«Четвертое измерение»

Глядя теперь на стороны этой фигуры, мы видим, что на каждой из них есть единичный квадрат — два квадрата не содержат точек, но имеют по четыре угловые точки каждый, что дает точечное значение каждого как одну точку.

Следовательно, мы видим, что квадрат на диагонали равен квадратам на двух сторонах; или, как это обычно выражается, квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на сторонах.

Fig. 18.

Заметив этот факт, мы можем перейти к вопросу, всегда ли это верно. Нарисовав квадрат, показанный на рис. 18, мы можем посчитать количество его точек. Всего их пять. Внутри квадрата на диагонали находятся четыре точки, и, следовательно, вместе с четырьмя точками в его углах точечное значение равно 5 — то есть площадь равна 5. Теперь квадраты на сторонах имеют соответственно площадь 4 и 1. Следовательно, и в этом случае квадрат на диагонали равен сумме квадратов на сторонах. Это свойство материи является одним из первых великих открытий прикладной математики. Мы докажем впоследствии, что это не свойство пространства. На данный момент достаточно заметить, что положения, в которых расположены точки, являются чисто экспериментальными. Именно с помощью равных кусков какого-либо материала или одного и того же куска материала, перемещаемого с одного места на другое, точки располагаются.

Затем Пифагор исследовал, каким должно быть отношение, чтобы квадрат, нарисованный наклонно, был равен квадрату, нарисованному прямо. Он обнаружил, что квадрат, сторона которого равна пяти, может быть помещен либо прямоугольно вдоль линий точек, либо в наклонном положении. И этот квадрат эквивалентен двум квадратам со сторонами 4 и 3.

Здесь он натолкнулся на числовое отношение, воплощенное в свойстве материи. Числа, имманентные объектам, порождали равенство, столь удовлетворительное для интеллектуального постижения. И он обнаружил, что числа, когда они имманентны звуку — когда струны музыкального инструмента имели определенные точные пропорции длины — были не менее захватывающими для слуха, чем равенство квадратов для разума. Что же удивительного в том, что он приписывал активную силу числу!

Мы должны помнить, что, разделяя, подобно нам, поиск постоянного в изменяющихся явлениях, греки не имели той концепции постоянного в материи, которую имеем мы. Для них материальные вещи не были постоянными. В огне твердые вещи исчезали; абсолютно исчезали. Скалы и земля имели более стабильное существование, но и они росли и разрушались. Постоянство материи, сохранение энергии были им неизвестны. И то различие, которое мы так легко проводим между мимолетными и постоянными причинами ощущения, например, между звуком и материальным объектом, не имело для них того же значения, которое оно имеет для нас. Давайте лишь на мгновение представим, что материальные вещи мимолетны, исчезают, и мы с гораздо большей признательностью войдем в тот поиск постоянного, который у греков, как и у нас, является первичным интеллектуальным требованием.

Что есть то, что среди тысячи форм всегда одно и то же, что мы можем узнать при всех его превратностях, чьими проявлениями являются разнообразные феномены?

Думать, что это число, не так уж далеко от истины. С интеллектуальным постижением, которое намного опережало доказательства для его применения, атомисты утверждали, что существуют вечные материальные частицы, которые своим соединением порождали все изменяющиеся формы и состояния тел. Но ввиду наблюдаемых фактов природы, как они были известны тогда, Аристотель с полным основанием отказался принять эту гипотезу.

Он прямо заявляет, что существует изменение качества и что изменение, обусловленное движением, является лишь одним из возможных способов изменения.

Не имея вокруг нас постоянного материального мира, с мимолетным, непостоянным повсюду вокруг, мы, я думаю, были бы готовы последовать за Пифагором в его отождествлении числа с тем принципом, который существует среди всех изменений, который в бесчисленных формах мы постигаем имманентным в изменяющейся и исчезающей субстанции вещей.

И от числового идеализма Пифагора лишь один шаг до более богатого и полного идеализма Платона. То, что постигается чувством осязания, мы ставим как первичное и реальное, а о других чувствах говорим, что они касаются лишь явлений. Но Платон принимал их все как значимые, как дающие качества существования. То, что качества не были постоянными в мире, данном чувствам, заставило его приписать им другой вид постоянства. Он сформировал концепцию мира идей, в котором все, что действительно есть, все, что влияет на нас и дает богатое и чудесное богатство нашего опыта, не является мимолетным и преходящим, а вечным. И этого реального и вечного мы видим в вещах вокруг нас мимолетные и преходящие образы.

И этот мир идей не был исключительным, в котором не было места для сокровенных убеждений души и ее самых авторитетных утверждений. Там существовали справедливость, красота — единое, благое, все, чем душа требовала быть. Мир идей, чудесное творение Платона, сохранил для человека, для его сознательного исследования и их верного развития все то, что грубые непостижимые изменения сурового опыта рассеивают и разрушают.

Платон верил в реальность идей. Он встречает нас честно и прямо. Разделите линию на две части, говорит он; одну, чтобы представить реальные объекты в мире, другую, чтобы представить преходящие явления, такие как изображение в неподвижной воде, блеск солнца на яркой поверхности, тени на облаках.

Real things: e.g., the sun.

Appearances: e.g., the reflection of the sun.

Возьмите другую линию и разделите ее на две части, одну, представляющую наши идеи, обычных обитателей наших умов, таких как белизна, равенство, и другую, представляющую наше истинное знание, которое касается вечных принципов, таких как красота, добро.

Eternal principles,

as beauty.

Appearances in the mind,

as whiteness, equality

Тогда как A относится к B, так A1 относится к B1.

То есть душа может продвигаться, уходя от реальных вещей к области совершенной уверенности, где она созерцает то, что есть, а не рассеянные отражения; созерцает солнце, а не блеск на песках; истинное бытие, а не случайное мнение.

Теперь это для нас, как и для Аристотеля, абсолютно немыслимо с научной точки зрения. Мы можем понять, что существо познается в полноте его отношений; именно в его отношениях к обстоятельствам познается характер человека; именно в его действиях при его условиях существует его характер. Мы не можем ухватить или представить какой-либо принцип индивидуации отдельно от полноты отношений к окружению.

Но предположим теперь, что Платон говорит о высшем человеке — четырехмерном существе, которое ограничено в нашем внешнем опыте трехмерным миром. Не начинают ли его слова обретать смысл? Такое существо обладало бы сознанием движения, которое не похоже на движение, которое он может видеть глазами тела. Он в своем собственном бытии знает реальность, по сравнению с которой внешняя материя этой слишком твердой земли является хрупкой поверхностностью. Он тоже знает способ бытия, полноту отношений, которая может быть представлена в ограниченном мире чувств только так, как художник несущественно изображает глубины лесов, равнин и воздуха. Думая о таком существе в человеке, не была ли линия Платона хорошо разделена?

Примечательно, что если бы Платон опустил свою доктрину независимого происхождения идей, он представил бы в точности четырехмерный аргумент; реальная вещь, какой мы ее мыслим, — это идея. Идея плоского существа о квадратном объекте — это идея абстракции, а именно геометрического квадрата. Точно так же наша идея о твердом предмете — это абстракция, ибо в нашей идее нет четырехмерной толщины, которая необходима, пусть даже незначительная, чтобы придать реальность. Аргумент тогда звучал бы так: как тень относится к твердому объекту, так твердый объект относится к реальности. Таким образом, A и B´ были бы отождествлены.

В аллегории, на которую я уже ссылался, Платон почти теми же словами показывает отношение между существованием в поверхности и в твердом пространстве. И он использует это отношение, чтобы указать на условия высшего бытия.

Он представляет себе ряд людей-узников, закованных так, что они смотрят на стену пещеры, в которой они заключены, спиной к дороге и свету. По дороге проходят мужчины и женщины, фигуры и процессии, но из всего этого зрелища все, что видят узники, — это тень его на стене, на которую они смотрят. Их собственные тени и тени вещей в мире — это все, что они видят, и, отождествляя себя со своими тенями, связанными как тени с миром теней, они живут в своего рода сне.

Платон представляет себе, как один из них выходит из их среды в мир реального пространства, а затем возвращается, чтобы рассказать им об их состоянии.

Здесь он наиболее ясно представляет отношение между существованием в плоском мире и существованием в трехмерном мире. И он использует эту иллюстрацию как тип того способа, которым мы должны продвигаться к высшему состоянию от трехмерной жизни, которую мы знаем.

Должно быть, от веса тени зависело, какой путь он выбрал! — тот ли, которому мы последуем к высшему твердому телу и четырехмерному существованию, или тот, который делает идеи высшими реальностями, а прямое их восприятие — контактом с более истинным миром.

Переходя к Аристотелю, мы коснемся моментов, которые наиболее непосредственно касаются нашего исследования.

Точно так же, как ученый наших дней, рассматривая спекуляции древнего мира, относился бы к ним с любопытством, наполовину насмешливым, но полностью уважительным, спрашивая у каждого и у всех, в чем заключается их отношение к факту, так и Аристотель, обсуждая философию Греции, как он ее нашел, спрашивает прежде всего: «Представляет ли это мир? Есть ли в этой системе адекватное представление того, что есть?»

Он находит их все дефектными, некоторые по тем самым причинам, по которым мы ценим их наиболее высоко, как когда он критикует атомную теорию за ее сведение всех изменений к движению. Но в высоком марше своего разума он никогда не упускает из виду целое; и то, в чем наши взгляды отличаются от его, заключается не столько в превосходстве нашей точки зрения, сколько в факте, который он сам провозглашает — что невозможно, чтобы один принцип был действителен во всех отраслях исследования. Концепции одного метода исследования не являются концепциями другого; и наше расхождение заключается в нашем исключительном внимании к концепциям, полезным в одном способе постижения природы, а не в какой-либо возможности, которую мы находим в наших теориях дать взгляд на целое, превосходящий взгляд Аристотеля.

Он принимает во внимание все; он не разделяет материю и проявление материи; он соединяет все вместе в концепции огромного мирового процесса, в котором все принимает участие — движение пылинки, раскрытие листа, упорядоченное движение сфер на небе — все это части одного целого, которое он не хочет разделять на мертвую материю и привходящие модификации.

И точно так же, как наши теории, как репрезентативные для действительности, падают перед его непревзойденным охватом фактов, так пала и доктрина идей. Это не адекватное описание существования, как показывает сам Платон в своем «Пармениде»; она только объясняет вещи, ставя их двойников рядом с ними.

Со своей стороны Аристотель изобрел великое марширующее определение, которое с присущей ему своего рода силой прокладывает себе путь сквозь явления к ограничивающим концепциям с обеих сторон, на существование которых указывает весь опыт.

В определении Аристотелем материи и формы как составляющей реальности, как и в мистическом видении Платоном царства идей, существование высшей размерности неявно вовлечено.

Субстанция, согласно Аристотелю, относительна, а не абсолютна. Во всем, что есть, есть материя, из которой оно состоит, форма, которую оно демонстрирует; но они неразрывно связаны, и ни одна из них не может быть помыслена без другой.

Каменные блоки, из которых строится дом, являются материалом для строителя; но, что касается каменотесов, они являются материей скал с формой, которую он наложил на них. Слова — конечный продукт грамматика, но лишь материя оратора или поэта. Атом для нас — то, из чего строятся химические вещества, но, если посмотреть с другой точки зрения, является результатом сложных процессов.

Нигде мы не находим окончательности. Материя в одной сфере является материей плюс формой другой сферы мысли. Делая очевидное применение к геометрии, плоские фигуры существуют как ограничение различных частей плоскости друг другом. В ограничивающих линиях разделенная материя плоскости показывает свое определение в форму. И как плоскость является материей относительно определений в плоскости, так и сама плоскость существует в силу определения пространства. Плоскость — это то, в чем бесформенное пространство имеет наложенную на него форму, и дает актуальность реальных отношений. Мы не можем отказаться продвинуть этот процесс рассуждения на шаг дальше и сказать, что само пространство — это то, что дает форму высшему пространству. Как линия является определением плоскости, а плоскость — твердого тела, так и твердое пространство само является определением высшего пространства.

Как линия сама по себе немыслима без той плоскости, которую она разделяет, так и плоскость немыслима без твердых тел, которые она ограничивает с обеих сторон. И так само пространство не может быть положительно определено. Это отрицание возможности движения более чем в трех измерениях. Концепция пространства требует концепции высшего пространства. Как поверхность тонка и несущественна без субстанции, поверхностью которой она является, так и сама материя тонка без высшей материи.

Точно так же, как Аристотель изобрел тот алгебраический метод представления неизвестных величин простыми символами, а не линиями, обязательно определенными по длине, как это было в обычае греческих геометров, и тем самым проложил путь к тем объективациям мысли, которые, подобно независимым машинам для рассуждения, снабжают математика его аналитическим оружием, так и в формулировке доктрины материи и формы, потенциальности и актуальности, относительности субстанции он произвел другой вид объективации разума — определение, которое имело жизненную силу и активность само по себе.

Ни в одном из своих трудов, насколько нам известно, он не довел ее до логического завершения со стороны материи, но в направлении формальных качеств он был приведен к своей ограничивающей концепции того существования чистой формы, которое лежит за пределами всякого известного определения материи. Неподвижный двигатель всего сущего — высший принцип Аристотеля. К нему, чтобы приобщиться к его совершенству, движутся все вещи. Вселенная, согласно Аристотелю, — это активный процесс; он не принимает нелогичную концепцию, что она была однажды приведена в движение и с тех пор продолжает двигаться. В системе Аристотеля есть место для активности, воли, самоопределения, а также для случайного и непредвиденного. Мы не следуем за ним, потому что привыкли находить в природе бесконечные ряды и не чувствуем себя обязанными переходить к вере в конечные пределы, на которые они, по-видимому, указывают.

Но помимо доведения до предела, как относительный принцип эта доктрина Аристотеля об относительности субстанции неопровержима в своей логике. Он был первым, кто показал необходимость того пути мысли, который при следовании ведет к вере в четырехмерное пространство.

Будучи антагонистом Платона в своей концепции практического отношения разума к миру явлений, он все же в одном пункте совпал с ним. И в этом он проявил искренность своего интеллекта. Он был более озабочен тем, чтобы ничего не потерять, чем тем, чтобы все объяснить. И то, в чем многие обнаружили непоследовательность, неспособность освободиться от школы Платона, представляется нам в связи с нашим исследованием как пример остроты его наблюдения. Ибо за пределами всякого знания, данного чувствами, Аристотель полагал, что существует активный интеллект, разум, не пассивный получатель впечатлений извне, а активное и творческое существо, способное постигать знание из первых рук. В активной душе Аристотель признавал нечто в человеке, не произведенное его физическим окружением, нечто, что творит, чья активность есть знание, не выведенное из чувств. Это, говорит он, бессмертное и неумирающее существо в человеке.

Таким образом, мы видим, что Аристотель был недалеко от признания четырехмерного существования, как вне, так и внутри человека, и процесс адекватного осознания фигур высшей размерности, к которым мы придем впоследствии, является простым сведением к практике его гипотезы о душе.

Следующий шаг в развертывании драмы признания души как связанной с нашей научной концепцией мира и, в то же время, признания того высшего, поверхностным проявлением которого является трехмерный мир, произошел много веков спустя. Если мы пропускаем промежуточное время без слова, то это потому, что душа была занята утверждением себя иными способами, нежели способом знания. Когда она всерьез взялась за задачу познания этого материального мира, в котором она себя обнаружила, и управления ходом неживой природы, из этой наиболее объективной цели пришло, отраженное назад, как из зеркала, ее знание о самой себе.

ГЛАВА V ВТОРАЯ ГЛАВА В ИСТОРИИ ЧЕТЫРЕХ ПРОСТРАНСТВ

Лобачевский, Бойяи и Гаусс. Прежде чем приступить к описанию работы Лобачевского и Бойяи, будет не лишним дать краткий отчет о них, материалы для которого можно найти в статье Франца Шмидта в сорок втором томе Mathematische Annalen и в издании Энгеля работ Лобачевского.

Лобачевский был человеком самых полных и чудесных талантов. В юности он был полон живости, доводя свою эксuberance до того, что попадал в серьезные неприятности за дедовщину над профессором и другие выходки. Спасенный благодаря добрым услугам математика Бартельса, который оценил его способности, он сумел удержать себя в рамках благоразумия. Назначенный профессором в своем собственном университете, в Казани, он приступил к своим обязанностям при режиме пиетистского реакционера, который окружил себя подхалимами и лицемерами. Вероятно, считая интересы своих учеников выше любой попытки тщетного сопротивления, он стал правой рукой тирана, выполняя невероятный объем преподавания и выполняя самые разнообразные официальные обязанности. Среди всей своей деятельности он находил время делать важные вклады в науку. Его теория параллельных линий наиболее тесно связана с его именем, но изучение его трудов показывает, что он был человеком, способным продолжать математику по ее основным линиям продвижения, и суждения, равного тому, чтобы различать, что это за линии. Назначенный ректором своего университета, он умер в преклонном возрасте, окруженный друзьями, почитаемый, с результатами своей благотворной деятельности повсюду вокруг него. Для него не было неподходящего предмета, от основ геометрии до улучшения печей, которыми крестьяне отапливали свои дома.

Он родился в 1793 году. Его научная работа оставалась незамеченной до 1867 года, когда Уэль, французский математик, обратил внимание на ее важность.

Янош Бойяи де Бойяи родился в Клаузенбурге, городе в Трансильвании, 15 декабря 1802 года.

Его отец, Вольфганг Бойяи, профессор Реформатского колледжа в Марош-Вашархей, сохранил пыл в математических исследованиях, который сделал его избранным спутником Гаусса в их ранние студенческие годы в Геттингене.

Он нашел в Яноше жадного ученика. Он рассказывает, что мальчик выпрыгнул перед ним, как черт. Как только он формулировал задачу, ребенок давал решение и приказывал ему идти дальше. Будучи тринадцатилетним мальчиком, отец иногда посылал его заменять себя, когда был не в состоянии вести занятия. Ученики слушали его с большим вниманием, чем отца, ибо находили его более понятным.

В письме к Гауссу Вольфганг Бойяи пишет:—

«Мой мальчик крепко сложен. Он научился распознавать многие созвездия и обычные фигуры геометрии. Он делает уместные применения своих понятий, рисуя, например, положения звезд с их созвездиями. Прошлой зимой в деревне, увидев Юпитер, он спросил: «Как это мы можем видеть его отсюда так же хорошо, как из города? Он должен быть далеко». И относительно трех разных мест, в которых он был, он попросил меня рассказать ему о них одним словом. Я не знал, что он имел в виду, а потом он спросил меня, находится ли одно на линии с другим и все в ряд, или они находятся в треугольнике.

«Ему нравится вырезать бумажные фигурки ножницами, и, не будучи мной наученным о треугольниках, заметил, что прямоугольный треугольник, который он вырезал, был половиной прямоугольника. Я упражняю его тело с осторожностью, он может хорошо копать землю своими маленькими ручками. Цветок может упасть, и плода не останется. Когда ему будет пятнадцать, я хочу послать его к вам, чтобы он был вашим учеником».

В автобиографии Яноша он говорит:—

«Мой отец обратил мое внимание на несовершенства и пробелы в теории параллельных линий. Он сказал мне, что получил более удовлетворительные результаты, чем его предшественники, но не получил идеального и удовлетворяющего заключения. Ни одно из его предположений не имело необходимой степени геометрической достоверности, хотя они были достаточны, чтобы доказать одиннадцатую аксиому и казались приемлемыми на первый взгляд.

«Он умолял меня, тревожась не без причины, держаться в стороне и избегать всякого исследования на эту тему, если я не хочу прожить всю свою жизнь впустую».

Янош, после неудачи отца получить какой-либо ответ от Гаусса в ответ на письмо, в котором он просил великого математика сделать из его сына «апостола истины в далекой стране», поступил в Инженерную школу в Вене. Он пишет из Темешвара, куда был назначен младшим лейтенантом в сентябре 1823 года:—

«Темешвар, 3 ноября 1823 года.

«Дорогой добрый отец,

«Мне так невероятно много нужно написать о моем открытии, что я не знаю иного способа сдержать себя, кроме как взять четверть листа только для письма. Мне нужен ответ на мое письмо из четырех листов.

«Я непоколебим в своем решении опубликовать работу о параллельных линиях, как только приведу свой материал в порядок и буду иметь средства.

«В настоящее время я не сделал никакого открытия, но путь, по которому я следовал, почти наверняка обещает мне достижение моей цели, если какая-либо возможность ее существует.

«Я еще не достиг своей цели, но я произвел такие ошеломляющие вещи, что был потрясен сам, и было бы вечным позором, если бы они пропали. Когда вы их увидите, вы обнаружите, что это так. Сейчас я могу только сказать, что я создал новый мир из ничего. Все, что я посылал вам раньше, — это карточный домик по сравнению с башней. Я убежден, что это будет не менее к моей чести, чем если бы я уже открыл это».

Открытие, о котором здесь говорит Янош, было опубликовано в качестве приложения к Tentamen Вольфганга Бойяи.

Посылая книгу Гауссу, Вольфганг пишет, после перерыва в восемнадцать лет в их переписке:—

«Мой сын — первый лейтенант инженеров и скоро будет капитаном. Он прекрасный юноша, хороший скрипач, искусный фехтовальщик и храбр, но у него было много дуэлей, и он дикий даже для солдата. И все же он выдающийся — свет во тьме и тьма в свете. Он страстный математик с необычайными способностями... Он будет думать больше о вашем суждении о его работе, чем обо всей Европе».

Вольфганг не получил ответа от Гаусса на это письмо, но, послав второй экземпляр книги, получил следующий ответ:—

«Вы обрадовали меня, мой незабвенный друг, своими письмами. Я задержал ответ на первое, потому что хотел дождаться прибытия обещанной маленькой книги.

«Теперь кое-что о работе вашего сына.

«Если я начну с того, что «я не должен хвалить ее», вы будете ошеломлены на мгновение. Но я не могу сказать ничего другого. Хвалить ее — значит хвалить самого себя, ибо путь, который проложил ваш сын, и результаты, к которым он был приведен, почти в точности такие же, как мои собственные размышления, некоторые из которых датируются тридцатью — тридцатью пятью годами назад.

«На самом деле я удивлен до крайности. Моим намерением было не давать ничего знать при моей жизни о моей собственной работе, из которой, впрочем, мало что предано бумаге. Большинство людей имеют лишь слабое представление о проблеме, и я нашел очень немногих, кто проявил какой-либо интерес к взглядам, которые я им выражал. Чтобы быть способным на это, нужно прежде всего иметь реальное живое чувство того, чего не хватает, а в этом большинство людей находятся в полной темноте.

«Все же моим намерением было предать все бумаге с течением времени, чтобы, по крайней мере, это не погибло вместе со мной.

«Я глубоко удивлен, что эта задача может быть избавлена от меня, и я больше всего доволен тем, что именно сын моего старого друга так замечательным образом опередил меня».

Впечатление, которое мы получаем от необъяснимого молчания Гаусса по отношению к своему старому другу, сметается этим письмом. Следовательно, мы дышим чистым воздухом горных вершин. Гаусс не преминул бы осознать огромное значение своих мыслей, которые наверняка будут иметь еще больший эффект на будущие века из-за отсутствия понимания в настоящем. И все же в его письме нет ни слова, ни знака, чтобы претендовать на эту мысль для себя. Он не опубликовал ни одной строки на эту тему. Мерой того, от чего он так молчаливо отказывается, такой мерой всемирно преобразующей мысли, мы можем оценить его величие.

Это долгий путь от безмятежности Гаусса до тревожной и страстной жизни Яноша Бойяи — он и Галуа, две самые интересные фигуры в истории математики. Ибо Бойяи, дикий солдат, дуэлянт, оказался в разладе с миром. Рассказывают о нем, что он был вызван на дуэль тринадцатью офицерами своего гарнизона, что вполне могло случиться, учитывая, как иначе он думал, чем все остальные. Он сразился со всеми ними по очереди — поставив своим единственным условием, чтобы ему разрешили играть на своей скрипке в интервале между встречами с каждым противником. Он обезоружил или ранил всех своих антагонистов. Легко представить, что темперамент, подобный его, не был близок его военному начальству. Он был отправлен в отставку в 1833 году.

Его эпохальное открытие не вызвало никакого внимания. Похоже, он пришел к мысли, что его отец предал его каким-то необъяснимым образом своими сообщениями с Гауссом, и вызвал превосходного Вольфганга на дуэль. Он провел свою жизнь в бедности, много раз, говорит его биограф, пытаясь вырвать себя из распутства и снова применить себя к математике. Но его усилия не имели результата. Он умер 27 января 1860 года, в разладе с миром и с самим собой.

Метагеометрия

Теории, которые обычно связываются с именами Лобачевского и Бойяи, имеют своеобразное и любопытное отношение к предмету высшего пространства.

Чтобы показать, что это за отношение, я должен попросить читателя потрудиться тщательно посчитать наборы точек, с помощью которых я буду оценивать объемы определенных фигур.

Никаких математических процессов, кроме этого простого процесса счета, не потребуется.

Fig. 19.

Предположим, что перед нами на рис. 19 плоскость, покрытая точками через равные интервалы, расположенными так, что каждые четыре определяют квадрат.

Теперь очевидно, что как четыре точки определяют квадрат, так и четыре квадрата сходятся в одной точке.

Fig. 20.

Таким образом, рассматривая точку внутри квадрата как принадлежащую ему, мы можем сказать, что точка на углу квадрата принадлежит ему и трем другим в равной степени: принадлежит четверть ее каждому квадрату.

Таким образом, квадрат ACDE (рис. 21) содержит одну точку и имеет четыре точки в четырех углах. Поскольку одна четвертая каждой из этих четырех принадлежит квадрату, все четыре вместе считаются как одна точка, и точечное значение квадрата равно двум точкам — одна внутри и четыре в углу составляют две точки, принадлежащие ему исключительно.

Fig. 21.

Fig. 22.

Теперь площадь этого квадрата равна двум единичным квадратам, что можно увидеть, нарисовав две диагонали на рис. 22.

Мы также замечаем, что рассматриваемый квадрат равен сумме квадратов на сторонах AB, BC прямоугольного треугольника ABC. Таким образом, мы признаем предложение, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на двух сторонах прямоугольного треугольника.

Теперь предположим, что мы зададимся вопросом определения местонахождения в упорядоченной системе точек, где окажется конец линии, когда она поворачивается вокруг точки, удерживая один конец зафиксированным в точке.

Мы можем решить эту задачу в частном случае. Если мы сможем найти квадрат, лежащий наклонно среди точек, который равен тому, который идет регулярно, мы будем знать, что две стороны равны, и что наклонная сторона равна прямолинейной стороне. Таким образом, объем и форма фигуры, остающиеся неизменными, будут тестом того, что она повернулась вокруг точки, так что мы можем сказать, что ее сторона в первом положении повернулась бы в ее сторону во втором положении.

Теперь такой квадрат можно найти в том, сторона которого равна пяти единицам длины.

Fig. 23.

На рис. 23 в квадрате на AB есть—

9 points interior 9

4 at the corners 1

4 sides with 3 on each side, considered as 1½ on each side, because belonging equally to two squares 6

Итого 16. В квадрате на BC есть 9 точек.

В квадрате на AC есть—

24 points inside 24

4 at the corners 1

или 25 всего.

Следовательно, мы видим снова, что квадрат на гипотенузе равен квадратам на сторонах.

Теперь возьмите квадрат AFHG, который больше квадрата на AB. Он содержит 25 точек.

16 inside 16

16 on the sides, counting as 8

4 on the corners 1

составляя 25 всего.

Если два квадрата равны, мы заключаем, что стороны равны. Следовательно, линия AF, поворачиваясь вокруг A, двигалась бы так, что после определенного поворота совпала бы с AC.

Это предварительно, но это включает все математические трудности, которые представятся.

Существуют два изменения тела, при которых его объем не меняется.

Одно — то, которое мы только что рассмотрели, вращение, другое — то, что называется сдвигом.

Рассмотрим книгу или стопку свободных страниц. Их можно сдвинуть так, что каждая будет скользить по предыдущей, и целое примет форму b на рис. 24.

Fig. 24.

Эта деформация — не только сдвиг, но сдвиг, сопровождаемый вращением.

Сдвиг можно рассматривать как произведенный другим способом.

Возьмите квадрат ABCD (рис. 25) и предположите, что он вытягивается вдоль одной из своих диагоналей в обе стороны и пропорционально сжимается вдоль другой диагонали. Он примет форму на рис. 26.

Такое сжатие и растяжение вдоль двух взаимно перпендикулярных линий называется сдвигом; оно эквивалентно проиллюстрированному выше скольжению в сочетании с поворотом.

Fig. 25.

Fig. 26.

При чистом сдвиге тело сжимается и растягивается в двух взаимно перпендикулярных направлениях, так что его объем остается неизменным.

Теперь мы знаем, что наши материальные тела сопротивляются сдвигу — сдвиг нарушает внутреннее расположение их частиц, но они поворачиваются как целое без такого внутреннего сопротивления.

Но есть исключение. В жидкости сдвиг и вращение происходят одинаково легко, сопротивление сдвигу не больше, чем сопротивление вращению.

Теперь предположим, что все тела были бы приведены в жидкое состояние, в котором они одинаково легко поддаются сдвигу и вращению, а затем были бы воссозданы как твердые тела, но таким образом, чтобы сдвиг и вращение поменялись местами.

Иными словами, предположим, что, став снова твердыми, они могли бы подвергаться сдвигу, не оказывая никакого внутреннего сопротивления, но вращение нарушало бы их внутреннее расположение.

То есть у нас был бы мир, в котором сдвиг занял бы место вращения.

Сдвиг не изменяет объем тела: таким образом, житель такого мира смотрел бы на сдвинутое тело так же, как мы смотрим на повернутое тело. Он сказал бы, что оно той же формы, но немного повернулось.

Давайте представим себе Пифагора в этом мире, который принимается за работу, чтобы исследовать его, как он привык.

Fig. 27.

Fig. 28.

На рис. 27 изображен квадрат без сдвига. На рис. 28 изображен сдвинутый квадрат. Это не та фигура, в которую превратился бы квадрат с рис. 27, а результат сдвига некоторого не нарисованного квадрата. Это простая наклонно расположенная фигура, рассматриваемая теперь так же, как мы рассматривали простой наклонно расположенный квадрат ранее. Поскольку тела в этом мире сдвига не оказывают внутреннего сопротивления сдвигу и сохраняют свой объем при сдвиге, житель, привыкший к ним, не считал бы, что они меняют свою форму при сдвиге. Он назвал бы ACDE таким же квадратом, как квадрат на рис. 27. Мы будем называть такие фигуры квадратами сдвига. Подсчитав точки в ACDE, мы обнаружим —

2 inside = 2

4 at corners = 1

или в общей сложности 3.

Теперь квадрат на стороне AB имеет 4 точки, а квадрат на стороне BC имеет 1 точку. Здесь квадрат сдвига на гипотенузе имеет не 5 точек, а 3; это не сумма квадратов на сторонах, а разность.

Fig. 29.

Это соотношение всегда верно. Посмотрите на рис. 29.

Квадрат сдвига на гипотенузе —

7 internal 7

4 at corners 1

8

Fig. 29 bis.

Квадрат на одной стороне — который читатель может нарисовать сам —

4 internal 4

8 on sides 4

4 at corners 1

9

а квадрат на другой стороне равен 1. Следовательно, и в этом случае разность равна квадрату сдвига на гипотенузе, 9 - 1 = 8.

Таким образом, в мире сдвига квадрат на гипотенузе был бы равен разности квадратов на сторонах прямоугольного треугольника.

На рис. 29 bis нарисован еще один квадрат сдвига, на котором можно проверить вышеуказанное соотношение.

Какое положение заняла бы линия при повороте посредством сдвига?

Мы должны решить это так же, как и ранее с нашим поворотом.

Поскольку сдвинутое тело остается прежним, мы должны найти два равных тела, одно в прямом положении, другое в наклонном, которые имеют одинаковый объем. Тогда сторона одного при повороте станет стороной другого, ибо две фигуры являются тем, во что превращается каждая из них при повороте сдвигом.

Мы можем решить эту задачу в частном случае —

Fig. 30.

В фигуре ACDE (рис. 30) имеется —

15 inside 15

4 at corners 1

в общей сложности 16.

Теперь в квадрате ABGF имеется 16 —

9 inside 9

12 on sides 6

4 at corners 1

16

Следовательно, квадрат на AB при повороте сдвигом превратился бы в квадрат сдвига ACDE.

А значит, житель этого мира сказал бы, что линия AB превратилась в линию AC. Эти две линии были бы для него двумя линиями равной длины, одна из которых немного повернута относительно другой.

То есть, заменив вращение сдвигом, мы получаем иной вид фигуры как результат поворота сдвигом, нежели тот, который мы получили при нашем обычном вращении. И, как следствие, мы получаем для конца линии неизменной длины при ее повороте посредством поворота сдвигом положение, отличное от того, которое она заняла бы при повороте посредством нашего вращения.

Реальный материальный стержень в мире сдвига при повороте вокруг A перешел бы из положения AB в положение AC. Мы говорим, что его длина изменяется, когда он становится AC, но это преобразование AB показалось бы жителю мира сдвига поворотом AB без изменения длины.

Если теперь мы предположим обмен идеями между одним из нас и жителем мира сдвига, то, очевидно, возникнет разница между его взглядами на расстояние и нашими.

Мы бы сказали, что его линия AB увеличилась в длине при повороте в AC. Он бы сказал, что наша линия AF (рис. 23) уменьшилась в длине при повороте в AC. Он бы подумал, что то, что мы называли равной линией, на самом деле является более короткой.

Мы бы сказали, что у вращающегося стержня его концы находились бы в положениях, которые мы называем равноудаленными. Так же сказал бы и он — но положения были бы другими. Он мог бы, как и мы, апеллировать к свойствам материи. Его стержень для него изменяется так же мало, как наш для нас.

Теперь, есть ли какой-либо эталон, к которому мы могли бы апеллировать, чтобы сказать, кто из двоих прав в этом споре? Такого эталона нет.

Мы бы сказали, что при изменении положения конфигурация и форма его объектов изменялись. Он бы сказал, что конфигурация и форма наших объектов изменялись при том, что мы называли просто изменением положения. Следовательно, расстояние, независимое от положения, немыслимо, или, практически, расстояние является исключительно свойством материи.

Нет принципа, к которому могла бы апеллировать любая из сторон в этом споре. Нет ничего, что связывало бы определение расстояния с нашими идеями, а не с его, кроме поведения реального куска материи.

Для изучения процессов, происходящих в нашем мире, определение расстояния, данное путем взятия суммы квадратов, имеет для нас первостепенное значение. Но как вопрос о чистом пространстве, без каких-либо ненужных допущений, мир сдвига столь же возможен и столь же интересен, как и наш мир.

Именно геометрию таких мыслимых миров изучали Лобачевский и Бойяи.

Этот вид геометрии, очевидно, не имеет прямого отношения к четырехмерному пространству.

Но связь возникает следующим образом. Очевидно, что вместо того, чтобы брать простой сдвиг, как это сделал я, и определять его как то изменение расположения частиц твердого тела, которому они подвергаются, не оказывая сопротивления, обусловленного их взаимным действием, я мог бы взять сложное движение, состоящее из сдвига и вращения вместе, или какой-либо другой вид деформации.

Предположим, что такое изменение выделено и определено как то, которое означает простое вращение, тогда тип, согласно которому все тела будут изменяться при этом вращении, зафиксирован.

Глядя на движения такого рода, мы бы сказали, что объекты меняют свою форму, а также вращаются. Но жителям того мира они казались бы неизменными, а наши фигуры при их движениях казались бы им изменяющимися.

В таком мире черты геометрии иные. Мы видели одно такое различие в случае нашей иллюстрации мира сдвига, где квадрат на гипотенузе был равен разности, а не сумме квадратов на сторонах.

В нашей иллюстрации мы имеем те же законы параллельных линий, что и в нашем обычном мире вращения, но в целом законы параллельных линий иные.

В одном из этих миров с иным строением материи через одну точку могут проходить две параллели к данной линии, в другом из них их может не быть вовсе, то есть, хотя линия и проведена параллельно другой, через некоторое время она встретится с ней.

Именно в этом отношении параллельных линий Лобачевский и Бойяи открыли эти различные миры. Они не думали о них как о мирах материи, но они обнаружили, что пространство не обязательно означает, что наш закон параллельных линий верен. Они провели различие между законами пространства и законами материи, хотя это и не та форма, в которой они изложили свои результаты.

Путь, которым они пришли к этим результатам, был следующим. Евклид постулировал существование параллельных линий — откровенно выдвигая это недоказанное положение — что через точку вне прямой можно провести одну и только одну параллель к данной прямой, как требование, как нечто, что должно быть принято за аксиому. Слова его девятого постулата таковы: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся».

Математикам более поздних эпох не нравилось это голое допущение, и, будучи не в состоянии доказать это положение, они назвали его аксиомой — одиннадцатой аксиомой.

Было предпринято много попыток доказать эту аксиому; никто не сомневался в ее истинности, но не было найдено средств для ее демонстрации. Наконец, итальянец Саккери, не сумев найти доказательство, сказал: «Предположим, что это неверно». Он вывел результаты того, что через данную точку могут проходить две параллели к одной данной линии, но, чувствуя, что воды слишком глубоки для человеческого разума, он посвятил вторую половину своей книги опровержению того, что он предположил в первой части.

Затем Бойяи и Лобачевский твердым шагом вступили на запретный путь. Не может быть большего свидетельства неукротимой природы человеческого духа или его явного предназначения покорить все те ограничения, которые связывают его в сфере чувств, чем это великое утверждение Бойяи и Лобачевского.

Fig. 31.

Возьмем линию AB и точку C. Мы говорим, видим и знаем, что через C можно провести только одну линию, параллельную AB.

Но Бойяи сказал: «Я проведу две». Пусть CD будет параллельна AB, то есть не встретит AB, как бы далеко ее ни продолжали, и пусть линии за пределами CD также не встретят AB; пусть существует некоторая область между CD и CE, в которой ни одна проведенная линия не встречает AB. CE и CD, продолженные назад через C, дадут аналогичную область на другой стороне C.

Fig. 32.

Ничего столь триумфально, можно почти сказать столь дерзко игнорирующего чувства, никогда не было написано прежде. Люди боролись с ограничениями тела, сражались с ними, презирали их, побеждали их. Но никто никогда не думал просто так, как если бы тело, телесные глаза, органы зрения, весь этот огромный опыт пространства никогда не существовали. Вековая борьба души с телом, борьба за господство достигла кульминации. Бойяи и Лобачевский просто думали так, как если бы тела не существовало. Борьба за господство, раздор и бой души были окончены; они овладели, и венгр провел свою линию.

Можем ли мы указать какую-либо связь, как в случае с Парменидом, между этими спекуляциями и высшим пространством? Можем ли мы предположить, что это было какое-то внутреннее восприятие душой движения, не известного чувствам, которое привело к этой теории, столь свободной от оков чувств? Никакое такое предположение не представляется возможным.

Практически, однако, метагеометрия оказала большое влияние на выдвижение высшего пространства на передний план в качестве рабочей гипотезы. Это можно проследить по склонности ума двигаться в направлении наименьшего сопротивления. Результатами новой геометрии нельзя было пренебречь, проблема параллельных линий занимала слишком видное место в развитии математической мысли, чтобы ее окончательное решение было проигнорировано. Но эта полная независимость от всех механических соображений, этот полный разрыв с привычными интуициями был настолько труден, что почти любая другая гипотеза была более легкой для принятия, и когда Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского и Бойяи — это геометрия кратчайших линий, проведенных на определенных кривых поверхностях, при сохранении обычных определений измерения, внимание было привлечено к теории высшего пространства. Иллюстрация теории Бельтрами дается простым рассмотрением гипотетических существ, живущих на сферической поверхности.

Fig. 33.

Пусть ABCD будет экватором шара, а AP, BP — меридианными линиями, проведенными к полюсу P. Линии AB, AP, BP казались бы совершенно прямыми человеку, движущемуся по поверхности сферы и не осознающему ее кривизны. Теперь AP и BP образуют прямые углы с AB. Следовательно, они удовлетворяют определению параллелей. Тем не менее, они встречаются в P. Следовательно, существо, живущее на сферической поверхности и не осознающее ее кривизны, обнаружило бы, что параллельные линии встречаются. Он также обнаружил бы, что углы в треугольнике больше двух прямых углов. В треугольнике PAB, например, углы при A и B являются прямыми углами, поэтому три угла треугольника PAB больше двух прямых углов.

Теперь в одной из систем метагеометрии (ибо после того, как Лобачевский показал путь, было обнаружено, что возможны и другие системы, помимо его) углы треугольника больше двух прямых углов.

Таким образом, существо на сфере пришло бы к выводам о своем пространстве, которые такие же, как если бы оно жило на плоскости, материя в которой обладала бы такими свойствами, которые предполагаются одной из этих систем геометрии. Бельтрами также обнаружил определенную поверхность, на которой можно было бы провести более одной «прямой» линии через точку, которая не встретила бы другую данную линию. Я использую слово «прямая» как эквивалент линии, обладающей свойством давать кратчайший путь между любыми двумя точками на ней. Следовательно, не отказываясь от обычных методов измерения, можно было найти условия, в которых плоское существо неизбежно имело бы опыт, соответствующий геометрии Лобачевского. И путем рассмотрения высшего пространства и тела, искривленного в таком высшем пространстве, можно было объяснить подобный опыт в пространстве трех измерений.

Теперь гораздо легче представить себе высшую размерность пространства, чем вообразить, что стержень при вращении не движется так, что его конец описывает круг. Следовательно, поскольку логическая концепция оказалась более трудной, чем концепция четырехмерного пространства, мысль обратилась к последней как к простому объяснению возможностей, к которым ее пробудил Лобачевский. Мыслители привыкли иметь дело с геометрией высшего пространства — это был Кант, говорит Веронезе, кто первым использовал выражение «различные пространства» — и с привычкой неизбежность этой концепции стала ощутимой.

С этого момента остается лишь небольшой шаг до адаптации обычных механических концепций к высшему пространственному существованию, и тогда признание его объективного существования не могло быть отложено дольше. Здесь тоже, как и во многих других случаях, оказывается, что порядок и связь наших идей — это порядок и связь вещей.

В чем заключается значимость работы Лобачевского и Бойяи?

Ее следует признать чем-то совершенно отличным от концепции высшего пространства; она применима к пространствам любого числа измерений. Погружая концепцию расстояния в материю, к которой она должным образом принадлежит, она обещает быть величайшим подспорьем в анализе, ибо эффективное расстояние между любыми двумя частицами является продуктом сложных материальных условий и не может быть измерено жесткими и быстрыми правилами. Ее окончательная значимость совершенно неизвестна. Это разрыв с оковами чувств, не совпадающий с признанием высшей размерности, но косвенно способствующий ему.

Таким образом, наконец, мы пришли к принятию того, что Платон держал в ладони; что подразумевает учение Аристотеля об относительности субстанции. Огромная вселенная также имеет свое высшее, и, признавая его, мы обнаруживаем, что направляющее существо внутри нас больше не стоит неизбежно вне нашего систематического знания.

ГЛАВА VI ВЫСШИЙ МИР

Действительно странно, каким образом мы должны начать думать о высшем мире.

Те простейшие объекты, аналогичные тем, что окружают нас со всех сторон в нашем повседневном опыте, такие как дверь, стол, колесо, являются отдаленными и непознаваемыми в мире четырех измерений, в то время как абстрактные идеи вращения, напряжения и деформации, упругости, в которые анализ разлагает привычные элементы нашего повседневного опыта, переносимы и применимы без каких-либо трудностей. Таким образом, мы находимся в необычном положении, будучи вынужденными конструировать повседневный и привычный опыт четырехмерного существа из знания абстрактных теорий пространства, материи, движения его; вместо того чтобы, как в нашем случае, переходить к абстрактным теориям от богатства чувственных вещей.

Чем было бы колесо в четырех измерениях? Чем был бы вал для передачи энергии, который использовало бы четырехмерное существо?

Четырехмерное колесо и четырехмерный вал — вот что займет нас на этих нескольких страницах. И это не тщетное или незначительное исследование. Ибо в попытке проникнуть в природу высшего, охватить нашим взором то, что превосходит все аналогии, потому что то, что мы знаем, — это лишь частичные взгляды на него, чисто материальный и физический путь дает средство подхода, следуя которому мы с меньшей вероятностью совершим ошибку, чем если бы мы использовали более часто проторенный путь формирования концепций, которые в своей возвышенности и красоте кажутся нам идеально совершенными.

Ибо там, где мы имеем дело с нашими собственными мыслями, развитием наших собственных идеалов, мы находимся как бы на кривой, двигаясь в любой момент в направлении касательной. Куда мы идем, что мы устанавливаем и превозносим как совершенное, представляет не истинный тренд кривой, а наше собственное направление в настоящем — тенденцию, обусловленную прошлым и жизненной энергией движения, существенной, но истинной только тогда, когда она постоянно модифицируется. Тот вечный корректор наших стремлений и идеалов, материальная вселенная, возвышенно удаляется от простейших вещей, которых мы можем коснуться или подержать, к бесконечным глубинам звездного пространства, во всем и каждом не подверженная влиянию того, что мы думаем или чувствуем, представляя невозмутимый факт, которому, считаем ли мы его добром или злом, мы можем только соответствовать, но из всей этой бесстрастности, с отсылкой к чему-то за пределами наших индивидуальных надежд и страхов, поддерживая нас и давая нам наше бытие.

И к этому великому существу мы приходим с вопросом: «Ты тоже, что есть твое высшее?»

Или, чтобы выразить это в форме, которая оставит наши выводы не в виде бесплодной формулы, и атакуя проблему с ее наиболее уязвимой стороны: «Что такое колесо и вал четырехмерного механика?»

Приступая к этому исследованию, мы должны составить план действий. Метод, который я приму, состоит в том, чтобы проследить шаги рассуждения, с помощью которых существо, ограниченное движением в двухмерном мире, могло бы прийти к концепции нашего поворота и вращения, а затем применить аналогичный процесс к рассмотрению высших движений. Плоское существо должно представляться не как абстрактная фигура, а как реальное тело, обладающее всеми тремя измерениями. Его ограничение плоскостью должно быть результатом физических условий.

Поэтому мы будем думать о нем как о фигуре, вырезанной из бумаги и помещенной на гладкую плоскость. Скользя по этой плоскости и вступая в контакт с другими фигурами, столь же тонкими, как он, в третьем измерении, он будет воспринимать их только по их краям. Для него они будут полностью ограничены линиями. «Твердое» тело будет для него двухмерным протяжением, внутрь которого можно попасть, только проникнув сквозь ограничивающие линии.

Теперь такое плоское существо может думать о нашем трехмерном существовании двумя способами.

Во-первых, он может думать о нем как о серии сечений, каждое из которых подобно твердому телу, которое он знает, простирающемуся в неизвестном ему направлении, которое лежит поперек его осязаемой вселенной, которое лежит в направлении под прямым углом к каждому движению, которое он совершал.

Во-вторых, отказавшись от попытки думать о трехмерном твердом теле в его целостности, он может рассматривать его как состоящее из ряда плоских сечений, каждое из которых само по себе точно такое же, как двухмерные тела, которые он знает, но простирающееся прочь от его двухмерного пространства.

Квадрат, лежащий в его пространстве, он рассматривает как твердое тело, ограниченное четырьмя линиями, каждая из которых лежит в его пространстве.

Квадрат, стоящий под прямым углом к его плоскости, представляется ему просто линией в его плоскости, ибо все его части, кроме линии, простираются в третьем измерении.

Он может думать о трехмерном теле как о состоящем из ряда таких сечений, каждое из которых начинается с линии в его пространстве.

Теперь, поскольку в своем мире он может сделать любой чертеж или модель, которые включают только два измерения, он может представить каждое такое вертикальное сечение таким, какое оно есть на самом деле, и может представить поворот из известного в неизвестное измерение как поворот из одного в другое из своих известных измерений.

Чтобы увидеть целое, он должен отказаться от части того, что у него есть, и взять целое по частям.

Fig. 34.

Рассмотрим теперь плоское существо перед квадратом, рис. 34. Квадрат может поворачиваться вокруг любой точки на плоскости — скажем, точки A. Но он не может поворачиваться вокруг линии, такой как AB. Ибо, чтобы повернуться вокруг линии AB, квадрат должен покинуть плоскость и двигаться в третьем измерении. Это движение находится вне диапазона его наблюдения и поэтому, за исключением процесса рассуждения, немыслимо для него.

Вращение, следовательно, будет для него вращением вокруг точки. Вращение вокруг линии будет для него немыслимым.

Результат вращения вокруг линии он может постичь. Он может видеть первое и последнее положения, занимаемые за пол-оборота вокруг линии AC. Результат такого полуоборота состоит в том, чтобы поместить квадрат ABCD с левой стороны вместо правой стороны линии AC. Это соответствовало бы протаскиванию всего тела ABCD через линию AC или созданию твердого тела, которое было бы его точным отражением в линии AC. Это было бы так, как если бы квадрат ABCD превратился в свое изображение, причем линия AB действовала бы как зеркало. Такое изменение положений частей квадрата было бы невозможно в его пространстве. Происхождение этого было бы доказательством существования высшей размерности.

Fig. 35.

Пусть он теперь, приняв концепцию трехмерного тела как серии сечений, каждое из которых удалено немного дальше, чем предыдущее, в направлении под прямым углом к его плоскости, рассматривает куб, рис. 36, как серию сечений, каждое из которых подобно квадрату, образующему его основание, все жестко соединенные вместе.

Если теперь он поворачивает квадрат вокруг точки A в плоскости xy, каждое параллельное сечение поворачивается вместе с квадратом, который он перемещает. В каждом из сечений есть точка покоя, та, что вертикально над A. Следовательно, он пришел бы к выводу, что при повороте трехмерного тела есть одна линия, которая находится в покое. Это трехмерное вращение при повороте вокруг линии.

Подобным образом давайте представим себя ограниченными трехмерным миром физическим условием. Давайте представим, что существует направление под прямым углом к каждому направлению, в котором мы можем двигаться, и что мы не можем двигаться в этом направлении из-за огромного твердого тела, о которое при каждом нашем движении мы скользим, как плоское существо скользит по своему плоскому листу.

Мы можем тогда рассматривать четырехмерное тело как состоящее из серии сечений, каждое из которых параллельно нашему пространству и каждое немного дальше, чем предыдущее, в неизвестном измерении.

Fig. 36.

Возьмем простейшее четырехмерное тело — то, которое начинается как куб, рис. 36, в нашем пространстве и состоит из сечений, каждое из которых является кубом, подобным рис. 36, лежащим вне нашего пространства. Если мы поворачиваем куб, который является его основанием в нашем пространстве, вокруг линии, если, например, на рис. 36 мы поворачиваем куб вокруг линии AB, не только он, но и каждый из параллельных кубов движется вокруг линии. Куб, который мы видим, движется вокруг линии AB, куб за ним — вокруг линии, параллельной AB, и так далее. Следовательно, все четырехмерное тело движется вокруг плоскости, ибо совокупность этих линий — наш способ мышления о плоскости, которая, начинаясь от линии AB в нашем пространстве, уходит в неизвестном направлении.

В этом случае все, что мы видим от плоскости, вокруг которой происходит поворот, — это линия AB.

Но очевидно, что плоскость оси может лежать в нашем пространстве. Точка вблизи плоскости определяет вместе с ней трехмерное пространство. Когда она начинает вращаться вокруг плоскости, она не движется нигде в этом трехмерном пространстве, а выходит из него. Точка не может вращаться вокруг плоскости в трехмерном пространстве так же, как точка не может двигаться вокруг линии в двухмерном пространстве.

Мы теперь применим второй из способов представления к этому случаю поворота вокруг плоскости, выстраивая нашу аналогию шаг за шагом, от вращения в плоскости вокруг точки и вращения в пространстве вокруг линии и так далее.

Чтобы свести наши соображения к максимально возможной простоте, давайте осознаем, как плоское существо думало бы о движении, посредством которого квадрат поворачивается вокруг линии.