«Исследования и упражнения по формальной логике»

484 Мы могли бы также поступить следующим образом: AD или acD = AD или AcD или acD [согласно правилу (7)] = AD или cD [согласно правилу (5)].

436. Покажите, что «BC или bD или CD» эквивалентно «BC или bD». [K.]

437. Приведите противоречащие следующих терминов в их простейших формах в виде рядов альтернатов: AB или BC или CD; AB или bC или cD; ABC или aBc; ABcD или Abcde или aBCDe или BCde. [K.]

438. Упростите следующие термины: (1) Ab или aC или BCd или Bc или bD или CD; (2) ACD или Ac или Ad или aB или bCD; (3) aBC или aBe или aCD или aDe или AcD или abD или bcD или aDE или cDE; (4) (A или b)(A или c)(a или B)(a или C)(b или C). [K.]

439. Докажите следующие эквивалентности: (1) AB или AC или BC или aB или abc или C = a или B или C; (2) aBC или aBd или acd или ABd или Acd или abd или aCd или BCd или bcd = aBC или ad или Bd или cd; (3) Pqr или pQs или pq или prs или qrs или pS или qR = p или q. [K.]

ГЛАВА II.

СЛОЖНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ И СОСТАВНЫЕ ПРОПОЗИЦИИ. 440. Сложные пропозиции. — Сложную пропозицию можно определить как пропозицию, которая имеет сложный термин либо в качестве субъекта, либо в качестве предиката. Обычные различия количества и качества могут быть применены к сложным пропозициям; таким образом, «Все AB есть C или D» — это общеутвердительная сложная пропозиция. «Некоторое AB не есть EF» — это частноотрицательная сложная пропозиция. На следующих страницах пропозиции, написанные в неопределенной форме, будут интерпретироваться как универсальные, так что «AB есть CD» будет пониматься как означающее, что «все AB есть CD». Следует добавить, что при работе со сложными пропозициями мы интерпретируем частные как подразумевающие, а универсальные как не подразумевающие существование их субъектов во вселенной дискурса.

441. Противопоставление сложных пропозиций. — Противопоставление сложных терминов уже было рассмотрено, и противопоставление сложных пропозиций само по себе не представляет особых трудностей. Однако следует помнить, что, поскольку мы интерпретируем частные как подразумевающие существование их субъектов, а универсальные как не делающие этого, мы имеем следующие расхождения с обычным учением о противопоставлении: (1) мы не можем вывести I из A или O из E; (2) A и E не обязательно несовместимы друг с другом; (3) I и O могут быть оба ложными одновременно. Обычное учение о противоречащем противопоставлении остается незатронутым. Ниже приведены примеры противоречащих пропозиций: «Все X есть и A, и B», «Некоторое X не есть и A, и B»; «Некоторое X есть Y и в то же время либо P, либо Q, либо R», «Никакое X не есть Y и в то же время либо P, либо Q, либо R».

442. Составные пропозиции. 485 — Составную пропозицию можно определить как пропозицию, которая состоит из комбинации других пропозиций. Комбинация может быть либо конъюнктивной (т.е. 479 когда две или более пропозиций утверждаются как истинные вместе), либо альтернативной (т.е. когда дается альтернатива между двумя или более пропозициями); например, «Все AB есть C и некоторое P не есть ни Q, ни R» — это составная конъюнктивная пропозиция; «Либо все AB есть C, либо некоторое P не есть ни Q, ни R» — это составная альтернативная пропозиция. Пропозиции, объединенные конъюнктивно, можно называть детерминантами результирующей составной пропозиции; а пропозиции, объединенные альтернативно, можно называть альтернатами результирующей составной пропозиции. В дальнейшем как конъюнктивные, так и альтернативные пропозиции интерпретируются как ассерторические.

485 Сравните раздел 55.

Здесь признаются только два типа составных пропозиций: конъюнктивные и альтернативные. Чисто гипотетические пропозиции являются составными, но (за исключением того, что мы интерпретируем гипотетические и альтернативные пропозиции по-разному в отношении модальности) они эквивалентны альтернативным пропозициям и могут рассматриваться как составляющие один из способов выражения альтернативного синтеза. Таким образом (принимая x и y за символы, представляющие пропозиции, а x̅ и y̅ за их противоречащие), гипотетическая пропозиция «Если x, то y» выражает альтернативу между x̅ и y и, следовательно, эквивалентна альтернативной пропозиции «x̅ или y». Комбинации истинно дизъюнктивного типа (например, «не оба x и y») также могут рассматриваться как способ выражения альтернативного синтеза; таким образом, только что приведенная истинно дизъюнктивная пропозиция эквивалентна альтернативной пропозиции «x̅ или y̅». 486

486 Вышесказанное может показаться подразумевающим, что альтернативный синтез может быть выражен большим числом способов, чем конъюнктивный синтез. Однако это не так. Было показано, что альтернативный синтез может быть выражен гипотетической пропозицией или отрицанием конъюнктивной (то есть истинно дизъюнктивной). Но в соответствии с этим конъюнктивный синтез может быть выражен отрицанием гипотетической или отрицанием альтернативной. Таким образом, представляя отрицание пропозиции чертой, проведенной над ней, мы имеем

xy = x̅ или y̅ = Если x, y̅; xy = x̅ или y̅ = Если x, y̅.

Г-н Джонсон показывает, что любая обычная пропозиция с общим термином в качестве субъекта может рассматриваться как составная пропозиция, возникающая в результате конъюнктивной или альтернативной комбинации сингулярных (молекулярных) пропозиций с общим предикатом, но разными субъектами. Пусть S1, S2, … S∞ представляют ряд различных индивидуальных субъектов; и пусть S представляет совокупный набор индивидов S1, S2, … S∞. Тогда

S1 и S2, и S3 … и S∞ = Каждое S;

S1 или S2, или S3 …… или S∞ = Некоторое S.

480 «Таким образом мы приходим к обычным логическим формам: «Каждое S есть P», «Некоторое S есть P». Первая является сокращением для детерминативного, вторая — для альтернативного синтеза молекулярных пропозиций». 487

487 Mind, 1892, стр. 25. Г-н Джонсон, конечно, признает, что квантифицированный субъектный термин (все S) обычно не является простым перечислением индивидов, сначала воспринятых и названных. Но он указывает, что «как бы ни достигалась ментально совокупность вещей, к которой применяется универсальное имя, пропозициональная сила для целей вывода или синтеза в целом остается той же самой» (стр. 28).

Другими словами, «Каждое S есть P» = «S1 есть P и S2 есть P и S3 есть P … и S∞ есть P»; «Некоторое S есть P» = «S1 есть P или S2 есть P или S3 есть P … или S∞ есть P».

443. Противопоставление составных пропозиций. — Правило получения противоречащего сложного термина, данное в разделе 426, может быть применено также к составным пропозициям. Таким образом, противоречащий составной пропозиции получается путем замены составляющих пропозиций их противоречащими и повсеместного изменения способа их комбинации, то есть замены конъюнктивной комбинации на альтернативную и наоборот. 488 Ниже приведены примеры: «Все A есть B и некоторое P есть Q» имеет своим противоречащим «Либо некоторое A не есть B, либо никакое P не есть Q»; «Либо некоторое A есть и B, и C, либо все B есть либо C, либо и D, и E» имеет своим противоречащим «Никакое A не есть и B, и C, и некоторое B не есть ни C, ни и D, и E».

488 В предыдущем разделе было показано, что слова «все» и «некоторое» являются сокращениями конъюнктивного и альтернативного синтеза соответственно. Следовательно, правило о том, что в обычно признаваемых пропозициональных формах противоречащие различаются как по количеству, так и по качеству, само по себе является лишь частным применением общего закона, изложенного здесь.

Отсюда следует, как и в разделе 427, что в случае составных пропозиций существует дуальность формальных эквивалентностей, причем каждая эквивалентность дает взаимную эквивалентность, в которой конъюнктивная комбинация повсюду заменена на альтернативную комбинацию и наоборот.

444. Формальные эквивалентности составных пропозиций. — Законы, относящиеся к конъюнктивному или альтернативному синтезу пропозиций, практически идентичны законам, относящимся к конъюнктивной или альтернативной комбинации терминов; и, соответственно, мы имеем следующие пропозициональные эквивалентности, соответствующие эквивалентностям терминов, приведенным в разделе 433. Символы здесь обозначают пропозиции, а не термины; и отрицание представлено чертой над отрицаемой пропозицией. 481

(1) x (y or z) = xy or xz,⎱ Laws of Distribution ; (2) x or yz = (x or y) (x or z),⎰ (3) xx = x,⎱ Laws of Tautology (Law of Simplicity and Law of Unity) ; (4) x or x = x,⎰ (5) x = x or yy = (x or y) (x or y),⎱ Laws of Development and Reduction ; (6) x = x (y or y) = xy or xy,⎰ (7) x or xy = x,⎱ Laws of Absorption ; (8) x (x or y) = x⎰ (9) x or y = x or xy,⎱ Law of Exclusion and Law of Inclusion. (10) xy = x (x or y),489⎰

489 Не утверждается, что все вышеуказанные законы являются окончательными или даже независимыми друг от друга. Синтез пропозиций прекрасно разработан г-ном Джонсоном в его статьях о логическом исчислении (Mind, 1892). Он дает пять независимых законов, которые необходимы и достаточны для пропозиционального синтеза. Эти законы кратко перечислены ниже; для более полного изложения читатель должен быть отослан к собственной трактовке г-на Джонсона. (i) Коммутативный закон: Порядок чистого синтеза безразличен (xy = yx). (ii) Ассоциативный закон: Способ группировки в чистом синтезе безразличен (x(y.z) = (x.y)z). (iii) Закон тавтологии: Простое повторение пропозиции никоим образом не добавляет к ее силе и не изменяет ее (xx = x). (iv) Закон взаимности: Отрицание отрицания пропозиции эквивалентно ее утверждению (x̅̅ = x). «В этот принцип включены так называемые законы противоречия и исключенного третьего, viz., «Если x, то не не-x» и «Если не не-x, то x»». (v) Закон дихотомии: Отрицание любой пропозиции эквивалентно отрицанию ее конъюнкции с любой другой пропозицией вместе с отрицанием ее конъюнкции с противоречащим этой другой пропозиции (x = xy или x̅y̅). «Это дальнейшее расширение закона исключенного третьего при применении к комбинации пропозиций друг с другом. Отрицание того, что x сопряжено с y, объединенное с отрицанием того, что x сопряжено с не-y, эквивалентно отрицанию x абсолютно. Ибо, если x было бы истинным, оно должно было бы быть сопряжено либо с y, либо с не-y. Этот закон, который (надо признать) на первый взгляд выглядит немного сложным, является специальным инструментом логического исчисления. С его помощью мы всегда можем разложить пропозицию на два детерминанта, или, наоборот, мы можем объединить определенные пары детерминантов в единую пропозицию».

445. Упрощение сложных пропозиций. — Термины сложной пропозиции часто могут быть упрощены с помощью правил, приведенных в предыдущей главе, и сила утверждения останется незатронутой. Для дальнейшего упрощения сложных пропозиций могут быть добавлены следующие правила: (1) В универсально отрицательной или частно утвердительной пропозиции любой детерминант субъекта может быть безразлично введен или опущен как детерминант предиката и наоборот.

482 Сказать, что «Никакое AB не есть AC», — это то же самое, что сказать, что «Никакое AB не есть C», или что «Никакое B не есть AC». Ибо сказать, что «Никакое AB не есть AC», — это то же самое, что отрицать, что что-либо есть ABAC; но, как показано в разделе 429, повторение детерминанта A избыточно, и утверждение поэтому может быть сведено к отрицанию того, что что-либо есть ABC. И это может быть в равной степени хорошо выражено словами «Никакое AB не есть C» или «Никакое B не есть AC». 490

490 См. также разделы в следующей главе, относящиеся к обращению пропозиций.

Опять же, «Некоторое AB есть AC» может быть показано как эквивалентное «Некоторое AB есть C» или «Некоторое B есть AC»; ибо оно просто утверждает, что нечто есть ABAC, и доказательство следует, как выше.

(2) В универсально утвердительной или частно отрицательной пропозиции любой детерминант субъекта может быть безразлично введен или опущен как детерминант любого альтерната предиката.

«Все A есть AB» может быть очевидно разложено на две пропозиции: «Все A есть A», «Все A есть B». 491 Но первая из них является просто тождественной пропозицией и не дает никакой информации. «Все A есть AB» поэтому эквивалентно простой пропозиции «Все A есть B». Аналогично, «Все AB есть C или DE» эквивалентно «Все AB есть C или DE».

491 Разложение сложных пропозиций на комбинацию относительно простых будет рассмотрено далее в следующем разделе.

Опять же, «Некоторое A не есть AB» утверждает, что «Некоторое A есть a или b»; 492 но согласно закону противоречия «Никакое A не есть a»; следовательно, «Некоторое A не есть B», и очевидно, что мы можем также вернуться от этой пропозиции к той, с которой начали. Аналогично, «Некоторое AB не есть ни C, ни DE» эквивалентно «Некоторое AB не есть ни C, ни DE».

492 Процесс обверсии будет подробно рассмотрен в главе 3.

(3) В универсально утвердительной или частно отрицательной пропозиции любой альтернат предиката может быть безразлично введен или опущен как альтернат субъекта.

Если «Все A есть B или C», то согласно закону тождества следует, что «Все, что есть A или B, есть B или C»; также очевидно, что мы можем вернуться от этого к исходной пропозиции.

Опять же, если «Некоторое A или B не есть ни B, ни C», то, поскольку согласно закону тождества «Все B есть B», следует, что «Некоторое A не есть ни B, ни C»; и также очевидно, что мы можем вернуться от этого к исходной пропозиции.

(4) В универсально утвердительной или частно отрицательной пропозиции противоречащий любого детерминанта субъекта может быть безразлично введен или опущен как альтернат предиката, и наоборот.

483 Согласно этому правилу, следующие три пропозиции утверждаются как эквивалентные друг другу: «Все AB есть a или C»; «Все B есть a или C»; «Все AB есть C»; а также следующие три: «Некоторое AB не есть ни a, ни C»; «Некоторое B не есть ни a, ни C»; «Некоторое AB не есть C».

Правило следует непосредственно из правила (1) с помощью процесса обверсии (см. главу 3).

(5) В универсально отрицательной или частно утвердительной пропозиции противоречащий любого детерминанта субъекта может быть безразлично введен или опущен как альтернат предиката.

Согласно этому правилу, следующие две пропозиции утверждаются как эквивалентные друг другу: Никакое AB не есть a или C; Никакое AB не есть C; а также следующие две: Некоторое AB есть a или C; Некоторое AB есть C.

Это правило непосредственно вытекает из правила (2) путем обверсии.

(6) В общеотрицательной или частноутвердительной пропозиции противоречащий член любого детерминанта предиката может быть безразлично введен или опущен в качестве альтернатора субъекта.

Это правило вытекает из правила (3) путем обверсии.

446. Разрешение общесложных пропозиций на эквивалентные составные пропозиции. — Мы можем исследовать, насколько сложные пропозиции непосредственно разрешимы на конъюнктивное или альтернативное сочетание относительно простых пропозиций. В этом разделе будут рассмотрены общие пропозиции, а в следующем — частные.

Общеутвердительные. Общеутвердительные сложные пропозиции могут быть непосредственно разрешены на конъюнкцию относительно простых, поскольку в субъекте имеется альтернативное сочетание, а в предикате — конъюнктивное. Таким образом: (1) Все, что есть P или Q, есть R = Все P есть R и все Q есть R; (2) Все P есть QR = Все P есть Q и все P есть R.

Общеотрицательные. Общеотрицательные сложные пропозиции могут быть непосредственно разрешены на конъюнкцию относительно простых, поскольку имеется альтернативное сочетание либо в субъекте, либо в предикате. Таким образом: (3) Ничто, что есть P или Q, не есть R = Никакое P не есть R и никакое Q не есть R; (4) Никакое P не есть Q или R = Никакое P не есть Q и никакое P не есть R.

Поскольку в субъекте общеутвердительных пропозиций имеется конъюнктивное сочетание, а в предикате — альтернативное, или же конъюнктивное сочетание имеется либо в субъекте, либо в предикате общеотрицательных пропозиций, они не могут быть непосредственно разрешены ни на конъюнктивное, ни на альтернативное сочетание более простых пропозиций. Однако можно добавить, что пропозиции, подпадающие под эту последнюю категорию, непосредственно подразумеваются определенными составными альтернативами. Таким образом: (i) Все PQ есть R подразумевается тем, что Все P есть R или все Q есть R; (ii) Все P есть Q или R подразумевается тем, что Все P есть Q или все P есть R; (iii) Никакое PQ не есть R подразумевается тем, что Никакое P не есть R или никакое Q не есть R; (iv) Никакое P не есть QR подразумевается тем, что Никакое P не есть Q или никакое P не есть R.

Впоследствии будет показано, что даже в этих случаях общесложные пропозиции могут быть разрешены на конъюнкцию относительно более простых с помощью определенных непосредственных умозаключений.

447. Разрешение частносложных пропозиций на эквивалентные составные пропозиции. — Частносложные пропозиции не могут быть разрешены на составные конъюнктивные, но при определенных условиях они могут быть непосредственно разрешены на эквивалентные составные альтернативные пропозиции, в которых альтернаторы являются относительно простыми. Это имеет место, поскольку в частноотрицательной пропозиции имеется альтернативное сочетание в субъекте или конъюнктивное сочетание в предикате, либо альтернативное сочетание либо в субъекте, либо в предикате частноутвердительной пропозиции. Таким образом: (1) Некоторое P или Q не есть R = Некоторое P не есть R или некоторое Q не есть R; (2) Некоторое P не есть QR = Некоторое P не есть Q или некоторое P не есть R; (3) Некоторое P или Q есть R = Некоторое P есть R или некоторое Q есть R; (4) Некоторое P есть Q или R = Некоторое P есть Q или некоторое P есть R.

Частносложные пропозиции не могут быть непосредственно разрешены на составные пропозиции (ни конъюнктивные, ни альтернативные), если в пропозиции имеется конъюнктивное сочетание в субъекте или альтернативное сочетание в предикате (в случае отрицательной пропозиции), или если имеется конъюнктивное сочетание либо в субъекте, либо в предикате (в случае утвердительной пропозиции). Однако в этих случаях сложная пропозиция подразумевает составную конъюнктивную пропозицию, хотя мы не можем вернуться от последней к первой. Таким образом: (i) Некоторое PQ не есть R подразумевает Некоторое P не есть R и некоторое Q не есть R; (ii) Некоторое P не есть Q или R подразумевает Некоторое P не есть Q и некоторое P не есть R; (iii) Некоторое PQ есть R подразумевает Некоторое P есть R и некоторое Q есть R; (iv) Некоторое P есть QR подразумевает Некоторое P есть Q и некоторое P есть R.

Следует особо отметить, что, хотя в этих случаях составная пропозиция может быть выведена из сложной, все же они не являются эквивалентными. Например, из «Некоторое P есть Q и некоторое P есть R» не следует, что «Некоторое P есть QR», так как мы не можем быть уверены, что в обоих случаях речь идет об одних и тех же P.

Все результаты этого раздела вытекают из результатов предыдущего раздела путем применения правила противоречия к самим пропозициям и правила контрапозиции к отношениям импликации между ними.

448. Опущение терминов из сложной пропозиции. — Из двух предыдущих разделов мы можем непосредственно получить следующие правила для вывода из данной пропозиции другой пропозиции, в которой опущены некоторые термины, содержащиеся в исходной пропозиции: (1) Любой детерминант может быть опущен из нераспределенного термина; (2) Любой альтернатор может быть опущен из распределенного термина.

Субъект частной или предикат утвердительной пропозиции.

Субъект общей или предикат отрицательной пропозиции.

Например: «Все, что есть A или B, есть CD», следовательно, «Все A есть C»; «Некоторое AB есть CD», следовательно, «Некоторое A есть C»; «Ничто, что есть A или B, не есть C или D», следовательно, «Никакое A не есть C»; «Некоторое AB не есть ни C, ни D», следовательно, «Некоторое A не есть C».

Вышеприведенные правила могут быть также обоснованы независимо, как будет показано в следующем разделе. Результаты, которые они дают, должны отличаться от результатов, полученных в разделе 445. В случаях, обсуждавшихся в том разделе, опущенные термины были избыточными в том смысле, что их опущение оставляло нас с пропозициями, эквивалентными нашим исходным пропозициям; но в вышеприведенных умозаключениях мы не можем вернуться от заключения к посылке. Например, из «Некоторое A есть C» мы не можем вывести, что «Некоторое AB есть C».

449. Введение терминов в сложную пропозицию. — В соответствии с правилами, изложенными в предыдущем разделе, мы имеем также следующие: (1) Любой детерминант может быть введен в распределенный термин; (2) Любой альтернатор может быть введен в нераспределенный термин.

Эти правила, а также правила, приведенные в предыдущем разделе, могут быть установлены с помощью следующих аксиом: То, что истинно для всего (дистрибутивно), истинно для каждой части; То, что истинно для части части, истинно для части большего целого.

Когда мы добавляем детерминант к термину или удаляем альтернатор, мы обычно уменьшаем, и во всяком случае не увеличиваем, объем термина; когда, с другой стороны, мы добавляем альтернатор или удаляем детерминант, мы обычно увеличиваем, и во всяком случае не уменьшаем, его объем. Отсюда следует, что если термин распределен, мы можем добавить детерминант или удалить альтернатор, тогда как если термин нераспределен, мы можем добавить альтернатор или удалить детерминант. Таким образом: «Все A есть CD», следовательно, «Все AB есть C»; «Никакое A не есть C», следовательно, «Никакое AB не есть CD»; «Некоторое AB есть C», следовательно, «Некоторое A есть C или D»; «Некоторое AB не есть ни C, ни D», следовательно, «Некоторое A не есть C».

Из вышеприведенных правил в сочетании с правилами, данными в разделе 445, мы можем получить следующие следствия: (3) В общеутвердительных пропозициях любой детерминант может быть введен в предикат, если он также введен в субъект; и любой альтернатор может быть введен в субъект, если он также введен в предикат. Дано: «Все A есть C», тогда «Все AB есть C» по правилу (1) выше; и из этого мы получаем «Все AB есть BC» по правилу (2) раздела 445. Далее, дано: «Все A есть C», тогда «Все A есть B или C»; и, следовательно, по правилу (3) раздела 445, «Все, что есть A или B, есть B или C». (4) В общеотрицательных пропозициях любой альтернатор может быть введен в субъект или предикат, если его противоречащий член введен в другой термин в качестве детерминанта. Дано: «Никакое A не есть C», тогда «Никакое AB не есть C»; и, следовательно, по правилу (5) раздела 445, «Никакое AB не есть b или C». Далее, дано: «Никакое A не есть C», тогда «Никакое A не есть BC»; и, следовательно, по правилу (6) раздела 445, «Никакое A или b не есть BC».

Ни в одном из умозаключений, рассмотренных в этом разделе, невозможно вернуться от заключения к исходной пропозиции.

450. Интерпретация аномальных форм. — Можно обнаружить, что пропозиции, которые по-видимому содержат противоречие в терминах и, таким образом, прямо противоречат фундаментальным законам мышления — например, «Никакое AB не есть B», «Все Ab есть B» — иногда возникают в результате манипуляций со сложными пропозициями. При интерпретации таких пропозиций необходимо проводить различие между общими и частными, во всяком случае, если частные интерпретируются как подразумевающие существование своих субъектов, а общие — нет.

Можно показать, что общая пропозиция вида «Никакое AB не есть B» или «Все Ab есть B» должна интерпретироваться как подразумевающая несуществование субъекта пропозиции в универсуме рассуждения. Ибо общеотрицательная пропозиция отрицает существование чего-либо, что подпадает как под ее субъект, так и под ее предикат; таким образом, «Никакое AB не есть B» отрицает существование ABB, то есть отрицает существование AB. Далее, общеутвердительная пропозиция отрицает существование чего-либо, что подпадает под ее субъект, не подпадая при этом под ее предикат; таким образом, «Все Ab есть B» отрицает существование чего-либо, что есть Ab и в то же время не-B, то есть b; но Ab есть Ab, а также b, и, следовательно, существование Ab отрицается.

Поскольку существование субъекта считается частью импликации частной пропозиции, вышеприведенная интерпретация очевидно неприменима в случае частных пропозиций. Следовательно, если получена пропозиция вида «Некоторое Ab есть B», мы возвращаемся к альтернативе, что в посылках имеется некоторое противоречие; либо какая-то одна отдельная посылка самопротиворечива, либо посылки несовместимы друг с другом.

УПРАЖНЕНИЯ.

451. Покажите, что если «Никакое A не есть bc или Cd», то «Никакое A не есть bd».

452. Дайте противоречащую пропозицию для каждой из следующих: (1) Цветковые растения являются либо эндогенами, либо экзогенами, но не тем и другим одновременно; (2) Цветковые растения являются сосудистыми и либо эндогенами, либо экзогенами, но не тем и другим одновременно.

453. Упростите следующие пропозиции: (1) Все AB есть BC или be или CD или cE или DE; (2) Ничто, что есть PQ или PR, не есть Pqr или pQs или pq или prs или qrs или pS или qR.

ГЛАВА III.

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ИЗ СЛОЖНЫХ ПРОПОЗИЦИЙ. 454. Обверсия сложных пропозиций. — Доктрина обверсии непосредственно применима к сложным пропозициям; и никакой модификации уже данного определения обверсии не требуется. Из любой данной пропозиции мы можем вывести новую, изменив ее качество и взяв в качестве нового предиката противоречащий член исходного предиката. Полученная таким образом пропозиция называется обверсией исходной пропозиции.

Единственная трудность, связанная с обверсией сложных пропозиций, заключается в нахождении противоречащего члена сложного термина; но простое правило для выполнения этого процесса было дано в разделе 426: — Замените все простые термины их противоречащими членами и повсюду замените альтернативное сочетание конъюнктивным и наоборот.

Применяя это правило к AB или ab, мы получаем (a или b) и (A или B), то есть Aa или Ab или aB или Bb; но поскольку альтернаторы Aa и Bb содержат самопротиворечие, они могут быть опущены по правилу (5) раздела 433. Обверсией, следовательно, «Все X есть AB или ab» является «Никакое X не есть Ab или aB».

В качестве дополнительных примеров мы можем найти обверсию следующих пропозиций: (1) «Все A есть BC или DE»; (2) «Никакое A не есть BcE или BCF»; (3) «Некоторое A не есть ни B, ни bcDEf, ни bcdEF».

(1) «Все A есть BC или DE» дает «Никакое A не есть (b или c) и в то же время (d или e)», или, путем сведения предиката к ряду альтернаторов, «Никакое A не есть bd или be или cd или ce».

(2) «Никакое A не есть BcE или BCF». Здесь противоречащий член предиката есть (b или C или e) и (b или c или f), что дает b или Cc или Cf или ce или ef. Cc может быть опущено по правилу (5) раздела 433; также ef по правилу (7), так как ef есть либо Cef, либо cef. Следовательно, искомая обверсия есть «Все A есть b или Cf или ce».

(3) «Некоторое A не есть ни B, ни bcDEf, ни bcdEF». Обверсия есть «Некоторое A есть b и (B или C или d или e или F) и (B или C или D или e или f)»; и путем применения правил, суммированных в разделе 433, будет обнаружено, что это эквивалентно «Некоторое A есть bC или bDF или bdf или be».

455. Конверсия сложных пропозиций. — Обобщая, мы можем сказать, что имеем процесс конверсии всякий раз, когда из данной пропозиции мы выводим новую, в которой любой термин, фигурировавший в предикате исходной пропозиции, теперь фигурирует в субъекте, или наоборот.

Таким образом, умозаключение от «Никакое A не есть BC» к «Никакое B не есть AC» носит характер конверсии. Процесс может быть просто проанализирован следующим образом: —

«Никакое A не есть и B, и C», следовательно, «Ничто не есть одновременно A, B и C», следовательно, «Никакое B не есть и A, и C».

Рассуждение может быть также разрешено на ряд обычных конверсий: —

«Никакое A не есть BC», следовательно (путем конверсии), «Никакое BC не есть A», то есть «в сфере C никакое B не есть A», следовательно (путем конверсии), «в сфере C никакое A не есть B», то есть «Никакое AC не есть B», следовательно (путем конверсии), «Никакое B не есть AC».

Или это может быть рассмотрено так:

«Никакое A не есть BC», следовательно, по разделу 445, правилу (1), «Никакое AC не есть BC», следовательно, также по разделу 445, правилу (1), «Никакое AC не есть B», следовательно (путем конверсии), «Никакое B не есть AC».

Аналогично можно показать, что из «Некоторое A есть BC» мы можем вывести «Некоторое B есть AC».

Следовательно, мы получаем следующее правило: В общеотрицательной или частноутвердительной пропозиции любой детерминант субъекта может быть перенесен в предикат или наоборот, не влияя на силу утверждения.

Мы только что показали, как из

«Никакое A не есть BC»,

мы можем получить путем конверсии

«Никакое B не есть AC».

Аналогично мы можем вывести

«Никакое C не есть AB», «Никакое AB не есть C», «Никакое AC не есть B», «Никакое BC не есть A».

Пропозиция может быть также записана в форме

«Не существует ABC» или «Ничто не есть одновременно A, B и C».

Последняя из них является особенно полезной формой, к которой следует приводить общеотрицательные пропозиции для целей логических манипуляций.

Таким же образом из «Некоторое A есть BC или BD» мы можем вывести

«Некоторое AB есть C или D», «Некоторое AC или AD есть B», «Некоторое B есть AC или AD», «Некоторое C или D есть AB», «Некоторое BC или BD есть A», «Нечто есть ABC или ABD».

Не существует умозаключения путем конверсии из общеутвердительной или из частноотрицательной пропозиции.

456. Контрапозиция сложных пропозиций. — Согласно нашему первоначальному определению контрапозиции, мы контрапозируем пропозицию, когда выводим из нее новую пропозицию, имеющую противоречащий член старого предиката в качестве своего субъекта. Принимая это определение, контрапозитивом «Все A есть B или C» является «Все bc есть a».

Этот процесс может быть применен к общеутвердительным и частноотрицательным пропозициям. Путем обверсии, конверсии, а затем снова обверсии ясно, что в каждом из этих случаев мы можем получить законный контрапозитив, взяв в качестве нового субъекта противоречащий член старого предиката, а в качестве нового предиката — противоречащий член старого субъекта, при этом пропозиция сохраняет свое исходное качество. Например: «Все A есть BC», следовательно, «Все, что есть b или c, есть a»; «Некоторое A не есть ни B, ни C», следовательно, «Некоторое bc не есть a».

Вышесказанное можно назвать полным контрапозитивом сложной пропозиции. Следует заметить, что любая пропозиция и ее полный контрапозитив эквивалентны друг другу; мы можем вернуться от полного контрапозитива к исходной пропозиции.

Однако при работе со сложными пропозициями удобно придать термину «контрапозиция» расширенное значение. Мы можем сказать, что имеем процесс контрапозиции, когда из данной пропозиции выводим новую, в которой противоречащий член любого термина, фигурировавшего в предикате исходной пропозиции, теперь фигурирует в субъекте, или противоречащий член любого термина, фигурировавшего в субъекте исходной пропозиции, теперь фигурирует в предикате.

Можно выделить три операции, все из которых включены в вышеприведенное определение и все из которых оставляют нас с полным эквивалентом исходной пропозиции, так что потери логической силы не происходит.

(1) Операция получения полного контрапозитива данной пропозиции, как описано и определено выше.

В некоторых случаях мы можем пожелать отбросить часть информации, данной полным контрапозитивом. Так, из «Все A есть BC или E» можно вывести «Все, что есть be или ce, есть a»; но в данном применении нам может быть достаточно знать, что «Все be есть a».

(2) Операция, которую можно описать как обобщение субъекта пропозиции путем добавления одного или нескольких альтернаторов в предикат. Так, из «Все AB есть C» мы можем вывести «Все A есть b или C»; из «Некоторое AB не есть ни C, ни D» мы можем вывести «Некоторое A не есть ни b, ни C, ни D».

Для умозаключений этого типа можно дать следующее общее правило: Любой детерминант может быть отброшен из субъекта общеутвердительной или частноотрицательной пропозиции, если его противоречащий член одновременно добавлен в качестве альтернатора в предикат.

Это правило может быть установлено следующим образом: Дано «Все AB есть C» (или «Некоторое AB не есть C») — и они могут быть взяты, насколько это касается рассматриваемого правила, в качестве типов общеутвердительных и частноотрицательных пропозиций соответственно — мы имеем путем обверсии «Никакое AB не есть c» (или «Некоторое AB есть c»), и отсюда, по правилу конверсии, данному в разделе 455, «Никакое A не есть Bc» (или «Некоторое A есть Bc»); затем, снова обвертируя, мы имеем «Все A есть либо b, либо C» (или «Некоторое A не есть ни b, ни C»), требуемый результат.

Будет замечено, что, как было сказано вначале, эти операции оставляют нас с пропозицией, которая эквивалентна нашей исходной пропозиции. Таким образом, потери логической силы нет.

Путем применения вышеприведенного правила в отношении всех явных детерминантов субъекта любая общеутвердительная пропозиция может быть приведена к форме «Все есть X1 или X2 … или Xn»; и будет обнаружено, что с помощью этого преобразования сложные умозаключения во многих случаях существенно упрощаются.

(3) Операция, которую можно описать как партикуляризацию субъекта пропозиции путем опущения одного или нескольких альтернаторов в предикате. Так, из «Все A есть B или C» мы можем вывести «Все Ab есть C»; из «Некоторое A не есть ни B, ни C» мы можем вывести «Некоторое Ab не есть C».

Для умозаключений этого типа можно дать следующее общее правило: Любой альтернатор может быть отброшен из предиката общеутвердительной или частноотрицательной пропозиции, если его противоречащий член одновременно введен в качестве детерминанта субъекта.

Применение этого правила снова оставляет нас с пропозицией, эквивалентной нашей исходной пропозиции. Следующее правило, которое можно рассматривать как следствие из вышеприведенного правила или к которому можно прийти независимо, не обязательно оставляет нас с эквивалентом: Если новый детерминант введен в субъект общеутвердительной пропозиции (см. раздел 449), каждый альтернатор в предикате, который содержит противоречащий член детерминанта, может быть опущен. Таким образом, из «Все, что есть A или B, есть C или DX или Ex» мы можем вывести «Все, что есть AX или BX, есть C или D».

Применение этого правила может иногда привести к исчезновению всех альтернаторов из предиката; и значение такого результата заключается в том, что теперь мы имеем несуществующий субъект.

Таким образом, дано «Все P есть ABCD или Abcd или aBCd», если мы партикуляризируем субъект, делая его PbC, мы обнаруживаем, что все альтернаторы в предикате исчезают. Интерпретация заключается в том, что класс PbC несуществующий, то есть «Никакое P не есть bC»; заключение, которое, конечно, могло быть получено непосредственно из данной пропозиции.

Это правило является обратным тому, которое дано в предыдущем пункте; и оно вытекает из того факта, что применение того правила оставляет нас с эквивалентной пропозицией.

Следующее может быть взято в качестве типичных примеров различных операций, включенных выше под названием «контрапозиция»: —

All AB is CD or de ; therefore, (1) Anything that is either cD or dE is a or b ; (2) All A is b or CD or de ; (3) Whatever is ABD or ABE is CD. Combinations of the second and third operations give Anything that is Ac or Ad is b or de ; Anything that is BD or BE is a or CD ; &c. Во всех вышеприведенных случаях один или несколько терминов исчезают из субъекта или предиката исходной пропозиции и заменяются их противоречащими членами в предикате или субъекте соответственно. Однако только в полном контрапозитиве каждый термин таким образом транспонируется.

Важность контрапозиции, как мы сейчас имеем с ней дело в связи со сложными пропозициями, заключается в том, что с ее помощью, имея общеутвердительную пропозицию любой сложности, мы можем получить отдельную информацию в отношении любого термина, который фигурирует в субъекте, или в отношении противоречащего члена любого термина, который фигурирует в предикате, или в отношении любой комбинации таких терминов.

Таким образом, дано «Все AB есть C или De», путем процесса, описанного как обобщение субъекта, мы имеем «Все A есть b или C или De», «Все B есть a или C или De», «Все есть a или b или C или De»; партикуляризация субъекта дает «Все ABc есть De», «Все, что есть ABd или ABE, есть C» и т. д.; и путем комбинации этих процессов мы имеем «Все Ac есть b или De» и т. д.

Далее, полный контрапозитив исходной пропозиции есть «Все, что есть cd или cE, есть a или b»; из чего мы имеем «Все c есть a или b или De», «Все, что есть d или E, есть a или b или C» и т. д.

457. Резюме результатов, получаемых путем обверсии, конверсии и контрапозиции. — Ниже приводится резюме результатов, получаемых с помощью процессов, обсуждавшихся в трех предыдущих разделах: (1) Путем обверсии любая пропозиция может быть изменена с утвердительной формы на отрицательную или наоборот. Например, «Все AB есть CD или EF», следовательно, «Никакое AB не есть ce или cf или de или df»; «Некоторое P не есть QR», следовательно, «Некоторое P есть либо q, либо r». (2) Путем конверсии общеотрицательной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого термина, который фигурирует либо в субъекте, либо в предикате, или в отношении любой комбинации этих терминов. Например, из «Никакое AB не есть CD или EF» мы можем вывести «Никакое A не есть BCD или BEF», «Никакое C не есть ABD или ABEF», «Никакое BD не есть AC или AEF» и т. д. Также путем конверсии любая общеотрицательная пропозиция может быть сведена к следующему: «Ничто не есть либо X1, либо X2 … либо Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Ничто не есть либо ABCD, либо ABEF». (3) Путем конверсии частноутвердительной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого детерминанта субъекта или предиката, или в отношении любой комбинации таких детерминантов. Например, из «Некоторое AB или AC есть DE или DF» мы можем вывести «Некоторое A есть BDE или BDF или CDE или CDF», «Некоторое D есть ABE или ABF или ACE или ACF», «Некоторое AD есть BE или BF или CE или CF» и т. д. Также путем конверсии любая частноутвердительная пропозиция может быть сведена к форме «Нечто есть либо X1, либо X2 … либо Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Нечто есть либо ABDE, либо ABDF, либо ACDE, либо ACDF». (4) Путем контрапозиции общеутвердительной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого термина, который фигурирует в субъекте, или в отношении противоречащего члена любого термина, который фигурирует в предикате, или в отношении любой комбинации этих терминов. Например, из «Все AB есть CD или EF» мы можем вывести «Все A есть b или CD или EF», «Все c есть a или b или EF», «Все Be есть a или CD», «Все ce есть a или b», «Все Adf есть b» и т. д. Также путем контрапозиции любая общеутвердительная пропозиция может быть сведена к форме «Все есть либо X1, либо X2 … либо Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Все есть a или b или CD или EF». (5) Путем контрапозиции частноотрицательной пропозиции может быть получена отдельная информация в отношении любого детерминанта субъекта или в отношении противоречащего члена любого альтернатора предиката, или в отношении любой комбинации этих. Например, из «Некоторое AB или AC не есть ни D, ни EF» мы можем вывести «Некоторое A не есть ни bc, ни D, ни EF», «Некоторое d не есть ни a, ни bc, ни EF», «Некоторое Ae или Af не есть ни bc, ни D» и т. д. Также путем контрапозиции любая частноотрицательная пропозиция может быть сведена к форме «Нечто не есть ни X1, ни X2 … ни Xn». Например, вышеприведенная пропозиция эквивалентна следующему: «Нечто не есть ни a, ни bc, ни D, ни EF».

УПРАЖНЕНИЯ.

458. Никакой гражданин не является одновременно избирателем, домовладельцем и жильцом; нет также ни одного гражданина, который не был бы ни тем, ни другим, ни третьим. Каждый гражданин является либо избирателем, но не домовладельцем, либо домовладельцем и не жильцом, либо жильцом без права голоса. Являются ли эти утверждения в точности эквивалентными?

Можно показать, что каждое из этих утверждений является логической обверсией другого. Следовательно, они в точности эквивалентны.

LetV = voter, v = not voter; H = householder, h = not householder; L = lodger,l = not lodger. Первое из данных утверждений есть «Никакой гражданин не есть VHL или vhl»; следовательно (путем обверсии), «Каждый гражданин есть либо v, либо h, либо l и также есть либо V, либо H, либо L»; следовательно (комбинируя эти возможности), «Каждый гражданин есть либо Hv, либо Lv, либо Vh, либо Lh, либо Vl, либо Hl». Но (по закону исключенного третьего), «Hv есть либо HLv, либо Hlv»; следовательно, «Hv есть Lv или Hl». Аналогично, «Lh есть Vh или Lv»; и «Vl есть Hl или Vh». Следовательно, «Каждый гражданин есть Vh или Hl или Lv», что является вторым из данных утверждений. Далее, исходя из этого второго утверждения, следует (путем обверсии), что «Никакой гражданин не есть одновременно v или H, h или L, l или V»; следовательно, «Никакой гражданин не есть vh или vL или HL, и в то же время l или V»; следовательно, «Никакой гражданин не есть vhl или VHL», что возвращает нас к первому из данных утверждений.

459. Дано: «Все D, которое есть либо B, либо C, есть A», покажите, что «Все, что есть не-A, есть либо не-B и не-C, либо оно есть не-D».

Этот пример и те, что даны в разделе 466, адаптированы из работы Де Моргана «Syllabus», стр. 42. Они также приведены Джевонсом в «Studies», стр. 241, в связи с его уравнительной логикой. Все они являются простыми упражнениями на контрапозицию. Мы имеем: «Все, что есть BD или CD, есть A»; следовательно, «Все a есть (b или d) и (c или d)»; следовательно, «Все a есть bc или d».

460. Выведите все, что только возможно, путем контрапозиции или иным способом из утверждения: «Все A, которое не есть ни B, ни C, есть X».

Данная пропозиция может быть приведена к форме

«Все есть либо a, либо B, либо C, либо X»;

и она представляется симметричной в отношении терминов a, B, C, X и, следовательно, в отношении терминов A, b, c, x. Мы уверены тогда, что все, что истинно для A, истинно mutatis mutandis для b, c и x, что все, что истинно для Ab, истинно mutatis mutandis для любой пары терминов, и аналогично для комбинаций по три вместе. Мы сразу имеем четыре симметричные пропозиции:

All A is B or C or X ; (1) All b is a or C or X ; (2) All c is a or B or X ; (3) All X is a or B or C. (4) Затем из (1) путем партикуляризации субъекта:

«Все Ab есть C или X»; (i)

с пятью соответствующими пропозициями;

«Все Ac есть B или X»; (ii) «Все Ax есть B или C»; (iii) «Все bc есть a или X»; (iv) «Все bx есть a или C»; (v) «Все cx есть a или B»; (vi)

Путем повторения того же процесса мы имеем

All Abc is X (which is the original proposition over again);(α) and corresponding to this:All Abx is C ;(β) All Acx is B ;(γ) All bcx is a.(δ) Будет замечено, что следующими являются пары полных контрапозитивов: — (1) (δ), (2) (γ), (3) (β), (4) (α), (i) (vi), (ii) (v), (iii) (iv).

Дальнейший ряд пропозиций может быть получен путем обверсии всех вышеприведенных; и так как не было потери логической силы ни в одном из примененных процессов, мы имеем в общей сложности тридцать пропозиций, которые эквивалентны друг другу.

461. Если AB есть либо Cd, либо cDe, а также либо eF, либо H, и если то же самое верно для BH, что мы знаем о том, что есть E?

Все, что есть AB или BH, есть (Cd или cDe) и (eF или H); следовательно, «Все, что есть AB или BH, есть CdeF или cDeF или CdH или cDeH»; следовательно, «Все, что есть ABE или BHE, есть CdH»; следовательно, «Все E есть ah или b или CdH».

462. Дано: «A есть BC или BDE или BDF», выведите описания терминов Ace, Acf, ABcD.

В соответствии с уже установленными правилами мы имеем непосредственно: —

Ace есть BDF; Acf есть BDE; ABcD есть E или F.

463. Найдите обверсию каждой из следующих пропозиций: — (1) «Ничто не есть A, B или C»; (2) «Все A есть Bc или bD»; (3) «Никакое Ab не есть CDEf или Cd или cDf или cdE»; (4) «Никакое A не есть BCD или Bcd»; (5) «Некоторое A не есть ни bcd, ни Cd, ни cD».

464. Покажите, что следующие две пропозиции эквивалентны друг другу: — «Никакое A не есть B или CD или CE или EF»; «Все A есть bCde или bcEf или bce».

465. Контрапозируйте пропозицию: «Все A, которое не есть ни B, ни C, есть и X, и Y».

466. Найдите полный контрапозитив каждой из следующих пропозиций: (1) «Все, что есть B или CD или CE, есть A»; (2) «Все, что есть либо B, либо C и в то же время либо D, либо E, есть A»; (3) «Все, что есть A или BC и в то же время либо D, либо EF, есть X»; (4) «Все A есть либо BC, либо BD».

467. Найдите полный контрапозитив каждой из следующих пропозиций: — «Все A есть BCDe или bcDe»; «Некоторое AB не есть ни CD, ни cDE, ни de»; «Все, что есть AB или bC, есть aCd или Acd»; «Где A присутствует вместе с B или C, D присутствует, а C отсутствует, или D и E оба отсутствуют»; «Некоторое ABC или abc не есть ни DEF, ни def».

468. Какую информацию вы можете получить об Af, Be, c, D из пропозиции «Все AB есть CD или EF»?

469. Установите следующее: «Где B отсутствует, либо A и C оба присутствуют, либо A и D оба отсутствуют»; следовательно, «где C отсутствует, либо B присутствует, либо D отсутствует».

470. Установите следующее: «Где A присутствует, либо B и C оба присутствуют, либо C присутствует, а D отсутствует, либо C присутствует, а F отсутствует, либо H присутствует»; следовательно, «где C отсутствует, A не может присутствовать, а H отсутствует».

471. Дано, что «Все, что есть PQ или AP, есть bCD или abdE или aBCdE или Abcd», покажите, что (1) «Все abP есть CD или dE или q»; (2) «Все DP есть bC или aq»; (3) «Все, что есть B или Cd или cD, есть a или p»; (4) «Все B есть C или p или aq»; (5) «Все AB есть p»; (6) «Если ae есть c или d, оно есть p или q»; (7) «Если BP есть c или D или e, оно есть aq».

472. Приведите следующие пропозиции к форме «Все есть либо X1, либо X2 … либо Xn»: — «Все, что есть Ac или ab или aC, есть bdf или deF»; «Ничто, что есть A и в то же время либо B, либо C, не есть D или dE».

473. Покажите, что результаты в разделе 447 вытекают из результатов в разделе 446 по правилам противоречия и контрапозиции.

ГЛАВА IV.

КОМБИНАЦИЯ СЛОЖНЫХ ПРОПОЗИЦИЙ. 474. Проблема комбинирования сложных пропозиций. — Две или более сложных пропозиций, данных в простой комбинации, либо конъюнктивной, либо альтернативной, составляют составную пропозицию. Следовательно, проблема работы с комбинацией сложных пропозиций с целью получения из них единой эквивалентной сложной пропозиции, которая является проблемой, подлежащей рассмотрению в настоящей главе, идентична проблеме перехода от составной пропозиции к эквивалентной сложной пропозиции; и она, следовательно, является обратной проблеме, которая была частично обсуждена в разделах 446, 447. Последняя проблема, а именно проблема перехода от сложной к эквивалентной составной пропозиции, будет далее обсуждаться в главе 6.

475. Конъюнктивная комбинация общеутвердительных пропозиций. — Мы можем здесь выделить два случая в зависимости от того, имеют ли комбинируемые пропозиции один и тот же субъект или нет.

(1) Общеутвердительные пропозиции, имеющие один и тот же субъект.

«Все X есть P1 или P2 … или Pm», «Все X есть Q1 или Q2 … или Qn»,

могут для нашей настоящей цели быть взяты в качестве типов общеутвердительных пропозиций, имеющих один и тот же субъект. Путем конъюнктивного комбинирования их предикатов, таким образом,

«Все X есть (P1 или P2 … или Pm) и также (Q1 или Q2 … или Qn)», то есть «Все X есть P1Q1 или P1Q2 … или P1Qn или P2Q1 или P2Q2 … или P2Qn или … … или PmQ1 или PmQ2 … или PmQn»,

мы можем получить новую пропозицию, которая эквивалентна конъюнктивной комбинации двух исходных пропозиций; она суммирует всю информацию, которую они совместно содержат, и мы можем вернуться от нее к ним.

Почти во всех случаях конъюнктивной комбинации терминов имеются многочисленные возможности упрощения; и после небольшой практики студент обнаружит, что нет необходимости выписывать все альтернаторы нового предиката полностью. Ниже приведены примеры: —

(i)All X is AB or bce, All X is aBC or DE ; therefore, All X is ABDE. Будет обнаружено, что все остальные комбинации в предикате содержат противоречащие члены.

(ii)All X is A or Bc or D, All X is aB or Bc or Cd ; therefore, All X is ACd or aBD or Bc. (iii)Everything is A or bd or cE, Everything is AC or aBe or d ; therefore, Everything is AC or Ad or bd or cdE. (2) Общеутвердительные пропозиции, имеющие разные субъекты.

Дана конъюнктивная комбинация двух общеутвердительных пропозиций с разными субъектами, новая сложная пропозиция может быть получена путем конъюнктивного комбинирования как их субъектов, так и их предикатов. Таким образом, если «Все X есть P1 или P2» и «Все Y есть Q1 или Q2», из этого следует, что «Все XY есть P1Q1 или P1Q2 или P2Q1 или P2Q2». Но в этом случае полученная новая пропозиция не эквивалентна конъюнктивной комбинации исходных пропозиций; и мы не можем вернуться от нее к ним.

Единая сложная пропозиция, которая суммирует всю информацию, содержащуюся в исходных пропозициях, может, однако, быть получена путем предварительного сведения каждой из них к форме «Все есть X1 или X2 … или Xn», а затем конъюнктивного комбинирования их предикатов.

476. Конъюнктивная комбинация общеотрицательных пропозиций. — Здесь снова мы можем выделить два случая в зависимости от того, имеют ли комбинируемые пропозиции один и тот же субъект или нет.

(1) Общеотрицательные пропозиции, имеющие один и тот же субъект

«Никакое X не есть P1 или P2 … или Pm», «Никакое X не есть Q1 или Q2 … или Qn»,

могут для нашей настоящей цели быть взяты в качестве типов общеотрицательных пропозиций, имеющих один и тот же субъект. Даны эти две пропозиции в конъюнктивной комбинации, новая сложная пропозиция может быть получена путем альтернативного комбинирования их предикатов. Таким образом,

«Никакое X не есть P1 или P2 … или Pm или Q1 или Q2 … или Qn».

Эта новая пропозиция эквивалентна двум исходным пропозициям, взятым вместе, так что мы можем вернуться от нее к ним. Процесс комбинирования предикатов снова, вероятно, даст возможности для упрощения. Ниже приведены примеры:

(i)No X is either aB or aC or aE or bC or bE, No X is either Ad or Ae or bd or be or cd or ce ; therefore, No X is either a or b or d or e.498 (ii)Nothing is aBC or aBe or aCD or aDe, Nothing is AcD or abD or aDE or bcD or cDE ; therefore, Nothing is aBC or aBe or aD or cD.

Сравните раздел 435.

(2) Общеотрицательные суждения с различными субъектами.

При наличии конъюнктивного сочетания двух общеотрицательных суждений с различными субъектами можно получить новое сложное суждение путем конъюнктивного объединения их субъектов и альтернативного объединения их предикатов. Таким образом, если «Ни одно X не есть P1 или P2» и «Ни одно Y не есть Q1 или Q2», то из этого следует, что «Ни одно XY не есть P1 или P2 или Q1 или Q2». В данном случае выведенное суждение не эквивалентно посылкам; и мы не можем вернуться от него к ним.

Однако единое сложное суждение, суммирующее всю информацию, содержащуюся в исходных суждениях, можно получить, сначала приведя каждое из них к форме «Ничто не есть X1 или X2… или Xn», а затем альтернативно объединив их предикаты.

477. Конъюнктивное сочетание общеутвердительных суждений с частноутвердительными суждениями того же качества. — Здесь мы можем рассмотреть сначала утвердительные, а затем отрицательные суждения.

(1) Утвердительные суждения. Из конъюнктивного сочетания общеутвердительного и частноутвердительного суждений, имеющих один и тот же субъект, можно получить новое частноутвердительное суждение путем конъюнктивного объединения их предикатов. Если «Все X есть P1 или P2» и «Некоторые X есть Q1 или Q2», то из этого следует, что «Некоторые X есть P1Q1 или P1Q2 или P2Q1 или P2Q2». Здесь частная посылка утверждает существование X и либо XQ1, либо XQ2; а общая посылка подразумевает, что если существует X, то существует либо XP1, либо XP2.

Мы можем вернуться от заключения к частной посылке, но не к общей посылке. Следовательно, заключение не эквивалентно двум посылкам, взятым вместе.

501. Новое сложное суждение нельзя непосредственно получить из конъюнктивного сочетания общеутвердительного и частноутвердительного суждений, имеющих различные субъекты. Однако суждения могут быть приведены соответственно к формам «Все есть P1 или P2… или Pm», «Нечто есть Q1 или Q2… или Qn», и тогда их предикаты могут быть конъюнктивно объединены в соответствии с вышеуказанным правилом.

(2) Отрицательные суждения. Из конъюнктивного сочетания общеотрицательного и частноотрицательного суждений, имеющих один и тот же субъект, можно получить новое частноотрицательное суждение путем альтернативного объединения их предикатов. Если «Ни одно X не есть ни P1, ни P2» и «Некоторые X не есть ни Q1, ни Q2», то из этого следует, что «Некоторые X не есть ни P1, ни P2, ни Q1, ни Q2». Обоснованность этого процесса очевидна, поскольку частная посылка утверждает существование X. Посредством обверсии это также может быть представлено как следствие из правила, приведенного выше в отношении утвердительных суждений. Мы снова можем вернуться от заключения к частной посылке, но не к общей посылке.

Что касается конъюнктивного сочетания общеотрицательных и частноотрицательных суждений с различными субъектами, то замечания, сделанные в отношении утвердительных суждений, применяются mutatis mutandis.

478. Конъюнктивное сочетание утвердительных суждений с отрицательными. — Путем предварительной обверсии одного из суждений конъюнктивное сочетание утвердительного суждения с отрицательным может быть приведено к получению нового сложного суждения в соответствии с правилами, данными в предыдущих разделах. Например,

(1) All X is A or B, No X is aC, therefore, All X is A or Bc ; (2) Everything is P or Q, Nothing is Pq or pR, therefore, Nothing is pR or q ; (3) All X is AB or bce, Some X is not either aBC or DE, therefore, Some X is ABd or ABe or bce. 479. Конъюнктивное сочетание частных суждений с частными. — Частные суждения не могут быть с какой-либо пользой конъюнктивно объединены с частными суждениями так, чтобы получить новое сложное суждение. Верно, что из «Некоторые X есть P1 или P2» и «Некоторые X есть Q1 или Q2» мы можем перейти к «Некоторые X есть P1 или P2 или Q1 или Q2». Но это лишь ослабление информации, данной любой из посылок в отдельности; и согласно правилу, что «альтернант может быть в любое время введен в нераспределенный термин» (раздел 449), это с таким же успехом могло быть выведено из любой посылки, взятой самой по себе. Далее, из «Некоторые X не есть ни P1, ни P2» и «Некоторые X не есть ни Q1, ни Q2» мы можем перейти к «Некоторые X не есть ни P1Q1, ни P1Q2, ни P2Q1, ни P2Q2». Но здесь вновь применимы аналогичные замечания, поскольку мы уже установили, что «детерминант может быть в любое время введен в распределенный термин».

480. Альтернативное сочетание общих суждений. — Имея ряд общих суждений в качестве альтернантов в сложном альтернативном суждении, мы не можем получить единое эквивалентное сложное суждение. Из сложного суждения «Либо все A есть P1 или P2, либо все A есть Q1 или Q2» мы действительно можем вывести «Все A есть P1 или P2 или Q1 или Q2»; но мы не можем вернуться от этого к исходному суждению.

499. Сравните раздел 446.

481. Альтернативное сочетание частных суждений. — Из эквивалентностей, показанных в разделе 447, следует, что сложное альтернативное суждение, в котором все альтернанты являются частными, может быть приведено к форме единого сложного суждения. Если все альтернанты сложного суждения имеют один и тот же субъект и все являются утвердительными, их предикаты должны быть альтернативно объединены в сложном суждении; если они все имеют один и тот же субъект и все являются отрицательными, их предикаты должны быть конъюнктивно объединены в сложном суждении. Если альтернанты имеют различные субъекты, они все должны быть приведены к форме «Нечто есть…» до того, как их предикаты будут объединены; если они различаются по качеству, необходимо прибегнуть к процессу обверсии. Нет необходимости подробно обсуждать эти различные случаи, но в качестве примеров можно привести следующие:

(i)Some X is P or some X is Q = Some X is P or Q ; (ii)Some X is not P or some X is not Q = Some X is not PQ ; (iii)Some X is P or some Y is Q = Something is XP or YQ ; (iv)Some X is P or some Y is not Q = Something is XP or Yq. 482. Альтернативное сочетание частных суждений с общими. — Из сложного альтернативного суждения, в котором некоторые альтернанты являются частными, а некоторые — общими, мы можем вывести частное сложное суждение; но в этом случае мы не можем вернуться от сложного суждения к сложному альтернативному суждению. Ниже приведены примеры:

(1)All A is P or some A is Q, therefore, Something is a or P or Q ;500 (2)All A is P or some B is not Q, therefore, Something is a or Bq or P.

500. Мы не можем вывести «Некоторые A есть P или Q», поскольку это предполагает существование A, тогда как несуществование A совместимо с посылкой.

503

УПРАЖНЕНИЯ.

483. Приведите суждения «Все P есть Q», «Ни одно Q не есть R» к такой форме, чтобы универсум рассуждения выступал в качестве субъекта каждого из них; а затем объедините суждения в единое сложное суждение. Как ваш результат соотносится с обычным силлогистическим заключением «Ни одно P не есть R»? [K.]

484. Объедините следующие суждения в единое эквивалентное сложное суждение: «Все X есть либо A, либо b»; «Ни одно X не есть ни AC, ни acD, ни CD»; «Все a есть B или x». [K.]

485. Каждый избиратель является одновременно налогоплательщиком и арендатором, или вовсе не является налогоплательщиком; если какой-либо избиратель, платящий налоги, является арендатором, то он внесен в список; ни один избиратель, внесенный в список, не является одновременно налогоплательщиком и арендатором. Исследуйте результаты объединения этих трех утверждений. [V.]