«Символическая логика»

Он должен быть в состоянии мгновенно назвать адъюнкт, отведенный любому отсеку, названному в правом столбце следующей таблицы.

Также он должен быть в состоянии мгновенно назвать отсек, отведенный любому адъюнкту, названному в левом столбце.

Чтобы убедиться в этом, ему лучше передать книгу в руки какому-нибудь добродушному другу, в то время как у него самого не будет ничего, кроме пустой диаграммы, и попросить этого добродушного друга опросить его по этой таблице, уклоняясь как можно больше. Вопросы и ответы должны быть примерно такими:—

pg025TABLE I.

Adjuncts of Classes. Compartments, or Cells, assigned to them.

x North Half. x′ South 〃 y West 〃 y′ East 〃

xy North -WestCell. xy′ 〃 East〃 x′y South -West〃 x′y′ 〃 East〃

Q. “Adjunct for West Half?” A. “y.” Q. “Compartment for xy′?” A. “North-East Cell.” Q. “Adjunct for South-West Cell?” A. “x′y.” &c., &c.

После небольшой практики он обнаружит, что способен обходиться без пустой диаграммы и сможет видеть ее мысленно («в моем мысленном взоре, Горацио!»), отвечая на вопросы своего добродушного друга. Когда этот результат будет достигнут, он может смело переходить к следующей главе.

стр. 026 ГЛАВА II.

СЧЕТЧИКИ. Договоримся, что красный счетчик, помещенный внутри ячейки, будет означать «Эта ячейка занята» (т. е. «В ней есть по крайней мере одна вещь»).

Договоримся также, что красный счетчик, помещенный на перегородке между двумя ячейками, будет означать «Отсек, состоящий из этих двух ячеек, занят; но неизвестно, где именно в нем находятся его обитатели». Следовательно, это можно понимать как «По крайней мере одна из этих двух ячеек занята: возможно, обе».

Наши изобретательные американские кузены придумали фразу для описания состояния человека, который еще не решил, к какой из двух политических партий он примкнет: про такого человека говорят, что он «сидит на заборе». Эта фраза точно описывает состояние красного счетчика.

Договоримся также, что серый счетчик, помещенный внутри ячейки, будет означать «Эта ячейка пуста» (т. е. «В ней ничего нет»).

[Читателю лучше запастись 4 красными счетчиками и 5 серыми.]

стр. 027 ГЛАВА III.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ. § 1. Введение. Отныне, формулируя такие суждения, как «Некоторые x-вещи существуют» или «Никакие x-вещи не являются y-вещами», я буду опускать слово «вещи», которое читатель может добавить сам, и буду записывать их как «Некоторые x существуют» или «Никакие x не являются y».

[Заметьте, что слово «вещи» здесь используется с особым значением, как объяснено на стр. 23.]

Суждение, содержащее только одну из букв, используемых в качестве символов для атрибутов, называется «унилитеральным».

[Например, «Некоторые x существуют», «Никакие y' не существуют» и т. д.]

Суждение, содержащее две буквы, называется «билитеральным».

[Например, «Некоторые xy' существуют», «Никакие x' не являются y» и т. д.]

Суждение называется «выраженным в терминах» букв, которые оно содержит, с акцентами или без них.

[Таким образом, «Некоторые xy' существуют», «Никакие x' не являются y» и т. д. называются выраженными в терминах x и y.]

стр. 028 § 2. Представление суждений существования. Возьмем, во-первых, суждение «Некоторые x существуют».

[Заметьте, что это суждение (как объяснено на стр. 12) эквивалентно «Некоторые существующие вещи являются x-вещами».]

Это говорит нам о том, что в северной половине есть по крайней мере одна вещь; то есть, что северная половина занята. И это мы можем очевидно представить, поместив красный счетчик (здесь представленный пунктирным кружком) на перегородку, которая делит северную половину.

[В примере с «книгами» это суждение было бы «Некоторые старые книги существуют».]

Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Некоторые x' существуют», «Некоторые y существуют» и «Некоторые y' существуют».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти суждения были бы «Некоторые новые книги существуют» и т. д.]

Возьмем, далее, суждение «Никакие x не существуют».

Это говорит нам о том, что в северной половине ничего нет; то есть, что северная половина пуста; то есть, что северо-западная ячейка и северо-восточная ячейка обе пусты. И это мы можем представить, поместив два серых счетчика в северную половину, по одному в каждую ячейку.

[Читатель, возможно, подумает, что было бы достаточно поместить серый счетчик на перегородку в северной половине, и что, подобно тому как красный счетчик, помещенный таким образом, означал бы «Эта половина занята», так и серый означал бы «Эта половина пуста».

Это, однако, было бы ошибкой. Мы видели, что красный счетчик, помещенный таким образом, означал бы «По крайней мере одна из этих двух ячеек занята: возможно, обе». Следовательно, серый означал бы лишь «По крайней мере одна из этих двух ячеек пуста: возможно, обе». Но то, что мы должны представить, — это то, что обе ячейки определенно пусты: и это можно сделать, только поместив серый счетчик в каждую из них.

В примере с «книгами» это суждение было бы «Никакие старые книги не существуют».]

стр. 029 Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Никакие x' не существуют», «Никакие y не существуют» и «Никакие y' не существуют».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти три суждения были бы «Никакие новые книги не существуют» и т. д.]

Возьмем, далее, суждение «Некоторые xy существуют».

Это говорит нам о том, что в северо-западной ячейке есть по крайней мере одна вещь; то есть, что северо-западная ячейка занята. И это мы можем представить, поместив в нее красный счетчик.

[В примере с «книгами» это суждение было бы «Некоторые старые английские книги существуют».]

Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Некоторые xy' существуют», «Некоторые x'y существуют» и «Некоторые x'y' существуют».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти три суждения были бы «Некоторые старые иностранные книги существуют» и т. д.]

Возьмем, далее, суждение «Никакие xy не существуют».

Это говорит нам о том, что в северо-западной ячейке ничего нет; то есть, что северо-западная ячейка пуста. И это мы можем представить, поместив в нее серый счетчик.

[В примере с «книгами» это суждение было бы «Никакие старые английские книги не существуют».]

Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Никакие xy' не существуют», «Никакие x'y не существуют» и «Никакие x'y' не существуют».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти три суждения были бы «Никакие старые иностранные книги не существуют» и т. д.]

стр. 030

Мы видели, что суждение «Никакие x не существуют» может быть представлено путем размещения двух серых счетчиков в северной половине, по одному в каждой ячейке.

Мы также видели, что эти два серых счетчика, взятые по отдельности, представляют два суждения: «Никакие xy не существуют» и «Никакие xy' не существуют».

Следовательно, мы видим, что суждение «Никакие x не существуют» является двойным суждением и эквивалентно двум суждениям: «Никакие xy не существуют» и «Никакие xy' не существуют».

[В примере с «книгами» это суждение было бы «Никакие старые книги не существуют».

Следовательно, это двойное суждение, эквивалентное двум суждениям: «Никакие старые английские книги не существуют» и «Никакие старые иностранные книги не существуют».]

§ 3. Представление суждений отношения. Возьмем, во-первых, суждение «Некоторые x являются y».

Это говорит нам о том, что по крайней мере одна вещь в северной половине также находится в западной половине. Следовательно, она должна находиться в пространстве, общем для них, то есть в северо-западной ячейке. Следовательно, северо-западная ячейка занята. И это мы можем представить, поместив в нее красный счетчик.

[Заметьте, что субъект суждения определяет, какую половину мы должны использовать; а предикат определяет, в какой ее части мы должны поместить красный счетчик.

В примере с «книгами» это суждение было бы «Некоторые старые книги являются английскими».]

Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Некоторые x являются y'», «Некоторые x' являются y» и «Некоторые x' являются y'».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти три суждения были бы «Некоторые старые книги являются иностранными» и т. д.]

стр. 031 Возьмем, далее, суждение «Некоторые y являются x».

Это говорит нам о том, что по крайней мере одна вещь в западной половине также находится в северной половине. Следовательно, она должна находиться в пространстве, общем для них, то есть в северо-западной ячейке. Следовательно, северо-западная ячейка занята. И это мы можем представить, поместив в нее красный счетчик.

[В примере с «книгами» это суждение было бы «Некоторые английские книги являются старыми».]

Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Некоторые y являются x'», «Некоторые y' являются x» и «Некоторые y' являются x'».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти три суждения были бы «Некоторые английские книги являются новыми» и т. д.]

Мы видим, что эта одна диаграмма теперь послужила для представления не менее трех суждений, а именно:

(1) «Некоторые xy существуют; (2) Некоторые x являются y; (3) Некоторые y являются x».

Следовательно, эти три суждения эквивалентны.

[В примере с «книгами» эти суждения были бы

(1) «Некоторые старые английские книги существуют; (2) Некоторые старые книги являются английскими; (3) Некоторые английские книги являются старыми».]

Два эквивалентных суждения, «Некоторые x являются y» и «Некоторые y являются x», называются «обратными» друг другу; а процесс превращения одного в другое называется «обращением».

[Например, если бы нам сказали обратить суждение

«Некоторые яблоки не являются спелыми»,

мы бы сначала выбрали наш универсум (скажем, «фрукты»), а затем завершили суждение, добавив существительное «фрукты» в предикат, так что оно стало бы

«Некоторые яблоки являются не-спелыми фруктами»;

и мы бы затем обратили его, поменяв местами его термины, так что оно стало бы

«Некоторые не-спелые фрукты являются яблоками».]

стр. 032 Аналогично мы можем представить три похожих трио эквивалентных суждений; весь набор из четырех трио выглядит следующим образом:—

(1) «Некоторые xy существуют» = «Некоторые x являются y» = «Некоторые y являются x». (2) «Некоторые xy' существуют» = «Некоторые x являются y'» = «Некоторые y' являются x». (3) «Некоторые x'y существуют» = «Некоторые x' являются y» = «Некоторые y являются x'». (4) «Некоторые x'y' существуют» = «Некоторые x' являются y'» = «Некоторые y' являются x'».

Возьмем, далее, суждение «Никакие x не являются y».

Это говорит нам о том, что никакая вещь в северной половине также не находится в западной половине. Следовательно, в пространстве, общем для них, то есть в северо-западной ячейке, ничего нет. Следовательно, северо-западная ячейка пуста. И это мы можем представить, поместив в нее серый счетчик.

[В примере с «книгами» это суждение было бы «Никакие старые книги не являются английскими».]

Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Никакие x не являются y'», «Никакие x' не являются y» и «Никакие x' не являются y'».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти три суждения были бы «Никакие старые книги не являются иностранными» и т. д.]

Возьмем, далее, суждение «Никакие y не являются x».

Это говорит нам о том, что никакая вещь в западной половине также не находится в северной половине. Следовательно, в пространстве, общем для них, то есть в северо-западной ячейке, ничего нет. То есть северо-западная ячейка пуста. И это мы можем представить, поместив в нее серый счетчик.

[В примере с «книгами» это суждение было бы «Никакие английские книги не являются старыми».]

Аналогично мы можем представить три похожих суждения: «Никакие y не являются x'», «Никакие y' не являются x» и «Никакие y' не являются x'».

[Читателю следует самому разобраться во всем этом. В примере с «книгами» эти три суждения были бы «Никакие английские книги не являются новыми» и т. д.]

стр. 033

Мы видим, что эта одна диаграмма теперь послужила для представления не менее трех суждений, а именно:

(1) «Никакие xy не существуют; (2) Никакие x не являются y; (3) Никакие y не являются x».

Следовательно, эти три суждения эквивалентны.

[В примере с «книгами» эти суждения были бы

(1) «Никакие старые английские книги не существуют; (2) Никакие старые книги не являются английскими; (3) Никакие английские книги не являются старыми».]

Два эквивалентных суждения, «Никакие x не являются y» и «Никакие y не являются x», называются «обратными» друг другу.

[Например, если бы нам сказали обратить суждение

«Никакие дикобразы не являются разговорчивыми»,

мы бы сначала выбрали наш универсум (скажем, «животные»), а затем завершили суждение, добавив существительное «животные» в предикат, так что оно стало бы

«Никакие дикобразы не являются разговорчивыми животными», и мы бы затем обратили его, поменяв местами его термины, так что оно стало бы

«Никакие разговорчивые животные не являются дикобразами».]

Аналогично мы можем представить три похожих трио эквивалентных суждений; весь набор из четырех трио выглядит следующим образом:—

(1) «Никакие xy не существуют» = «Никакие x не являются y» = «Никакие y не являются x». (2) «Никакие xy' не существуют» = «Никакие x не являются y'» = «Никакие y' не являются x». (3) «Никакие x'y не существуют» = «Никакие x' не являются y» = «Никакие y не являются x'». (4) «Никакие x'y' не существуют» = «Никакие x' не являются y'» = «Никакие y' не являются x'».

Возьмем, далее, суждение «Все x являются y».

Мы знаем (см. стр. 17), что это двойное суждение, эквивалентное двум суждениям: «Некоторые x являются y» и «Никакие x не являются y'», каждое из которых мы уже знаем, как представить.

[Заметьте, что субъект данного суждения определяет, какую половину мы должны использовать; а его предикат определяет, в какой части этой половины мы должны поместить красный счетчик.]

pg034TABLE II. Some x exist No x exist Some x′ exist No x′ exist Some y exist No y exist Some y′ exist No y′ exist

Аналогично мы можем представить семь похожих суждений: «Все x являются y'», «Все x' являются y», «Все x' являются y'», «Все y являются x», «Все y являются x'», «Все y' являются x» и «Все y' являются x'».

Рассмотрим, наконец, двойное суждение «Некоторые x суть y, а некоторые суть y′», каждую часть которого мы уже умеем изображать.

Аналогичным образом мы можем изобразить три похожих суждения: «Некоторые x′ суть y, а некоторые суть y′», «Некоторые y суть x, а некоторые суть x′», «Некоторые y′ суть x, а некоторые суть x′».

Читателю следует попросить своего добродушного друга строго проэкзаменовать его по этим двум таблицам. У инквизитора должны быть перед глазами таблицы, а у жертвы — лишь пустая диаграмма и фишки, с помощью которых он должен изображать различные суждения, названные другом, например: «Некоторые y существуют», «Ни один y′ не есть x», «Все x суть y» и т. д.

pg035TABLE III. Some xy exist = Some x are y = Some y are x All x are y Some xy′ exist = Some x are y′ = Some y′ are x All x are y′ Some x′y exist = Some x′ are y = Some y are x′ All x′ are y Some x′y′ exist = Some x′ are y′ = Some y′ are x′ All x′ are y′

No xy exist = No x are y = No y are x All y are x No xy′ exist = No x are y′ = No y′ are x All y are x′ No x′y exist = No x′ are y = No y are x′ All y′ are x No x′y′ exist = No x′ are y′ = No y′ are x′ All y′ are x′

Some x are y, and some are y′ Some y are x and some are x′ Some x′ are y, and some are y′ Some y′ are x and some are x′

стр. 036 ГЛАВА IV.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БИЛИТЕРАЛЬНОЙ ДИАГРАММЫ, ОТМЕЧЕННОЙ ФИШКАМИ. Предполагается, что перед нами лежит диаграмма с расставленными на ней фишками, и задача состоит в том, чтобы выяснить, какое суждение или суждения представляют эти фишки.

Поскольку этот процесс является просто обратным тому, что обсуждался в предыдущей главе, мы можем воспользоваться полученными там результатами, насколько это возможно.

Во-первых, предположим, что мы нашли красную фишку, помещенную в северо-западную клетку.

Мы знаем, что это представляет каждое из триады эквивалентных суждений

«Некоторые xy существуют» = «Некоторые x суть y» = «Некоторые y суть x».

Аналогичным образом мы можем интерпретировать красную фишку, помещенную в северо-восточную, юго-западную или юго-восточную клетку.

Далее, предположим, что мы нашли серую фишку, помещенную в северо-западную клетку.

Мы знаем, что это представляет каждое из триады эквивалентных суждений

«Ни одного xy не существует» = «Ни один x не есть y» = «Ни один y не есть x».

Аналогичным образом мы можем интерпретировать серую фишку, помещенную в северо-восточную, юго-западную или юго-восточную клетку.

стр. 037

Далее, предположим, что мы нашли красную фишку, помещенную на перегородку, разделяющую северную половину.

Мы знаем, что это представляет суждение «Некоторые x существуют».

Аналогичным образом мы можем интерпретировать красную фишку, помещенную на перегородку, разделяющую южную, западную или восточную половину.

Далее, предположим, что мы нашли две красные фишки, помещенные в северную половину, по одной в каждой клетке.

Мы знаем, что это представляет двойное суждение «Некоторые x суть y, а некоторые суть y′».

Аналогичным образом мы можем интерпретировать две красные фишки, помещенные в южную, западную или восточную половину.

Далее, предположим, что мы нашли две серые фишки, помещенные в северную половину, по одной в каждой клетке.

Мы знаем, что это представляет суждение «Ни одного x не существует».

Аналогичным образом мы можем интерпретировать две серые фишки, помещенные в южную, западную или восточную половину.

Наконец, предположим, что мы нашли красную и серую фишки, помещенные в северную половину: красную — в северо-западную клетку, а серую — в северо-восточную.

Мы знаем, что это представляет суждение «Все x суть y».

[Заметьте, что половина, занятая двумя фишками, определяет, что будет субъектом суждения, а клетка, занятая красной фишкой, определяет, что будет его предикатом.]

стр. 038 Аналогичным образом мы можем интерпретировать красную и серую фишки, помещенные в любое из семи похожих положений

Красная в северо-восточной, серая в северо-западной; красная в юго-западной, серая в юго-восточной; красная в юго-восточной, серая в юго-западной; красная в северо-западной, серая в юго-западной; красная в юго-западной, серая в северо-западной; красная в северо-восточной, серая в юго-восточной; красная в юго-восточной, серая в северо-восточной.

Снова нужно обратиться к добродушному другу и попросить его проэкзаменовать читателя по таблицам II и III, заставляя его не только изображать суждения, но и интерпретировать диаграммы, отмеченные фишками.

Вопросы и ответы должны быть примерно такими:

В. Изобразите «Ни один x′ не есть y′». О. Серая фишка в юго-восточной клетке. В. Интерпретируйте красную фишку на восточной перегородке. О. «Некоторые y′ существуют». В. Изобразите «Все y′ суть x». О. Красная в северо-восточной клетке; серая в юго-восточной. В. Интерпретируйте серую фишку в юго-западной клетке. О. «Ни одного x′y не существует» = «Ни один x′ не есть y» = «Ни один y не есть x′». И т. д., и т. д.

Поначалу экзаменуемому нужно будет иметь перед собой доску и фишки; но вскоре он научится обходиться без них и отвечать с закрытыми глазами или глядя в пустоту.

[Выполните примеры § 1, 5–8 (стр. 97).]

стр. 039 КНИГА IV.

ТРИЛИТЕРАЛЬНАЯ ДИАГРАММА.

ГЛАВА I.

СИМВОЛЫ И КЛЕТКИ. Во-первых, предположим, что левая диаграмма выше — это билитеральная диаграмма, которую мы использовали в Книге III, и что мы превращаем ее в трилитеральную диаграмму, начертив внутренний квадрат так, чтобы разделить каждую из ее 4 клеток на 2 части, получив в итоге 8 клеток. Правая диаграмма показывает результат.

[Читателю настоятельно рекомендуется при чтении этой главы не обращаться к приведенным выше диаграммам, а сделать для себя большую копию правой диаграммы без каких-либо букв, держать ее при себе во время чтения и прикладывать палец к той конкретной части, о которой он читает.]

стр. 040 Во-вторых, предположим, что мы выбрали определенный адъюнкт, который можно назвать «m», и разделили класс xy на два класса, чьи видовые отличия суть m и m′, и что мы назначили северо-западную внутреннюю клетку одному (который мы можем назвать «классом вещей xym» или «xym-классом»), а северо-западную внешнюю клетку — другому (который мы можем назвать «классом вещей xym′» или «xym′-классом»).

[Так, в примере с «книгами» мы могли бы сказать: «Пусть m означает “переплетенные”, тогда m′ будет означать “непереплетенные”», и мы могли бы предположить, что разделили класс “старые английские книги” на два класса: “старые английские переплетенные книги” и “старые английские непереплетенные книги”, и назначили северо-западную внутреннюю клетку одному, а северо-западную внешнюю клетку — другому.]

В-третьих, предположим, что мы таким же образом разделили класс xy′, класс x′y и класс x′y′ и в каждом случае назначили внутреннюю клетку классу, обладающему атрибутом m, а внешнюю клетку — классу, обладающему атрибутом m′.

[Так, в примере с «книгами» мы могли бы предположить, что разделили “новые английские книги” на два класса: “новые английские переплетенные книги” и “новые английские непереплетенные книги”, и назначили юго-западную внутреннюю клетку одному, а юго-западную внешнюю клетку — другому.]

Очевидно, что теперь мы назначили внутренний квадрат m-классу, а внешнюю рамку — m′-классу.

[Так, в примере с «книгами» мы назначили внутренний квадрат “переплетенным книгам”, а внешнюю рамку — “непереплетенным книгам”.]

Когда читатель освоится с этой диаграммой, он должен уметь мгновенно находить отсек, назначенный конкретной паре атрибутов, или клетку, назначенную конкретной триаде атрибутов. Следующие правила помогут ему в этом:

(1) Расположите атрибуты в порядке x, y, m. стр. 041 (2) Возьмите первый из них и найдите отсек, назначенный ему. (3) Затем возьмите второй и найдите, какая часть этого отсека назначена ему. (4) Поступите так же с третьим, если он есть.

[Например, предположим, нам нужно найти отсек, назначенный ym. Мы говорим себе: «y занимает западную половину; а m занимает внутреннюю часть этой западной половины».

Далее, предположим, нам нужно найти клетку, назначенную x′ym′. Мы говорим себе: «x′ занимает южную половину; y занимает западную часть этой южной половины, т. е. юго-западную четверть; а m′ занимает внешнюю часть этой юго-западной четверти».]

Читателю следует попросить своего добродушного друга проэкзаменовать его по таблице, приведенной на следующей странице, в стиле следующего образца диалога.

Q. Adjunct for South Half, Inner Portion? A. x′m. Q. Compartment for m′? A. The Outer Border. Q. Adjunct for North-East Quarter, Outer Portion? A. xy′m′. Q. Compartment for ym? A. West Half, Inner Portion. Q. Adjunct for South Half? A. x′. Q. Compartment for x′y′m? A. South-East Quarter, Inner Portion. &c. &c.

pg042TABLE IV.

Adjunct

of

Classes. Compartments, or Cells, assigned to them.

x NorthHalf. x′ South〃 y West〃 y′ East〃 m InnerSquare. m′ OuterBorder.

xy North-WestQuarter. xy′〃East〃 x′y South-West〃 x′y′〃East〃 xm NorthHalf,InnerPortion. xm′〃〃 Outer〃 x′m South〃 Inner〃 x′m′〃〃 Outer〃 ym West〃 Inner〃 ym′〃〃 Outer〃 y′m East〃 Inner〃 y′m′〃 〃 Outer〃

xym North-WestQuarter, InnerPortion. xym′〃〃 〃 Outer〃 xy′m〃East〃 Inner〃 xy′m′〃〃 〃 Outer〃 x′ym South-West〃 Inner〃 x′ym′〃〃 〃 Outer〃 x′y′m〃East〃 Inner〃 x′y′m′〃〃 〃 Outer〃

стр. 043 ГЛАВА II.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ В ТЕРМИНАХ x И m ИЛИ y И m. § 1. Представление суждений существования в терминах x и m или y и m.

Рассмотрим сначала суждение «Некоторые xm существуют».

[Заметьте, что полное значение этого суждения (как объяснено на стр. 12) — «Некоторые существующие вещи суть xm-вещи».]

Это говорит нам, что существует по крайней мере одна вещь во внутренней части северной половины; то есть этот отсек занят. И это мы можем очевидно изобразить, поместив красную фишку на перегородку, которая его разделяет.

[В примере с «книгами» это суждение означало бы «Существуют некоторые старые переплетенные книги» (или «Есть некоторые старые переплетенные книги»).]

Аналогичным образом мы можем изобразить семь похожих суждений: «Некоторые xm′ существуют», «Некоторые x′m существуют», «Некоторые x′m′ существуют», «Некоторые ym существуют», «Некоторые ym′ существуют», «Некоторые y′m существуют» и «Некоторые y′m′ существуют».

стр. 044 Далее рассмотрим суждение «Ни одного xm не существует».

Это говорит нам, что во внутренней части северной половины ничего нет; то есть этот отсек пуст. И это мы можем изобразить, поместив в него две серые фишки, по одной в каждой клетке.

Аналогичным образом мы можем изобразить семь похожих суждений в терминах x и m или y и m, а именно: «Ни одного xm′ не существует», «Ни одного x′m не существует» и т. д.

Эти шестнадцать суждений существования — единственные, которые нам придется изображать на этой диаграмме.

§ 2. Представление суждений отношения в терминах x и m или y и m.

Рассмотрим сначала пару обратных суждений

«Некоторые x суть m» = «Некоторые m суть x».

Мы знаем, что каждое из них эквивалентно суждению существования «Некоторые xm существуют», которое мы уже умеем изображать.

Аналогично для семи похожих пар в терминах x и m или y и m.

Далее рассмотрим пару обратных суждений

«Ни один x не есть m» = «Ни один m не есть x».

Мы знаем, что каждое из них эквивалентно суждению существования «Ни одного xm не существует», которое мы уже умеем изображать.

Аналогично для семи похожих пар в терминах x и m или y и m.

стр. 045 Далее рассмотрим суждение «Все x суть m».

Мы знаем (см. стр. 18), что это двойное суждение, эквивалентное двум суждениям: «Некоторые x суть m» и «Ни один x не есть m′», каждое из которых мы уже умеем изображать.

Аналогично для пятнадцати похожих суждений в терминах x и m или y и m.

Эти тридцать два суждения отношения — единственные, которые нам придется изображать на этой диаграмме.

Читателю следует попросить своего добродушного друга проэкзаменовать его по следующим четырем таблицам.

У жертвы не должно быть перед глазами ничего, кроме пустой трилитеральной диаграммы, одной красной фишки и двух серых, с помощью которых он должен изображать различные суждения, названные инквизитором, например: «Ни один y′ не есть m», «Некоторые xm′ существуют» и т. д.

pg046TABLE V.

Some xm exist

= Some x are m

= Some m are x

No xm exist

= No x are m

= No m are x

Some xm′ exist

= Some x are m′

= Some m′ are x

No xm′ exist

= No x are m′

= No m′ are x

Some x′m exist

= Some x′ are m

= Some m are x′

No x′m exist

= No x′ are m

= No m are x′

Some x′m′ exist

= Some x′ are m′

= Some m′ are x′

No x′m′ exist

= No x′ are m′

= No m′ are x′

pg047TABLE VI.

Some ym exist

= Some y are m

= Some m are y

No ym exist

= No y are m

= No m are y

Some ym′ exist

= Some y are m′

= Some m′ are y

No ym′ exist

= No y are m′

= No m′ are y

Some y′m exist

= Some y′ are m

= Some m are y′

No y′m exist

= No y′ are m

= No m are y′

Some y′m′ exist

= Some y′ are m′

= Some m′ are y′

No y′m′ exist

= No y′ are m′

= No m′ are y′

pg048TABLE VII.

All x are m

All x are m′

All x′ are m

All x′ are m′

All m are x

All m are x′

All m′ are x

All m′ are x′

pg049TABLE VIII.

All y are m

All y are m′

All y′ are m

All y′ are m′

All m are y

All m are y′

All m′ are y

All m′ are y′

стр. 050 ГЛАВА III.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВУХ СУЖДЕНИЙ ОТНОШЕНИЯ, ОДНОГО В ТЕРМИНАХ x И m, А ДРУГОГО В ТЕРМИНАХ y И m, НА ОДНОЙ ДИАГРАММЕ. Читателю лучше начать рисовать маленькие диаграммы самостоятельно и отмечать их цифрами «I» и «O» вместо использования доски и фишек: он может ставить «I» для обозначения красной фишки (это можно интерпретировать как «Здесь есть по крайней мере одна вещь») и «O» для обозначения серой фишки (это можно интерпретировать как «Здесь ничего нет»).

Пара суждений, которые нам придется изображать, всегда будет состоять из одного суждения в терминах x и m и другого в терминах y и m.

Когда нам нужно изобразить суждение, начинающееся со слова «Все», мы разбиваем его на два суждения, которым оно эквивалентно.

Когда нам нужно изобразить на одной диаграмме суждения, некоторые из которых начинаются со слова «Некоторые», а другие — со слова «Ни один», мы сначала изображаем отрицательные. Это иногда избавит нас от необходимости ставить «I» «на заборе», а затем перемещать ее в клетку.

[Давайте разберем несколько примеров.

(1) «Ни один x не есть m′; Ни один y′ не есть m».

Сначала изобразим «Ни один x не есть m′». Это дает нам диаграмму a.

Затем, изобразив «Ни один y′ не есть m» на той же диаграмме, мы получаем диаграмму b.

pg051a b

(2) «Некоторые m суть x; Ни один m не есть y».

Если, пренебрегая правилом, мы начнем с «Некоторые m суть x», мы получим диаграмму a.

А если мы затем возьмем «Ни один m не есть y», которое говорит нам, что внутренняя северо-западная клетка пуста, мы будем вынуждены убрать «I» с забора (так как у нее больше нет выбора из двух клеток) и поместить ее во внутреннюю северо-восточную клетку, как на диаграмме c.

Этого неудобства можно избежать, начав с «Ни один m не есть y», как на диаграмме b.

И теперь, когда мы берем «Некоторые m суть x», нет никакого забора, на котором можно сидеть! «I» должна сразу отправиться в северо-восточную клетку, как на диаграмме c.

a b c

(3) «Ни один x′ не есть m′; Все m суть y».

Здесь мы начинаем с разбиения второго суждения на два, которым оно эквивалентно. Таким образом, у нас есть три суждения для изображения, а именно:

(1) «Ни один x′ не есть m′; (2) Некоторые m суть y; (3) Ни один m не есть y′».

Мы возьмем их в порядке 1, 3, 2.

Сначала берем № (1), а именно «Ни один x′ не есть m′». Это дает нам диаграмму a.

стр. 052 Добавляя к этому № (3), а именно «Ни один m не есть y′», мы получаем диаграмму b.

В этот раз «I», представляющая № (2), а именно «Некоторые m суть y», должна сидеть на заборе, так как нет «O», чтобы приказать ей уйти! Это дает нам диаграмму c.

a b c

(4) «Все m суть x; Все y суть m».

Здесь мы разбиваем оба суждения и таким образом получаем четыре суждения для изображения, а именно:

(1) «Некоторые m суть x; (2) Ни один m не есть x′; (3) Некоторые y суть m; (4) Ни один y не есть m′».

Мы возьмем их в порядке 2, 4, 1, 3.

Сначала берем № (2), а именно «Ни один m не есть x′». Это дает нам диаграмму a.

К этому мы добавляем № (4), а именно «Ни один y не есть m′», и таким образом получаем диаграмму b.

Если бы мы добавили к этому № (1), а именно «Некоторые m суть x», нам пришлось бы поставить «I» на забор: поэтому давайте попробуем вместо этого № (3), а именно «Некоторые y суть m». Это дает нам диаграмму c.

И теперь нет необходимости беспокоиться о № (1), так как помещение «I» на забор не добавило бы ничего к нашей информации. Диаграмма уже говорит нам, что «Некоторые m суть x».]

a b c

[Выполните примеры § 1, 9–12 (стр. 97); § 2, 1–20 (стр. 98).]

стр. 053 ГЛАВА IV.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ТЕРМИНАХ x И y ТРИЛИТЕРАЛЬНОЙ ДИАГРАММЫ, ОТМЕЧЕННОЙ ФИШКАМИ ИЛИ ЦИФРАМИ. Задача, стоящая перед нами, состоит в том, чтобы по отмеченной трилитеральной диаграмме выяснить, какие суждения отношения в терминах x и y на ней представлены.

Лучший план для новичка — нарисовать рядом билитеральную диаграмму и перенести с одной на другую всю информацию, которую он может. Затем он сможет прочитать с билитеральной диаграммы требуемые суждения. После небольшой практики он сможет обходиться без билитеральной диаграммы и считывать результат с самой трилитеральной диаграммы.

Чтобы перенести информацию, соблюдайте следующие правила:

(1) Изучите северо-западную четверть трилитеральной диаграммы. (2) Если она содержит «I» в любой из клеток, она определенно занята, и вы можете отметить северо-западную четверть билитеральной диаграммы «I». (3) Если она содержит две «O», по одной в каждой клетке, она определенно пуста, и вы можете отметить северо-западную четверть билитеральной диаграммы «O». стр. 054 (4) Поступите так же с северо-восточной, юго-западной и юго-восточной четвертями.

[Разберем в качестве примеров результаты четырех примеров, разобранных в предыдущих главах.

(1)

В северо-западной четверти только одна из двух клеток отмечена как пустая: поэтому мы не знаем, занята или пуста северо-западная четверть билитеральной диаграммы, поэтому мы не можем ее отметить.

В северо-восточной четверти мы находим две «O»: значит, эта четверть определенно пуста; и мы отмечаем ее так на билитеральной диаграмме.

В юго-западной четверти у нас нет никакой информации вообще.

В юго-восточной четверти у нас недостаточно информации для использования.

Мы можем прочитать результат как «Ни один x не есть y′» или «Ни один y′ не есть x», что нам больше нравится.

(2)

В северо-западной четверти у нас недостаточно информации для использования.

В северо-восточной четверти мы находим «I». Это показывает нам, что она занята: поэтому мы можем отметить северо-восточную четверть на билитеральной диаграмме «I».

В юго-западной четверти у нас недостаточно информации для использования.

В юго-восточной четверти у нас нет никакой информации.

Мы можем прочитать результат как «Некоторые x суть y′» или «Некоторые y′ суть x», что нам больше нравится.

pg055(3)

В северо-западной четверти у нас нет никакой информации. («I», сидящая на заборе, бесполезна для нас, пока мы не узнаем, на какую сторону она собирается спрыгнуть!)

В северо-восточной четверти у нас недостаточно информации для использования.

Как и в юго-западной четверти.

Юго-восточная четверть — единственная, которая дает достаточно информации для использования. Она определенно пуста: поэтому мы отмечаем ее как таковую на билитеральной диаграмме.

Мы можем прочитать результаты как «Ни один x′ не есть y′» или «Ни один y′ не есть x′», что нам больше нравится.

(4)

Северо-западная четверть занята, несмотря на «O» во внешней клетке. Поэтому мы отмечаем ее «I» на билитеральной диаграмме.

Северо-восточная четверть не дает никакой информации.

Юго-западная четверть определенно пуста. Поэтому мы отмечаем ее как таковую на билитеральной диаграмме.

Юго-восточная четверть не дает достаточно информации для использования.

Мы читаем результат как «Все y суть x».]

[Review Tables V, VI (pp. 46, 47). Work Examples § 1, 13–16 (p. 97); § 2, 21–32 (p. 98); § 3, 1–20 (p. 99).]

стр. 056 КНИГА V.

СИЛЛОГИЗМЫ.

ГЛАВА I.

ВВЕДЕНИЕ Когда триада билитеральных суждений отношения такова, что

(1) все их шесть терминов суть виды одного и того же рода, (2) каждые два из них содержат между собой пару кодивизиональных классов, (3) три суждения связаны так, что если бы первые два были истинны, то третье было бы истинным,

триада называется «силлогизмом»; род, видом которого является каждый из шести терминов, называется его «универсумом рассуждения» или, короче, его «универсумом»; первые два суждения называются его «посылками», а третье — его «заключением»; также пара кодивизиональных терминов в посылках называется его «элиминандами», а два других — его «ретинендами».

Заключение силлогизма называется «вытекающим» из его посылок: поэтому принято предварять его словом «Следовательно» (или символом «∴»).

стр. 057 [Заметьте, что «элиминанды» называются так потому, что они элиминируются и не появляются в заключении; а «ретиненды» называются так потому, что они удерживаются и появляются в заключении.

Заметьте также, что вопрос о том, вытекает ли заключение из посылок, не затрагивается фактической истинностью или ложностью любого из членов триады, а зависит исключительно от их отношения друг к другу.

В качестве образца силлогизма возьмем триаду

«Ни одна вещь x не есть вещь m; Ни одна вещь y не есть вещь m′. Ни одна вещь x не есть вещь y».

которую мы можем записать, как объяснено на стр. 26, так:

«Ни один x не есть m; Ни один y не есть m′. Ни один x не есть y».

Здесь первое и второе содержат пару кодивизиональных классов m и m′; первое и третье содержат пару x и x; а второе и третье содержат пару y и y.

Также три суждения (как мы увидим далее) связаны так, что если бы первые два были истинны, то третье также было бы истинным.

Следовательно, триада является силлогизмом; два суждения «Ни один x не есть m» и «Ни один y не есть m′» являются его посылками; суждение «Ни один x не есть y» является его заключением; термины m и m′ являются его элиминандами; а термины x и y являются его ретинендами.

Следовательно, мы можем записать это так:

«Ни один x не есть m; Ни один y не есть m′. ∴ Ни один x не есть y».

В качестве второго образца возьмем триаду

«Все кошки понимают по-французски; Некоторые цыплята суть кошки. Некоторые цыплята понимают по-французски».

Они, приведенные к нормальной форме, суть

«Все кошки суть существа, понимающие по-французски; Некоторые цыплята суть кошки. Некоторые цыплята суть существа, понимающие по-французски».

Здесь все шесть терминов суть виды рода «существа».

Также первое и второе суждения содержат пару кодивизиональных классов «кошки» и «кошки»; первое и третье содержат пару «существа, понимающие по-французски» и «существа, понимающие по-французски»; а второе и третье содержат пару «цыплята» и «цыплята».

стр. 058 Также три суждения (как мы увидим на стр. 64) связаны так, что если бы первые два были истинны, то третье было бы истинным. (Первые два, как случается, не являются строго истинными на нашей планете. Но ничто не мешает им быть истинными на какой-нибудь другой планете, скажем, Марсе или Юпитере — в этом случае третье также было бы истинным на той планете, и ее жители, вероятно, нанимали бы цыплят в качестве нянь. Они таким образом получили бы исключительную случайную привилегию, неизвестную в Англии, а именно: они могли бы в любое время, когда заканчивались запасы провизии, использовать няню для обеда в детской!)

Следовательно, триада является силлогизмом; род «существа» является его универсумом; два суждения «Все кошки понимают по-французски» и «Некоторые цыплята суть кошки» являются его посылками, суждение «Некоторые цыплята понимают по-французски» является его заключением; термины «кошки» и «кошки» являются его элиминандами; а термины «существа, понимающие по-французски» и «цыплята» являются его ретинендами.

Следовательно, мы можем записать это так:

«Все кошки понимают по-французски; Некоторые цыплята суть кошки; ∴ Некоторые цыплята понимают по-французски».]

стр. 059 ГЛАВА II.

ЗАДАЧИ НА СИЛЛОГИЗМЫ. § 1. Введение. Когда термины суждения представлены словами, оно называется «конкретным»; когда буквами — «абстрактным».

Чтобы перевести суждение из конкретной формы в абстрактную, мы фиксируем универсум и рассматриваем каждый термин как его вид, и выбираем букву для представления его видового отличия.

[Например, предположим, мы хотим перевести «Некоторые солдаты храбры» в абстрактную форму. Мы можем взять «люди» в качестве универсума и рассматривать «солдаты» и «храбрые люди» как виды рода «люди»; и мы можем выбрать x для представления особого атрибута (скажем, «военный») «солдат», а y для представления «храбрый». Тогда суждение можно записать как «Некоторые военные люди суть храбрые люди»; т. е. «Некоторые x-люди суть y-люди»; т. е. (опуская «люди», как объяснено на стр. 26) «Некоторые x суть y».

На практике мы просто сказали бы: «Пусть универсум — “люди”, x = солдаты, y = храбрые», и сразу перевели бы «Некоторые солдаты храбры» в «Некоторые x суть y».]

Задачи, которые нам придется решать, бывают двух видов, а именно:

(1) «Дана пара суждений отношения, которые содержат между собой пару кодивизиональных классов и которые предложены в качестве посылок: выяснить, какое заключение, если таковое имеется, вытекает из них».

(2) «Дана триада суждений отношения, каждые два из которых содержат пару кодивизиональных классов и которые предложены в качестве силлогизма: выяснить, вытекает ли предложенное заключение из предложенных посылок и, если да, является ли оно полным».

Эти задачи мы обсудим отдельно.

стр. 060 § 2. Дана пара суждений отношения, которые содержат между собой пару кодивизиональных классов и которые предложены в качестве посылок: выяснить, какое заключение, если таковое имеется, вытекает из них. Правила для этого следующие:

(1) Определите универсум рассуждения.

(2) Составьте словарь, сделав m и m (или m и m′) представляющими пару кодивизиональных классов, а x (или x′) и y (или y′) — два других.

(3) Переведите предложенные посылки в абстрактную форму.

(4) Изобразите их вместе на трилитеральной диаграмме.

(5) Выясните, какое суждение, если таковое имеется, в терминах x и y также представлено на ней.

(6) Переведите его в конкретную форму.

Очевидно, что если бы предложенные посылки были истинны, то это другое суждение также было бы истинным. Следовательно, оно является заключением, вытекающим из предложенных посылок.

[Давайте разберем несколько примеров.

(1) «Ни один мой сын не является нечестным; Люди всегда относятся к честному человеку с уважением».

Принимая «люди» за универсум, мы можем записать их следующим образом:

«Ни один мой сын не является нечестным человеком; Все честные люди суть люди, к которым относятся с уважением».

Теперь мы можем составить наш словарь, а именно: m = честный; x = мои сыновья; y = люди, к которым относятся с уважением.

(Заметьте, что выражение «x = мои сыновья» является сокращенной формой «x = видовое отличие “моих сыновей”, когда они рассматриваются как вид “людей”».)

Следующее дело — перевести предложенные посылки в абстрактную форму, как следует:

«Ни один x не есть m′; Все m суть y».

стр. 061 Далее, с помощью процесса, описанного на стр. 50, мы изображаем их на трилитеральной диаграмме, таким образом:

Далее, с помощью процесса, описанного на стр. 53, мы переносим на билитеральную диаграмму всю информацию, которую можем.

Результат мы читаем как «Ни один x не есть y′» или как «Ни один y′ не есть x», что нам больше нравится. Поэтому мы обращаемся к нашему словарю, чтобы увидеть, что будет выглядеть лучше; и мы выбираем

«Ни один x не есть y′»,

что в переводе в конкретную форму есть

«Ни один мой сын не остается без уважительного отношения».

(2) «Все кошки понимают по-французски; Некоторые цыплята суть кошки».

Принимая «существа» за универсум, мы записываем их следующим образом:

«Все кошки суть существа, понимающие по-французски; Некоторые цыплята суть кошки».

Теперь мы можем составить наш словарь, а именно: m = кошки; x = понимающие по-французски; y = цыплята.

Предложенные посылки, переведенные в абстрактную форму, суть

«Все m суть x; Некоторые y суть m».

Чтобы изобразить их на трилитеральной диаграмме, мы разбиваем первое на два суждения, которым оно эквивалентно, и таким образом получаем три суждения

(1) «Некоторые m суть x; (2) Ни один m не есть x′; (3) Некоторые y суть m».

Правило, данное на стр. 50, заставило бы нас взять их в порядке 2, 1, 3.

Это, однако, дало бы результат

стр. 062 Поэтому было бы лучше взять их в порядке 2, 3, 1. №№ (2) и (3) дают нам результат, показанный здесь; и теперь нам не нужно беспокоиться о № (1), так как суждение «Некоторые m суть x» уже представлено на диаграмме.

Перенося нашу информацию на билитеральную диаграмму, мы получаем

Этот результат мы можем прочитать либо как «Некоторые x суть y», либо как «Некоторые y суть x».

После консультации с нашим словарем мы выбираем

«Некоторые y суть x»,

что в переводе в конкретную форму есть

«Некоторые цыплята понимают по-французски».

(3) «Все прилежные студенты успешны; Все невежественные студенты неуспешны».

Пусть универсум — «студенты»; m = успешные; x = прилежные; y = невежественные.

Эти посылки в абстрактной форме суть

«Все x суть m; Все y суть m′».

Они, будучи разбитыми, дают нам четыре суждения

(1) «Некоторые x суть m; (2) Ни один x не есть m′; (3) Некоторые y суть m′; (4) Ни один y не есть m».

которые мы возьмем в порядке 2, 4, 1, 3.

Изображая их на трилитеральной диаграмме, мы получаем

И эта информация, перенесенная на билитеральную диаграмму, есть

Здесь мы получаем два заключения, а именно:

«Все x суть y′; Все y суть x′».

стр. 063 И они, переведенные в конкретную форму, суть

«Все прилежные студенты суть (не-невежественные, т. е.) ученые; Все невежественные студенты суть (не-прилежные, т. е.) ленивые». (См. стр. 4.)

(4) «Из заключенных, которые предстали перед судом на последних ассизах, все, в отношении которых был вынесен вердикт “виновен”, были приговорены к тюремному заключению; Некоторые, которые были приговорены к тюремному заключению, были также приговорены к каторжным работам».

Пусть универсум — «заключенные, которые предстали перед судом на последних ассизах»; m = которые были приговорены к тюремному заключению; x = в отношении которых был вынесен вердикт “виновен”; y = которые были приговорены к каторжным работам.

Посылки, переведенные в абстрактную форму, суть

«Все x суть m; Некоторые m суть y».

Разбивая первое, мы получаем три

(1) «Некоторые x суть m; (2) Ни один x не есть m′; (3) Некоторые m суть y».

Изображая их в порядке 2, 1, 3 на трилитеральной диаграмме, мы получаем

Здесь мы не получаем никакого заключения вообще.

Вы, скорее всего, догадались бы, если бы видели только посылки, что заключение было бы

«Некоторые, в отношении которых был вынесен вердикт “виновен”, были приговорены к каторжным работам».

Но это заключение даже не является истинным в отношении ассизов, которые я здесь выдумал.

«Не истинно!» — воскликнете вы. «Тогда кто же они, те, кто был приговорен к тюремному заключению и был также приговорен к каторжным работам? В отношении них должен был быть вынесен вердикт “виновен”, иначе как их могли приговорить?»

Что ж, это случилось так, видите ли. Это были три головореза, которые совершили разбой на большой дороге. Когда они предстали перед судом, они признали себя «виновными». Поэтому никакого вердикта вообще не было вынесено; и их приговорили сразу.]

Теперь я разработаю в их кратчайшей форме, в качестве моделей для подражания читателю при решении примеров, вышеуказанные четыре конкретные задачи.

стр. 064 (1) [см. стр. 60] «Ни один мой сын не является нечестным; Люди всегда относятся к честному человеку с уважением».

Универсум «люди»; m = честный; x = мои сыновья; y = люди, к которым относятся с уважением.

“No x are m′; All m are y.”

∴ “No x are y′.”

т. е. «Ни один мой сын никогда не остается без уважительного отношения».

(2) [см. стр. 61] «Все кошки понимают по-французски; Некоторые цыплята суть кошки».

Универсум «существа»; m = кошки; x = понимающие по-французски; y = цыплята.

“All m are x; Some y are m.”

∴ “Some y are x.”

т. е. «Некоторые цыплята понимают по-французски».

(3) [см. стр. 62] «Все прилежные студенты успешны; Все невежественные студенты неуспешны».

Универсум «студенты»; m = успешные; x = прилежные; y = невежественные.

“All x are m; All y are m′.”

∴ “All x are y′; All y are x′.”

т. е. «Все прилежные студенты суть ученые; и все невежественные студенты суть ленивые».

стр. 065 (4) [см. стр. 63] «Из заключенных, которые предстали перед судом на последних ассизах, все, в отношении которых был вынесен вердикт “виновен”, были приговорены к тюремному заключению;

«Некоторые из тех, кто был приговорен к тюремному заключению, были также приговорены к каторжным работам».

Универсум: «заключенные, представшие перед судом на последних ассизах»; m = приговоренные к тюремному заключению; x = те, в отношении которых был вынесен вердикт «виновен»; y = приговоренные к каторжным работам.

“All x are m; Some m are y.”

There is no Conclusion.

[Повторите таблицы VII, VIII (стр. 48, 49). Выполните упражнения § 1, 17–21 (стр. 97); § 4, 1–6 (стр. 100); § 5, 1–6 (стр. 101).]

стр. 066 § 3. Дана тройка суждений отношения, каждые два из которых содержат пару кодивизиональных классов и которые предлагаются в качестве силлогизма; требуется установить, является ли предложенное заключение следствием предложенных посылок, и если да, то является ли оно полным. Правила для выполнения этого следующие:—

(1) Возьмите предложенные посылки и установите с помощью процесса, описанного на стр. 60, какое заключение, если таковое имеется, является их следствием.

(2) Если заключения нет, так и скажите.

(3) Если заключение есть, сравните его с предложенным заключением и сделайте соответствующий вывод.

Теперь я разберу в кратчайшей форме шесть задач в качестве моделей, которые читателю следует имитировать при выполнении упражнений.

(1) «Все солдаты сильны; Все солдаты храбры. Некоторые сильные люди храбры».

Универсум: «люди»; m = солдаты; x = сильные; y = храбрые.

pg067

“All m are x; All m are y. Some x are y.”

∴ “Some x are y.”

Следовательно, предложенное заключение верно.

(2) «Я восхищаюсь этими картинами; Когда я чем-то восхищаюсь, я хочу тщательно это изучить. Я хочу тщательно изучить некоторые из этих картин».

Универсум: «вещи»; m = то, чем я восхищаюсь; x = эти картины; y = вещи, которые я хочу тщательно изучить.

“All x are m; All m are y. Some x are y.”

∴ “All x are y.”

Следовательно, предложенное заключение неполное, полное же звучит так: «Я хочу тщательно изучить все эти картины».

(3) «Только храбрые достойны прекрасного; Некоторые хвастуны — трусы. Некоторые хвастуны не достойны прекрасного».

Универсум: «люди»; m = храбрые; x = достойные прекрасного; y = хвастуны.

“No m′ are x; Some y are m′. Some y are x′.”

∴ “Some y are x′.”

Следовательно, предложенное заключение верно.

стр. 068 (4) «Все солдаты умеют маршировать; Некоторые младенцы — не солдаты. Некоторые младенцы не умеют маршировать».

Универсум: «люди»; m = солдаты; x = умеющие маршировать; y = младенцы.

“All m are x; Some y are m′. Some y are x′.”

There is no Conclusion.

(5) «Все эгоистичные люди непопулярны; Все услужливые люди популярны. Все услужливые люди неэгоистичны».

Универсум: «люди»; m = популярные; x = эгоистичные; y = услужливые.

“All x are m′; All y are m. All y are x′.”

∴ “All x are y′; All y are x′.”

Следовательно, предложенное заключение неполное, полное же содержит дополнительно: «Все эгоистичные люди неуслужливы».

(6) «Никто из тех, кто намерен ехать на поезде и не может найти транспорт, и у кого нет достаточно времени, чтобы дойти до станции пешком, не может обойтись без бега;

Эта группа туристов намерена ехать на поезде и не может найти транспорт, но у них есть достаточно времени, чтобы дойти до станции пешком.

Этой группе туристов не нужно бежать».

Универсум: «люди, намеревающиеся ехать на поезде и неспособные найти транспорт»; m = имеющие достаточно времени, чтобы дойти до станции пешком; x = нуждающиеся в беге; y = эти туристы.

pg069

“No m′ are x′; All y are m. All y are x′.”

There is no Conclusion.

[Вот еще одна возможность, любезный читатель, подшутить над своим простодушным другом. Предложите ему этот силлогизм и спросите, что он думает о заключении.

Он ответит: «Ну, это совершенно правильно, конечно! И если ваша драгоценная книга по логике говорит, что это не так, не верьте ей! Вы же не хотите сказать мне, что этим туристам нужно бежать? Если бы я был одним из них и знал, что посылки истинны, я был бы совершенно уверен, что мне не нужно бежать — и я бы пошел пешком!»]

А вы ответите: «Но предположим, что за вами гнался бешеный бык?»

И тогда ваш простодушный друг скажет: «Гм! Ха! Надо бы мне над этим немного подумать!»

Затем вы можете объяснить ему, в качестве удобного теста на состоятельность силлогизма, что если можно придумать обстоятельства, которые, не нарушая истинности посылок, сделали бы заключение ложным, то силлогизм должен быть несостоятельным.]

[Повторите таблицы V–VIII (стр. 46–49). Выполните упражнения § 4, 7–12 (стр. 100); § 5, 7–12 (стр. 101); § 6, 1–10 (стр. 106); § 7, 1–6 (стр. 107, 108).]

стр. 070 КНИГА VI.

МЕТОД ИНДЕКСОВ.

ГЛАВА I.

ВВЕДЕНИЕ. Договоримся, что «x1» будет означать «Некоторые существующие вещи обладают атрибутом x», т.е. (короче) «Некоторые x существуют»; также что «xy1» будет означать «Некоторые xy существуют» и так далее. Такое суждение можно назвать «сущностью».

[Заметьте, что когда в выражении две буквы, совершенно неважно, какая стоит первой: «xy1» и «yx1» означают в точности одно и то же.]

Также что «x0» будет означать «Никакие существующие вещи не обладают атрибутом x», т.е. (короче) «Никакие x не существуют»; также что «xy0» будет означать «Никакие xy не существуют» и так далее. Такое суждение можно назвать «нулевым».

Также что «†» будет означать «и».

[Таким образом, «ab1 † cd0» означает «Некоторые ab существуют, и никакие cd не существуют».]

Также что «¶» будет означать «доказывало бы, если бы было истинным».

[Таким образом, «x0 ¶ xy0» означает «Суждение “Никакие x не существуют” доказывало бы, если бы было истинным, суждение “Никакие xy не существуют”».]

Когда две буквы обе снабжены акцентом или обе не снабжены им, говорят, что они имеют «подобные знаки» или являются «подобными»: когда одна снабжена акцентом, а другая нет, говорят, что они имеют «неподобные знаки» или являются «неподобными».

стр. 071 ГЛАВА II.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУЖДЕНИЙ ОТНОШЕНИЯ. Возьмем сначала суждение «Некоторые x суть y».

Это, как мы знаем, эквивалентно суждению существования «Некоторые xy существуют». (См. стр. 31.) Следовательно, оно может быть представлено выражением «xy1».

Обратное суждение «Некоторые y суть x» может, конечно, быть представлено тем же выражением, а именно «xy1».

Аналогично мы можем представить три подобные пары обратных суждений, а именно:—

«Некоторые x суть y′» = «Некоторые y′ суть x», «Некоторые x′ суть y» = «Некоторые y суть x′», «Некоторые x′ суть y′» = «Некоторые y′ суть x′».

Возьмем теперь суждение «Никакие x не суть y».

Это, как мы знаем, эквивалентно суждению существования «Никакие xy не существуют». (См. стр. 33.) Следовательно, оно может быть представлено выражением «xy0».

Обратное суждение «Никакие y не суть x» может, конечно, быть представлено тем же выражением, а именно «xy0».

Аналогично мы можем представить три подобные пары обратных суждений, а именно:—

«Никакие x не суть y′» = «Никакие y′ не суть x», «Никакие x′ не суть y» = «Никакие y не суть x′», «Никакие x′ не суть y′» = «Никакие y′ не суть x′».

стр. 072 Возьмем теперь суждение «Все x суть y».

Теперь очевидно, что двойное суждение существования «Некоторые x существуют и никакие xy′ не существуют» говорит нам, что существуют некоторые x-вещи, но ни одна из них не обладает атрибутом y′: то есть оно говорит нам, что «Все x суть y».

Также очевидно, что выражение «x1 † xy′0» представляет это двойное суждение.

Следовательно, оно также представляет суждение «Все x суть y».

[Читателя, возможно, озадачит утверждение, что суждение «Все x суть y» эквивалентно двойному суждению «Некоторые x существуют и никакие xy′ не существуют», если он вспомнит, что на стр. 33 оно было названо эквивалентным двойному суждению «Некоторые x суть y и никакие x не суть y′» (т.е. «Некоторые xy существуют и никакие xy′ не существуют»). Объяснение в том, что суждение «Некоторые xy существуют» содержит избыточную информацию. «Некоторые x существуют» достаточно для наших целей.]

Это выражение можно записать в более короткой форме, а именно «x1y′0», поскольку каждый индекс относится к началу выражения.

Аналогично мы можем представить семь подобных суждений: «Все x суть y′», «Все x′ суть y», «Все x′ суть y′», «Все y суть x», «Все y суть x′», «Все y′ суть x» и «Все y′ суть x′».

[Читателю следует самостоятельно вывести все эти случаи.]

Будет полезно запомнить, что при переводе суждения, начинающегося со слова «Все», из абстрактной формы в индексную или наоборот, предикат меняет знак (то есть меняется с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный).

[Таким образом, суждение «Все y суть x′» становится «y1x0», где предикат меняется с x′ на x.