«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

V

Я, несомненно, слишком подробно остановился только на одном аспекте разнообразной и хорошо сбалансированной дискуссии нашего автора о проблемах и концепциях научной теории. О гипотезах в узком смысле и о ценности прямого эмпирического контроля он также говорил с авторитетом и оригинальностью, которые присущи его положению. А при рассмотрении основ математики он поднял один или два вопроса огромной философской важности, в которые у меня нет времени, даже если бы я имел право, вдаваться здесь. В частности, говоря о сущности математического рассуждения и о трудной проблеме того, что делает возможными новые результаты в области чистой математики, г-н Пуанкаре защищает тезис относительно роли «доказательства по рекуррентности» — тезис, который действительно спорен, который оспаривался и который я сам был бы склонен, насколько я в настоящее время понимаю этот вопрос, в некоторых отношениях модифицировать, даже принимая дух утверждения нашего автора. И все же не может быть сомнений в важности этого тезиса и в том факте, что он определяет характеристику, которая действительно является фундаментальной в широком спектре математических исследований. Философские проблемы, лежащие в основе рекуррентных доказательств и процессов, как я аргументировал в другом месте, имеют фундаментальнейшее значение.

Это, таким образом, несколько намеков, касающихся значимости дискуссии нашего автора, и несколько причин надеяться, что наши собственные студенты извлекут пользу из чтения этой книги, как это уже сделали студенты других стран.

О личности и жизненном пути нашего автора здесь, в заключение, уместно сказать еще несколько слов, обращенных не к студентам его собственной науки, которым его положение хорошо известно, а к широкому читателю, который может искать руководства на этих страницах.

Жюль Анри Пуанкаре родился в Нанси в 1854 году, сын профессора медицинского факультета в Нанси. Он учился в Политехнической школе и в Горной школе, а позже получил докторскую степень по математике в 1879 году. В 1883 году он начал курсы обучения математике в Политехнической школе; в 1886 году получил профессорскую должность по математической физике на факультете наук в Париже; затем стал членом Академии наук в Париже в 1887 году и посвятил свою жизнь преподаванию и исследованиям в областях чистой математики, математической физики и небесной механики. Его список опубликованных трактатов, относящихся к различным отраслям выбранных им наук, обширен; а его оригинальные мемуары включают несколько важных исследований, которые во многом способствовали преобразованию более чем одной области исследований. Его присутствие на Международном конгрессе искусств и наук в Сент-Луисе было одной из самых заметных черт того замечательного собрания выдающихся иностранных гостей. В Пуанкаре читатель встречает, таким образом, не того, кто является прежде всего кабинетным исследователем общих проблем ради них самих, а оригинального исследователя высочайшего ранга в нескольких различных, хотя и взаимосвязанных, областях современных исследований. Теория функций — весьма сложная область чистой математики — обязана ему достижениями первостепенной важности, например, определением нового типа функций. «Задача трех тел», знаменитая и фундаментальная проблема небесной механики, получила в его исследованиях трактовку, значимость которой была признана высшими авторитетами. Его международная репутация была подтверждена присуждением более чем одной важной премии за его исследования. Его членство в самых выдающихся ученых обществах различных стран широко распространено; его тома, относящиеся к различным отраслям математики и математической физики, используются специалистами во всех частях ученого мира; короче говоря, он, как геометр, как аналитик и как физик-теоретик, является лидером своей эпохи.

Между тем, как участник философской дискуссии об основах и методах науки, г-н Пуанкаре давно был активен. Когда в 1893 году начал выходить замечательный журнал «Revue de Métaphysique et de Morale», г-н Пуанкаре вскоре оказался среди наиболее удовлетворительных авторов этого журнала, чьей задачей было, в частности, привести философию и различные специальные науки (как естественные, так и моральные) к более тесному взаимному пониманию. Дискуссии, собранные в настоящем томе, в значительной степени являются результатом вкладов г-на Пуанкаре в «Revue de Métaphysique et de Morale». Читатель книги г-на Пуанкаре находится, таким образом, в присутствии великого специального исследователя, который является также философом.

НАУКА И ГИПОТЕЗА

ВВЕДЕНИЕ

Для поверхностного наблюдателя научная истина вне возможности сомнения; логика науки непогрешима, и если ученые иногда ошибаются, то только из-за того, что неправильно понимают ее правила.

«Математические истины вытекают из небольшого числа самоочевидных положений путем цепи безупречных рассуждений; они навязывают себя не только нам, но и самой природе. Они сковывают, так сказать, Творца и позволяют ему выбирать лишь между немногими относительно немногими решениями. Нескольких экспериментов тогда будет достаточно, чтобы узнать, какой выбор он сделал. Из каждого эксперимента вытечет множество следствий путем ряда математических дедукций, и таким образом каждый эксперимент откроет нам уголок вселенной».

Вот что является для многих людей в мире, для ученых, получающих свои первые представления о физике, источником научной достоверности. Это то, что они считают ролью экспериментирования и математики. Эту же концепцию сто лет назад разделяли многие ученые, которые мечтали построить мир, взяв как можно меньше из опыта.

При небольшом размышлении было замечено, какое огромное место занимает гипотеза; что математик не может обойтись без нее, тем более экспериментатор. И тогда засомневались, действительно ли все эти построения прочны, и поверили, что дуновение ветра опрокинет их. Быть скептиком таким образом — значит все еще оставаться поверхностным. Сомневаться во всем и верить во всем — два одинаково удобных решения; каждое избавляет нас от мышления.

Вместо того чтобы выносить огульное осуждение, мы должны поэтому тщательно изучить роль гипотезы; мы тогда признаем не только то, что она необходима, но и то, что обычно она законна. Мы также увидим, что существуют различные виды гипотез; что одни проверяемы и, будучи подтвержденными экспериментом, становятся плодотворными истинами; что другие, неспособные ввести нас в заблуждение, могут быть полезны нам для фиксации наших идей; что другие, наконец, являются гипотезами только по видимости и сводятся к замаскированным определениям или конвенциям.

Последние встречаются прежде всего в математике и смежных науках. Именно отсюда эти науки черпают свою строгость; эти конвенции — дело свободной деятельности нашего ума, который в этой области не признает никаких препятствий. Здесь наш ум может утверждать, поскольку он постановляет; но поймем, что, хотя эти постановления навязываются нашей науке, которая без них была бы невозможна, они не навязываются природе. Являются ли они тогда произвольными? Нет, иначе они были бы бесплодны. Опыт оставляет нам свободу выбора, но он направляет нас, помогая нам различить самый легкий путь. Наши постановления поэтому подобны постановлениям принца, абсолютным, но мудрым, который советуется со своим государственным советом.

Некоторых людей поразил этот характер свободной конвенции, узнаваемый в некоторых фундаментальных принципах наук. Они пожелали обобщить сверх меры и в то же время забыли, что свобода — это не вседозволенность. Таким образом, они пришли к тому, что называется номинализмом, и задались вопросом, не является ли ученый жертвой своих собственных определений и не создан ли мир, который он думает, что открывает, просто его собственным капризом. [1] При таких условиях наука была бы достоверной, но лишенной значимости.

Если бы это было так, наука была бы бессильна. Но каждый день мы видим, как она работает на наших глазах. Этого не могло бы быть, если бы она не учила нас ничему о реальности. Все же сами вещи — это не то, чего она может достичь, как думают наивные догматики, а только отношения между вещами. Вне этих отношений нет познаваемой реальности.

Таков вывод, к которому мы придем, но для этого мы должны рассмотреть ряд наук от арифметики и геометрии до механики и экспериментальной физики.

Какова природа математического рассуждения? Является ли оно действительно дедуктивным, как принято считать? Более глубокий анализ показывает нам, что это не так, что оно в известной мере причастно природе индуктивного рассуждения, и именно благодаря этому оно столь плодотворно. Тем не менее оно сохраняет свой характер абсолютной строгости; это первое, что нужно было показать.

Зная теперь лучше один из инструментов, который математика вкладывает в руки исследователя, мы должны были проанализировать другое фундаментальное понятие — понятие математической величины. Находим ли мы его в природе, или мы сами вводим его туда? И, в этом последнем случае, не рискуем ли мы все испортить? Сравнивая грубые данные наших чувств с тем чрезвычайно сложным и тонким понятием, которое математики называют величиной, мы вынуждены признать различие; эта рамка, в которую мы хотим втиснуть все, есть наша собственная конструкция; но мы сделали ее не случайно. Мы сделали ее, так сказать, по мерке, и поэтому мы можем заставить факты соответствовать ей, не меняя того, что является существенным в них.

Другая рамка, которую мы навязываем миру, — это пространство. Откуда берутся первые принципы геометрии? Навязываются ли они нам логикой? Лобачевский доказал, что нет, создав неевклидову геометрию. Раскрывается ли нам пространство нашими чувствами? Опять же нет, ибо пространство, которое могли бы показать нам наши чувства, абсолютно отличается от пространства геометра. Является ли опыт источником геометрии? Более глубокая дискуссия покажет нам, что нет. Мы поэтому заключаем, что первые принципы геометрии — это лишь конвенции; но эти конвенции не произвольны, и если бы их перенесли в другой мир (который я называю неевклидовым миром и пытаюсь вообразить), то мы были бы вынуждены принять другие.

В механике мы пришли бы к аналогичным выводам и увидели бы, что принципы этой науки, хотя и более непосредственно основанные на опыте, все же причастны конвенциональному характеру геометрических постулатов. До сих пор номинализм торжествует; но теперь мы переходим к физическим наукам, собственно так называемым. Здесь сцена меняется; мы встречаем другой сорт гипотез и видим их плодотворность. Без сомнения, на первый взгляд теории кажутся нам хрупкими, и история науки доказывает нам, насколько они эфемерны; все же они не погибают полностью, и от каждой из них что-то остается. Именно это нечто мы должны попытаться распутать, поскольку там и только там находится истинная реальность.

Метод физических наук покоится на индукции, которая заставляет нас ожидать повторения явления, когда воспроизводятся обстоятельства, при которых оно произошло впервые. Если бы все эти обстоятельства можно было воспроизвести сразу, этот принцип можно было бы применять без страха; но этого никогда не произойдет; некоторых из этих обстоятельств всегда будет не хватать. Уверены ли мы абсолютно, что они неважны? Очевидно, нет. Это может быть вероятно, это не может быть строго достоверно. Отсюда важная роль, которую понятие вероятности играет в физических науках. Исчисление вероятностей поэтому не просто развлечение или руководство для игроков в баккару, и мы должны стремиться глубже вникнуть в его основы. В этой главе я смог дать лишь очень неполные результаты, настолько сильно этот смутный инстинкт, позволяющий нам различать вероятность, сопротивляется анализу.

После изучения условий, в которых работает физик, я счел уместным показать его за работой. Для этого я взял примеры из истории оптики и электричества. Мы увидим, откуда возникли идеи Френеля, Максвелла и какие бессознательные гипотезы были сделаны Ампером и другими основателями электродинамики.

ЧАСТЬ I ЧИСЛО И ВЕЛИЧИНА

ГЛАВА I

О природе математического рассуждения

I

Сама возможность науки математики кажется неразрешимым противоречием. Если эта наука дедуктивна только по видимости, откуда она черпает ту совершенную строгость, в которой никто не мечтает сомневаться? Если, напротив, все положения, которые она провозглашает, могут быть выведены одно из другого по правилам формальной логики, почему математика не сводится к огромной тавтологии? Силлогизм не может научить нас ничему существенно новому, и, если все должно исходить из принципа тождества, все должно быть способно быть сведенным к нему. Должны ли мы тогда признать, что формулировки всех тех теорем, которые заполняют так много томов, — это не что иное, как окольные пути сказать, что А есть А?

Без сомнения, мы можем вернуться к аксиомам, которые являются источником всех этих рассуждений. Если мы решим, что их нельзя свести к принципу противоречия, если еще меньше мы видим в них экспериментальные факты, которые не могли бы быть причастны математической необходимости, у нас все же остается ресурс отнести их к синтетическим априорным суждениям. Это не значит решить трудность, а только окрестить ее; и даже если бы природа синтетических суждений не была для нас тайной, противоречие не исчезло бы, оно только отодвинулось бы назад: силлогистическое рассуждение остается неспособным добавить что-либо к данным ему данным: эти данные сводятся к нескольким аксиомам, и мы не нашли бы ничего другого в выводах.

Ни одна теорема не могла бы быть новой, если бы в ее доказательстве не участвовала новая аксиома; рассуждение могло бы дать нам только непосредственно очевидные истины, заимствованные из прямой интуиции; оно было бы лишь промежуточным паразитом, и поэтому не было ли бы у нас веской причины спросить, не служил ли весь силлогистический аппарат исключительно для того, чтобы скрыть наше заимствование?

Противоречие поразит нас тем сильнее, если мы откроем любую книгу по математике; на каждой странице автор будет объявлять о своем намерении обобщить какое-то уже известное положение. Переходит ли математический метод от частного к общему, и если так, то как тогда его можно называть дедуктивным?

Если, наконец, наука о числе была чисто аналитической или могла быть аналитически выведена из небольшого числа синтетических суждений, кажется, что ум, достаточно мощный, мог бы с одного взгляда воспринять все ее истины; более того, мы могли бы даже надеяться, что когда-нибудь кто-то изобретет для их выражения язык, достаточно простой, чтобы они казались самоочевидными обычному интеллекту.

Если мы отказываемся признать эти следствия, должно быть допущено, что математическое рассуждение само по себе обладает своего рода творческой добродетелью и, следовательно, отличается от силлогизма.

Различие должно быть даже глубоким. Мы не найдем, например, ключа к тайне в частом использовании того правила, согласно которому одна и та же единообразная операция, примененная к двум равным числам, даст идентичные результаты.

Все эти способы рассуждения, сводимы ли они к силлогизму в собственном смысле слова или нет, сохраняют аналитический характер и именно благодаря этому бессильны.

II

Дискуссия стара; Лейбниц пытался доказать, что 2 и 2 составляют 4; давайте взглянем на мгновение на его доказательство.

Я предположу, что число 1 определено, а также операция x + 1, которая состоит в прибавлении единицы к данному числу x.

Эти определения, какими бы они ни были, не входят в ход рассуждения.

I define then the numbers 2, 3 and 4 by the equalities

(1) 1 + 1 = 2; (2) 2 + 1 = 3; (3) 3 + 1 = 4.

Таким же образом я определяю операцию x + 2 соотношением:

(4) x + 2 = (x + 1) + 1.

Это предположив, мы имеем

2 + 1 + 1 = 3 + 1(Definition 2), 3 + 1 = 4(Definition 3), 2 + 2 = (2 + 1) + 1 (Definition 4),

откуда

2 + 2 = 4 Ч.Т.Д.

Нельзя отрицать, что это рассуждение чисто аналитическое. Но спросите любого математика: «Это не доказательство в собственном смысле слова», — скажет он вам: «это проверка». Мы ограничились сравнением двух чисто конвенциональных определений и установили их тождество; мы не узнали ничего нового. Проверка отличается от истинного доказательства именно тем, что она чисто аналитическая и что она бесплодна. Она бесплодна, потому что вывод — это не что иное, как предпосылки, переведенные на другой язык. Напротив, истинное доказательство плодотворно, потому что вывод здесь в некотором смысле более общий, чем предпосылки.

Равенство 2 + 2 = 4, таким образом, поддается проверке только потому, что оно частное. Каждое частное утверждение в математике всегда может быть проверено таким же образом. Но если бы математику можно было свести к ряду таких проверок, она не была бы наукой. Так, шахматист, например, не создает науку, выигрывая партию. Нет науки вне общего.

Можно даже сказать, что сама цель точных наук — избавить нас от этих прямых проверок.

III

Давайте поэтому увидим геометра за работой и попытаемся уловить его процесс.

Задача не без трудностей; недостаточно открыть работу наугад и проанализировать любое доказательство в ней.

Мы должны сначала исключить геометрию, где вопрос осложняется трудными проблемами, относящимися к роли постулатов, к природе и происхождению понятия пространства. По аналогичным причинам мы не можем обратиться к инфинитезимальному анализу. Мы должны искать математическую мысль там, где она осталась чистой, то есть в арифметике.

Выбор все же необходим; в высших частях теории чисел примитивные математические понятия уже подверглись столь глубокой разработке, что становится трудно их анализировать.

Поэтому именно в начале арифметики мы должны ожидать найти объяснение, которое мы ищем, но случается так, что именно в доказательстве самых элементарных теорем авторы классических трактатов проявили наименьшую точность и строгость. Мы не должны вменять это им в вину; они уступили необходимости; начинающие не подготовлены к настоящей математической строгости; они увидели бы в ней лишь бесполезные и утомительные тонкости; было бы пустой тратой времени пытаться преждевременно сделать их более требовательными; они должны пройти быстро, но не пропуская станций, путь, пройденный медленно основателями науки.

Почему так долгая подготовка необходима, чтобы привыкнуть к этой совершенной строгости, которая, казалось бы, должна естественно запечатлеться во всех хороших умах? Это логическая и психологическая проблема, вполне достойная изучения.

Но мы не будем ее затрагивать; она чужда нашей цели; все, на чем я хочу настаивать, — это то, что, чтобы не упустить нашей цели, мы должны переделать доказательства самых элементарных теорем и придать им не ту грубую форму, в которой они оставлены, чтобы не беспокоить начинающих, а форму, которая удовлетворит искусного геометра.

Определение сложения. — Я предполагаю уже определенной операцию x + 1, которая состоит в прибавлении числа 1 к данному числу x.

Это определение, каким бы оно ни было, не входит в наше последующее рассуждение.

Теперь мы должны определить операцию x + a, которая состоит в прибавлении числа a к данному числу x.

Предполагая, что мы определили операцию

x + (a − 1),

операция x + a будет определена равенством

(1) x + a = [x + (a − 1)] + 1.

Мы будем знать тогда, что такое x + a, когда мы будем знать, что такое x + (a − 1), и так как я предположил, что для начала мы знали, что такое x + 1, мы можем определить последовательно и «по рекуррентности» операции x + 2, x + 3 и т. д.

Это определение заслуживает внимания; оно особого рода, что уже отличает его от чисто логического определения; равенство (1) содержит бесконечность различных определений, каждое из которых имеет смысл только тогда, когда знаешь предыдущее.

Свойства сложения. — Ассоциативность. — Я говорю, что

a + (b + c) = (a + b) + c.

На самом деле теорема верна для c = 1; она тогда записывается

a + (b + 1) = (a + b) + 1,

что, помимо разницы в обозначении, есть не что иное, как равенство (1), которым я только что определил сложение.

Предполагая теорему верной для c = γ, я говорю, что она будет верна для c = γ + 1.

На самом деле, предполагая

(a + b) + γ = a + (b + γ),

отсюда следует, что

[(a + b) + γ] + 1 = [a + (b + γ)] + 1

или по определению (1)

(a + b) + (γ + 1) = a + (b + γ + 1) = a + [b + (γ + 1)],

что показывает, путем ряда чисто аналитических дедукций, что теорема верна для γ + 1.

Будучи верной для c = 1, мы таким образом видим последовательно, что так оно и для c = 2, для c = 3 и т. д.

Коммутативность. — 1º Я говорю, что

a + 1 = 1 + a.

Теорема очевидно верна для a = 1; мы можем проверить чисто аналитическим рассуждением, что если она верна для a = γ, она будет верна для a = γ + 1; ибо тогда

(γ + 1) + 1 = (1 + γ) + 1 = 1 + (γ + 1);

теперь она верна для a = 1, следовательно, она будет верна для a = 2, для a = 3 и т. д., что выражается словами, что сформулированное положение доказано по рекуррентности.

2º Я говорю, что

a + b = b + a.

Теорема только что была доказана для b = 1; можно проверить аналитически, что если она верна для b = β, она будет верна для b = β + 1.

Положение поэтому установлено по рекуррентности.

Определение умножения. — Мы определим умножение равенствами.

(1) a × 1 = a.

(2) a × b = [a × (b − 1)] + a.

Как равенство (1), равенство (2) содержит бесконечность определений; определив a × 1, оно позволяет нам определить последовательно: a × 2, a × 3 и т. д.

Свойства умножения. — Дистрибутивность. — Я говорю, что

(a + b) × c = (a × c) + (b × c).

Мы проверяем аналитически, что равенство верно для c = 1; затем, что если теорема верна для c = γ, она будет верна для c = γ + 1.

Положение, следовательно, доказано по рекуррентности.

Коммутативность. — 1º Я говорю, что

a × 1 = 1 × a.

Теорема очевидна для a = 1.

Мы проверяем аналитически, что если она верна для a = α, она будет верна для a = α + 1.

2º Я говорю, что

a × b = b × a.

Теорема только что была доказана для b = 1. Мы могли бы проверить аналитически, что если она верна для b = β, она будет верна для b = β + 1.

IV

Здесь я останавливаю эту монотонную серию рассуждений. Но эта самая монотонность лучше выявила процедуру, которая единообразна и встречается на каждом шагу.

Эта процедура — доказательство по рекуррентности. Мы сначала устанавливаем теорему для n = 1; затем мы показываем, что если она верна для n − 1, она верна для n, и отсюда заключаем, что она верна для всех целых чисел.

Мы только что видели, как она может быть использована для доказательства правил сложения и умножения, то есть правил алгебраического исчисления; это исчисление — инструмент преобразования, который поддается гораздо большему количеству различных комбинаций, чем простой силлогизм; но это все еще инструмент чисто аналитический и неспособный научить нас чему-то новому. Если бы у математики не было другого инструмента, она была бы немедленно остановлена в своем развитии; но она прибегает вновь к той же процедуре, то есть к рассуждению по рекуррентности, и она способна продолжать свой марш вперед.

Если мы посмотрим внимательно, на каждом шагу мы встречаем снова этот способ рассуждения, либо в простой форме, которую мы только что придали ему, либо в форме более или менее модифицированной.

Вот тогда у нас есть математическое рассуждение par excellence, и мы должны рассмотреть его более внимательно.

V

Существенная характеристика рассуждения по рекуррентности заключается в том, что оно содержит, сгущенными, так сказать, в одной формуле, бесконечность силлогизмов.

Чтобы это было лучше видно, я изложу один за другим эти силлогизмы, которые, если позволите мне это выражение, расположены «каскадом».

Это, конечно, гипотетические силлогизмы.

Теорема верна для числа 1.

Теперь, если она верна для 1, она верна для 2.

Следовательно, она верна для 2.

Теперь, если она верна для 2, она верна для 3.

Следовательно, она верна для 3, и так далее.

Мы видим, что вывод каждого силлогизма служит минором для следующего.

Более того, мажоры всех наших силлогизмов могут быть сведены к одной формуле.

Если теорема верна для n − 1, то она верна и для n.

Мы видим, таким образом, что в рассуждении по рекуррентности мы ограничиваемся тем, что формулируем минор первого силлогизма и общую формулу, которая содержит как частные случаи все мажоры.

Эта бесконечная серия силлогизмов сводится таким образом к фразе из нескольких строк.

Теперь легко понять, почему каждое частное следствие теоремы может, как я объяснил выше, быть проверено чисто аналитическими процедурами.

Если вместо того, чтобы показать, что наша теорема верна для всех чисел, мы хотим показать ее верной только для числа 6, например, нам будет достаточно установить первые 5 силлогизмов нашего каскада; 9 были бы необходимы, если бы мы хотели доказать теорему для числа 10; больше потребовалось бы для большего числа; но, каким бы большим ни было это число, мы всегда закончили бы тем, что достигли бы его, и аналитическая проверка была бы возможна.

И все же, как далеко бы мы ни зашли таким образом, мы никогда не смогли бы подняться до общей теоремы, применимой ко всем числам, которая одна может быть объектом науки. Чтобы достичь этого, потребовалась бы бесконечность силлогизмов; необходимо было бы перепрыгнуть через бездну, которую терпение аналитика, ограниченное ресурсами одной лишь формальной логики, никогда не смогло бы заполнить.

Я спросил вначале, почему нельзя представить себе ум, достаточно мощный, чтобы воспринять с одного взгляда весь корпус математических истин.

Ответ теперь прост; шахматист способен комбинировать четыре хода, пять ходов вперед, но, каким бы необычайным он ни был, он никогда не подготовит более чем конечное их число; если он применит свои способности к арифметике, он не сможет воспринять ее общие истины прямой интуицией; чтобы прийти к самой маленькой теореме, он не может обойтись без помощи рассуждения по рекуррентности, ибо это инструмент, который позволяет нам перейти от конечного к бесконечному.

Этот инструмент всегда полезен, ибо, позволяя нам перепрыгнуть одним махом столько этапов, сколько мы хотим, он избавляет нас от проверок, долгих, утомительных и монотонных, которые быстро стали бы невыполнимыми. Но он становится незаменимым, как только мы нацеливаемся на общую теорему, к которой аналитическая проверка приближала бы нас постоянно, никогда не позволяя нам достичь ее.

В этой области арифметики мы можем считать себя очень далекими от инфинитезимального анализа, и все же, как мы только что видели, идея математической бесконечности уже играет преобладающую роль, и без нее не было бы науки, потому что не было бы ничего общего.

VI

Суждение, на котором покоится рассуждение по рекуррентности, может быть поставлено в другие формы; мы можем сказать, например, что в бесконечной совокупности различных целых чисел всегда есть одно, которое меньше всех остальных.

Мы можем легко перейти от одной формулировки к другой и таким образом получить иллюзию того, что доказали законность рассуждения по рекуррентности. Но мы всегда будем остановлены, мы всегда придем к недоказуемой аксиоме, которая в действительности будет лишь положением, подлежащим доказательству, переведенным на другой язык.

Мы не можем поэтому избежать вывода, что правило рассуждения по рекуррентности несводимо к принципу противоречия.

Также это правило не может прийти к нам из опыта; опыт мог бы научить нас, что правило верно для первых десяти или ста чисел; например, он не может достичь неопределенного ряда чисел, а только части этого ряда, более или менее длинной, но всегда ограниченной.

Теперь, если бы речь шла только об этом, принципа противоречия было бы достаточно; он всегда позволял бы нам развивать столько силлогизмов, сколько мы хотели; только когда речь идет о включении бесконечности их в одну формулу, только перед лицом бесконечного этот принцип терпит неудачу, и там тоже опыт становится бессильным. Это правило, недоступное аналитическому доказательству и опыту, является истинным типом синтетического априорного суждения. С другой стороны, мы не можем думать о том, чтобы видеть в нем конвенцию, как в некоторых постулатах геометрии.

Почему тогда это суждение навязывает себя нам с непреодолимой очевидностью? Это потому, что оно есть лишь утверждение силы ума, который знает себя способным мыслить неопределенное повторение одного и того же акта, когда этот акт однажды возможен. Ум имеет прямую интуицию этой силы, и опыт может лишь дать повод для использования ее и тем самым осознания ее.

Но, скажет кто-то, если сырой опыт не может узаконить рассуждение по рекуррентности, так ли обстоит дело с экспериментом, подкрепленным индукцией? Мы видим последовательно, что теорема верна для числа 1, для числа 2, для числа 3 и так далее; закон очевиден, говорим мы, и он имеет ту же гарантию, что и каждый физический закон, основанный на наблюдениях, число которых очень велико, но ограничено.

Здесь, надо признать, поразительная аналогия с обычными процедурами индукции. Но есть существенное различие. Индукция, примененная к физическим наукам, всегда неопределенна, потому что она покоится на вере во всеобщий порядок вселенной, порядок вне нас. Математическая индукция, то есть доказательство по рекуррентности, напротив, навязывает себя необходимо, потому что она есть лишь утверждение свойства самого ума.

VII

Математики, как я сказал ранее, всегда стремятся обобщить полученные ими положения, и, чтобы не искать другого примера, мы только что доказали равенство:

a + 1 = 1 + a

и впоследствии использовали его для установления равенства

a + b = b + a

которое явно более общее.

Математика может, поэтому, как и другие науки, переходить от частного к общему.

Это факт, который показался бы нам непостижимым в начале этого исследования, но который больше не является для нас загадочным, поскольку мы установили аналогии между доказательством по рекуррентности и обычной индукцией.

Без сомнения, рекуррентное рассуждение в математике и индуктивное рассуждение в физике покоятся на разных основаниях, но их марш параллелен, они продвигаются в одном и том же смысле, то есть от частного к общему.

Давайте рассмотрим этот случай немного внимательнее.

Чтобы доказать равенство

a + 2 = 2 + a

достаточно дважды применить правило

(1) a + 1 = 1 + a

и написать

(2) a + 2 = a + 1 + 1 = 1 + a + 1 = 1 + 1 + a = 2 + a.

Равенство (2), выведенное таким образом чисто аналитическим путем из равенства (1), однако, не является просто частным случаем его; это нечто совсем другое.

Мы не можем поэтому даже сказать, что в действительно аналитической и дедуктивной части математического рассуждения мы переходим от общего к частному в обычном смысле этого слова.

Два члена равенства (2) — это просто комбинации, более сложные, чем два члена равенства (1), и анализ служит лишь для того, чтобы отделить элементы, которые входят в эти комбинации, и изучить их отношения.

Математики действуют поэтому «путем построения», они «конструируют» комбинации все более и более сложные. Возвращаясь затем путем анализа этих комбинаций, этих агрегатов, так сказать, к их примитивным элементам, они воспринимают отношения этих элементов и из них выводят отношения самих агрегатов.

Это чисто аналитическая процедура, но это, однако, не процедура от общего к частному, потому что очевидно, что агрегаты не могут рассматриваться как более частные, чем их элементы.

Большое значение, и справедливо, придавалось этой процедуре «построения», и некоторые пытались увидеть в ней необходимое и достаточное условие для прогресса точных наук.

Необходимое, без сомнения; но достаточное — нет.

Чтобы построение было полезным, а не тщетным трудом для ума, чтобы оно могло служить ступенькой для того, кто хочет подняться, оно должно прежде всего обладать своего рода единством, позволяющим нам видеть в нем нечто помимо соположения его элементов.

Или, точнее, должно быть какое-то преимущество в рассмотрении конструкции, а не самих ее элементов.

Каким может быть это преимущество?

Почему рассуждать о многоугольнике, например, который всегда разложим на треугольники, а не об элементарных треугольниках?

Это потому, что существуют свойства, относящиеся к многоугольникам с любым числом сторон и которые могут быть немедленно применены к любому частному многоугольнику.

Обычно, напротив, только ценой самых длительных усилий их можно было бы найти, изучая непосредственно отношения элементарных треугольников. Знание общей теоремы избавляет нас от этих усилий.

Построение, следовательно, становится интересным только тогда, когда его можно поставить рядом с другими аналогичными построениями, образующими виды одного и того же рода.

Если четырехугольник — это нечто большее, чем соположение двух треугольников, то это потому, что он принадлежит к роду многоугольников.

Более того, нужно уметь доказать свойства рода, не будучи вынужденным устанавливать их последовательно для каждого из видов.

Чтобы достичь этого, мы должны обязательно подняться от частного к общему, восходя на одну или несколько ступеней.

Аналитическая процедура «путем построения» не обязывает нас спускаться, но она оставляет нас на том же уровне.

Мы можем подняться только с помощью математической индукции, которая одна может научить нас чему-то новому. Без помощи этой индукции, отличной в некоторых отношениях от физической индукции, но столь же плодотворной, построение было бы бессильно создать науку.

Заметим, наконец, что эта индукция возможна лишь в том случае, если одна и та же операция может быть повторена бесконечно. Вот почему теория шахмат никогда не сможет стать наукой, ибо различные ходы в одной и той же партии не похожи друг на друга.

ГЛАВА II

Математическая величина и опыт

Чтобы узнать, что математики понимают под континуумом, не следует обращаться к геометрии. Геометр всегда стремится в той или иной мере представить себе фигуры, которые он изучает, но эти представления служат для него лишь инструментами; занимаясь геометрией, он использует пространство так же, как мел; поэтому не стоит придавать слишком большое значение несущественным деталям, которые зачастую не важнее белизны самого мела.

Чистому аналитику нечего бояться этого камня преткновения. Он очистил математическую науку от всех чужеродных элементов и может ответить на наш вопрос: «Что именно представляет собой тот континуум, о котором рассуждают математики?» Многие аналитики, размышлявшие о своем искусстве, уже дали ответ; например, господин Таннери в своем «Введении в теорию функций одной переменной».

Начнем со шкалы целых чисел; между двумя последовательными ступенями вставим одну или несколько промежуточных ступеней, затем между этими новыми ступенями — еще другие, и так далее до бесконечности. Таким образом, мы получим неограниченное число членов; это будут числа, называемые дробными, рациональными или соизмеримыми. Но и этого еще недостаточно; между этими членами, число которых, впрочем, уже бесконечно, необходимо вставить другие, называемые иррациональными или несоизмеримыми. Замечание перед тем, как идти дальше. Континуум, понятый таким образом, есть лишь совокупность индивидуумов, расположенных в определенном порядке, бесконечная по числу, правда, но внешних друг другу. Это не обычное представление, в котором между элементами континуума предполагается некая внутренняя связь, делающая их единым целым, где точка существует не до линии, а линия до точки. От знаменитой формулы «континуум есть единство во множественности» остается только множественность, единство исчезло. Аналитики, тем не менее, правы, определяя свой континуум именно так, ибо они всегда рассуждают именно о нем, как только претендуют на строгость. Но этого достаточно, чтобы дать нам понять, что подлинный математический континуум — это нечто совершенно иное, чем континуум физиков или метафизиков.

Можно также сказать, пожалуй, что математики, довольствующиеся этим определением, обманываются словами, что необходимо точно сказать, что представляет собой каждая из этих промежуточных ступеней, объяснить, как их следует вставлять, и доказать, что это возможно. Но это было бы ошибкой; единственное свойство этих ступеней, которое используется в их рассуждениях, состоит в том, чтобы быть до или после тех или иных ступеней; поэтому только это и должно присутствовать в определении.

Таким образом, то, как следует вставлять промежуточные члены, не должно нас беспокоить; с другой стороны, никто не усомнится в возможности этой операции, если не забывать, что «возможное» на языке геометров просто означает «свободное от противоречий».

Наше определение, однако, еще не завершено, и я вернусь к нему после этого слишком длинного отступления.

Определение несоизмеримых чисел. — Математики берлинской школы, в частности Кронекер, посвятили себя построению этой непрерывной шкалы дробных и иррациональных чисел, не используя никакого иного материала, кроме целого числа. Математический континуум был бы, с этой точки зрения, чистым творением разума, в котором опыт не играет никакой роли.

Поскольку понятие рационального числа представлялось им не вызывающим затруднений, они главным образом стремились определить несоизмеримое число. Но прежде чем привести здесь их определение, я должен сделать замечание, чтобы предупредить удивление, которое оно наверняка вызовет у читателей, не знакомых с обычаями геометров.

Математики изучают не объекты, а отношения между объектами; поэтому замена этих объектов другими для них безразлична, если отношения не меняются. Материя для них не важна, их интересует только форма.

Без этого напоминания было бы трудно понять, почему Дедекинд обозначает именем «несоизмеримое число» простой символ, то есть нечто весьма отличное от обычного представления о величине, которая должна быть измеримой и почти осязаемой.

Посмотрим теперь, каково определение Дедекинда:

Соизмеримые числа могут быть бесконечным множеством способов разделены на два класса так, что любое число первого класса больше любого числа второго класса.

Может случиться, что среди чисел первого класса есть одно, меньшее всех остальных; если, например, мы отнесем к первому классу все числа, большие 2, и саму 2, а ко второму классу — все числа, меньшие 2, то ясно, что 2 будет наименьшим из всех чисел первого класса. Число 2 может быть выбрано в качестве символа этого разбиения.

Может случиться, напротив, что среди чисел второго класса есть одно, большее всех остальных; это имеет место, например, если первый класс включает все числа, большие 2, а второй — все числа, меньшие 2, и саму 2. Здесь снова число 2 может быть выбрано в качестве символа этого разбиения.

Но может столь же хорошо случиться, что ни в первом классе нет числа, меньшего всех остальных, ни во втором классе — числа, большего всех остальных. Предположим, например, что мы поместим в первый класс все соизмеримые числа, квадраты которых больше 2, а во второй — все те, квадраты которых меньше 2. Нет такого числа, квадрат которого был бы в точности равен 2. Очевидно, что в первом классе нет числа, меньшего всех остальных, ибо, как бы близко квадрат числа ни подходил к 2, мы всегда можем найти соизмеримое число, квадрат которого еще ближе к 2.

С точки зрения Дедекинда, несоизмеримое число

√2 или (2)½

есть не что иное, как символ этого особого способа разбиения соизмеримых чисел; и каждому способу разбиения соответствует таким образом число, соизмеримое или нет, которое служит его символом.

Но довольствоваться этим значило бы слишком далеко забыть о происхождении этих символов; остается объяснить, как мы пришли к тому, чтобы приписывать им некое подобие конкретного существования, и, кроме того, не начинается ли трудность уже с самих дробных чисел? Имели бы мы понятие об этих числах, если бы ранее не знали материи, которую мы мыслим как бесконечно делимую, то есть как континуум?

Физический континуум. — Мы спрашиваем себя, не является ли понятие математического континуума просто почерпнутым из опыта. Если бы это было так, то сырые данные опыта, каковыми являются наши ощущения, были бы подвержены измерению. Мы могли бы поддаться искушению поверить, что это действительно так, поскольку в последнее время предпринимались попытки измерить их и даже была сформулирована закономерность, известная как закон Фехнера, согласно которому ощущение пропорционально логарифму раздражителя.

Но если мы внимательнее изучим эксперименты, с помощью которых пытались установить этот закон, мы придем к диаметрально противоположному выводу. Было замечено, например, что вес A в 10 граммов и вес B в 11 граммов вызывают идентичные ощущения, что вес B столь же неотличим от веса C в 12 граммов, но что вес A легко отличим от веса C. Таким образом, сырые результаты опыта могут быть выражены следующими отношениями:

A = B, B = C, A < C,

которые можно рассматривать как формулу физического континуума.

Но здесь возникает невыносимый разлад с принципом противоречия, и необходимость положить этому конец заставила нас изобрести математический континуум.

Мы вынуждены, следовательно, заключить, что это понятие было полностью создано разумом, но что опыт дал к тому повод.

Мы не можем поверить, что две величины, равные третьей, не равны друг другу, и поэтому мы склонны предполагать, что A отличается от B, а B — от C, но что несовершенство наших чувств не позволило нам их различить.

Создание математического континуума. — Первый этап. До сих пор для объяснения фактов было бы достаточно вставить между A и B несколько членов, которые оставались бы дискретными. Что произойдет теперь, если мы прибегнем к какому-либо инструменту, чтобы восполнить слабость наших чувств, если, например, воспользуемся микроскопом? Члены, такие как A и B, ранее неразличимые, теперь кажутся различными; но между A и B, ставшими теперь различимыми, будет вставлен новый член D, который мы не можем отличить ни от A, ни от B. Несмотря на применение самых совершенных методов, сырые результаты нашего опыта всегда будут представлять характеристики физического континуума с присущим ему противоречием.

Мы избежим его, только непрерывно вставляя новые члены между уже различенными членами, и эта операция должна продолжаться бесконечно. Мы могли бы представить себе прекращение этой операции, если бы могли вообразить какой-то инструмент, достаточно мощный, чтобы разложить физический континуум на дискретные элементы, подобно тому как телескоп разрешает Млечный Путь на звезды. Но этого мы вообразить не можем; на самом деле, мы наблюдаем изображение, увеличенное микроскопом, с помощью глаза, и, следовательно, это изображение всегда должно сохранять характеристики зрительного ощущения, а значит, и характеристики физического континуума.

Ничто не отличает длину, наблюдаемую непосредственно, от половины этой длины, увеличенной микроскопом. Целое гомогенно с частью; это новое противоречие, или, вернее, оно было бы таковым, если бы число членов считалось конечным; на самом деле ясно, что часть, содержащая меньше членов, чем целое, не могла бы быть подобна целому.

Противоречие исчезает, когда число членов рассматривается как бесконечное; ничто не мешает, например, считать совокупность целых чисел подобной совокупности четных чисел, которая, однако, является лишь ее частью; и, в самом деле, каждому целому числу соответствует четное число, его удвоенное значение.

Но не только для того, чтобы избежать этого противоречия, содержащегося в эмпирических данных, разум приходит к созданию концепции континуума, образованного неопределенным числом членов.

Все происходит как в последовательности целых чисел. У нас есть способность мыслить, что единица может быть добавлена к совокупности единиц; благодаря опыту мы имеем повод упражнять эту способность и осознаем ее; но с этого момента мы чувствуем, что наша сила не имеет предела и что мы можем считать бесконечно, хотя нам никогда не приходилось считать более чем конечное число объектов.

Точно так же, как только нас привели к тому, чтобы вставлять промежуточные члены между двумя последовательными членами ряда, мы чувствуем, что эта операция может быть продолжена без всякого предела и что нет, так сказать, никакой внутренней причины для остановки.

Для краткости назовем математическим континуумом первого порядка всякую совокупность членов, образованную по тому же закону, что и шкала соизмеримых чисел. Если мы впоследствии вставим новые ступени согласно закону образования несоизмеримых чисел, мы получим то, что назовем континуумом второго порядка.

Второй этап. — До сих пор мы сделали лишь первый шаг; мы объяснили происхождение континуумов первого порядка; но необходимо увидеть, почему даже их недостаточно и почему пришлось изобрести несоизмеримые числа.

Если мы попытаемся вообразить линию, она должна обладать характеристиками физического континуума, то есть мы не сможем представить ее иначе как с некоторой шириной. Две линии тогда предстанут перед нами в виде двух узких полос, и, если мы удовлетворимся этим грубым образом, очевидно, что если две линии пересекаются, у них будет общая часть.

Но чистый геометр делает дальнейшее усилие; не отказываясь полностью от помощи чувств, он пытается достичь концепции линии без ширины, точки без протяженности. Этого он может достичь, лишь рассматривая линию как предел, к которому стремится все сужающаяся полоса, а точку — как предел, к которому стремится все уменьшающаяся площадь. И тогда наши две полосы, какими бы узкими они ни были, всегда будут иметь общую площадь, тем меньшую, чем они уже, и пределом которой будет то, что чистый геометр называет точкой.

Вот почему говорят, что две пересекающиеся линии имеют общую точку, и эта истина кажется интуитивной.

Но это подразумевало бы противоречие, если бы линии мыслились как континуумы первого порядка, то есть если бы на линиях, начерченных геометром, находились только точки, имеющие рациональные числа в качестве координат. Противоречие стало бы очевидным, как только кто-то утвердил бы, например, существование прямых и окружностей.

Ясно, в самом деле, что если бы реальными считались только точки, координаты которых соизмеримы, то окружность, вписанная в квадрат, и диагональ этого квадрата не пересекались бы, поскольку координаты точки пересечения несоизмеримы.

Этого было бы еще недостаточно, потому что таким образом мы получили бы только некоторые несоизмеримые числа, а не все эти числа.

Но представим себе прямую линию, разделенную на два луча. Каждый из этих лучей предстанет нашему воображению как полоса определенной ширины; эти полосы, кроме того, будут накладываться одна на другую, поскольку между ними не должно быть интервала. Общая часть предстанет нам как точка, которая всегда будет оставаться, когда мы попытаемся вообразить наши полосы все более и более узкими, так что мы признаем интуитивной истиной, что если прямая разрезана на два луча, их общая граница есть точка; мы узнаем здесь концепцию Дедекинда, в которой несоизмеримое число рассматривалось как общая граница двух классов рациональных чисел.

Таково происхождение континуума второго порядка, который и есть математический континуум в собственном смысле слова.

Резюме. — В итоге, разум обладает способностью создавать символы, и именно так он сконструировал математический континуум, который есть лишь особая система символов. Его сила ограничена лишь необходимостью избегать всякого противоречия; но разум использует эту способность, только если опыт дает к тому стимул.

В рассматриваемом случае этим стимулом было понятие физического континуума, почерпнутое из грубых данных чувств. Но это понятие ведет к ряду противоречий, от которых необходимо последовательно освобождаться. Так мы вынуждены воображать все более и более сложную систему символов. То, на чем мы останавливаемся, не только свободно от внутреннего противоречия (оно было таковым уже на всех пройденных нами этапах), но и не находится в противоречии с различными так называемыми интуитивными положениями, которые выводятся из более или менее разработанных эмпирических понятий.

Измеримая величина. — Величины, которые мы изучали до сих пор, не являются измеримыми; мы действительно можем сказать, больше ли одна из этих величин другой, но не то, в два или три раза она больше.

До сих пор я рассматривал только порядок, в котором расположены наши члены. Но для большинства приложений этого недостаточно. Мы должны научиться сравнивать интервал, который отделяет любые два члена. Только при этом условии континуум становится измеримой величиной и к нему становятся применимы операции арифметики.

Это можно сделать только с помощью нового и особого соглашения. Мы договоримся, что в том или ином случае интервал, заключенный между членами A и B, равен интервалу, который отделяет C и D. Например, в начале нашей работы мы исходили из шкалы целых чисел и предположили, что между двумя последовательными ступенями вставлено n промежуточных ступеней; так вот, эти новые ступени по соглашению будут считаться равноотстоящими.

Это способ определения сложения двух величин, потому что если интервал AB по определению равен интервалу CD, то интервал AD будет по определению суммой интервалов AB и AC.

Это определение в очень большой мере произвольно. Однако не полностью. Оно подчинено определенным условиям и, например, правилам коммутативности и ассоциативности сложения. Но при условии, что выбранное определение удовлетворяет этим правилам, выбор безразличен, и детализировать его бесполезно.

Различные замечания. — Теперь мы можем обсудить несколько важных вопросов:

1º Исчерпывается ли творческая сила разума созданием математического континуума?

Нет: работы Дюбуа-Реймона демонстрируют это поразительным образом.

Мы знаем, что математики различают бесконечно малые разных порядков и что бесконечно малые второго порядка являются таковыми не только в абсолютном смысле, но и по отношению к бесконечно малым первого порядка. Нетрудно вообразить бесконечно малые дробного или даже иррационального порядка, и таким образом мы снова находим ту шкалу математического континуума, о которой шла речь на предыдущих страницах.

Далее, существуют бесконечно малые, которые бесконечно малы по отношению к бесконечно малым первого порядка и, напротив, бесконечно велики по отношению к бесконечно малым порядка 1 + ε, как бы мала ни была ε. Вот, значит, новые члены, вставленные в наш ряд, и если мне будет позволено вернуться к недавно использованной фразеологии, которая очень удобна, хотя и не освящена обычаем, я скажу, что таким образом был создан своего рода континуум третьего порядка.

Было бы легко пойти дальше, но это было бы праздным занятием; человек лишь воображал бы символы без возможности применения, и никто не подумает этого делать. Континуум третьего порядка, к которому ведет рассмотрение различных порядков бесконечно малых, сам по себе недостаточно полезен, чтобы получить право гражданства, и геометры рассматривают его лишь как простую диковинку. Разум использует свою творческую способность только тогда, когда того требует опыт.

2º Став обладателем концепции математического континуума, застрахован ли человек от противоречий, подобных тем, что породили его?

Нет, и я приведу пример.

Нужно быть очень мудрым, чтобы не считать очевидным, что каждая кривая имеет касательную; и в самом деле, если мы представим эту кривую и прямую как две узкие полосы, мы всегда можем расположить их так, что у них будет общая часть без пересечения. Если мы затем вообразим, что ширина этих двух полос бесконечно уменьшается, эта общая часть всегда будет существовать, и, так сказать, в пределе две линии будут иметь общую точку, не пересекаясь, то есть они будут касательными.

Геометр, который рассуждает таким образом, сознательно или нет, делает лишь то, что мы сделали выше, чтобы доказать, что две пересекающиеся линии имеют общую точку, и его интуиция может показаться столь же законной.

Однако она обманет его. Мы можем доказать, что существуют кривые, не имеющие касательной, если такая кривая определена как аналитический континуум второго порядка.

Без сомнения, какой-то прием, аналогичный тем, что мы обсуждали выше, был бы достаточен для устранения противоречия; но, поскольку это встречается лишь в очень исключительных случаях, на это не обратили дальнейшего внимания.

Вместо того чтобы пытаться примирить интуицию с анализом, мы удовлетворились тем, что пожертвовали одним из двух, и, поскольку анализ должен оставаться безупречным, мы решили вопрос не в пользу интуиции.

Физический континуум нескольких измерений. — Мы обсудили выше физический континуум, как производный от непосредственных данных наших чувств, или, если хотите, от грубых результатов экспериментов Фехнера; я показал, что эти результаты суммируются в противоречивых формулах

A = B, B = C, A < C.

Посмотрим теперь, как это понятие было обобщено и как из него возникла концепция многомерных континуумов.

Рассмотрим любые две совокупности ощущений. Либо мы можем различить их одну от другой, либо не можем, точно так же, как в экспериментах Фехнера вес в 10 граммов можно отличить от веса в 12 граммов, но не от веса в 11 граммов. Это все, что требуется для построения континуума нескольких измерений.

Назовем одну из этих совокупностей ощущений элементом. Это будет нечто аналогичное точке математиков; однако это будет не совсем то же самое. Мы не можем сказать, что наш элемент лишен протяженности, поскольку мы не можем отличить его от соседних элементов, и он, таким образом, окружен своего рода дымкой. Если допустимо астрономическое сравнение, наши «элементы» были бы подобны туманностям, тогда как математические точки были бы подобны звездам.

При этом система элементов образует континуум, если мы можем перейти от любого из них к любому другому посредством ряда последовательных элементов таких, что каждый из них неотличим от предыдущего. Этот линейный ряд относится к линии математика так же, как изолированный элемент относился к точке.

Прежде чем идти дальше, я должен объяснить, что понимается под разрезом. Рассмотрим континуум C и удалим из него некоторые из его элементов, которые на мгновение мы будем считать более не принадлежащими этому континууму. Совокупность удаленных таким образом элементов будет называться разрезом. Может случиться, что благодаря этому разрезу C может быть подразделен на несколько различных континуумов, причем совокупность оставшихся элементов перестает образовывать единый континуум.

Тогда на C будут два элемента, A и B, которые должны рассматриваться как принадлежащие двум различным континуумам, и это будет распознано, потому что будет невозможно найти линейный ряд последовательных элементов C, каждый из которых неотличим от предыдущего, где первый есть A, а последний — B, без того, чтобы один из элементов этого ряда не был неотличим от одного из элементов разреза.

Напротив, может случиться, что сделанный разрез недостаточен для подразделения континуума C. Чтобы классифицировать физические континуумы, мы точно исследуем, какие именно разрезы должны быть сделаны, чтобы их подразделить.