«Анализ материи»

У меня нет полной теории физических измерений, которую можно было бы предложить, но казалось желательным проиллюстрировать, как трудно точно сказать, что означает измерение в такой продвинутой науке, как физика. У нас есть определенные постулаты, такие как «длины, которые равны одной и той же длине, равны друг другу», но фактические измерения, когда они сделаны с достаточной точностью, не подтверждают эти постулаты. Поэтому мы изобретаем физические законы, чтобы спасти постулаты. С каждым новым законом становится все труднее точно сказать, что мы имеем в виду, когда, например, мы даем длину волны определенной линии в спектре водорода в метрах. (Это особенно странно ввиду того факта, что эти длины волн даются с большим количеством значащих цифр, чем может быть оправдано операциями, применимыми к самому стандартному метру, чья длина известна, в сравнении с другими длинами, лишь с очень умеренной степенью приближения.) В физической теории измерение должно основываться на интегрировании формулы для. Но в физической практике величины этой формулы могут быть определены только с помощью измерений. Таким образом, единственное, что мы, по-видимому, вправе сказать, — это: возможно скорректировать результаты фактических измерений согласно определенным известным правилам таким образом, чтобы скорректированные длины удовлетворяли таким постулатам, как первая аксиома Евклида; когда это сделано, мы обнаруживаем с помощью физической теории, что все электроны имеют одинаковый размер. Но это, если рассматривать эмпирически, вовсе не простой факт. И если рассматривать как утверждение в дедуктивной теории, оно, вероятно, имеет хороший смысл, но такой, который требует большого разъяснения. Пока это не будет сделано, любое использование чисел в качестве мер физических величин в теоретической физике вызывает проблемы, поскольку мы не знаем, что в теоретической физике заменяет операцию измерения, как она проводится в лаборатории и в повседневной жизни.

Теория измерения длины вызывает проблемы, которые естественным образом приводят нас к релятивистской теории электромагнетизма Вейля, которую мы теперь должны кратко рассмотреть.

СНОСКИ:

[27] См. его эссе в Science, Religion, and Reality, под ред. Нидхэма, 1925.

[28] Ср. Mathematical Theory of Relativity, §§ 52, 54, 66.

[29] Эддингтон, op. cit. стр. 115.

[30] Op. cit., § 66, стр. 152-155.

ГЛАВА X ТЕОРИЯ ВЕЙЛЯ

ТЕОРИЯ, рассматриваемая в этой главе, с геометрической точки зрения является естественным обобщением эйнштейновской произвольности координат; с физической точки зрения она вписывает электромагнетизм в дедуктивную систему, чего не делает теория Эйнштейна. Теория принадлежит Герману Вейлю и может быть найдена в его книге «Пространство, время, материя» (1922).

Загадки об измерении, рассмотренные в конце главы IX, естественным образом подсказывают точку зрения, с которой начинает Вейль. Как он говорит: «Та же уверенность, которая характеризует относительность движения, сопровождает принцип относительности величины» (op. cit. стр. 283). Измерение — это сравнение длин, и Вейль предполагает, что, когда длины в разных местах должны быть сравнены, результат может зависеть от пути, пройденного при переходе от одного места к другому. Длины в одном и том же месте (т. е. имеющие один конец идентичным), если они малы, он считает непосредственно сравнимыми; также он предполагает непрерывность изменений, сопровождающих транспортировку. Это не сумма всех его предположений и не самый общий способ их изложения; но прежде чем мы сможем изложить их адекватно, необходимы некоторые объяснения.

Сведенная к простейшим терминам, концепция, используемая Вейлем, может быть выражена следующим образом. Дан вектор в точке, что мы должны подразумевать под утверждением, что вектор в другой точке равен ему? В нашем определении должен быть некоторый элемент конвенции; давайте поэтому, в качестве первого шага, установим единицу длины в каждом месте и посмотрим, какие ограничения желательно наложить на нашу первоначальную произвольность.

Существует, для начала, предположение, которое делается почти молчаливо, а именно, что мы можем распознать что-то в одном месте как «тот же» вектор, что и что-то в другом месте. Мы можем, возможно, принять эту тождественность как чисто аналитическую: оба являются одной и той же функцией координат в своих соответствующих местах. Я не думаю, что это все, что имеется в виду, поскольку предполагается, что вектор имеет некоторое физическое значение; но если имеется в виду большее, неясно, как это должно быть определено. Поэтому мы предположим, что, имея функцию координат, которая является вектором, мы будем рассматривать ту же функцию других значений координат как «тот же» вектор в другом месте.

Далее мы должны определить «параллельный перенос». Это может быть определено различными способами. Пожалуй, самое наглядное описание — сказать, что это перемещение вдоль геодезической линии (Эддингтон, op. cit. стр. 71). Другое определение состоит в том, что это перемещение такое, что «ковариантная производная» обращается в нуль, причем ковариантная производная вектора по отношению к определяется как, где: Для определения см. начало главы IX. В тензорном исчислении ковариантное дифференцирование занимает место обычного дифференцирования для многих целей, поскольку ковариантная производная тензора является тензором, тогда как обычная производная в общем случае не является тензором. Мы предполагаем, что наши единицы длины в разных местах выбраны так, что, когда малое перемещение переносится в соседнее место путем параллельного переноса, изменение в мере его длины мало и пропорционально его длине. Мы предполагаем, короче говоря, что отношение увеличения длины к начальной длине для изменения координат () есть: Так что () образуют вектор, .

Теперь возможно выразить уравнения Максвелла в терминах вектора, который может быть отождествлен с вышеуказанным вектором. Следовательно, возможно рассматривать электромагнитные явления как объясняемые изменением того, что принимается за единицу, по мере перехода от точки к точке. Я не буду пытаться объяснять теорию, так как в любом случае было бы необходимо прочитать полное изложение, чтобы уловить ее значение.

Здесь, возможно, даже больше, чем в других местах теории относительности, трудно отделить конвенциональные элементы от тех, которые имеют физическое значение. На первый взгляд может показаться, что мы пытаемся объяснить реальные физические явления с помощью простой конвенции о выборе единиц. Но это, конечно, не то, что имеется в виду. То, как единица назначается в разных местах, Эддингтон называет «калибровочной системой»: это лишь частично произвольно и частично является представлением физического состояния мира. Это связано с тем фактом, что векторы — не чисто аналитические выражения, но также соответствуют физическим фактам. Казалось бы, однако, что теория еще не была выражена с той логической чистотой, которая желательна, главным образом потому, что она не предваряется никаким ясным отчетом о том, что следует понимать под «измерением» — или, что сводится к тому же с точки зрения теории, что мы должны подразумевать, когда говорим о «перемещении» вектора, будь то параллельным переносом или любым другим способом. Чтобы «переместить» что-то, мы должны быть способны распознать некоторую идентичность между вещами в разных местах. Возможно, все это вполне ясно в умах компетентных экспонентов теории, но если так, им не удалось передать свои мысли без потери ясности читателям, у которых нет их подготовки. Когда Эддингтон говорит: «Возьмите перемещение в и перенесите его параллельным переносом в бесконечно близкую точку» (стр. 200), я ловлю себя на мысли, как именно перемещение должно сохранять свою идентичность на протяжении переноса, и единственный ответ, подсказанный сопутствующими формулами, заключается в том, что идентичность — это идентичность алгебраического выражения в терминах координат. Это, однако, явно недостаточно.

Профессор Эддингтон, изложив теорию Вейля, переходит к ее обобщению, и некоторые из его сопутствующих разъяснений имеют отношение к нашим нынешним трудностям. Так, он говорит (стр. 217):

«В теории Вейля калибровочная система частично физическая и частично конвенциональная; длины в разных направлениях, но в одной и той же точке, предполагается сравнивать экспериментальными (оптическими) методами; но длины в разных точках не предполагается сравнивать физическими методами (перенос часов и стержней), и единица длины в каждой точке устанавливается конвенцией. Я думаю, что это гибридное определение длины нежелательно и что длину следует рассматривать как чисто конвенциональную или же как чисто физическую концепцию».

Он переходит к обобщенной теории, в которой, поначалу, длина чисто конвенциональна, как для сравнений в точке, так и для сравнений между разными точками. Эта обобщенная теория, по-видимому, не вовлекает того же рода трудностей, что те, которые беспокоили нас. Следующий отрывок, например, излагает дело с большой ясностью (стр. 226):

«Отношение перемещения между точечными событиями и отношение «эквивалентности» между перемещениями образуют часть одной идеи, которые разделены только для удобства математических манипуляций. То, что отношение перемещения между и составляет такую-то величину, не несет абсолютного смысла; но то, что отношение перемещения между и «эквивалентно» отношению перемещения между и, является (или, во всяком случае, может быть) абсолютным утверждением. Таким образом, четыре точки — это минимальное число, для которого может быть сделано утверждение об абсолютном структурном отношении. Ультимативные элементы структуры — это, таким образом, четырехточечные элементы. Принимая условие аффинной геометрии, я ограничил возможное утверждение относительно четырехточечного элемента утверждением, что четыре точки образуют или не образуют параллелограмм. Защита аффинной геометрии, таким образом, покоится на не лишенном правдоподобия взгляде, что четырехточечные элементы распознаются как дифференцированные друг от друга одним характером — а именно тем, что они являются или не являются особого рода, который конвенционально называется параллелограммическим. Тогда анализ свойства параллелограмма в двойную эквивалентность к и к — это просто определение того, что подразумевается под эквивалентностью перемещений».

Здесь у нас есть логически удовлетворительная теоретическая основа для метрики. Мы можем предположить, что, как дело обстоит на самом деле, существуют важные свойства групп из четырех точек, которые являются «параллелограммическими», и что фактическое физическое измерение — это приближенный метод обнаружения того, какие группы обладают этим свойством. Мы обнаружим определенные законы, приблизительно выполняемые грубыми измерениями, и выполняемые с возрастающей точностью по мере того, как мы вводим уточнения в процесс измерения. Рассмотрим, например, первую аксиому Евклида: вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу. По-видимому, Евклид рассматривал это как логически необходимое положение, и так же поступают люди, занятые практикой измерения. Если две длины, каждая равная метру, оказываются не равными друг другу, простой человек предполагает, что где-то должна быть ошибка. Поэтому мы постоянно переопределяем фактические операции измерения с целью верификации первой аксиомы Евклида как можно ближе. Но с вышеприведенным определением равенства длины первая аксиома становится существенным положением, а именно: если — параллелограмм, и точно так же, то — параллелограмм. Если это положение истинно, то теоретически возможно определить измерение таким образом, чтобы две длины, каждая равная метру, всегда были равны друг другу. То, что называется «точностью», — это, говоря в общем, попытка получить результат, согласующийся с некоторым идеальным стандартом, предполагаемым логическим, но на самом деле физическим. Что мы подразумеваем, говоря, что длина была «неправильно» измерена? Какой бы результат мы ни получили от измерения заданной длины, результат представляет факт в мире. Но в том, что мы называем «неправильным» измерением, установленный факт сложен и обладает малой универсальностью. Если наблюдатель просто неверно прочитал шкалу, установленный факт включает отсылку к его психологии. Если он пренебрег физической поправкой — например, на температуру своей меры — факт относится только к измерению, выполненному с помощью этого конкретного аппарата в этом конкретном случае. В теории относительности у нас есть другой набор того, что можно было бы назвать «неточными» измерениями — например, измерения масс -частиц или -частиц, испускаемых радиоактивными телами, должны быть скорректированы на их движение относительно наблюдателя, прежде чем они приобретут какое-либо общее значение. Именно поиск простых отношений, которые входят в общие законы, управляет последовательными уточнениями. Но существование таких отношений (там, где они действительно существуют) — это эмпирический факт, так что многое из того, что кажется prima facie логически необходимым, на самом деле является случайным. С другой стороны, количество посылок в дедуктивной системе, которая должна согласовываться с эмпирической наукой, может быть, благодаря логическому мастерству, уменьшено до степени, которая может быть поразительной. Этим теория относительности является очень примечательным примером. Теория — это комбинация двух разнообразных элементов: с одной стороны, новых экспериментальных данных; с другой — нового логического метода. Это должно рассматриваться как счастливая случайность, что они появились вместе; если бы не нашлось нужного рода теоретического гения, нам, возможно, пришлось бы долго довольствоваться залатанными гипотезами, такими как сокращение Фитцджеральда. Как бы то ни было, комбинация эксперимента и теории произвела один из высших триумфов человеческого гения.

ГЛАВА XI ПРИНЦИП ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

НА ПРОТЯЖЕНИИ всей теории относительности применяется, с возрастающей строгостью, принцип, который начинает проявлять себя в физике с Галилея, несмотря на то, что он не обладал математической техникой, которую тот требует. Принцип, который я имею в виду, — это принцип «дифференциальных законов», как его можно назвать. Это означает, что любая связь, которая может существовать между отдаленными событиями, является результатом интегрирования из закона, дающего скорость изменения в каждой точке некоторого пути от одного к другому. Можно привести простую иллюстрацию дифференциального закона из «кривой погони»: человек идет по прямой дороге, а его собака — в поле рядом с дорогой; человек свистит собаке, и собака бежит к нему. Мы предполагаем, что в каждый момент собака бежит точно туда, где находится ее хозяин в этот момент. Обнаружить кривую, описываемую собакой, — это задача на интегрирование, которая становится определенной при задании некоторых дальнейших данных. Ньютоновский закон гравитации дает очень похожий тип закона, за исключением того, что именно ускорение планеты, а не ее скорость, направлено к Солнцу в каждый момент. Давно стало общим местом физики, что ее причинные законы должны иметь этот дифференциальный характер: они должны говорить прежде всего о тенденции в каждый момент, а не об исходе через конечное время. Одним словом, ее причинные законы принимают форму дифференциальных уравнений, обычно второго порядка.

Этот взгляд на причинные законы отсутствует в квантовой теории, в идеях дикарей и необразованных людей, а также в работах философов, включая Бергсона и Дж. С. Милля. В квантовой теории у нас есть дискретный ряд возможных внезапных изменений и некоторое статистическое знание о пропорции случаев, в которых реализуется каждая возможность; но у нас нет знания о том, что определяет возникновение конкретного изменения в конкретном случае. Более того, изменение не того рода, который может быть выражен дифференциальными уравнениями: это изменение из состояния, выраженного одним целым числом или набором целых чисел, в состояние, выраженное другим. Этот вид изменения может оказаться физически ультимативным и отметить по крайней мере часть физики как управляемую законами нового рода. Но вряд ли наука вернется к грубой форме причинности, в которую верят фиджийцы и философы, типом которой является «молния вызывает гром». Никогда не может быть законом, что, при заданном в одно время, обязательно будет в другое время, потому что что-то может вмешаться, чтобы предотвратить n. Мы не выводим такие законы из квантовых явлений, потому что мы не знаем в их случае, что не будет продолжаться в течение рассматриваемого времени. Естественный взгляд, который следует принять в настоящее время, заключается в том, что квантовые явления имеют отношение к обмену энергией между материей и окружающей средой, в то время как непрерывное изменение обнаруживается во всех процессах, которые не включают такого обмена. Существуют, однако, трудности в любом взгляде в настоящее время, и не мирянину высказывать мнение. Кажется не невероятным, что, как предполагает Гейзенберг, наши взгляды на пространство-время, возможно, придется глубоко модифицировать, прежде чем будет достигнута гармония между квантовыми явлениями и законами передачи света in vacuo. На данный момент, однако, я хочу ограничиться точкой зрения теории относительности.

Хотя физика работала с дифференциальными уравнениями с момента изобретения исчисления, предполагалось, что геометрия может начинаться с законов, применяемых к конечным пространствам. Если мы принимаем эйнштейновскую точку зрения, больше не может быть никакого разделения между геометрией и физикой; каждое положение геометрии будет в некоторой степени причинным. Возьмем сначала специальную теорию. Относительно осей () мы можем получить положения геометрии, сохраняя постоянным; но относительно других осей эти положения будут относиться к событиям в разное время. Правда, эти события, в любой системе координат, будут иметь пространственноподобный интервал и не будут иметь прямых причинных отношений друг с другом; но они будут иметь косвенные причинные отношения, производные от общего происхождения. Возьмем какой-нибудь пример, скажем: сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Наш треугольник может состоять из стержней или световых лучей. В любом случае он должен сохранять определенное постоянство, пока мы его измеряем. И стержни, и световые лучи — это сложные физические структуры, и физические законы их поведения вовлечены в принятие их в качестве приближений к идеальным прямым линиям. Тем не менее, насколько это касается специальной теории, все это можно было бы допустить, и все же мы могли бы поддерживать определенное различие между геометрией и физикой, причем первая является набором законов, предполагаемых точными и приблизительно верифицированными для отношений координат в любой галилеевой системе, когда сохраняется постоянным.

Но в общей теории смешение геометрии и физики более интимно. Мы не можем точно свести к форме: и поэтому мы не можем точно отличить одну координату как представляющую время. Мы не можем поэтому получить безвременную геометрию, полагая =константа. С этим приходит изменение в наших аксиомах. У нас больше нет, как у Евклида, у Лобачевского и Бойяи, и в проективной геометрии, аксиом, имеющих дело с прямыми линиями конечной длины. У нас теперь есть только, в качестве нашего начального аппарата, геометрия бесконечно малых, из которой результаты большого масштаба должны быть получены путем интегрирования. С этой точки зрения расширение Эйнштейна Вейлем кажется естественным. Как мы видели в последней главе, цитируя Эддингтона, утверждение, что расстояния, равны, — это утверждение отношения между четырьмя точками, , , , . Если все отношения, которые составляют наш начальный аппарат, должны быть ограничены бесконечно малым, то должно быть и это отношение; если так, , , , должны все быть близко друг к другу, и получается геометрия Вейля.

В этом месте, однако, чистый математик, вероятно, почувствует трудность, которая не сильно беспокоит физика. Физик думает о своих бесконечно малых как о фактических малых величинах, которые могут — например, в астрономических задачах — быть такими, которые считались бы большими в других задачах. Для него, следовательно, утверждение в терминах бесконечно малых вполне удовлетворительно.

Но для чистого математика нет бесконечно малых, и все утверждения, в которых они, по-видимому, встречаются, должны быть выразимы как пределы того, что происходит с конечными величинами. Чтобы взять наш конкретный случай: мы должны быть способны сказать о малом конечном четырехугольнике, что он приблизительно параллелограмм, если мы хотим быть способны придать смысл утверждению, что бесконечно малый четырехугольник может быть точно параллелограммом. Случай точно аналогичен скорости в элементарной кинематике: мы можем придать смысл скорости только потому, что мы можем измерять конечные расстояния и времена, и так сформировать концепцию предела их частного. Не совсем ясно, как мы должны удовлетворить этому требованию в случае теории Вейля. Я думаю, однако, что нет ни малейшего основания предполагать, что оно не может быть удовлетворено. Пусть «» означает «образуют параллелограмм». Мы предполагаем, что у нас есть также, и т. д., но не и т. д. Также если у нас есть и, мы должны иметь. Но если мы возьмем «» означающим «, , , образуют приблизительный параллелограмм», мы не можем (если есть какой-либо способ спецификации степени приближения) аргументировать от и к. Теперь, если мы предположим, как делает Вейль, что длины в данной точке сравнимы, мы можем, возможно, дать необходимые определения. Мы должны будем взять, а не, в качестве нашего фундаментального отношения, поскольку расстояние между любыми двумя точками конечно, и предполагается, что никакой конечный четырехугольник не может быть точно параллелограммом. Или, возможно, нам придется сделать шаг дальше и взять в качестве фундаментального отношение восьми точек, скажем, означающее « более близко к параллелограмму, чем ». Мы тогда скажем, что, при заданных любых четырех точках, , , , возможно найти точки , более близкие к и соответственно, чем и, такие что. Далее, мы можем сказать, что, если , , , достаточно близки друг к другу, и тогда отношение к может быть сделано стремящимся к нулю как предел путем уменьшения размера в чисто ординальном смысле. (Ординальные отношения между точками, как мы видели ранее, предполагаются в теории относительности.)

Вполне вероятно, что вышеописанный процесс можно упростить. Однако сам по себе он не имеет значения; его единственная цель — показать, что требуемые производные могут быть корректно определены и что, как бы математическое описание ни ограничивалось бесконечно малыми величинами, необходимо постулировать отношения между точками, расстояния между которыми конечны, если мы хотим применять исчисление бесконечно малых.

Этот последний результат, общность которого очевидна из теории пределов, имеет определенное философское значение. Везде, где математика работает в непрерывной среде с отношениями, которые можно условно описать как «следующий за следующим», должны существовать и другие отношения, связывающие точки, находящиеся на конечном расстоянии друг от друга, пределом которых и являются отношения «следующий за следующим». Таким образом, когда мы говорим, что законы должны выражаться дифференциальными уравнениями, мы утверждаем, что возникающие конечные отношения не могут быть подчинены точным законам, а лишь их пределы по мере уменьшения расстояний. Мы не утверждаем, что эти пределы являются физическими реальностями; напротив, физическими реальностями остаются конечные отношения. И если наша теория должна быть адекватной, необходимо найти способ определения конечных отношений, делающий возможным переход к пределу.

К достоинствам общей теории относительности, особенно в форме Вейля (или еще более общей форме, предложенной Эддингтоном), относят то, что она обходится без того, что мы можем назвать «интегрированными» отношениями в своих основах. Так, Эддингтон, указав, что его интересует структура, а не субстанция, продолжает (с. 224):

«Но структуру можно описать до некоторой степени; и при сведении к предельным понятиям она, по-видимому, распадается на комплекс отношений. Более того, эти отношения не могут быть полностью лишены сопоставимости; ибо если в мире ничто не сопоставимо ни с чем другим, то все его части подобны в своей неподобности, и не может существовать даже зачатков структуры».

«Аксиома параллельного переноса является выражением этой сопоставимости, и постулируемая сопоставимость представляется почти минимально мыслимой. Предполагается, что сопоставимы только те отношения, которые находятся близко друг к другу — т. е. сцеплены в структуре отношений, — и понятие эквивалентности применяется только к одному типу отношений. Это сопоставимое отношение называется смещением. Графически представляя это отношение, мы получаем идею местоположения в пространстве; причина, по которой нам естественно представлять это конкретное отношение графически, выходит за рамки физики».

«Таким образом, наша аксиома параллельного переноса — это геометрическое облачение принципа, который можно назвать “сопоставимостью близлежащих отношений”».

Очевидно, что в приведенном отрывке Эддингтон подразумевает смещения на малом конечном расстоянии друг от друга, а не на бесконечно малом; он не думает обо всем аппарате, связанном с процедурой замены бесконечно малых пределом. Можно предположить, что он допускает, например, что масштабная линейка не сильно изменится за долю секунды, необходимую для переноса ее из одной части данной страницы в другую. Но когда мы говорим, что она не изменится «сильно», мы подразумеваем некий стандарт количественного сравнения, отличный от самой линейки; и это ведет к проблемам, которые мы рассматривали.

Я не могу не думать, что точка зрения Эддингтона поддается развитию и дальнейшему анализу с помощью математической логики; в частности, это относится к условиям возможности измерения — теме, которая будет подробно рассмотрена в следующей главе. Но сейчас меня интересует «сопоставимость близлежащих отношений». Прежде всего, что имеется в виду под «сопоставимостью»? Минутное размышление показывает, что требуется симметричное транзитивное отношение, которое каждое из рассматриваемых отношений имеет к некоторым другим, но не ко всем. (В частном случае общей геометрии Эддингтона предполагается, что если существует такое отношение интервала к интервалу, то существует и такое же отношение интервала к интервалу. Но это, как он признает (с. 226), не является существенным.) Почему же мы должны предполагать, что транзитивное симметричное отношение такого рода скорее существует между малыми интервалами, чем между большими? Т. е. если находится между и, а между и, вероятнее ли, что рассматриваемое отношение будет иметь место между и, чем между и? Я не вижу причин так думать. И я полагаю далее, что при правильной интерпретации бесконечно малых вся вера в то, что причинность всегда должна действовать от «следующего к следующему», становится несостоятельной, если не отказаться от непрерывности. Каузальные законы могут быть дифференциальными уравнениями, но основания для такого мнения должны быть эмпирическими, а не априорными. Они не могут быть выведены из невозможности дальнодействия, если только само расстояние не является производным от причинности, что вполне может быть, но не представляет собой никакой части взглядов тех, кто стремится избавиться от дальнодействия. Поэтому вполне может быть, что существует один раздел физики — включенный в общую теорию относительности в дополнение Вейля, — в котором все протекает согласно дифференциальным уравнениям, в то время как существует другая часть — рассматриваемая квантовой теорией, — в которой весь этот аппарат неприменим. Абсолютно нет никаких априорных причин, по которым все должно подчиняться дифференциальным уравнениям, поскольку даже в этом случае причинность на самом деле не идет от «следующего к следующему»: в континууме нет «следующего». В конечном счете, именно потому, что «следующий за следующим» кажется естественным, нам нравится процедура дифференциальных уравнений; но эти две вещи логически несовместимы, и наше предпочтение второго из-за первого проистекает лишь из логической путаницы.

ГЛАВА XII ИЗМЕРЕНИЕ

В предыдущих обсуждениях мы неоднократно сталкивались с проблемой измерения. Пришло время рассмотреть ее саму по себе: как она определяется и при каких обстоятельствах возможна.

Прежде всего, что мы подразумеваем под измерением? Очевидно, мы не имеем в виду любой метод присвоения чисел совокупности объектов; с присвоенными числами должны быть связаны важные свойства. Мы не говорим, что книги в Британском музее «измеряются» их шифрами. Для любой совокупности, кардинальное число которой меньше или равно, мы можем присвоить некоторые или все вещественные числа в качестве «шифров» отдельных членов совокупности. Любую совокупность членов можно расположить в евклидовом или неевклидовом пространстве любого известного типа с любым конечным числом измерений, и в таком виде она будет поддаваться всей метрической геометрии. Но «расстояние» между двумя членами совокупности, определенное таким образом, в общем случае будет совершенно неважным в том смысле, что оно будет обладать лишь теми свойствами, которые тавтологически следуют из его определения, а не теми дополнительными эмпирическими свойствами, которые сделали бы это определение ценным. Пока это так, нет причин предпочитать одну другой из различных несовместимых систем расстояний, которые позволила бы нам задать чистая математика.

Приведем пример. В проективной геометрии мы исходим из набора аксиом, которые ничего не говорят о количестве и даже явно не включают порядок. Но обнаруживается, что они действительно ведут к порядку и что с помощью этого порядка точкам можно присвоить координаты. Эти координаты имеют определенный проективный смысл: они представляют собой ряд четырехугольных конструкций, необходимых для достижения рассматриваемой точки из некоторых заданных начальных точек (я опускаю сложности, связанные с пределами; они рассматриваются в главе «Проективная геометрия» в «Принципах математики»). В этом случае может показаться сомнительным, имеем ли мы дело с измерением или нет. Мы присвоили координаты таким образом, что сохраняются отношения порядка точек, и оказывается, что обычное расстояние между двумя точками является простой функцией их проективных координат, хотя эта функция несколько различается в зависимости от того, является ли пространство евклидовым, гиперболическим или эллиптическим. Именно из-за этого различия мы не скажем, что «измерили» расстояния, когда ввели проективные координаты. Эти координаты, например, не скажут нам, даже приблизительно, сколько времени потребуется, чтобы дойти от одного места до другого, а это именно то, что должно сообщать измерение.

Что же тогда имеется в виду, когда говорят, что в теории относительности существует метрическое отношение интервала? Давайте продолжим с того места, на котором остановился Эддингтон. Он предполагает, что все, что нужно, — это «сопоставимость» между двумя парами точек или, как он говорит, между двумя «смещениями». (Мы можем пока оставить в стороне вопрос о том, должно ли это соблюдаться только для пар точек, которые находятся очень близко друг к другу.) Этот язык кажется несколько расплывчатым; попробуем придать ему точность.

Предположим, что между двумя парами точек иногда, но не всегда, существует симметричное транзитивное отношение. Тогда мы можем определить как «расстояние между и» класс всех пар точек, имеющих отношение к (и). Если теперь вместо мы напишем, мы получим: из этих двух следует, что любая пара объектов, в области определения такова, что. Это кажется всем, что строго подразумевается словами Эддингтона, но это, безусловно, не все, что нам нужно. И это не становится достаточным, если мы добавим: должна существовать связь между расстояниями и порядковыми отношениями, должны быть способы сложения расстояний и способы вывода новых расстояний из определенного количества данных, как в. Если все эти условия выполнены, мы можем затем спросить, обладают ли наши расстояния какими-либо другими важными физическими свойствами.

Тип отношения, который не подходит, иллюстрируется, если мы возьмем означающим, что и имеют одинаковые видимые размеры в поле зрения определенного наблюдателя — например, диаметры Солнца и Луны будут приблизительно иметь это отношение, которое является симметричным и транзитивным, но физически неважным. Посмотрим, что необходимо для получения определения расстояния, которое обладало бы как можно большим числом свойств, присущих расстоянию в элементарной геометрии.

Если мы ограничимся тремя измерениями, мы можем сразу определить плоскость: она будет состоять из всех точек, равноудаленных от двух заданных точек. Точки на этой плоскости, которые равноудалены от двух заданных точек на ней, лежат на прямой линии; мы можем принять это за определение прямой линии. Таким образом, имея две точки, мы можем определить среднюю точку между ними: это точка на, которая равноудалена от и. Нам понадобится аксиома о том, что эта точка всегда существует и всегда единственна. Таким образом, мы можем делить расстояния пополам и удваивать их: мы, конечно, определим как половину. С этого момента присвоение числовых мер нашим расстояниям не представляет трудности. Поэтому необходимо лишь тщательно изучить то, что уже было сказано.

В обычной евклидовой геометрии существует ровно одна точка на плоскости, равноудаленная от трех заданных точек на этой плоскости; это центр описанной окружности. В трех измерениях существует одна точка, равноудаленная от четырех заданных точек; в четырех — от пяти. Последнее справедливо и в специальной теории относительности, и даже в общей теории, пока рассматриваемые расстояния малы. Если мы возьмем точку вблизи начала координат, другая точка будет равноудалена от этой точки и начала координат, если (где имеют свои значения в начале координат), что является простым уравнением относительно. Четыре таких уравнения дают уникальный набор значений для. Таким образом, существует ровно одна точка, равноудаленная от пяти заданных близко расположенных точек. Более того, простое уравнение, которое мы можем принять за уравнение части плоскости вблизи начала координат, дает геометрическое место точек вблизи начала координат, равноудаленных от него и соседней точки. Фактически, как и следовало ожидать, для малых расстояний все происходит так же, как в элементарной геометрии, при условии наличия формулы для.

Но простое допущение, что между парами точек существует отношение, подобное, не дает этих результатов, поскольку оно не подразумевает взаимосвязи расстояний, которая дается формулой для. Тем не менее, теоретически этого достаточно в качестве основы измерения, поскольку, как мы видели, это позволяет нам делить расстояния пополам и удваивать их, а следовательно, присваивать им числа. Это показывает, что геометрия относительности, даже в своей самой общей и абстрактной форме, предполагает гораздо больше, чем просто возможность измерения, которая сама по себе имеет очень малую ценность. Сама по себе она не ведет к геометрии; это происходит только тогда, когда существует некоторая взаимосвязь между различными мерами.

Можно спросить, остается ли какой-либо подлинно количественный элемент в формулах геометрии относительности, когда она максимально обобщена. Мы начинаем с упорядоченного четырехмерного многообразия и присваиваем координаты при единственном ограничении, что их отношения порядка должны воспроизводить отношения порядка данного многообразия. Затем мы переходим к поиску формул (тензорных уравнений), которые одинаково верны во всех системах координат, удовлетворяющих вышеуказанному условию. Может показаться возможным, что такие формулы на самом деле выражают только порядковые отношения и что единственное преимущество координат заключается в том, что они предоставляют имена для членов многообразия требуемого типа. (Они не предоставляют имена для всех из них; количество имен равно, и поэтому лишь исчезающе малая доля вещественных чисел может быть названа — т. е. выражена с помощью формулы конечной сложности, использующей целые числа.) Эта возможность требует исследования.

Эту проблему можно с равным успехом обсудить в двух измерениях. В теории поверхностей Гаусса сфера и эллипсоид, например, различимы по тому факту, что существует неприводимое различие между формулами для, которые справедливы для этих двух поверхностей при выражении через две координаты; это выражает тот факт, что мера кривизны постоянна в случае сферы, но не в случае эллипсоида. Однако с чисто порядковой точки зрения, такой как в analysis situs, эти две фигуры неразличимы. Что именно добавляется, чтобы создать различие? Эта проблема по существу та же, что возникает в общей теории относительности.

Отчасти ответ в этом случае прост. Добавляется сопоставимость расстояний в разных направлениях. Пока наш аппарат чисто порядковый, мы можем сказать о трех точках, имеющих порядок, что ближе к, чем, но мы не можем сказать ничего аналогичного о трех точках, которые не находятся в одном ряду — я не говорю «на одной прямой линии», потому что вовлеченное понятие более общее, как станет ясно позже. Но хотя это часть ответа, она не кажется полной, поскольку наше отношение также позволило нам сравнивать расстояния, не имеющие общего начала.

По-видимому, то, что отличает расстояние, требуемое в геометрии, от такого отношения, как «стягивание заданного угла в заданной точке», — это отсутствие отсылки к чему-либо внешнему. Когда расстояние между двумя точками равно расстоянию между двумя другими, предполагается, что мы имеем факт, не требующий отсылки к какой-либо другой точке или точкам. Фактически, именно по этой причине «интервал» был подставлен вместо расстояния: последнее, как его понимали до сих пор, зависело от движения системы координат и, таким образом, не являлось внутренним геометрическим отношением. Расстояние, если оно должно служить своей цели, должно быть функцией исключительно двух точек и не должно включать никаких других геометрических данных. Здесь, для целей относительности, «геометрия» включает «кинематику». Угол, который две точки стягивают в заданной точке, становится функцией трех точек, как только заданная точка рассматривается как переменная. Не должно быть такого способа превращения расстояния между двумя точками в функцию, включающую также другие переменные.

Я не уверен, однако, необходимо ли вводить это довольно сложное соображение. В обычной геометрии точки на заданном расстоянии от заданной точки лежат на поверхности сферы; но если мы определим расстояние как угол, где — фиксированная точка, точки на заданном расстоянии от лежат на конусе. Теперь сфера и конус различимы в analysis situs. Таким образом, вышеуказанное нежелательное определение можно было бы исключить, настаивая на том, что точки на заданном расстоянии от заданной точки должны образовывать овальную фигуру. В теории относительности это неверно для точек, имеющих нулевой интервал от заданной точки; действительно, это верно только тогда, когда рассматриваемый интервал является пространственноподобным. Но можно указать характеристики для analysis situs трехмерной поверхности постоянного расстояния от заданной точки. Их можно было бы добавить к постулату о том, что расстояние существует. Не уверен, смогли бы мы таким образом преодолеть кажущуюся необходимость различать сферу и эллипсоид, сделав различие относительным к определению расстояния, хотя, очевидно, вопрос должен быть легко разрешим.

Каждый принцип измерения, который должен использоваться на практике, должен быть таким, чтобы с мерами были связаны важные эмпирические законы. Всегда будет существовать бесконечное число способов соотнесения чисел с членами класса, кардинальное число которого меньше или равно. Некоторые из них могут быть важны, но большинство должно быть неважным. Можно установить некоторые условия. Во-первых, члены рассматриваемого класса могут быть очевидно способны к порядку, который является каузально важным. Если мы возьмем все цветовые пятна, которые когда-либо воспринимались или будут восприниматься, они в первую очередь имеют порядок в пространстве-времени, который очевидно важен каузально; в этом порядке никакие два из них не занимают одну и ту же позицию — т. е. все рассматриваемые отношения асимметричны. Но они также имеют порядок как оттенки цвета и как варьирующаяся яркость. В этом порядке существуют симметричные транзитивные отношения — например, между двумя пятнами совершенно одного и того же оттенка. Физика претендует на то, чтобы соотносить также эти дополнительные характеристики цветов с пространственно-временными величинами, такими как длины волн. Это не было бы правдоподобным, если бы непрерывные изменения качества не были соотнесены с непрерывными изменениями в соответствующих физических величинах. Всякий раз, когда мы замечаем качественный ряд, такой как цвета радуги, мы предполагаем, что он должен иметь каузальную важность, и настаиваем на том, чтобы числа, используемые в качестве мер, имели тот же порядок, что и качества, которые они измеряют. Первое — это постулат, второе — конвенция. Оба оказались весьма успешными, но ни то, ни другое не является априорной необходимостью.

Существуют порядки, которые очевидно не имеют никакой каузальной важности — например, алфавитный порядок среди людей. Люди, как и цвета, имеют различные порядки, которые каузально важны — пространственно-временной порядок, порядок по росту, весу, доходу, интеллекту, измеренному тестами профессора X, и т. д. Но алфавитный порядок никогда не считался бы важным; никто не надеялся бы основать биометрическое исчисление на системе, в которой человек имел бы координаты, зависящие от алфавитного порядка его имени. Вообще говоря, казалось бы, что самые простые отношения — самые важные. Здесь я использую чисто логический тест простоты: если взять суждения, в которых встречается данное отношение, найдутся такие, которые имеют наименьшее число составляющих, совместимых с упоминанием этого отношения; и опять же, отношение может быть молекулярным соединением других отношений — т. е. дизъюнкцией, конъюнкцией, отрицанием или комплексом всего этого. Молекулярное отношение всегда имеет определенное число атомов; отношение, которое не является молекулярным, называется атомным и имеет тогда определенное число членов в простейших суждениях, в которых оно встречается. Атомное отношение тем проще, чем меньше у него членов; молекулярное отношение — чем меньше у него атомов. Есть много эмпирических оснований полагать, что законы науки становятся более важными и всеобъемлющими по мере того, как вовлеченные отношения становятся проще. Отношение человека к своему имени обладает огромной сложностью, тогда как мы можем предположить, что отношение, от которого зависит интервал, довольно простое. И качественный порядок цветов, упомянутый выше, также прост, пока мы думаем о цветах как о данных в восприятии, а не как об интерпретируемых в физике. Такие простые отношения должны, насколько это возможно, быть основой для систем измерения.

Существует традиционное различие между экстенсивными и интенсивными величинами, которое несколько вводит в заблуждение, если воспринимать его всерьез. Теория состоит в том, что экстенсивные величины состоят из частей, а интенсивные — нет. Единственными по-настоящему экстенсивными величинами являются числа и классы. Там, где речь идет о конечных классах, число их членов может быть принято в качестве их меры, и они имеют части, соответствующие всем меньшим числам. Но в геометрии мы никогда не имеем дело с величинами, которые имеют части. Число точек в объеме, будь он большим или малым, всегда равно в обычных видах геометрии; таким образом, величина не имеет ничего общего с числом. Интервал, как мы видели, является отношением, и меньшие интервалы не являются его частями. Если и — равные интервалы на прямой линии, мы говорим, что интервал вдвое больше каждого, и думаем о нем как о «сумме» и. Но только по конвенции, хотя и почти непреодолимой, мы присваиваем в качестве меры число, вдвое большее того, которое мы присваиваем в качестве меры или. И сказать, что есть «сумма» и, — значит сказать нечто очень двусмысленное, поскольку слово «сумма» имеет много значений. Когда и рассматриваются как векторы, мы можем сказать, что есть их сумма, даже если они не лежат на одной прямой линии. Опять же, при наличии подходящих определений мы можем сказать, что точки между и являются суммой (в логическом смысле) точек между и, а также между и; это будет верно только в том случае, если — прямая линия. Но расстояние между и, рассматриваемое как отношение, не является должным образом «суммой» в каком-либо признанном смысле расстояний. Таким образом, все геометрические величины являются «интенсивными». Это показывает, что различие между интенсивными и экстенсивными величинами неважно.

В связи с интервалом стоит сравнить его формальные характеристики с характеристиками подобия. Мы видели, что в обобщенной геометрии, которой заканчивает Эддингтон, нам нужно отношение четырех соседних точек, выражающее тот факт, что они образуют параллелограмм. Но мы столкнулись с определенными трудностями из-за того, что это предполагается возможным только для бесконечно малого четырехугольника, который является фикцией математического воображения, и что было не совсем легко понять, как заменить процедуру с помощью пределов. Мы пришли к предположению, что вместо того, чтобы говорить «есть параллелограмм», мы должны будем сказать «более похоже на параллелограмм, чем». Возможно, это можно было бы несколько упростить. Предположим, мы скажем: «более похоже на параллелограмм, чем». И, возможно, это можно было бы еще больше упростить, чтобы принять форму: «больше похоже на, чем». Мы здесь предполагаем, что между любыми двумя точками существует отношение, которое мы не будем называть расстоянием, а (скажем) «разделением», и что это отношение, подобно оттенку цвета, способно к большему или меньшему сходству с другим того же рода. В евклидовом пространстве два конечных разделения, конечно разделенных, могут быть точно подобны в соответствующих отношениях; тогда мы имеем конечный параллелограмм.

Но в обобщенной геометрии, которую мы рассматриваем, мы скажем, что никакие два разделения не являются точно одинаковыми, хотя они способны к неопределенному приближению к точному сходству. Посмотрим, как далеко это нас приведет.

В случае подобия мы имеем отношение, которое способно к степеням и может быть названо «квазитранзитивным» — т. е. если очень похоже на, а очень похоже на, то должно быть довольно похоже на. Это как раз то, что требуется для геометрии Вейля. Рассмотрим четыре точки, и предположим, что довольно похоже на. Возьмем ряд точек, образующих непрерывный маршрут от к, без петель; это можно сделать чисто порядковыми методами, которые будут объяснены позже. Предположим, что среди этих точек есть такие, как, которые делают более похожим на, чем. Мы можем предположить, что эти точки имеют предел или последний член, который мы назовем. Мы можем затем аналогично продолжить вдоль к точке, которая дает более похожим на, чем для любой другой точки на. Тогда мы сделали почти все возможное, если не совсем, с тремя точками в качестве отправных. С помощью подходящих постулатов мы могли бы гарантировать, что конструкция такого рода, выполняемая неоднократно без изменения точек, должна в конце концов закончиться определенной точкой такой, что более похоже на, чем любое другое расстояние от. Мы можем назвать фигуру «квазипараллелограммом». Теперь пусть... — ряд точек на маршруте от к. Затем продолжим брать точки... между и на каком-нибудь маршруте и сформируем квазипараллелограммы, имеющие один угол в, один угол в и один в, четвертый из которых называется.

Если, как предполагает Вейль, бесконечно малые расстояния, имеющие один общий конец, сопоставимы, это должно пониматься в том смысле, что два малых конечных расстояния способны к сходству, которое можно назвать «квазиравенством», которое становится тем более полным сходством, чем меньше расстояние. Мы можем предположить, как и прежде, что при наличии точки и определенного маршрута от к, будет одна определенная точка на этом маршруте такая, что более близко к равенству с, чем любое другое расстояние на рассматриваемом маршруте. Мы тогда скажем, что и «квазиравны». Возьмем также... квазиравные, и... квазиравные. Таким образом, мы можем построить координатную сетку с осями. И теперь мы можем построить то, что будет фактически прямыми линиями через: возьмем все точки, которые являются углами, противоположными углам квазипараллелограммов, для различных начальных точек, при условии квазиравенства между и. Эти точки можно рассматривать как образующие квазипрямую линию, уравнение которой есть. (Иррациональные числа можно обрабатывать обычными методами.) Эта квазипрямая линия начнется от в определенном направлении и может для дифференциальных целей рассматриваться как действительно прямая линия. Нет смысла продолжать дальше, поскольку очевидно, что у нас есть необходимый материал.

Степени подобия могут быть, в некотором смысле, измерены квазитранзитивностью. Предположим, что... каждое имеет квазиравенство со следующим. Может случиться или не случиться, что имеет квазиравенство с. Можно предположить, что это произойдет, если и очень малы, а не очень велико. Аналогично, или, скорее, a fortiori, мы не можем сделать вывод, что имеет квазиравенство с. Чем больше значение, для которого такой вывод остается верным, тем ближе сходство между и или между и. Следует предположить, что путем постоянного уменьшения и число шагов, для которых разрешен вывод, может быть увеличено без конечного предела.

Если вышесказанное в какой-то степени справедливо, то, по-видимому, если пространство-время непрерывно, пространственно-временное измерение теоретически зависит от качественного подобия, способного к варьирующимся степеням, между отношениями пар точек. Не предполагается, что анализ нельзя довести до конца, а лишь то, что это валидный этап в процессе объяснения того, что подразумевается под количественным характером интервалов и их измерением как числовыми кратными единицам.

ГЛАВА XIII МАТЕРИЯ И ПРОСТРАНСТВО

Здравый смысл исходит из представления о том, что материя есть там, где мы можем получить ощущения осязания, но не в других местах. Затем он озадачивается ветром, дыханием, облаками и т. д., откуда приходит к концепции «духа» — я говорю этимологически. После того как «дух» был заменен «газом», наступает следующий этап — этап эфира. Предполагая непрерывность физических процессов, что-то должно происходить между Землей и Солнцем, когда свет идет от Солнца к Земле; предполагая средневековую метафизику «субстанции», как это делали все физики до недавнего времени, то, что происходит между Землей и Солнцем, должно происходить «в» или «с» субстанцией, которая называется эфиром.

Помимо метафизических интерпретаций, то, что мы можем считать известным (используя это слово несколько свободно), заключается в том, что процессы происходят там, где нет грубой материи, и что эти процессы протекают, по крайней мере приблизительно, в соответствии с уравнениями Максвелла. Не представляется никакой необходимости интерпретировать эти процессы в терминах субстанции; действительно, я буду утверждать, что процессы, связанные с грубой материей, также следует интерпретировать так, чтобы они не включали субстанцию. Однако должно оставаться различие, выразимое в физических терминах, между областями, где есть материя, и другими областями. Фактически, мы знаем это различие. Закон гравитации различен, и законы электромагнетизма претерпевают разрыв, когда мы достигаем поверхности электрона или протона. Эти различия, однако, не метафизического рода. Для философа различие между «материей» и «пустым пространством», я полагаю, является лишь различием в каузальных законах, управляющих последовательностями событий, а не различием, выразимым как различие между присутствием или отсутствием субстанции или как различие между одним видом субстанции и другим.

Физика как таковая должна быть удовлетворена, когда она установила уравнения, согласно которым происходит процесс, с достаточной интерпретацией, чтобы знать, какие экспериментальные данные подтверждают или опровергают уравнения. Физику не обязательно спекулировать о конкретном характере процессов, с которыми он имеет дело, хотя гипотезы (как ложные, так и истинные) по этому вопросу иногда могут быть подспорьем для дальнейших обоснованных обобщений. В настоящее время мы ограничиваемся точкой зрения физики. Можно ли знать или плодотворно предполагать что-то еще — это вопрос, который мы обсудим на более позднем этапе. Поэтому мы хотим рассмотреть различие в физических формулах, которое описывается как различие между присутствием и отсутствием материи, а также кратко рассмотреть трудности, касающиеся обменов энергией между материей и пустым пространством. Я говорю «пустое пространство» или «эфир» безразлично; различие, по-видимому, заключается лишь в словах.

Один из способов подхода к этой теме — через связь массы с энергией. В элементарной динамике они совершенно различны, но в наши дни они слились. В физике участвуют два вида массы, из которых один можно назвать «инвариантной» массой, другой — «относительной» массой. Последняя — это масса, полученная путем измерения, когда рассматриваемое тело может двигаться относительно наблюдателя; первая — это масса, полученная, когда тело находится в покое относительно наблюдателя. Если мы назовем инвариантную массу и относительную массу, то, принимая скорость света за единицу, если — скорость тела относительно наблюдателя, мы имеем: Таким образом, увеличивается по мере увеличения; если — скорость света, становится бесконечной, если конечна. Фактически, инвариантная масса света равна нулю, а его относительная масса конечна. Везде, где энергия связана с материей, существует конечная инвариантная масса; но там, где энергия находится в «пустом пространстве», равна нулю. Это можно было бы рассматривать как определение различия между материей и пустым пространством.

Будет видно, что если мало, так что и более высокие степени можно пренебречь, вышеуказанное уравнение становится приблизительно Теперь — кинетическая энергия. Таким образом, изменение с изменениями движения такое же, как изменение кинетической энергии. Но энергия фиксирована только в той мере, в какой она изменяется, а не в своем абсолютном количестве. Следовательно, может быть отождествлена с энергией. И это предполагает далее, что обычное определение энергии является лишь приближением, которое справедливо, когда мало. Точная формула для энергии — т. е. точно такая же, как.

Закон сохранения энергии — это закон сохранения, а не; также приблизительно сохраняется, но не точно. Например, происходит потеря при объединении четырех протонов и двух электронов в ядро гелия. Термин «инвариантный» относится к изменениям координат, а не к постоянству во времени.

Необходимо сказать несколько слов о трудностях согласования законов, управляющих распространением света, с законами, управляющими обменами энергией между светом и атомами. По этому вопросу нынешнее положение физики — это состояние недоумения, метко обобщенное доктором Джинсом в «Атомарности и квантах» (Кембридж, 1926) и доктором К. Д. Эллисом в журнале Nature от 26 июня 1926 г., с. 895-7. Волновая теория света адекватно объясняет все явления, в которых участвует только свет, такие как интерференция и дифракция; но она не может объяснить квантовые явления, такие как фотоэлектрический эффект (см. главу IV). С другой стороны, теории, объясняющие квантовые явления, по-видимому, не способны объяснить именно те вещи, которые волновая теория объясняет идеально.