит грань, точно такая же, как грань, которую вы видели первой. Это завершает куб — это дальняя грань в неизвестном измерении».

Белую линию, которая простирается в длину точно так же, как красная или желтая, вы не видите как протяженную; вы воспринимаете ее просто как устойчивую белую точку. Нулевая точка при условии движения куба исчезает в мгновение ока, длящаяся белая точка — это на самом деле ваше восприятие белой линии, идущей в неизвестном измерении. Таким же образом красная линия грани, которой куб впервые входит в контакт с плоскостью, длится всего мгновение, за ней следует розовая линия, и эта розовая линия длится в течение минуты. Эта длящаяся розовая линия — ваше восприятие поверхности, которая простирается в двух измерениях точно так же, как оранжевая поверхность простирается, как вы знаете, когда куб находится в покое.

Но плоское существо могло бы ответить: «Этот оранжевый объект — это субстанция, твердая субстанция, ограниченная полностью и со всех сторон».

Здесь, конечно, возникает трудность. Его твердое тело — это наша поверхность; его понятие твердого тела — это наше понятие абстрактной поверхности без какой-либо толщины.

Мы должны были бы объяснить ему, что от каждой точки того, что он называл твердым телом, уходит новое измерение. От каждой точки можно провести линию в направлении, неизвестном ему, и существует твердость рода, большего, чем та, которую он знает. Эта твердость может быть осознана им только путем предположения неизвестного направления, при движении в котором то, что он считает твердой материей, мгновенно исчезает. Высшее твердое тело, однако, которое простирается в этом измерении так же, как и в тех, которые он знает, длится, когда происходит движение такого рода, различные его сечения последовательно входят в плоскость его восприятия и занимают место твердого тела, которое он сначала считает всем. Таким образом, высшее твердое тело — наше твердое тело в отличие от его площадного твердого тела, его двухмерного твердого тела — должно быть представлено им как нечто, имеющее в себе длительность, при обстоятельствах, в которых его материя исчезает из его мира.

Мы можем изложить дело так, используя концепцию движения.

Нулевая точка, движущаяся в направлении «в сторону», порождает желтую линию, и желтая линия заканчивается в нулевой точке. Мы предполагаем, то есть, что точка движется и отмечает продукты этого движения таким образом. Теперь предположим, что вся эта линия, созданная таким образом, движется в направлении «вверх»; она очерчивает двухмерное твердое тело, и плоское существо получает оранжевый квадрат. Нулевая точка движется по красной линии и заканчивается в нулевой точке, желтая линия движется и порождает оранжевый квадрат и заканчивается желтой линией, дальняя нулевая точка порождает красную линию и заканчивается в нулевой точке. Таким образом, движением в двух последовательных направлениях, известных ему, он может представить свое двухмерное твердое тело, созданное со всеми его границами.

Теперь мы говорим ему: «Все это двухмерное твердое тело может двигаться в третьем, или неизвестном для вас, измерении. Нулевая точка, движущаяся в этом измерении из вашего мира, порождает белую линию и заканчивается в нулевой точке. Желтая линия, двигаясь, порождает светло-желтое двухмерное твердое тело и заканчивается желтой линией, и это двухмерное твердое тело, лежащее торцом к вашему плоскому миру, ограничено с дальней стороны другой желтой линией. Таким же образом каждая из линий, окружающих ваш квадрат, очерчивает площадь, точно так же, как оранжевая площадь, которую вы знаете. Но создается нечто новое, нечто, о чем вы раньше не имели представления; это то, что создается движением оранжевого квадрата. То, тверже чего вы не можете ничего представить, само движется в открытом для него направлении и порождает трехмерное твердое тело. Используя добавление белого для символизации продуктов этого движения, этот новый вид твердого тела будет светло-оранжевым или охристым, и он будет ограничен с дальней стороны конечным положением оранжевого квадрата, который его очертил, и это конечное положение мы предполагаем окрашенным так же, как квадрат в его первом положении, оранжевым с желтыми и красными границами и нулевыми углами».

Этот продукт движения, который нам так легко описать, ему было бы трудно представить. Но эта трудность связана скорее с его целостностью, чем с какой-либо его конкретной частью.

Любую линию или плоскость этого, для него высшего, твердого тела мы могли бы показать ему и поместить в его чувственный мир.

Мы уже видели, как розовый квадрат можно было бы поместить в его мир путем поворота куба вокруг красной линии. И любое сечение, которое мы можем представить себе сделанным из куба, можно было бы продемонстрировать ему. Вам просто нужно повернуть куб и протолкнуть его так, чтобы плоскость его существования была плоскостью, которая вырезает данное сечение куба, тогда сечение предстало бы перед ним как твердое тело. В своем мире он увидел бы контур, добрался бы до любой его части, вкопавшись в него.

Процесс, посредством которого плоское существо получило бы понятие о твердом теле.

Если мы предположим, что плоское существо имеет общее представление о существовании высшего твердого тела — нашего твердого тела, — мы должны затем подробно проследить метод, дисциплину, посредством которой он приобрел бы рабочее знакомство с нашим пространственным существованием. Процесс начинается с адекватного осознания простой твердой фигуры. Для этой цели мы предположим восемь кубов, образующих больший куб, и сначала мы предположим, что каждый куб окрашен повсюду равномерно. Пусть кубы на рис. 91 будут восемью кубами, составляющими больший куб.

Fig. 91.

Теперь, хотя предполагается, что каждый куб полностью окрашен цветом, название которого на нем написано, все же мы можем говорить о гранях, ребрах и углах каждого куба, как если бы цветовая схема, которую мы исследовали, была справедлива для него. Таким образом, на нулевом кубе мы можем говорить о нулевой точке, красной линии, белой линии, розовой грани и так далее. Эти цветовые обозначения показаны на № 1 видов тессеракта на пластине. Здесь эти цветовые названия используются просто в их геометрическом значении. Они обозначают то, какой цвет имела бы конкретная линия и т. д., если бы в отношении конкретного куба была реализована описанная ранее цветовая схема.

Если бы такой блок кубов был помещен против плоскости, а затем пропущен сквозь нее справа налево со скоростью дюйм в минуту, каждый куб был бы дюймом в каждую сторону, плоское существо имело бы следующие явления:

Прежде всего, четыре квадрата: нулевой, желтый, красный, оранжевый, каждый длительностью в минуту; и во-вторых, занимая точные места этих четырех квадратов, четыре других, окрашенных в белый, светло-желтый, розовый, охристый цвета. Таким образом, чтобы составить каталог твердого тела, ему пришлось бы поместить рядом в своем мире два набора по четыре квадрата каждый, как на рис. 92. Предполагается, что первые длятся минуту, а затем другие приходят на их место и также длятся минуту.

Fig. 92.

Говоря о них, ему пришлось бы обозначать, какую часть соответствующего куба представляет каждый квадрат. Таким образом, в начале у него была бы оранжевая грань нулевого куба, а после того, как движение началось, у него было бы охристое сечение нулевого куба. Поскольку он мог бы получить сечение того же цвета, независимо от того, как куб проходил сквозь него, для него было бы лучше называть это сечение белым сечением, имея в виду, что оно поперечно белой оси. Эти цветовые названия, конечно, используются просто как имена и не подразумевают в данном случае, что объект действительно окрашен. Наконец, через минуту, когда первый куб проходил за пределы его плоскости, у него снова была бы оранжевая грань нулевого куба.

Те же названия будут справедливы для каждого из других кубов, описывая, какую грань или сечение их имеет перед собой плоское существо; и вторая стена кубов будет приходить, продолжаться и уходить таким же образом. В области, которую он таким образом имеет, он может представить любое движение, которое мы совершаем в кубах, до тех пор, пока оно не включает движение в направлении белой оси. Отношение частей, которые следуют одна за другой в направлении белой оси, осознается им как последовательность состояний.

Теперь его средство развития своего пространственного восприятия заключается в том, что то, что представлено как временная последовательность в одном положении кубов, может стать реальным сосуществованием, если нечто, имеющее реальное сосуществование, становится временной последовательностью.

Мы должны предположить, что кубы повернуты вокруг каждой из осей, красной линии и желтой линии, тогда нечто, что было дано как время раньше, теперь будет дано как пространство плоского существа; нечто, что было дано как пространство раньше, теперь будет дано как временная серия по мере того, как куб проходит сквозь плоскость.

Три положения, в которых должны изучаться кубы, — это приведенное выше и два следующих. В каждом случае исходная нулевая точка, которая была ближе всего к нам в начале, отмечена звездочкой. На рис. 93 и 94 точка, отмеченная звездочкой, одна и та же в кубах и в виде на плоскости.

Fig. 93.

The cube swung round the red line, so that the white line points towards us.

На рис. 93 куб повернут вокруг красной линии так, чтобы указывать на нас, и, следовательно, розовая грань оказывается рядом с плоскостью. По мере того как он проходит сквозь, существуют две разновидности появления, обозначенные цифрами 1 и 2 на плоскости. Эти появления названы на рисунке и определяются порядком, в котором кубы приходят в движении всего блока сквозь плоскость.

Однако в отношении этих квадратов по отдельности должны использоваться разные названия, определяемые их отношениями в блоке.

Таким образом, на рис. 93, когда куб впервые опирается на плоскость, нулевой куб находится в контакте своей розовой гранью; по мере того как блок проходит сквозь, мы получаем охристое сечение нулевого куба, но это лучше назвать желтым сечением, так как оно сделано плоскостью, перпендикулярной желтой линии. Когда нулевой куб прошел сквозь плоскость, по мере того как он покидает ее, мы снова получаем розовую грань.

Fig. 94.

The cube swung round yellow line, with red line running from left to right, and white line running down.

Та же серия изменений происходит с появлениями кубов, которые следуют за появлениями нулевого куба. В этом движении желтый куб следует за нулевым кубом, и квадрат, отмеченный желтым в 2 на плоскости, будет сначала «желто-розовой гранью», затем «желто-желтым сечением», затем «желто-розовой гранью».

На рис. 94, на котором куб повернут вокруг желтой линии, у нас есть определенная трудность, ибо плоское существо обнаружит, что положение, в котором должны быть размещены его квадраты, будет лежать ниже того, которое они занимали сначала. Они придут туда, где была опора, на которую он поставил свой первый набор квадратов. Он преодолеет эту трудность, переместив свою опору.

Затем, поскольку кубы приходят на его плоскость светло-желтой гранью, у него будет, взяв нулевой куб, как и раньше, для примера: нулевой, светло-желтая грань; нулевой, красное сечение, потому что сечение перпендикулярно красной линии; и, наконец, когда нулевой куб покидает плоскость, нулевой, светло-желтая грань. Затем, в этом случае красный следует за нулевым, у него будет та же серия видов красного, что была у него для нулевого куба.

Fig. 95.

Есть еще один набор соображений, о которых мы кратко упомянем.

Предположим, есть полый куб, и струна натянута через него от нуля до нуля, r, y, wh, как мы можем назвать дальнюю диагональную точку, как эта струна покажется плоскому существу, когда куб движется поперек его плоскости?

Давайте представим куб как некоторое количество сечений, скажем 5, соответствующих 4 равным делениям, сделанным вдоль белой линии, перпендикулярной ему.

Мы нумеруем эти сечения 0, 1, 2, 3, 4, соответствующие расстояниям вдоль белой линии, на которых они взяты, и представляем, что каждое сечение входит последовательно, занимая место предыдущего.

Эти сечения кажутся плоскому существу, считая с первого, точно совпадающими каждое с предыдущим. Но сечение струны занимает в каждом из них другое место, чем в предыдущем сечении. Сечение струны появляется в положении, отмеченном точками. Следовательно, наклон струны кажется движением в каркасе, отмеченном сторонами куба. Если мы предположим, что движение куба не осознается, то струна кажется плоскому существу движущейся точкой. Следовательно, протяженность в неизвестном измерении кажется длительностью. Протяженность, наклоненная в неизвестном направлении, кажется непрерывным движением.

ГЛАВА XII. ПРОСТЕЙШЕЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ТЕЛО

Плоское существо, обучаясь воспринимать твердое существование, должно прежде всего осознать, что у него полностью отсутствует чувство направления. То, что мы называем «право» и «лево», не существует в его восприятии. Он должен предположить движение в направлении и различие положительного и отрицательного в этом направлении, которому нет реальности, соответствующей в движениях, которые он может совершать. Это направление, это новое измерение, он может сделать ощутимым для себя только путем привлечения времени и предположения, что изменения, которые происходят во времени, обусловлены объектами определенной конфигурации в трех измерениях, проходящими поперек его плоскости, и различные сечения этого воспринимаются как изменения одной и той же плоской фигуры.

Он должен также приобрести отчетливое понятие о своем плоском мире, он больше не должен верить, что это все пространство, но что пространство простирается по обе стороны от него. Чтобы, следовательно, предотвратить его уход в этом неизвестном направлении, он должен предположить лист, протяженный твердый лист, в двух измерениях, против которого, в контакте с которым, происходят все его движения.

Когда мы приходим к мысли о четырехмерном твердом теле, каковы соответствующие предположения, которые мы должны сделать?

Мы должны предположить чувство, которого у нас нет, чувство направления, отсутствующее у нас, нечто такое, что есть у существа в четырехмерном мире, и чего нет у нас. Это чувство, соответствующее новому пространственному направлению, направлению, которое простирается положительно и отрицательно от каждой точки нашего пространства и которое уходит прямо от любого пространственного направления, которое мы знаем. Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен не только двум линиям в ней, но и каждой линии, и поэтому мы должны представлять это четвертое измерение как идущее перпендикулярно каждой и любой линии, которую мы можем провести в нашем пространстве.

И как плоское существо должно было предположить нечто, что предотвращало его уход в третье, неизвестное для него измерение, так и мы должны предположить нечто, что предотвращает наш уход в направлении, неизвестном нам. Это нечто, поскольку мы должны быть в контакте с ним в каждом из наших движений, не должно быть плоской поверхностью, но твердым телом; это должно быть твердое тело, против которого в каждом из наших движений мы находимся, а не в нем. Оно должно предполагаться как простирающееся в каждом пространственном измерении, которое мы знаем; но мы не в нем, мы против него, мы рядом с ним, в четвертом измерении.

То есть, как плоское существо представляет себя имеющим очень малую толщину в третьем измерении, о которой он не знает в своем чувственном опыте, так и мы должны представлять себя имеющими очень малую толщину в четвертом измерении и, будучи таким образом четырехмерными существами, быть предотвращенными от осознания того, что мы являемся такими существами, ограничением, которое держит нас всегда в контакте с огромным твердым листом, который простирается во всех направлениях. Мы против этого листа, так что, если бы мы имели силу четырехмерного движения, мы либо ушли бы от него, либо прошли бы сквозь него; все наши пространственные движения, как мы их знаем, таковы, что, выполняя их, мы остаемся в контакте с этим твердым листом.

Теперь рассмотрим, как плоское существо объяснило бы самому себе вопрос об ограничении квадрата и куба.

Оно сказало бы, что квадрат A на рис. 96 полностью ограничен четырьмя квадратами: A дальним, A ближним, A верхним и A нижним, или, как они обозначены, An, Af, Aa, Ab.

Fig. 96.

Если теперь оно представит, что квадрат A движется в неизвестном для него измерении, он опишет куб, а ограничивающие его квадраты образуют кубы. Будут ли они полностью окружать куб, порожденный A? Нет; останутся две грани куба, созданного A, которые не будут покрыты: первая — та грань, которая совпадает с квадратом A в его начальном положении, и вторая — та, которая совпадает с квадратом A в его конечном положении. К этим двум граням необходимо приставить кубы, чтобы полностью ограничить куб A. Их можно назвать левым и правым кубами, или Al и Ar. Таким образом, каждый из ограничивающих квадратов квадрата A становится кубом, и требуются еще два куба, чтобы ограничить куб, образованный движением A в третьем измерении.

Fig. 97.

Плоское существо не могло бы видеть квадрат A с расположенными вокруг него квадратами An, Af и т. д., поскольку они полностью скрывают его от взора; точно так же и мы, в аналогичном случае в нашем трехмерном мире, не можем видеть куб A, окруженный шестью другими кубами. Эти кубы мы назовем: A ближний (An), A дальний (Af), A верхний (Aa), A нижний (Ab), A левый (Al), A правый (Ar), как показано на рис. 97. Если теперь куб A движется в четвертом измерении прямо за пределы пространства, он описывает высший куб — тессеракт, как его можно назвать. Каждый из шести окружающих кубов, совершая то же движение, также образует тессеракт, и они сгруппируются вокруг тессеракта, сформированного A. Но будут ли они полностью ограничивать его?

Все кубы An, Af и т. д. лежат в нашем пространстве. Но между кубом A и тем твердым слоем, с которым соприкасается каждая частица материи, ничего нет. Когда куб A движется в четвертом направлении, он начинает движение из своего положения, скажем, Ak, и заканчивает в конечном положении An (используя слова «ана» и «ката» для обозначения «вверх» и «вниз» в четвертом измерении). Теперь движение в этом четвертом измерении не ограничено ни одним из кубов An, Af, ни тем, что они образуют при таком движении. Тессеракт, в который превращается A, ограничен в положительном и отрицательном направлениях этого нового измерения первым и последним положениями A. Или, если мы спросим, сколько тессерактов лежит вокруг тессеракта, который образует A, то их восемь, из которых один соприкасается с ним по кубу A, а другой — по кубу, подобному A, в конце его движения.

Мы подходим здесь к очень любопытному моменту. Весь твердый куб A следует рассматривать лишь как границу тессеракта.

И все же это в точности аналогично тому, к чему пришло бы плоское существо в своем изучении твердого мира. Квадрат A (рис. 96), который плоское существо рассматривает как твердое тело в своем плоском мире, является лишь границей куба, который, как оно предполагает, порожден его движением.

Дело в том, что мы должны признать: если существует другое измерение пространства, то наше нынешнее представление о твердом теле как о чем-то, имеющем только три измерения, не соответствует ничему реальному, а является абстрактной идеей трехмерной границы, ограничивающей четырехмерное тело, которое сформировало бы четырехмерное существо. Мысль плоского существа о квадрате — это не мысль о том, что мы назвали бы возможно существующим реальным квадратом, а мысль об абстрактной границе, грани куба.

Давайте теперь возьмем наши восемь цветных кубов, которые образуют куб в пространстве, и спросим, какие дополнения мы должны сделать к ним, чтобы представить простейшую совокупность четырехмерных тел — а именно, группу из них, одинаково протяженную в каждом направлении. В плоском пространстве у нас четыре квадрата. В твердом пространстве у нас восемь кубов. Следовательно, мы должны ожидать, что в четырехмерном пространстве будет шестнадцать четырехмерных тел — тел, которые в четырехмерном пространстве соответствуют кубам в трехмерном пространстве, и эти тела мы называем тессерактами.

Fig. 98.

Итак, имея нулевой, белый, красный, желтый кубы и те, что составляют блок, мы замечаем, что прекрасно представляем протяженность в трех направлениях (рис. 98). От нулевой точки нулевого куба, пропутешествовав один дюйм, мы приходим к белому кубу; пропутешествовав один дюйм в сторону, мы приходим к желтому кубу; пропутешествовав один дюйм вверх, мы приходим к красному кубу. Теперь, если существует четвертое измерение, то, пропутешествовав от той же нулевой точки один дюйм в этом направлении, мы должны прийти к телу, лежащему за пределами нулевой области.

Я говорю «нулевая область», а не «куб», ибо с введением четвертого измерения каждый из наших кубов должен стать чем-то отличным от кубов. Если они должны существовать в четвертом измерении, они должны быть «заполнены из» этого четвертого измерения.

Теперь мы предположим, что, подобно тому как мы получаем перенос от нуля к белому, двигаясь в одном направлении, и от нуля к желтому, двигаясь в другом, так, двигаясь от нуля в четвертом направлении, мы имеем перенос от нуля к синему, используя таким образом цвета белый, желтый, красный, синий для обозначения переносов в каждом из четырех направлений — вправо, в сторону, вверх, неизвестное или четвертое измерение.

Fig. 99.

A plane being’s representation of a block of eight cubes by two sets of four squares.

Следовательно, как плоское существо должно представлять твердые области, к которым оно пришло бы, двигаясь вправо, как четыре квадрата, лежащие в некотором произвольно выбранном положении на его плоскости, бок о бок с его исходными четырьмя квадратами, так и мы должны представлять те восемь четырехмерных областей, к которым мы пришли бы, двигаясь в четвертом измерении от каждого из наших восьми кубов, восемью кубами, помещенными в некоторое произвольное положение относительно наших первых восьми кубов.

Fig. 100.

Наше представление блока из шестнадцати тессерактов двумя блоками из восьми кубов. [3]

[3] Восемь кубов, использованных здесь в пункте 2, можно найти во втором из модельных блоков. Их можно вынуть и использовать.

Следовательно, из двух наборов по восемь кубов каждый послужит нам представлением одного из шестнадцати тессерактов, которые образуют один единый блок в четырехмерном пространстве. Каждый куб, в том виде, в каком он у нас есть, — это, так сказать, поднос, на котором покоится реальная четырехмерная фигура, подобно тому как каждый из квадратов, имеющихся у плоского существа, — это поднос, на котором мог бы покоиться куб, который он представляет.

Если мы предположим, что кубы имеют размер один дюйм в каждую сторону, то исходные восемь кубов дадут восемь тессерактов тех же цветов, или кубы, каждый из которых простирается на один дюйм в четвертом измерении.

Но после них, продолжая движение в четвертом измерении, идут восемь других тел, восемь других тессерактов. Они должны быть там, если мы предположим, что четырехмерное тело, которое мы составляем, имеет два деления, по одному дюйму в каждом из четырех направлений.

Цвет, который мы выбираем для обозначения переноса в эту вторую область в четвертом измерении, — синий. Таким образом, начиная с нулевого куба и двигаясь в четвертом измерении, мы сначала проходим через один дюйм нулевого тессеракта, затем приходим к синему кубу, который является началом синего тессеракта. Этот синий тессеракт простирается еще на один дюйм дальше в четвертом измерении.

Таким образом, за пределами каждого из восьми тессерактов, которые имеют тот же цвет, что и кубы, являющиеся их основаниями, лежат восемь тессерактов, цвета которых получены из цветов первых восьми путем добавления синего. Таким образом —

Null gives blue

Yellow ” green

Red ” purple

Orange ” brown

White ” light blue

Pink ” light purple

Light yellow ” light green

Ochre ” light brown

Добавление синего к желтому дает зеленый — это естественное предположение. Также естественно предположить, что синий, добавленный к красному, дает пурпурный. Оранжевый и синий могут дать коричневый при использовании определенных оттенков и пропорций. А охра и синий могут дать светло-коричневый.

Но цветовая схема используется лишь для получения определенного и реализуемого набора названий и различий, видимых глазу. Их естественность очевидна любому, кто привык пользоваться цветами, и ее можно считать оправданной, поскольку единственная цель — разработать набор названий, которые легко запомнить и которые дадут нам набор цветов, с помощью которых диаграммы можно сделать легкими для понимания. Никакой научной классификации цветов не предпринималось.

Начиная, таким образом, с этих шестнадцати названий цветов, мы имеем каталог шестнадцати тессерактов, которые образуют четырехмерный блок, аналогичный кубическому блоку. Но куб, который мы можем поместить в пространство и рассмотреть, не является одним из составляющих тессерактов; это лишь начало, твердая грань, сторона, аспект тессеракта.

Теперь мы перейдем к выводу названия для каждой области, точки, ребра, плоской грани, твердого тела и грани тессеракта.

Система будет ясна, если мы посмотрим на представление тессеракта на плоскости с тремя и с четырьмя делениями в его стороне.

Тессеракт, состоящий из трех тессерактов в каждую сторону, соответствует кубу, состоящему из трех кубов в каждую сторону, и даст нам полную номенклатуру.

На этой диаграмме, рис. 101, 1 представляет куб из 27 кубов, каждый из которых является началом тессеракта. Эти кубы представлены просто их нижними квадратами, твердое содержание должно подразумеваться. 2 представляет 27 кубов, которые являются началами 27 тессерактов, отстоящих на один дюйм в четвертом измерении. Эти тессеракты представлены как блок кубов, поставленный бок о бок с первым блоком, но в своих надлежащих положениях они не могли бы находиться в пространстве вместе с первым набором. 3 представляет 27 кубов (образующих больший куб), которые являются началами тессерактов, начинающихся в двух дюймах в четвертом направлении от нашего пространства и продолжающихся еще на один дюйм.

Fig. 101.

1 2 3

Each cube is the beginning of the first tesseract going in the fourth dimension.

Each cube is the beginning of the second tesseract.

Each cube is the beginning of the third tesseract.

Fig. 102.[4]

1 2 3 4

A cube of 64 cubes each 1. in × 1 in., the beginning of a tesseract.

A cube of 64 cubes, each 1 in. × 1 in. × 1 in. the beginning of tesseracts 1 in. from our space in the 4th dimension.

A cube of 64 cubes, each 1 in. × 1 in. × 1 in. the beginning of tesseracts 2 in. from our space in the 4th dimension.

A cube of 64 cubes, each 1 in. × 1 in. × 1 in. the beginning of tesseracts 3 in. from our space in the 4th dimension.

[4] Цветная таблица, рис. 1, 2, 3, показывает эти отношения более наглядно.

На рис. 102 мы имеем представление блока из 4 × 4 × 4 × 4, или 256 тессерактов. Они даны в четырех последовательных сечениях, каждое из которых, как предполагается, взято на расстоянии одного дюйма друг от друга в четвертом измерении, и таким образом дают четыре блока кубов, по 64 в каждом блоке. Здесь мы видим, сравнивая это с фигурой из 81 тессеракта, что количество различных областей показывает иную тенденцию роста. При взятии пяти блоков по пять делений в каждую сторону это стало бы еще более ясным.

Мы видим на рис. 102, что, начиная с точки в любом углу, области белого цвета простираются только по линии. То же самое верно для желтого, красного и синего. Что касается последнего, следует заметить, что линия синих состоит не из областей, соседствующих друг с другом на чертеже, а из частей, которые входят в разные кубы. Части, которые лежат рядом друг с другом в четвертом измерении, всегда должны быть представлены так, когда мы имеем трехмерное представление. Опять же, те области, такие как розовая, продолжают увеличиваться в двух измерениях. Относительно розовой области это видно, не выходя за пределы самого куба: розовые области увеличиваются в длину и высоту, но ни в каком другом измерении. При исследовании этих областей достаточно взять одну в качестве образца.

Пурпурная увеличивается таким же образом, ибо она входит в последовательность снизу вверх в блоке 2 и в последовательность от блока к блоку в 2 и 3. Теперь последовательность снизу вверх представляет непрерывное расширение вверх, а последовательность от блока к блоку представляет непрерывное расширение в четвертом измерении. Таким образом, пурпурные области увеличиваются в двух измерениях — вверх и в четвертом, поэтому, когда мы берем очень много делений и позволяем каждому стать очень малым, пурпурная область образует двухмерное расширение.

Таким же образом, глядя на области, отмеченные l. b. или светло-синим, которые начинаются ближе всего к углу, мы видим, что занимающие их тессеракты увеличиваются в длину слева направо, образуя линию, и что существует столько же линий светло-синих тессерактов, сколько существует сечений между первым и последним сечением. Следовательно, светло-синие тессеракты увеличиваются в количестве двумя способами — вправо и влево, и в четвертом измерении. В конечном итоге они образуют то, что мы можем назвать плоской поверхностью.

Теперь все те области, которые содержат смесь двух простых цветов — белого, желтого, красного, синего, — увеличиваются двумя способами. С другой стороны, те, которые содержат смесь трех цветов, увеличиваются тремя способами. Возьмем, к примеру, охристую область; она имеет три цвета: белый, желтый, красный; и в самом кубе она увеличивается тремя способами.

Теперь рассмотрим оранжевую область; если мы добавим к этому синий, мы получим коричневый. Область коричневых тессерактов простирается двумя способами слева от второго блока, № 2 на рисунке. Она также простирается слева направо в последовательности от одного сечения к другому, от сечения 2 к сечению 3 на нашем рисунке.

Следовательно, коричневые тессеракты увеличиваются в количестве в трех измерениях: вверх, туда-сюда, в четвертом измерении. Таким образом, они образуют кубическую, трехмерную область; эта область простирается вверх и вниз, близко и далеко, и в четвертом направлении, но тонка в направлении слева направо. Это куб, который, когда полный тессеракт представлен в нашем пространстве, выглядит как серия граней на последовательных кубических сечениях тессеракта. Сравните рис. 103, на котором средний блок, 2, стоит как представляющий большое количество промежуточных сечений между 1 и 3.

Подобным образом из розовой области путем добавления синего мы получаем светло-пурпурную область, которая, как можно видеть, увеличивается тремя способами по мере того, как количество делений становится больше. Три способа, которыми эта область тессерактов расширяется, — это вверх и вниз, вправо и влево, четвертое измерение. В конечном итоге, следовательно, она образует кубическую массу очень малых тессерактов, и когда тессеракт дан в пространственных сечениях, он появляется на гранях, содержащих измерения вверх, вправо и влево.

Таким образом, мы получаем в общей сложности в качестве трехмерных областей: охристую, коричневую, светло-пурпурную, светло-зеленую.

Наконец, существует область, которая соответствует смеси всех цветов; такая область только одна. Это та, которая возникает из охристой путем добавления синего — этот цвет мы называем светло-коричневым.

Глядя на светло-коричневую область, мы видим, что она увеличивается четырьмя способами. Следовательно, тессеракты, из которых она состоит, увеличиваются в количестве в каждом из четырех измерений, и форма, которую они образуют, не остается тонкой ни в одном из четырех измерений. Следовательно, эта область становится самим твердым содержанием блока тессерактов; это реальное четырехмерное твердое тело. Все остальные области тогда являются границами этой светло-коричневой области. Если мы предположим, что процесс увеличения количества тессерактов и уменьшения их размера продолжается бесконечно, то светло-коричневые тессеракты становятся всей внутренней массой, трехцветные тессеракты становятся трехмерными границами, тонкими в одном измерении, и образуют охристую, коричневую, светло-пурпурную, светло-зеленую. Двухцветные тессеракты становятся двухмерными границами, тонкими в двух измерениях, например, розовую, зеленую, пурпурную, оранжевую, светло-синюю, светло-желтую. Одноцветные тессеракты становятся ограничивающими линиями, тонкими в трех измерениях, а нулевые точки становятся ограничивающими углами, тонкими в четырех измерениях. От этих тонких реальных границ мы можем перейти в мысли к абстракциям — точкам, линиям, граням, твердым телам, — ограничивающим четырехмерное твердое тело, которое в данном случае является светло-коричневым, и при этом предположении светло-коричневая область является единственной реальной, единственной, которая не является абстракцией.

Следует заметить, что, принимая квадрат за представление куба на плоскости, мы представляем только одну грань или сечение между двумя гранями. Квадраты, нарисованные плоским существом, — это не сами кубы, а представляют грани или сечения куба. Таким образом, на диаграмме плоского существа куб из двадцати семи кубов «нуль» представляет куб, но на самом деле, в нормальном положении, является оранжевым квадратом нулевого куба и может быть назван «нуль, оранжевый квадрат».

Плоское существо избавило бы себя от путаницы, если бы называло свои репрезентативные квадраты не просто используя названия кубов, а добавляя к названиям кубов слово, показывающее, какой частью куба является его репрезентативный квадрат.

Таким образом, куб «нуль», стоящий против его плоскости, касается ее нулевой оранжевой гранью; проходя через его плоскость, он имеет в плоскости квадрат в качестве следа, который является «нулевым белым сечением», если мы используем фразу «белое сечение» для обозначения сечения, проведенного перпендикулярно белой линии. Таким же образом кубы, которые мы берем в качестве репрезентативных для тессеракта, — это не сам тессеракт, а определенные грани или сечения его. В предыдущих фигурах мы должны были бы сказать тогда не «нуль», а «нулевой тессеракт, охристый куб», потому что куб, который мы фактически имеем, — это тот, который определяется тремя осями: белой, красной, желтой.

Существует другой способ, которым мы можем рассматривать цветовую номенклатуру границ тессеракта.

Рассмотрим нулевую точку, движущуюся и описывающую белую линию длиной в один дюйм, заканчивающуюся в нулевой точке, см. рис. 103 или цветную таблицу.

Затем рассмотрим эту белую линию с ее конечными точками, саму движущуюся во втором измерении; каждая из точек описывает линию, сама линия описывает площадь и дает также две линии — свое начальное и конечное положение.

Таким образом, если мы назовем «областью» любой элемент фигуры, такой как точка, линия и т. д., каждая «область» при движении описывает новый вид области, «высшую область», и дает две области своего собственного вида — начальное и конечное положение. «Высшая область» означает область, содержащую еще одно измерение.

Теперь квадрат может двигаться и порождать куб. Светло-желтый квадрат движется и описывает массу куба. Позволив добавлению красного обозначать область, созданную движением в направлении вверх, мы получаем охристое твердое тело. Светло-желтая грань в своем начальном и конечном положениях дает две квадратные границы куба — сверху и снизу. Затем каждая из четырех линий светло-желтого квадрата — белая, желтая и белая, желтая, противоположные им — описывает ограничивающий квадрат. Таким образом, всего существует шесть ограничивающих квадратов, четыре из этих квадратов обозначены цветом путем добавления красного к цвету порождающих линий. Наконец, каждая точка, движущаяся в направлении вверх, дает начало линии, окрашенной в «нуль + красный», или красный, и тогда существуют начальное и конечное положения точек, дающие восемь точек. Количество линий, очевидно, двенадцать, ибо четыре линии этого светло-желтого квадрата дают четыре линии в своем начальном и четыре линии в своем конечном положении, в то время как четыре точки описывают четыре линии, то есть всего двенадцать линий.

Теперь квадраты являются каждый отдельными границами куба, в то время как линии принадлежат каждая двум квадратам; таким образом, красная линия — это та, которая является общей для оранжевого и розового квадратов.

Теперь предположим, что существует направление, четвертое измерение, которое перпендикулярно каждому из уже использованных пространственных измерений — измерение, перпендикулярное, например, «вверх» и «вправо», так что розовый квадрат, движущийся в этом направлении, описывает куб.

Более того, измерение, перпендикулярное направлениям «вверх» и «в сторону», так что оранжевый квадрат, движущийся в этом направлении, также описывает куб, и светло-желтый квадрат, движущийся в этом направлении, тоже описывает куб. При этом предположении весь куб, движущийся в неизвестном измерении, описывает нечто новое — новый вид объема, высший объем. Этот высший объем является четырехмерным объемом, и мы обозначаем его цветом путем добавления синего к цвету того, что, двигаясь, порождает его.

Он порождается движением охристого твердого тела, и поэтому он имеет цвет, который мы называем светло-коричневым (белый, желтый, красный, синий, смешанные вместе). Он представлен рядом сечений, подобных 2 на рис. 103.

Теперь это светло-коричневое высшее твердое тело имеет в качестве границ: во-первых, охристый куб в своем начальном положении, во-вторых, тот же куб в своем конечном положении, 1 и 3, рис. 103. Каждая из граней, ограничивающих куб, более того, при движении в этом новом направлении описывает куб, поэтому мы имеем от передних розовых граней куба, в-третьих, розово-синий или светло-пурпурный куб, показанный как светло-пурпурная грань на кубе 2 на рис. 103, этот куб обозначает любое количество промежуточных сечений; в-четвертых, аналогичный куб от противоположной розовой грани; в-пятых, куб, описанный оранжевой гранью — он окрашен в коричневый цвет и представлен коричневой гранью сечения куба на рис. 103; в-шестых, соответствующий коричневый куб с правой стороны; в-седьмых, куб, начинающийся от светло-желтого квадрата внизу; неизвестное измерение перпендикулярно и этому тоже. Этот куб окрашен в светло-желтый и синий или светло-зеленый; и, наконец, восьмой, соответствующий куб от верхней светло-желтой грани, показанный как светло-зеленый квадрат в верхней части сечения куба.

Таким образом, тессеракт имеет восемь кубических границ. Они полностью ограничивают его, так что он был бы невидимым для четырехмерного существа. Теперь, что касается других границ, подобно тому как куб имеет квадраты, линии, точки в качестве границ, так и тессеракт имеет кубы, квадраты, линии, точки в качестве границ.

Количество квадратов находится следующим образом: вокруг куба есть шесть квадратов, они дадут шесть квадратов в своих начальных и шесть в своих конечных положениях. Затем каждая из двенадцати линий куба описывает квадрат при движении в четвертом измерении. Следовательно, всего будет 12 + 12 = 24 квадрата.

Если мы посмотрим на любой из этих квадратов, мы увидим, что это поверхность встречи двух кубических сторон. Таким образом, красная линия своим движением в четвертом измерении описывает пурпурный квадрат — он является общим для двух кубов, один из которых описан розовым квадратом, движущимся в четвертом измерении, а другой описан оранжевым квадратом, движущимся в том же направлении. Чтобы взять другой квадрат, светло-желтый, он является общим для охристого куба и светло-зеленого куба. Охристый куб получается из светло-желтого квадрата путем перемещения его в направлении вверх, светло-зеленый куб создается из светло-желтого квадрата путем перемещения его в четвертом измерении. Количество линий — тридцать две, ибо двенадцать линий куба дают двенадцать линий тессеракта в своем начальном положении и двенадцать в своем конечном положении, составляя двадцать четыре, в то время как каждая из восьми точек описывает линию, таким образом формируя всего тридцать две линии.

Линии являются каждая общей для трех кубов или для трех квадратных граней; возьмем, к примеру, красную линию. Она общая для оранжевой грани, розовой грани и той грани, которая образована перемещением красной линии в шестом измерении, а именно пурпурной грани. Она также общая для охристого куба, бледно-пурпурного куба и коричневого куба.

Точки являются общими для шести квадратных граней и для четырех кубов; таким образом, нулевая точка, с которой мы начинаем, общая для трех квадратных граней — розовой, светло-желтой, оранжевой, и для трех квадратных граней, созданных перемещением трех линий — белой, желтой, красной — в четвертом измерении, а именно светло-синей, светло-зеленой, пурпурной граней — то есть всего для шести граней. Четыре куба, которые встречаются в ней, — это охристый куб, светло-пурпурный куб, коричневый куб и светло-зеленый куб.

Fig. 103.

Тессеракт, красная, белая, желтая оси в пространстве. На нижней линии показаны три задние грани, внутренняя часть удалена.]

Fig. 104.

The tesseract, red, yellow, blue axes in space, the blue axis running to the left, opposite faces are coloured identically.

Полный вид тессеракта в его различных пространственных представлениях дан на следующих рисунках или в каталоге кубов, рис. 103-106. Первый куб на каждом рисунке представляет вид тессеракта, окрашенного, как описано, когда он начинает проходить поперечно нашему пространству. Промежуточная фигура представляет сечение, когда он частично прошел, а финальная фигура представляет дальний конец, когда он только выходит. Эти фигуры будут подробно объяснены в следующей главе.

Fig. 105.

The tesseract, with red, white, blue axes in space. Opposite faces are coloured identically.

Fig. 106.

The tesseract, with blue, white, yellow axes in space. The blue axis runs downward from the base of the ochre cube as it stands originally. Opposite faces are coloured identically.