Давайте возьмем «людей» в качестве нашего «универсума рассуждения»; и пусть x = «философы», m = «тщеславные», и y = «игроки».
Тогда силлогизм может быть записан так:—
«Ни один x не суть m; Некоторые m суть y'. ∴ Некоторые y' суть x'».
(3) Решение методом диаграмм Эйлера.
Большая посылка требует только одной диаграммы, а именно:
1
стр. 181. Меньшая требует трех, а именно:
2
3
4
Комбинация большей и меньшей посылок всеми возможными способами требует девяти, а именно:
Рис. 1 и 2 дают
5
6
7
8
9
Рис. 1 и 3 дают
10
11
12
Рис. 1 и 4 дают
13
Из этой группы (рис. 5–13) мы должны, игнорируя m, найти отношение x и y. При рассмотрении мы находим, что рис. 5, 10, 13 выражают отношение полного взаимного исключения; что рис. 6, 11 выражают частичное включение и частичное исключение; что рис. 7 выражает совпадение; что рис. 8, 12 выражают полное включение x в y; и что рис. 9 выражает полное включение y в x.
стр. 182. Мы таким образом получаем пять двубуквенных диаграмм для x и y, а именно:
14
15
16
17
18
где единственное суждение, представленное ими всеми, есть «Некоторые не-y суть не-x», т.е. «Некоторые люди, которые не суть игроки, не суть философы» — результат, который Эйлер вряд ли счел бы ценным, поскольку он, по-видимому, предполагал, что суждение этой формы всегда истинно!
(4) Решение методом диаграмм Венна.
Следующее решение было любезно предоставлено мне самим г-ном Венном.
«Меньшая посылка объявляет, что некоторые из составляющих в my' должны быть сохранены: отметьте эти составляющие крестиком.
Большая объявляет, что все xm должны быть уничтожены; сотрите их.
Тогда, поскольку некоторые my' должны быть сохранены, это явно должно быть my'x'. То есть должно существовать my'x'; или, исключая m, y'x'.
В обычной фразеологии: «Некоторые y' суть x'», или «Некоторые не-игроки не суть философы».
стр. 183. (5) Решение моим методом диаграмм.
Первая посылка утверждает, что не существует xm: поэтому мы отмечаем ячейку xm как пустую, помещая «O» в каждую из ее ячеек.
Вторая утверждает, что существуют некоторые my': поэтому мы отмечаем ячейку my' как занятую, помещая «I» в ее единственную доступную ячейку.
Единственная информация, которую это дает нам относительно x и y, заключается в том, что ячейка x'y' занята, т.е. что существуют некоторые x'y'.
Следовательно, «Некоторые x' суть y'»: т.е. «Некоторые люди, которые не суть философы, не суть игроки».
(6) Решение моим методом индексов.
xm 0 † my' 1 ¶ x'y' 1
т.е. «Некоторые люди, которые не суть философы, не суть игроки».
§ 9. Мой метод обработки силлогизмов и соритов. Из всех странных вещей, которые можно встретить в обычных учебниках формальной логики, пожалуй, самая странная — это резкий контраст, который существует между их способами обращения с этими двумя предметами. В то время как они тщательно обсудили не менее девятнадцати различных форм силлогизмов — каждый со своими особыми и раздражающими правилами, в то время как все вместе они составляют почти бесполезную машину для практических целей, многие выводы неполны, а многие вполне законные формы игнорируются — они ограничили сориты только двумя формами, детской простоты; и их они удостоили особыми именами, по-видимому, под впечатлением, что никаких других возможных форм не существует!
Что касается силлогизмов, я обнаружил, что их девятнадцать форм, вместе с примерно двадцатью другими, которые они проигнорировали, могут быть все сведены к трем формам, каждая со своим очень простым правилом; и единственный вопрос, который читатель должен решить, работая над любым из 101 примера, приведенного на стр. 101 этой книги, — это «Относится ли он к рис. I, II или III?»
стр. 184. Что касается соритов, единственные две формы, признанные учебниками, — это аристотелевский, чьи посылки представляют собой ряд суждений в A, расположенных так, что предикат каждого является субъектом следующего, и гокленианский, чьи посылки — это та же самая серия, написанная в обратном порядке. Гоклениус, по-видимому, был первым, кто заметил поразительный факт, что инверсия порядка посылок не влияет на силу силлогизма, и кто применил это открытие к сориту. Если мы предположим (как, конечно, можем?), что он тот же самый человек, что и тот трансцендентный гений, который первым заметил, что 4жды 5 — это то же самое, что 5жды 4, мы можем применить к нему то, что кто-то (Эдмунд Йейтс, кажется) сказал о Таппере, а именно: «вот человек, который, больше всех других своего поколения, был удостоен проблесков очевидного!»
Эти пуэртильные — не сказать инфантильные — формы сорита я в этой книге игнорировал с самого начала и не только свободно допускал суждения в E, но и намеренно излагал посылки в случайном порядке, оставляя читателю полезную задачу самому расположить их в порядке, который можно проработать как серию регулярных силлогизмов. Делая это, он может начать с любой из них, с какой захочет.
Я для любопытства составил таблицу различных порядков, в которых посылки аристотелевского сорита
1. Все a суть b; 2. Все b суть c; 3. Все c суть d; 4. Все d суть e; 5. Все e суть h. ∴ Все a суть h.
могут быть силлогистически расположены, и я обнаружил, что существует не менее шестнадцати таких порядков, а именно: 12345, 21345, 23145, 23415, 23451, 32145, 32415, 32451, 34215, 34251, 34521, 43215, 43251, 43521, 45321, 54321. Из них первый и последний были удостоены имен; но остальные четырнадцать — впервые перечисленные малоизвестным автором по логике в конце девятнадцатого века — остаются без имени!
стр. 185. § 10. Некоторый отчет о частях II, III. В части II будут найдены некоторые вопросы, упомянутые в этом приложении, а именно: «экзистенциальный импорт» суждений, использование отрицательной связки и теория о том, что «две отрицательные посылки ничего не доказывают». Я также расширю диапазон силлогизмов, введя суждения, содержащие альтернативы (такие как «Не все x суть y»), суждения, содержащие 3 или более терминов (такие как «Все ab суть c», которые, взятые вместе с «Некоторые bc' суть d», доказали бы «Некоторые d суть a'»), и т.д. Я также обсужу сориты, содержащие сущности, и очень запутанные темы гипотетических суждений и дилемм. Я надеюсь в ходе части II пройти весь путь, обычно проходимый в учебниках, используемых в наших школах и университетах, и позволить моим читателям решать задачи того же типа, что и те, которые в настоящее время предлагаются на их экзаменах, и гораздо более сложные.
В части III я надеюсь рассмотреть многие любопытные и необычные темы, некоторые из которых даже не упоминаются ни в одном из трактатов, с которыми я сталкивался. В этой части будут найдены такие вопросы, как анализ суждений на их элементы (пусть читатель, который никогда не вникал в эту ветвь предмета, попытается сам выяснить, какое дополнительное суждение потребовалось бы, чтобы превратить «Некоторые a суть b» в «Некоторые a суть bc»), обработка численных и геометрических задач, построение задач и решение силлогизмов и соритов, содержащих суждения более сложные, чем любые, которые я использовал в части II.
Я закончу восемью задачами, как пробой того, что будет в части II. Я буду очень рад получить от любого читателя, который думает, что решил любую из них (особенно если он сделал это без использования какого-либо метода символов), то, что он считает полным заключением.
Возможно, стоит объяснить, что я имею в виду под полным заключением силлогизма или сорита. Я различаю их термины как принадлежащие к двум видам — те, которые могут быть исключены (например, средний термин силлогизма), которые я называю «элиминандами», и те, которые не могут, которые я называю «ретинендами»; и я не называю заключение полным, если оно не утверждает все отношения только между ретинендами, которые могут быть выведены из посылок.
1. Все мальчики в определенной школе каждый вечер сидят вместе в одной большой комнате. Они принадлежат не менее чем к пяти национальностям — английской, шотландской, валлийской, ирландской и немецкой. Один из старост (который является большим любителем романов Уилки Коллинза) очень наблюдателен и делает рукописные заметки почти обо всем, что происходит, с целью быть хорошим сенсационным свидетелем в случае, если замышляется заговор с целью совершения убийства. Ниже приведены некоторые из его заметок:—
(1) Всякий раз, когда некоторые из английских мальчиков поют «Rule Britannia», а некоторые нет, некоторые из старост бодрствуют;
(2) Всякий раз, когда некоторые из шотландцев танцуют рилы, а некоторые из ирландцев дерутся, некоторые из валлийцев едят поджаренный сыр;
(3) Всякий раз, когда все немцы играют в шахматы, некоторые из одиннадцати не смазывают свои биты;
(4) Всякий раз, когда некоторые из старост спят, а некоторые нет, некоторые из ирландцев дерутся;
(5) Всякий раз, когда некоторые из немцев играют в шахматы, а никто из шотландцев не танцует рилы, некоторые из валлийцев не едят поджаренный сыр;
(6) Всякий раз, когда некоторые из шотландцев не танцуют рилы, а некоторые из ирландцев не дерутся, некоторые из немцев играют в шахматы;
(7) Всякий раз, когда некоторые из старост бодрствуют, а некоторые из валлийцев едят поджаренный сыр, никто из шотландцев не танцует рилы;
(8) Всякий раз, когда некоторые из немцев не играют в шахматы, а некоторые из валлийцев не едят поджаренный сыр, никто из ирландцев не дерется;
стр. 187. (9) Всякий раз, когда все англичане поют «Rule Britannia», а некоторые из шотландцев не танцуют рилы, никто из немцев не играет в шахматы;
(10) Всякий раз, когда некоторые из англичан поют «Rule Britannia», а некоторые из старост спят, некоторые из ирландцев не дерутся;
(11) Всякий раз, когда некоторые из старост бодрствуют, а некоторые из одиннадцати не смазывают свои биты, некоторые из шотландцев танцуют рилы;
(12) Всякий раз, когда некоторые из англичан поют «Rule Britannia», а некоторые из шотландцев не танцуют рилы, * * * *
Здесь рукопись внезапно обрывается. Задача состоит в том, чтобы закончить предложение, если это возможно.
[Примечание: При решении этой задачи необходимо помнить, что суждение «Все x суть y» является двойным суждением и эквивалентно «Некоторые x суть y, и ни один не суть y'». См. стр. 17.]
2. (1) Логик, который ест свиные отбивные на ужин, вероятно, потеряет деньги;
(2) Игрок, чей аппетит не является волчьим, вероятно, потеряет деньги;
(3) Человек, который подавлен, потеряв деньги и будучи склонен потерять еще, всегда встает в 5 утра;
(4) Человек, который не играет в азартные игры и не ест на ужин свиные отбивные, непременно обладает зверским аппетитом;
(5) Оживленному человеку, который ложится спать до 4 часов утра, лучше заняться извозом;
(6) Человек со зверским аппетитом, который не проигрывал денег и не встает в 5 часов утра, всегда ест на ужин свиные отбивные;
(7) Логику, которому грозит потеря денег, лучше заняться извозом;
(8) Усердный игрок, который подавлен, хотя и не проигрывал денег, ничем не рискует;
(9) Человек, который не играет в азартные игры и чей аппетит не является зверским, всегда оживлен;
стр. 188 (10) Оживленный логик, который действительно усерден, ничем не рискует;
(11) Человеку со зверским аппетитом нет нужды заниматься извозом, если он действительно усерден;
(12) Игрок, который подавлен, хотя и ничем не рискует, сидит до 4 часов утра.
(13) Человеку, который проиграл деньги и не ест на ужин свиные отбивные, лучше заняться извозом, если только он не встает в 5 часов утра.
(14) Игроку, который ложится спать до 4 часов утра, нет нужды заниматься извозом, если только у него не зверский аппетит;
(15) Человек со зверским аппетитом, который подавлен, хотя и ничем не рискует, — игрок.
Универсум «люди»; a = усердные; b = едящие на ужин свиные отбивные; c = игроки; d = встающие в 5 часов; e = проигравшие деньги; h = обладающие зверским аппетитом; k = склонные к проигрышу денег; l = оживленные; m = логики; n = люди, которым лучше заняться извозом; r = сидящие до 4 часов.
[Примечание: В этой задаче придаточные предложения, начинающиеся со слова «хотя», следует рассматривать как существенные части суждений, в которых они встречаются, точно так же, как если бы они начинались со слова «и».]
3. (1) Когда день погожий, я говорю Фрогги: «Ну ты и франт, дружище!»;
(2) Всякий раз, когда я позволяю Фрогги забыть о тех 10 фунтах, что он мне должен, и он начинает расхаживать павлином, его мать заявляет: «Он не пойдет на свидание!»;
(3) Теперь, когда у Фрогги волосы не завиты, он убрал свой роскошный жилет;
(4) Всякий раз, когда я выхожу на крышу насладиться тихой сигарой, я непременно обнаруживаю, что мой кошелек пуст;
(5) Когда мой портной заходит со своим маленьким счетом, а я напоминаю Фрогги о тех 10 фунтах, что он мне должен, он не скалится, как гиена;
стр. 189 (6) Когда очень жарко, термометр показывает высокую температуру;
(7) Когда день погожий, и я не в настроении для сигары, и Фрогги скалится, как гиена, я никогда не решаюсь намекнуть, что он настоящий франт;
(8) Когда мой портной заходит со своим маленьким счетом и застает меня с пустым кошельком, я напоминаю Фрогги о тех 10 фунтах, что он мне должен;
(9) Мои железнодорожные акции растут как на дрожжах!
(10) Когда мой кошелек пуст и когда, заметив, что Фрогги надел свой роскошный жилет, я решаюсь напомнить ему о тех 10 фунтах, что он мне должен, обстановка имеет свойство накаляться;
(11) Теперь, когда собирается дождь и Фрогги скалится, как гиена, я могу обойтись без сигары;
(12) Когда термометр показывает высокую температуру, вам не нужно утруждать себя зонтиком;
(13) Когда Фрогги в своем роскошном жилете, но не расхаживает павлином, я предаюсь тихой сигаре;
(14) Когда я говорю Фрогги, что он настоящий франт, он скалится, как гиена;
(15) Когда мой кошелек довольно полон, а волосы Фрогги — сплошные кудри, и когда он не расхаживает павлином, я выхожу на крышу;
(16) Когда мои железнодорожные акции растут, и когда прохладно и собирается дождь, я курю тихую сигару;
(17) Когда мать Фрогги отпускает его на свидание, он кажется почти безумным от радости и надевает жилет, роскошный до невозможности;
(18) Когда собирается дождь, и я курю тихую сигару, и Фрогги не собирается на свидание, вам лучше взять зонтик;
(19) Когда мои железнодорожные акции растут и Фрогги кажется почти безумным от радости, это как раз то время, которое мой портной всегда выбирает, чтобы зайти со своим маленьким счетом;
(20) Когда день прохладный, термометр низкий, и я ничего не говорю Фрогги о том, что он настоящий франт, и на его лице нет и тени ухмылки, у меня не хватает духу на сигару!
стр. 190 4. (1) Любой, кто достоин быть членом парламента и не говорит постоянно, является общественным благодетелем;
(2) Ясно мыслящие люди, которые хорошо выражают свои мысли, получили хорошее образование;
(3) Женщина, заслуживающая похвалы, — это та, которая умеет хранить секреты;
(4) Люди, которые приносят пользу обществу, но не используют свое влияние в благих целях, не годятся для парламента;
(5) Люди, которые ценятся на вес золота и заслуживают похвалы, всегда скромны;
(6) Общественные благодетели, которые используют свое влияние в благих целях, заслуживают похвалы;
(7) Люди, которые непопулярны и не ценятся на вес золота, никогда не умеют хранить секреты;
(8) Люди, которые могут говорить вечно и годятся в члены парламента, заслуживают похвалы;
(9) Любой, кто умеет хранить секреты и скромен, — незабвенный общественный благодетель;
(10) Женщина, которая приносит пользу обществу, всегда популярна;
(11) Люди, которые ценятся на вес золота, никогда не перестают говорить и которых невозможно забыть, — это как раз те люди, чьи фотографии висят во всех витринах магазинов;
(12) Малообразованная женщина, которая не мыслит ясно, не годится для парламента;
(13) Любой, кто умеет хранить секреты и не говорит вечно, непременно будет непопулярным;
(14) Ясно мыслящий человек, который имеет влияние и использует его в благих целях, — общественный благодетель;
(15) Общественный благодетель, который скромен, — не тот человек, чья фотография висит в каждой витрине магазина;
(16) Люди, которые умеют хранить секреты и используют свое влияние в благих целях, ценятся на вес золота;
(17) Человек, который не умеет выражать свои мысли и не может влиять на других, безусловно, не женщина;
стр. 191 (18) Люди, которые популярны и достойны похвалы, либо являются общественными благодетелями, либо скромны.
Универсум «лица»; a = умеющие хранить секрет; b = ясно мыслящие; c = постоянно говорящие; d = заслуживающие похвалы; e = выставляемые в витринах магазинов; h = хорошо выражающие свои мысли; k = годные в члены парламента; l = влиятельные; m = незабвенные; n = популярные; r = общественные благодетели; s = скромные; t = использующие свое влияние в благих целях; v = хорошо образованные; w = женщины; z = ценящиеся на вес золота.
5. Шесть друзей и их шесть жен остановились в одном отеле; и все они ежедневно выходят на прогулку группами различного размера и состава. Чтобы обеспечить разнообразие этих ежедневных прогулок, они договорились соблюдать следующие правила:
(1) Если Эйкерс со своей женой, Барри со своей, а Иден с миссис Холл, то Коул должен быть с миссис Дикс;
(2) Если Эйкерс со своей женой, Холл со своей, а Барри с миссис Коул, то Дикс не должен быть с миссис Иден;
(3) Если Коул и Дикс со своими женами находятся в одной группе, а Эйкерс не с миссис Барри, то Иден не должен быть с миссис Холл;
(4) Если Эйкерс со своей женой, Дикс со своей, а Барри не с миссис Коул, то Иден должен быть с миссис Холл;
(5) Если Иден со своей женой, Холл со своей, а Коул с миссис Дикс, то Эйкерс не должен быть с миссис Барри;
(6) Если Барри и Коул со своими женами находятся в одной группе, а Иден не с миссис Холл, то Дикс должен быть с миссис Иден.
Задача состоит в том, чтобы доказать, что каждый день должна быть по крайней мере одна супружеская пара, которая не находится в одной группе.
стр. 192 6. После того как шесть друзей, упомянутых в задаче 5, вернулись из своей поездки, трое из них — Барри, Коул и Дикс — договорились с двумя другими своими друзьями, Лэнгом и Миллом, что эти пятеро будут встречаться каждый день за определенным общим столом. Вспомнив, сколько удовольствия они получили от своего свода правил для прогулочных групп, они разработали следующие правила, которые должны соблюдаться всякий раз, когда на столе появлялась говядина:
(1) Если Барри берет соль, то либо Коул, либо Лэнг берет только одну из двух приправ — соль или горчицу: если он берет горчицу, то либо Дикс не берет ни одной приправы, либо Милл берет обе.