«Principia Mathematica, том 2»

Предмет дедекиндовых отношений рассматривается далее (*214). Мы определяем дедекиндово отношение как такое, что каждый класс имеет либо максимум, либо секвент. Дедекиндов ряд должен иметь первый и последний член, поскольку первый член должен быть секвентом , а последний должен быть максимумом поля. Дедекиндов ряд может быть дискретным или компактным (т.е. таким, что между любыми двумя есть член, т.е. таким, что ), или частично тем и частично другим. Конечный ряд должен быть дедекиндовым: вполне упорядоченный ряд является дедекиндовым, если он имеет последний член. Но главная важность дедекиндова свойства заключается в связи с компактными рядами. Говорят, что компактный дедекиндов ряд обладает «дедекиндовой непрерывностью»; такие ряды имеют много важных свойств. Они являются более широким классом, чем ряды, обладающие канторовской непрерывностью; последние будут рассмотрены в Разделе F этой Части.

*210. О РЯДАХ КЛАССОВ, ПОРОЖДЕННЫХ ОТНОШЕНИЕМ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Резюме *210.

В теории рядов часто случается, что нам приходится иметь дело с классом классов таким, что из любых двух один содержится в другом. Т.е. если есть класс классов, мы имеем

Примеры этого дают различные классы сечений, которые будут рассмотрены в *211. Когда удовлетворяет вышеуказанному условию, классы, составляющие , могут быть упорядочены в ряд отношением включения (в сочетании с неравенством), т.е. отношением или, что сводится к тому же, Если есть любое отношение такое, что , вышеуказанное отношение включения равно (Определение см. в *170.) Таким образом, при вышеуказанных обстоятельствах есть ряд, чем бы ни был .

Важность таких отношений включения как генераторов рядов заключается в связи с существованием максимумов и минимумов или пределов. Если мы положим где удовлетворяет вышеуказанному условию, то если и если , есть максимум или верхний предел относительно , в зависимости от того, является ли членом или нет. Аналогично если , есть минимум или нижний предел , в зависимости от того, является ли членом или нет. Следовательно, если таков, что сумма любого подкласса является членом , каждый подкласс имеет либо максимум, либо верхний предел; и если произведение каждого подкласса является членом , каждый подкласс имеет либо минимум или нижний предел.

Для того чтобы каждый подкласс имел минимум или нижний предел, достаточно, чтобы сумма каждого подкласса была членом . Ибо, если есть любой подкласс , рассмотрим те члены , которые содержатся в , т.е. Если , сумма этих классов = , и является нижним пределом или минимумом . Но если , то каждый член , который не содержится в , также не содержится в , и поэтому не содержится в некотором члене . Следовательно, есть нижний предел .

Именно благодаря этим предложениям сегменты рядов имеют такое большое значение в связи с пределами.

Гипотеза о том, что если , является членом , обычно не будет подтверждаться в случае, когда , поскольку в этом случае . Но все желаемые результаты могут быть получены из гипотезы, что если , . Эта гипотеза эквивалентна другой, за исключением случая , в котором она требует , что гораздо чаще подтверждается, чем , которое требовалось другой гипотезой.

Основными предложениями этого номера являются следующие:

*210·1.

*210·11.

*210·12.

*210·13.

*210·2.

*210·21.

*210·211 дает аналогичное предложение для и . Мы не будем здесь упоминать такие аналоги, если только по какой-либо особой причине.

*210·23.

*210·232.

*210·251.

*210·252.

*210·254.

*210·26.

*210·28.

Таким образом, если есть класс из не менее чем двух классов такой, что из любых двух его членов один должен содержаться в другом, и если есть отношение , ограниченное членами , то есть ряд (*210·12), в котором, при условии, что суммы подклассов всегда являются членами , каждый класс имеет либо максимум, либо верхний предел, и каждый класс имеет либо минимум, либо нижний предел (*210·28).

Читатель заметит, что если , любой конечный подкласс должен содержать свою собственную сумму и произведение в качестве членов. Например, если у нас есть два класса и , если , то и ; если у нас есть три класса , , , и , то и ; и так далее. Таким образом, гипотеза требуется только для того, чтобы позволить нам иметь дело с бесконечными подклассами .

*210·1.

Док.

*210·11.

Док.

*210·12.

Док.

*210·121.

Док.

*210·122.

Док.

*210·123.

Док.

*210·124.

*210·13.

Док.

Таким образом, при гипотезе *210·1 не зависит от , пока . Также мы имеем

*210·14.

*210·15.

*210·16.

Док.

*210·17.

Док.

*210·2.

Док.

Заметьте, что есть либо или , в зависимости от того, является ли членом или нет.

*210·201.

*210·202.

*210·203.

*210·21.

*210·211.

*210·22.

*210·221.

*210·222.

*210·223.

*210·23.

Док.

*210·231.

В силу *210·21·23, каждый класс, который содержится в и чье произведение является членом , имеет либо минимум, либо нижний предел; и в силу *210·211·231, каждый класс, который содержится в и чья сумма является членом , имеет либо максимум, либо верхний предел.

*210·232.

*210·233.

*210·24.

*210·241.

*210·242.

*210·25.

Док.

*210·251.

*210·252.

Док.

Это предложение более полезно, чем *210·25, потому что его гипотеза подтверждается гораздо чаще. Для того чтобы гипотеза *210·25 была подтверждена, мы должны иметь , поскольку ; следовательно, мы должны также иметь . Но гипотеза *210·252 требует только, насколько касается , чтобы мы имели .

*210·253.

*210·254.

*210·26.

Док.

*210·261.

*210·262.

Док.

То же самое замечание относится к этому предложению, что и к *210·252.

*210·27.

Док.

*210·271.

*210·272.

*210·28.

Док.

*210·281.

*210·282.

Таким образом, когда выполняется любая из гипотез *210·281·282, ряд является дедекиндовым как вверх, так и вниз.

*210·29.

*210·291.

*211. О СЕЧЕНИЯХ И СЕГМЕНТАХ.

Резюме *211.

Теория способов разделения ряда на два класса, один из которых полностью предшествует другому и которые вместе составляют весь ряд, имеет фундаментальное значение. Когда задан один из пары таких классов, другой является остатком ряда; поэтому мы можем для большинства целей ограничить наше внимание тем из двух классов, который идет первым в сериальном порядке. Любой класс, который может быть первым в такой паре, мы будем называть сечением нашего ряда. Если есть ряд, мы будем обозначать класс его сечений через «». Если есть сечение , мы будем называть (который является вторым классом нашей пары) дополнением . Класс дополнений сечений есть , который идентичен (*211·75).

Для того чтобы класс мог быть сечением , необходимо и достаточно, чтобы он содержался в и содержал все свои собственные предшественники; таким образом, мы полагаем У нас также есть, согласно *90·23,

Среди сечений особенно важный класс состоит из классов, которые составлены из всех предшественников некоторого класса, т.е. классов формы , т.е. классов, которые являются членами . Всякий раз, когда транзитивно, ; следовательно, есть сечение согласно вышеприведенному определению. Когда есть ряд, дополнение (когда существует и содержится в ) есть

Члены называются сегментами ряда, порожденного P. В ряде, в котором каждый подкласс имеет максимум или секвент, (*211·38), т.е. предшественники класса всегда являются предшественниками единственного члена, а именно максимума класса, если он существует, или секвента, если максимум не существует. Но если есть классы, которые не имеют ни максимума, ни секвента, предшественники таких классов не являются коэкстенсивными с предшественниками какого-либо единственного члена. Таким образом, в общем, ряд сегментов будет больше, чем исходный ряд. Например, если наш исходный ряд имеет тип ряда рациональных чисел в порядке возрастания, ряд сегментов имеет тип ряда вещественных чисел, т.е. тип континуума.

Среди сегментов особенно важный класс состоит из тех, которые не имеют максимума. В этом случае, если есть такой сегмент, мы имеем ; и поскольку (при условии, что транзитивно) мы также имеем, для всех сегментов, , сегменты, не имеющие максимума, — это те, для которых , т.е. они являются классом . В компактных рядах все сегменты принадлежат этому последнему классу, но в общем только те сегменты принадлежат ему, которые соответствуют «Häufungsstelle». Во всех случаях, в которых существование предела не известно, сегмент выполняет функции предела; то есть в тех местах в ряде, где можно было бы ожидать предел, у нас есть сегмент, не имеющий предела или максимума, который занимает то же место в ряде сегментов, которое было бы занято пределом в исходном ряде, если бы предел существовал. Сегменты, не имеющие предела или максимума, являются предельными точками в ряде сегментов, и каждый класс сегментов, который не имеет максимума в ряде сегментов, имеет предел в этом ряде.

Таким образом, у нас есть три класса, с которыми нужно иметь дело, а именно Из них второй содержится в первом, когда транзитивно (*211·15), а третий содержится в первом и втором (*211·14). Второй состоит из тех членов первого, которые имеют либо секвент, либо не имеют максимума (*211·32); третий состоит из тех членов первого, которые не имеют максимума (*211·41). Если каждый член третьего класса имеет предел, т.е. если то каждый класс имеет либо секвент, либо максимум, т.е. ряд является дедекиндовым; и обратное также верно (*211·47).

Когда связен, из любых двух сечений одно должно содержаться в другом (*211·6). Более того, если содержится в любом из трех классов , , , то является членом этого класса (*211·63·64·65). Следовательно, предложения *210 становятся доступными. Именно так доказывается существование пределов в рядах сегментов или сечений: максимум или верхний предел любого класса , состоящего из сегментов или сечений, есть , а минимум или нижний предел есть сумма сегментов, которые содержатся в каждом .

Мы начинаем в этом номере с элементарных свойств . Сечения суть сегменты (*211·13) и сечения (*211·17). Мы имеем

*211·26.

Затем мы переходим к элементарным свойствам сегментов, т.е. (*211·3 — ·38). Мы имеем

*211·3.

*211·301.

*211·302.

*211·351.

Затем мы переходим к элементарным свойствам сегментов, не имеющих максимума, т.е. (*211·4 — ·47). Мы имеем

*211·42.

*211·44.

*211·451.

Наш следующий набор предложений (*211·5 — ·553) касается компактных рядов, т.е. гипотезы . Мы имеем

*211·51.

*211·551.

Т.е. ряд является компактным тогда и только тогда, когда ни один класс не имеет одновременно максимума и секвента.

Далее мы переходим к применению предложений *210 (*211·56 — ·692). Эти предложения исходят из

*211·56.

(Здесь «» может быть подставлено в гипотезу: ср. *211·561.) Предложения этого набора, которые очень важны, уже были упомянуты.

Наш следующий набор предложений (*211·7 — ·762) касается дополнений сечений и сегментов. Некоторые из этих предложений уже были упомянуты; другие важные суть:

*211·7.

*211·703.

*211·726.

*211·727.

*211·728.

Оставшиеся предложения в основном заняты отношенческой арифметикой. Самое важное из них есть

*211·82.

То есть, учитывая любой ряд, содержащийся в , если что-то может быть добавлено, чтобы превратить его в , его поле является сечением , и наоборот.

*211·01.

*211·1.

*211·11.

*211·12.

Док.

*211·13.

Док.

В силу вышеприведенного предложения свойства могут быть выведены из свойств или путем подстановки вместо .

*211·131.

Док.

*211·132.

Док.

*211·133.

Док.

*211·14.

Док.

*211·15.

Док.

*211·16.

Док.

*211·17.

Следующие предложения полезны при работе с секциональными отношениями, т.е. отношениями формы , где . Единичные сечения часто требуют особого обращения из-за того факта, что для них мы не имеем .

*211·18.

Док.

*211·181.

Док.

*211·182.

*211·2.

Док.

*211·21.

Док.

*211·22.

Док.

*211·23.

Док.

*211·24.

Док.

*211·26.

Док.

*211·27.

Док.

*211·271.

Док.

*211·272.

Док.

*211·28.

Док.

*211·281.

Док.

*211·282.

*211·283.

Док.

Следующие предложения касаются . Это следует сравнить с двумя другими классами, а именно и . Члены , которые не принадлежат , — это те, которые имеют максимум, но не имеют секвента, т.е. (если есть ряд), те классы, которые состоят из члена вместе со всеми его предшественниками, где x не имеет непосредственного преемника. В рядах, в которых каждый член, кроме последнего, имеет непосредственного преемника, будет единственным членом , если ряд имеет последний член; если ряд не имеет последнего члена, .

Члены , которые не являются членами , — это те, которые не имеют секвента, т.е. те, которые не имеют верхнего предела (ибо член , который не имеет секвента, также не имеет максимума). Это члены , соответствующие «пробелу», т.е. дедекиндову сечению, в котором ни более ранние члены не имеют максимума, ни более поздние члены не имеют минимума. Следовательно, в дедекиндовом ряде ; и наоборот, если , ряд является дедекиндовым. Эти свойства доказываются в следующих предложениях.

*211·3.

*211·301.

*211·302.

Док.

*211·31.

*211·311.

*211·312.

Док.

*211·313.

Док.

*211·314.

Док.

Вышеприведенное предложение и два следующих предложения позволяют нам в определенных случаях доказывать предложения, касающиеся отношений и , не предполагая, что транзитивно. Пример использования этих предложений встречается в *211·754, где гипотеза предполагает . Если бы мы использовали *211·31 и его следствия вместо *211·314 и его следствий, гипотеза *211·754 должна была бы предполагать .

*211·315.

Док.

*211·316.

*211·317.

Док.

*211·32.

*211·321.

*211·33.

Док.

*211·34.

Док.

*211·35.

Док.

*211·351.

Док.

*211·36.

Док.

*211·361.

Док.

*211·371.

*211·372.

Док.

*211·38.

Док.

Следующие предложения касаются , т.е. тех сечений , которые не имеют максимума. Если компактен (т.е. если ), . Если также является дедекиндовым рядом, . Это признак дедекиндовой непрерывности, поскольку он утверждает, что если не имеет максимума, существует , для которого , и это верхний предел не имеет максимума, так что ряд является компактным.

*211·4.

Док.

*211·41.

Док.

*211·411.

Док.

*211·42.

Док.

*211·43.

Док.

*211·431.

*211·44.

*211·45.

Док.

*211·451.

Док.

*211·452.

*211·46.

Док.

*211·47.

Док.

Следующие предложения касаются некоторых следствий гипотезы . Эта гипотеза важна, потому что она является определяющей характеристикой компактных рядов.

*211·5.

Док.

*211·51.

Таким образом, в компактных рядах нет различия между двумя видами сегментов.

*211·52.

Док.

*211·53.

Док.

Условие является дедекиндовым определением непрерывности. В силу вышеприведенного предложения это эквивалентно в ряде компактности в сочетании с аксиомой Дедекинда, а именно

*211·54.

Док.

*211·541.

Док.

*211·55.

*211·551.

*211·552.

*211·553.

Следующие предложения касаются показа того, что , и все проверяют гипотезы *210, если взять их в качестве того номера.

*211·56.

Док.

*211·561.

*211·562.

*211·6.

*211·61.

*211·62.

В гипотезе *211·61 необходимо, чтобы был транзитивным, а также связным. Возьмем, например, Тогда связен, но не транзитивен; также мы имеем Следовательно . Таким образом, связности недостаточно в гипотезе *211·61.

*211·63.

Док.

Это предложение показывает, что проверяет гипотезу *210·251, за исключением , которое требует .

*211·631.

Док.

*211·632.

Док.

*211·633.

Это предложение показывает, что проверяет гипотезу *210·252, за исключением , которое требует .

*211·64.

Док.

*211·65.

Док.

*211·66.

Док.

*211·661.

Док.

Следующие предложения суммируют вышеприведенные результаты в отношении гипотез *210. Отношение с полем, ограниченным сечениями или сегментами, которое встречается в следующих предложениях, важно и будет подробно рассмотрено в следующем номере.

*211·67.

*211·671.

*211·68.

*211·681.

*211·69.

*211·691.

*211·692.

Следующие предложения касаются отношений сечений и сегментов к сечениям и сегментам . Когда , , и наоборот. Также, если связен, максимум (если есть) есть прецедент относительно (т.е. секвент относительно ), и секвент (если есть) есть минимум относительно (т.е. максимум относительно ) . Следовательно, отношения, которые нужно доказать, следуют легко.

*211·7

Док.

*211·701.

Док.

*211·702.

*211·703.

*211·71.

Док.

Если есть сечение , мы будем называть дополнением к . Согласно вышеприведенному предложению, если есть сечение , имеющее максимум, то его дополнение является сечением , которое является элементом .

*211·711.

*211·712.

Док.

*211·713.

Док.

*211·714.

Док.

Вышеуказанной гипотезы недостаточно для обеспечения , как можно видеть, подставив . Тогда мы имеем . Таким образом, . Можно заметить, что , так что бесполезно добавлять к гипотезе *211·714. Достаточным дополнением является , что доказывается в следующем предложении.

*211·715.

Док.

*211·72.

*211·721.

Док.

*211·722.

Док.

Мы всегда имеем, если , . Обратное включение не всегда имеет место, как видно (при записи вместо ) из примечания к *211·714. Чтобы обеспечить обратную импликацию, достаточно предположить или или .

*211·723.

Док.

*211·724.

Док.

*211·725.

*211·726.

Док.

*211·727.

*211·728.

Док.

*211·729.

*211·73.

Док.

*211·74.

Док.

Следующие предложения суммируют наши предыдущие результаты.

*211·75.

*211·751.

Док.

В вышеприведенном предложении «» необходимо для того, чтобы могло содержаться в , а «» необходимо для того, чтобы «» могло имплицировать «». Следовательно, полная гипотеза «» становится необходимой.

*211·752.

Док.

*211·753.

*211·754.

Док.

*211·755.

*211·756.

*211·757.

*211·76.

Док.

*211·761.

*211·762.

Док.

*211·8.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *232·352 и *234·242.

Следующие предложения подводят к *211·82, которое используется в *213·4. *211·83, ·841, ·9 также используются в *213.

*211·81.

Док.

*211·811.

Док.

*211·812.

Док.

*211·82.

*211·83.

Док.

*211·84.

Док.

*211·841.

*211·9.

Док.

*212. РЯД СЕГМЕНТОВ.

Резюме *212.

Ряд сегментов или сечений ряда может быть упорядочен отношением включения, согласно способу, рассмотренному в *210. Поскольку, как было показано в *211, сечения и сегменты обладают свойствами, приписанными в гипотезе *210, результирующие ряды таковы, что каждый класс имеет либо максимум, либо следующий элемент, и либо минимум, либо предшествующий элемент; т.е. ряды сегментов или сечений являются дедекиндовыми. Большинство свойств ряда сечений и ряда сегментов, не имеющих максимума, требуют лишь того, чтобы исходное отношение было связным. Свойства ряда сегментов в целом требуют также, чтобы исходное отношение было транзитивным.

Мы обозначаем ряд сегментов через , полагая

Тогда мы имеем, в силу *210·13 и *211·61,

*212·23.

Подобным же образом, для ряда сегментов, которые не имеют максимума, мы полагаем и мы имеем

*212·22.

Нам не нужно специальное обозначение для ряда сечений, поскольку, в силу *211·13, это или . Таким образом, согласно *212·23,

*212·24.

Мы начинаем номер с различных предложений о полях и т. д. этих отношений, а также об условиях их существования. Мы имеем

*212·132.

*212·133.

*212·14.

*212·152.

*212·17.

*212·172.

Из следующего набора предложений (*212·2—·25) несколько уже были упомянуты. Важным предложением является

*212·25.

ибо это показывает, что ряд сегментов содержит ряд, схожий с .

Далее мы переходим к применению предложений *210 к ряду сечений и сегментов. Мы показываем, что если , и являются рядами (*212·3), и что если также транзитивно, то является рядом (*212·31). Мы имеем

*212·322.

*212·34.

так что каждый класс сечений имеет как верхнюю грань или максимум, так и нижнюю грань или минимум (*212·35).

Затем мы доказываем аналогичные предложения для и , за исключением того, что вместо *212·34 мы имеем

*212·431.

*212·53.

Причина отличия от *212·34 заключается в том, что произведение существующего класса сегментов может не быть сегментом. Предположим, например, что сегменты — это все те, которые содержат данный член , где не имеет непосредственного преемника; тогда их логическое произведение есть , которое является сечением, но не сегментом.

Далее мы имеем (*212·6—·667) ряд предложений о гранях и максимумах подклассов в ряде . Интерес этой темы заключается в ее отношении к иррациональным числам. Если есть класс, содержащийся в и не имеющий грани или максимума, то содержится в и имеет грань в . Мы можем назвать эту грань иррациональным сегментом. В нет иррационального члена, потому что в нет грани для ; но грань в для может быть названа иррациональной, потому что она не соответствует никакому члену в . Следует заметить, что (как будет доказано в Разделе F), если схож с рядом рациональных чисел, то схож с рядом действительных чисел.

Наиболее полезными предложениями в этой теме являются:

*212·6.

*212·601.

*212·602.

*212·61.

*212·632.

*212·661.

Это показывает, что каждая грань в ряде сегментов является гранью класса того, что мы можем назвать рациональными сегментами (т.е. сегментов вида ), а именно, она является гранью .

*212·667.

Это показывает, что сегменты (отличные от ), которые являются гранями классов сегментов, суть сегменты (отличные от ), которые не имеют максимума в .

Номер заканчивается набором предложений (*212·7—·72) об отношениях сечений и сегментов двух коррелированных рядов. Если есть коррелятор с , то (с ограниченной областью значений его конверсии) есть коррелятор с , с и с (*212·71, ·711, ·712). Следовательно,

*212·72.

Это предложение используется в следующем номере, а также в *271.

*212·01.

*212·02.

*212·1.

*212·11.

Док.

*212·12.

Таким образом, имеет ту же связь с , что и с . Когда транзитивно, также имеет ту же связь с , что и с . Следующее предложение делает эти факты более явными.

*212·121.

Док.

*212·122.

*212·123.

*212·13.

*212·131.

Док.

*212·132.

Док.

*212·133.

Док.

*212·134.

*212·14.

Док.

*212·141.

Док.

*212·142.

Док.

*212·15.

*212·151.

Обратная импликация в этом случае не имеет места. Для существования необходимо, чтобы содержало классы, не имеющие максимума.

*212·152.

*212·153.

Док.

*212·154.

Док.

*212·155.

*212·156.

Док.

*212·16.

Док.

*212·161.

Док.

*212·162.

Док.

*212·17.

Док.

*212·171.

*212·172.

*212·173.

*212·18.

Док.

*212·181.

Вышеприведенное предложение используется в *252·43.

*212·2.

*212·21.

*212·22.

*212·23.

*212·24.

*212·25.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *212·55, состоят из применений предложений *210, где в этом номере заменяется на , или , а заменяется на , т.е. на , или . Последующие предложения важны, поскольку использование сегментов, особенно в связи с непрерывностью, в значительной степени зависит от них.

*212·3.

*212·31.

*212·32.

Мы пишем , вместо того чтобы ставить под строкой, потому что, когда нам приходится иметь дело с выражением, не состоящим из одной буквы, неудобно записывать его как суффикс, особенно когда оно само содержит суффикс, как в данном случае.

*212·321.

*212·322.

*212·33.

Док.

*212·331.

Док.

*212·34.

*212·35.

*212·36.

Док.

*212·4.

*212·401.

*212·402.

*212·41.

*212·411.

*212·42.

Случаи, рассмотренные в *212·411 и *212·42, не являются взаимоисключающими, поскольку если , мы имеем .

*212·421.

Док.

*212·43.

Таким образом, в отношении нижнего конца класса, выбранного из , мы должны различать три случая: (1) если , есть минимум; (2) если , есть нижняя грань; (3) если , есть нижняя грань.

*212·431.

Док.

*212·44.

*212·45.

Док.

Доказательства следующих предложений в точности аналогичны доказательствам соответствующих предложений о .

*212·5.

*212·501.

*212·502.

*212·51.

*212·511.

*212·52.

Это предложение включает *212·511, поскольку, если , мы имеем

*212·53.

Доказательство проводится так же, как в *212·431.

*212·54.

*212·55.

Следующие предложения касаются отношений максимумов, граней и следующих элементов в и соответственно. Ряд , который порядково схож с , содержится в ; и если имеет максимум или грань в , то максимум или грань в в есть или . Таким образом, ряд (а именно ) который обладает теми же порядковыми свойствами, что и , может быть помещен в некоторый дедекиндов ряд (а именно ) таким образом, что классы, имеющие грани в , суть те, чьи корреляты имеют грани, являющиеся членами , в то время как те, чьи корреляты имеют грани, не являющиеся членами , суть те, которые не имеют ни максимума, ни грани в . Эти отношения важны во многих связях. Например, если имеет тип рациональных чисел, то имеет тип действительных чисел: соответствует иррациональным числам, а классы, содержащиеся в , но имеющие грань, не принадлежащую , соответствуют рядам рациональных чисел, имеющим иррациональную грань. В исходном ряде нет иррациональных граней; но если есть класс в и не имеющий грани, то имеет иррациональную грань в .

*212·6.

Док.

*212·601.

*212·602.

Док.

*212·61.

*212·62.

Док.

*212·621.

Док.

*212·63.

*212·631.

Док.

*212·632.

Док.

*212·633.

Док.

*212·65.

Док.

*212·651.

Док.

*212·652.

Док.

*212·653.

Док.

*212·66.

Док.

*212·661.

Док.

*212·662.

*212·663.

Док.

*212·664.

Док.

*212·665.

Док.

*212·666.

Док.

*212·667.

*212·7.

Док.

*212·701.

*212·702.

*212·71.

Док.

*212·711.

*212·712.

*212·72.

*213. СЕКЦИОННЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *213.

Если есть сечение , называется секционным отношением ; а если есть сегмент , называется сегментальным отношением . Если серийно, секционные отношения могут быть расположены в ряд по отношению включения (*213·153). То есть, если мы назовем ряд секционных отношений , мы определим так, чтобы обеспечить, что если серийно, . Естественным определением было бы . Но это имеет тот недостаток, что если , . Таким образом, не имплицирует ; и когда серийно, не является серийным, потому что . Чтобы избежать этого неудобства, мы ограничиваемся сечениями, которые не являются пустыми, полагая . С вышеприведенным определением мы имеем (*213·151, ·152), если , и .

Отношение очень полезно при работе с вполне упорядоченными рядами; в этом случае мы имеем (как будет показано позже) . Будет видно, что если , всякий раз, когда существует, (*213·158); и всякий раз, когда существует, (*213·155).

Мы имеем, если , . Следовательно (*213·246, ·242).

Если серийно, секционные отношения суть все отношения такие, что при добавлении к ним чего-либо они становятся , т.е. они суть . Следовательно, их отношенческие числа суть те, которые могут быть сделаны равными числу путем добавления. Этот факт важен в связи с теорией большего и меньшего среди отношенческих чисел.

Предложения этого номера усложняются необходимостью учитывать возможность того, что сечение является единичным классом. Это требует множества предложений, которые являются лишь леммами; но в конце концов сложности по большей части исчезают.

Мы начинаем с предложений о поле и т. д. . Мы имеем

*213·141.

*213·142.

*213·16.

*213·161.

*213·162.

Затем мы доказываем:

*213·17.

Если конечно, из вышесказанного следует, что не схоже с ; но если бесконечно, имеет начало и вполне упорядочено, мы находим

*213·172.

Затем мы имеем набор предложений (*213·2—·25), главным образом касающихся сечений , где . Помимо уже упомянутых, важны следующие:

*213·24.

*213·243.

*213·25.

Наш следующий набор (*213·3—·32) касается и . Мы имеем

*213·3.

*213·32.

Затем мы имеем три предложения (*213·4, ·41, ·42), показывающие, что секционное отношение есть то, которое становится путем добавления. Мы переходим к набору предложений (*213·5—·58) о , и , ведущих к

*213·57.

*213·58.

*213·01.

*213·1.

*213·11.

*213·12.

Док.

*213·121.

Док.

*213·122.

*213·123.

*213·124.

*213·125.

Док.

Гипотеза в вышеприведенном предложении ограничивает больше, чем необходимо для истинности заключения. Что нам действительно требуется, это , т.е. . Это верно, если либо (1) поле не состоит из одного семейства, либо (2) существует член , который не имеет отношения к самому себе. Таким образом, единственный исключенный случай — это случай одного циклического семейства. Гипотеза может быть подставлена вместо в большинстве последующих предложений этого номера, в которых встречается в гипотезе. Мы, однако, предпочли гипотезу , так как она дает более непосредственное применение к случаю , который является тем случаем, в котором предложения настоящего номера важны.

*213·126.

Док.

*213·13.

Док.

*213·131.

*213·132.

*213·133.

*213·134.

*213·14.

*213·141.

*213·142.

*213·143.

*213·144.

*213·145.

*213·146.

Док.

*213·15.

Док.

*213·151.

Док.

*213·152.

*213·153.

*213·154.

*213·155.

Док.

*213·156.

*213·157.

*213·158.

Док.

*213·16.

Док.

*213·161.

Док.

*213·162.

Док.

*213·163.

Док.

*213·164.

*213·17.

Док.

*213·171.

Док.

*213·172.

*213·18.

Док.

*213·2.

Док.

*213·21.

Док.

*213·22.

*213·23.

*213·24.

Док.

*213·241.

Док.

*213·242.

Док.

*213·243.

Док.

*213·244.

Док.

*213·245.

Док.

*213·246.

*213·247.

*213·25.

Док.

*213·251.

Док.

*213·3.

Док.

*213·301.

*213·302.

Док.

*213·31.

Док.

*213·32.

*213·4.

Док.

*213·41.

*213·42.

*213·5.

Док.

*213·51.

Док.

*213·52.

Док.

*213·53.

Док.

*213·531.

Док.

*213·54.

Док.

*213·541.

Док.

*213·55.

Док.

Как в *213·54,

*213·56.

*213·561.

Док.

*213·57.

Док.

*213·58.

Док.

*214. ДЕДЕКИНДОВЫ ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *214.

Мы называем отношение «дедекиндовым», когда оно таково, что каждый класс имеет либо максимум, либо следующий элемент по отношению к нему. Как правило, гипотеза о том, что отношение является дедекиндовым, важна только в случае серийных отношений. Дедекиндовы ряды имеют значительную важность, особенно в связи с гранями.

Когда транзитивно, гипотеза о том, что дедекиндово, эквивалентна гипотезе о том, что каждое сечение имеет максимум или следующий элемент (*214·13); она также эквивалентна предположению, что каждый сегмент имеет максимум или следующий элемент (*214·131), т.е. предположению, что каждый сегмент , который не имеет максимума, имеет грань, т.е. . Когда является рядом, гипотеза о том, что оно дедекиндово, эквивалентна гипотезе о том, что каждый сегмент имеет следующий элемент (*214·15), т.е. гипотезе о том, что класс сегментов есть класс (*214·151). Если дедекиндов ряд, то и , и наоборот (*214·14). Всякий раз, когда связно и не пусто, есть дедекиндов ряд (*214·32), и также , если оно существует (*214·34); всякий раз, когда транзитивно, связно и не пусто, есть дедекиндов ряд (*214·33). Все эти предложения были фактически уже доказаны: почти единственное новое в настоящем номере — это определение, которое есть

*214·4—·43 дают свойства рядов, которые обладают дедекиндовой непрерывностью. Мы имеем

*214·4.

*214·41.

Т.е. в ряде дедекиндова непрерывность эквивалентна предположению, что классы, имеющие максимум, суть те же, что и классы, не имеющие следующего элемента.

*214·42.

Это предложение важно при работе с дедекиндовыми «сечениями».

*214·43.

*214·5 показывает, что дедекиндово отношение имеет начало и конец; следующие предложения касаются , когда дедекиндово.

*214·6 показывает, что отношение, которое схоже с дедекиндовым отношением, является дедекиндовым.

Мы называем отношение «полудедекиндовым», если оно становится дедекиндовым путем добавления одного члена в конце; определение есть

*214·02.

*214·01.

*214·02.

*214·1.

*214·101.

*21·411.

*214·12.

*214·13.

*214·131.

*214·132.

*214·14.

*214·141.

*214·15.

*214·151.

*214·2.

*214·21.

*214·22.

*214·23.

Док.

*214·24.

*214·241.

*214·3.

*214·31.

*214·32.

*214·33.

*214·34.

*214·4.

*214·41.

*214·42.

Док.

*214·43.

Док.

Следующие предложения уже не являются просто переформулировками предыдущих результатов.

*214·5.

Док.

*214·51.

Док.

*214·52.

*214·53.

Док.

*214·531.

Док.

*214·532.

Док.

*214·54.

Док.

*214·6.

Док.

*214·7.

*214·71.

*214·72.

*214·73.

Доказательство следующего предложения приведено в несколько сжатой форме, поскольку, если бы оно было приведено с обычной полнотой, оно потребовало бы различных лемм, не требующихся в других местах.

*214·74.

Док.

*214·75.

*215. ОТРЕЗКИ.

Резюме *215.

Отрезок ряда — это любой кусок, взятый из него и не имеющий никаких разрывов; то есть это класс, содержащийся в ряде и содержащий все члены, которые находятся между любыми двумя его членами. Таким образом, он определяется как

Мы обозначаем класс отрезков через «», где «» означает «отрезок» или «Strecke». Отрезок, который не имеет предшественников, есть сечение ; тот, который не имеет преемников, есть сечение . Свойства отрезков главным образом важны в связи с компактными рядами. В дискретных рядах отрезки — это то же самое, что интервалы.

Если транзитивно, отрезки суть произведения сечений и сечений , т.е. верхних и нижних сечений (*215·16). Если связно, и есть нижнее сечение, верхнее сечение, то если эти два имеют общий отрезок , мы имеем . Несколько более общая форма этого предложения есть

*215·165.

Особенно важный случай — когда и имеют только один общий член. В этом случае мы имеем

*215·166.

Когда имеет более одного члена, если существуют верхняя грань или максимум и нижняя грань или минимум , то последний предшествует первому (*215·52); если и не имеют общей части, но вместе исчерпывают поле , мы имеем либо , либо , предполагая (*215·54). Следовательно, если не имеет непосредственного преемника, оно должно быть тождественно . Таким образом, мы имеем

*215·543.

Вышеприведенные предложения будут полезны в Разделе C (*231 и *233).

*215·01.

*215·1.

*215·11.

*215·13.

*215·14.

Док.

*215·15.

Док.

*215·16.

*215·161.

Док.

*215·162.

Док.

*215·163.

Док.

*215·164.

Док.

*215·165.

Док.

*215·166.

Док.

*215·17.

Док.

*215·18.

Док.

*215·19.

Док.

*215·2.

Док.

*215·21.

Док.

*215·22.

Док.

*215·23.

Док.

*215·24.

Док.

*215·25.

Док.

*215·3.

Док.

*215·31.

Док.

*215·32.

Док.

*215·33.

*215·4.

Док.

*215·41.

Док.

*215·42.

*215·5.

*215·51.

*215·52.

Док.

*215·53.

Док.

*215·54.

Док.

*215·541.

*215·542.

*215·543.

*216. ПРОИЗВОДНЫЕ.

Сводка *216.

Если α — какой-либо класс, а P — какой-либо ряд, то производная (или первая производная) α относительно P есть класс пределов существующих подклассов α, т. е. α_P' = δ'(α ↓ P). То есть член x принадлежит производной α относительно P, если существует множество β членов, которое содержится как в α, так и в P, и имеет x своим пределом. Производная α относительно P будет обозначаться через α_P'.

В общем случае будут существовать члены α, не содержащиеся в α_P', и члены α_P', не содержащиеся в α. Говорят, что α плотен в P, если все его члены, кроме первого (если таковой имеется), принадлежат α_P', то есть если все его члены, кроме первого, являются пределами существующих классов, содержащихся в α. Говорят, что α замкнут в P, если каждый существующий подкласс α, не имеющий максимума, имеет предел, который принадлежит α, т. е. если каждый существующий подкласс α имеет предел или максимум, и производная α относительно P содержится в α. Если α является одновременно плотным и замкнутым, он называется совершенным. В этом случае все его члены являются пределами классов, выбранных из α, и каждый класс, выбранный из α, имеет предел или максимум в α.

Вторая производная α относительно P есть (α_P')_P', т. е. α_P'', и так далее. (Производные бесконечного порядка не могут быть рассмотрены до более позднего этапа.) Если P — сериальный ряд, то вторая производная α относительно P всегда содержится в первой (*216·14).

Если P — дедекиндов ряд, то α замкнут всякий раз, когда α_P' ⊆ α. Чтобы обеспечить дедекиндов ряд, иногда удобно заменить P порядково схожим рядом Q, который содержится в дедековом ряде R. Тогда α_P' заменяется на α_Q', и α замкнут, если производная α относительно Q содержится в α. Отношение производной α в P к производной α в Q было рассмотрено в *212·6 и последующих предложениях. Эта тема возобновляется ниже (*216·5 и сл.).

Производная ряда P будет определена как ряд его предельных точек и обозначена через P'. Таким образом, мы полагаем P' = δ'P.

Если P — ряд, производная класса α состоит из тех членов P, которые таковы, что члены α существуют в каждом интервале, заканчивающемся в x, т. е. α_P' = δ'(α ↓ P).

*216·13.

Мы имеем α_P' ⊆ P.

*216·2.

*216·3.

*216·32.

Мы доказываем (*216·4 — ·412), что свойства α относительно P, касающиеся плотности, замкнутости или совершенности, принадлежат α' относительно P', если P' является коррелятором P с P'.

Далее мы рассматриваем отношение α в P к α' в P' (*216·5 — ·56). Суть этих предложений заключается в том, что P' является дедекиндовым, так что класс замкнут в P', если он содержит свою первую производную. (Обычно класс определяют как замкнутый, если он содержит свою первую производную; но это включает молчаливое предположение, что ряд P' является дедекиндовым. Если P' — ряд вещественных чисел, это предположение, конечно, подтверждается.) Мы доказываем (*216·52), что производная α в P' есть α_P'', т. е. α_P'' — это класс сегментов, определяемых такими существующими подклассами α, которые не имеют максимума; мы показываем, что α_P'' является плотным, замкнутым или совершенным в P' в зависимости от того, является ли α плотным, замкнутым или совершенным в P (*216·53 ·54 ·56), и что α_P'' и α_P''' замкнуты, если α_P'' содержит свою первую производную (*216·54).

Мы заканчиваем различными предложениями о α_P'' (*216·6 — ·621), главным из которых является α_P'' ⊆ α_P'.

*216·611.

Эта тема будет возобновлена в связи с вполне упорядоченными рядами в *264.

*216·01.

*216·02.

*216·03.

*216·04.

*216·05.

*216·1.

*216·101.

Док.

*216·11.

Док.

*216·111.

*216·12.

*216·13.

Док.

*216·14.

Док.

*216·15.

*216·16.

Док.

*216·2.

Док.

*216·21.

*216·22.

*216·23.

Док.

*216·3.

*216·31.

Док.

*216·32.

*216·33.

Док.

*216·34.

*216·35.

Док.

*216·36.

*216·37.

*216·371.

*216·38.

Док.

*216·381.

*216·382.

*216·4.

Док.

*216·401.

Док.

*216·41.

Док.

*216·411.

Док.

*216·412.

*216·5.

Док.

*216·51.

Док.

*216·52.

Док.

*216·521.

Док.

*216·53.

Док.

*216·54.

Док.

*216·55.

Док.

*216·56.

*216·6.

*216·601.

Док.

*216·602.

Док.

*216·603.

Док.

*216·61.

*216·611.

Док.

*216·612.

Док.

*216·62.

Док.

*216·621.

*217. О СЕГМЕНТАХ СУММ И ОБРАТНЫХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *217.

Цель настоящего номера — доказать *217·43, что требуется в теории вещественных чисел (Часть VI, Раздел A), где P — ряд положительных отношений, включая ноль, Q — ряд отрицательных отношений в порядке от нуля до - α (оба исключены), 0 — вещественное число ноль, а P' и Q' — два различных ряда, любой из которых может быть взят как ряд отрицательных и положительных вещественных чисел. В силу *217·43 эти два ряда порядково схожи.

*217·1.

*217·11.

*217·12.

*217·13.

*217·14.

*217·15.

*217·16.

Док.

*217·17.

*217·18.

Док.

*217·2.

Док.

*217·21.

Док.

*217·22.

Док.

*217·23.

Док.

*217·24.

*217·25.

*217·3.

*217·301.

Док.

*217·31.

Док.

*217·32.

Док.

*217·33.

Док.

*217·34.

Док.

*217·35.

Док.

*217·36.

Док.

*217·37.

*217·38.

*217·4.

*217·41.

*217·411.

*217·42.

*217·43.

РАЗДЕЛ C. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ.

Цель этого раздела — выразить в общей форме определения сходимости, пределов функций, непрерывности функций и родственных понятий, а также привести такие элементарные следствия из этих определений, которые могут показаться иллюстративными.

В определениях, обычно приводимых в трактатах по анализу, предполагается, что как аргументы, так и значения функции являются числами какого-либо рода, обычно вещественными числами, а пределы берутся относительно порядка величины. Однако в определениях нет ничего существенного, что требовало бы столь узкой гипотезы. Существенно то, что аргументы должны быть заданы как принадлежащие некоторому ряду, и что значения также должны быть заданы как принадлежащие некоторому ряду, который не обязательно должен быть тем же самым рядом, к которому принадлежат аргументы. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что все возможные аргументы нашей функции, или, по крайней мере, все аргументы, которые мы рассматриваем, принадлежат полю некоторого отношения P, которое в случаях, когда наши определения полезны, будет сериальным отношением; аналогично мы предполагаем, что значения нашей функции, по крайней мере для аргументов, принадлежащих P, принадлежат полю отношения Q, которое во всех важных случаях будет сериальным отношением. Саму функцию мы представляем отношением значения к аргументу; то есть отношение y к x должно быть f, так что, если функция f однозначна, y = f'x. (Если функция не однозначна, y — любой член f''x.) Таким образом, мы можем говорить о f как о функции, P как об аргументном ряде и Q как о ряде значений.

Приведем иллюстрацию: предположим, что нам задано множество вещественных чисел a_1, a_2, ..., a_n, ..., где n может быть любым конечным целым числом. Здесь a_n является функцией от n; аргументный ряд — это ряд конечных целых чисел в порядке возрастания величины, ряд значений — это ряд вещественных чисел (или любая часть этого ряда, которая содержит все значения a_1, a_2, ..., a_n, ...). Функция f — это отношение a_n к n, так что a_n = f'n. В этом случае, называя P аргументным рядом, а Q — рядом значений (как это будет делаться во всем этом разделе), мы имеем P = N_c, Q = R, и f = ряд a_1, a_2, ..., a_n, .... Ряд, который упорядочивает a_1, a_2, ..., a_n, ... в порядке их собственных величин, а не в порядке величины их индексов, есть P' или Q'. Это не будет равно f, если только функция не является такой, которая постоянно возрастает, т. е. такой, для которой n < m влечет f'n < f'm.

В общем случае предложения настоящего раздела важны только тогда, когда P и Q являются рядами. Если наши утверждения не должны быть тривиальными, мы должны иметь D'f ⊆ P и C'f ⊆ Q, т. е. должны существовать аргументы в P, которые приводят к значениям в Q. Также обычно будет случаться, что функция однозначна, т. е. что f ∈ 1 → 1. Но вышеуказанные условия, хотя и необходимые для важности наших предложений, в общем случае гораздо уже, чем гипотезы, необходимые для истинности наших предложений.

Настоящий раздел является полностью самодостаточным, то есть на его предложения в дальнейшем не ссылаются. Мы в этом разделе довели предмет настолько далеко, насколько это казалось подходящим для настоящей работы; его дальнейшее развитие относится к трактатам по анализу.

Мы начинаем (*230) с общего понятия, которое вовлечено в понятие сходимости. Мы будем говорить, что значения функции сходятся (или, проще, что сама функция сходится) в класс α, если для достаточно поздних аргументов значения всегда принадлежат классу α, т. е. если существует член x такой, что если x' ∈ P и x P x', то f'x' ∈ α, или, чтобы избежать предположения, что f однозначна, f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α. Таким образом, значения функции сходятся в класс α, если ε! ι ε! {x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}. Если член x таков, что, начиная с x, все значения принадлежат α, мы пишем f ∈ P_conv_α (где "conv" означает "сходящийся"), т. е. мы полагаем f ∈ P_conv_α = ε! {x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}. Когда существует такой x, т. е. когда функция сходится в класс α, мы пишем "f ∈ P_conv_α", т. е. мы полагаем f ∈ P_conv_α = ε! {f ∈ P_conv_α}. "f ∈ P_conv_α" можно читать как "f является P-сходящимся в α". Это означает, что для аргументов, достаточно поздних в P-ряду, значение функции всегда является членом α. Так, например, если P = N_c, и α = ι'0, и если f'n = 1/n, то f ∈ N_c_conv_ι'0.

Далее мы рассматриваем (*231) предельные сечения и предельные осцилляции функций. Для этой цели мы действуем следующим образом. Если f ∈ P_conv_α, то α — это сечение P-ряда такое, что для достаточно поздних аргументов значения функции должны принадлежать α. Следовательно, если мы возьмем все возможные значения α, для которых f ∈ P_conv_α, и возьмем логическое произведение всех результирующих сечений α, мы получим сечение, содержащее все "предельные" значения функции; более того, это очевидно наименьшее сечение, обладающее этим свойством, потому что, если мы возьмем любое сечение β, которое содержит все "предельные" значения, мы имеем f ∈ P_conv_β, и β ∈ α_P, и поэтому рассматриваемое логическое произведение содержится в β. Рассматриваемое логическое произведение есть α_P_lim = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}. Чтобы избежать тривиальных исключений, которые возникают, когда ε! α_P_lim, мы определяем "предельное сечение" как α_P_lim = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}. Это "предельное сечение" мы обозначаем через lim_P_f, где буквы "lim" означают "сечение". Таким образом, мы полагаем lim_P_f = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}.

lim_P_f — это класс тех членов y ряда Q, которые таковы, что, задан любой аргумент, как бы поздно он ни был, существуют аргументы столь же поздние или более поздние, для которых значение функции не меньше y. Подобным образом, lim_P_f_upper, который мы назовем "предельным верхним сечением", состоит из тех членов y ряда Q, которые таковы, что, задан любой аргумент, как бы поздно он ни был, существуют аргументы столь же поздние или более поздние, для которых значение функции не больше y. Таким образом, произведение lim_P_f и lim_P_f_upper есть наименьший отрезок, который содержит все "предельные" значения функции, т. е. это отрезок, состоящий из тех членов y, которые таковы, что, какой бы поздний аргумент мы ни взяли, существуют аргументы столь же поздние или более поздние, для которых значение функции не больше y, а также аргументы, для которых оно не меньше y. Таким образом, произведение lim_P_f и lim_P_f_upper представляет то, что мы можем назвать "предельной осцилляцией" функции. Мы обозначим ее через osc_P_f, полагая osc_P_f = lim_P_f ∩ lim_P_f_upper. Мы можем выразить osc_P_f в форме, не включающей lim_P_f, а именно (*231·12) osc_P_f = Π{x ∈ P ∧ α_P_lim_f_x}.

Эта формула для osc_P_f может быть разъяснена следующими соображениями. Если x — любой член P, то α_P_lim_f_x состоит из всех аргументов от x и далее. Следовательно, f''{x' ∈ P ∧ x P x'} т. е. α_P_lim_f_x, состоит из всех значений функции для аргументов от x и далее. Следовательно, α_P_lim_f_x состоит из всех членов Q-ряда, которые равны или превзойдены значениями функции для аргументов, равных или более поздних, чем x. Теперь, если член y принадлежит классу α_P_lim_f_x для каждого аргумента x, это член такой, что, как бы далеко вверх по аргументному ряду P мы ни продвинулись, мы все равно найдем значения, столь же большие, как y, или больше, чем y. Когда это так, мы можем сказать, что y является P-устойчивым. В этом случае y может рассматриваться как не больший, чем "предельные" значения функции. Теперь класс рассматриваемых аргументов есть P. Следовательно, класс P-устойчивых членов есть Π{x ∈ P ∧ α_P_lim_f_x}, где множитель ι'(Λ_P) может быть добавлен, чтобы приспособить формулу к тривиальному случаю, когда Λ_P ∈ P (единственный случай, в котором множитель ι'(Λ_P) имеет значение). Таким образом, класс P-устойчивых членов есть предельное сечение. Аналогично, P-устойчивые члены — это предельное верхнее сечение. Это члены, которые не меньше "предельных" значений функции. Таким образом, произведение lim_P_f ∩ lim_P_f_upper — это члены, которые не больше всех предельных значений и не меньше; следовательно, это класс предельных значений, который может быть уместно назван "предельной осцилляцией".

Будет видно, что osc_P_f, будучи произведением верхнего и нижнего сечения, само является отрезком: мы можем назвать его (альтернативно) "предельным отрезком". Он состоит из всех членов y Q-ряда таких, что функция, как бы велик мы ни делали аргумент, не становится и не остается меньше y, и не становится и не остается больше y. Если osc_P_f состоит из одного члена, этот член является пределом функции по мере того, как аргумент движется вверх по ряду P. (Это, конечно, в общем случае отличается от предела значений функции, рассматриваемых просто как класс членов Q, т. е. это отличается от lim_Q_f.) Если osc_P_f не состоит из одного члена или ни одного, у нас будет два предела для рассмотрения, а именно нижний предел и верхний предел, которые дают две границы предельных значений функции. Когда класс osc_P_f пуст, функция может рассматриваться как имеющая определенный предел: в этом случае lim_P_f и lim_P_f_upper являются двумя частями "иррационального" дедекиндова сечения, т. е. сечения, в котором первая часть не имеет максимума, а вторая — минимума. Таким образом, Λ_Q ∈ osc_P_f — это условие для определенного предела функции по мере того, как аргумент растет бесконечно.

Вышеприведенное дает обобщение предела функции, когда аргумент может быть любым членом P. Чтобы получить пределы для других классов аргументов, необходимо, как правило, ограничить поле P классом рассматриваемых аргументов, т. е. заменить P на P ↓ α (ср. *232). Однако, чтобы избежать досадных и тривиальных исключений, возникающих, когда Λ_P ∈ P, удобнее заменить P на P ↓ α. Таким образом, сечение Q, определяемое классом аргументов α, есть lim_(P ↓ α)_f. Мы полагаем lim_(P ↓ α)_f = Π{x ∈ α ∧ α_P_lim_f_x}. Это определение полезно, потому что мы очень часто хотим иметь возможность представить предельное сечение, определяемое α, как функцию от α. Сечение lim_(P ↓ α)_f таково, что, если y является любым его членом, и x — любой аргумент, принадлежащий α, в α есть аргумент, равный или более поздний, чем x, для которого функция f имеет значение, равное или более позднее, чем y. Таким образом, lim_(P ↓ α)_f таков, что функция в конечном итоге не становится меньше y по мере того, как аргумент возрастает в классе α. Предел или максимум таких членов, как lim_(P ↓ α)_f, есть предел или максимум предельных значений функции по мере того, как аргумент приближается к вершине α. Класс предельных значений есть osc_(P ↓ α)_f. Если функция имеет определенный предел по мере того, как аргумент возрастает в α, класс предельных значений не должен содержать более одного члена.

Наш следующий номер (*233) имеет дело с пределом функции для данного аргумента. Предел или максимум класса предельных значений не обязательно является значением для предела f'x. Однако будет обнаружено, что при подходящей гипотезе предельное сечение lim_(P ↓ α)_f зависит только от α, и если α не имеет максимума, оно зависит только от α. Таким образом, если α и β оба имеют один и тот же предел, они определяют одно и то же предельное сечение. Следовательно, если x — предел α, предельное сечение f в x есть lim_(P ↓ α)_f. Верхний предел этого есть верхний предел предельных значений по мере того, как аргумент приближается к x снизу. Мы полагаем lim_(P ↓ α)_f = lim_(P ↓ α)_f. У нас есть, таким образом, четыре предела функции по мере того, как аргумент приближается к x, а именно lim_(P ↓ α)_f, lim_(P ↓ α)_f_upper, lim_(P ↓ α)_f_upper, lim_(P ↓ α)_f. Если f — непрерывная функция, эти четыре равны f'x; но в общем случае они отличаются друг от друга и от f'x. Тема непрерывности функций рассматривается в *234. Когда α = P ↓ ε!{x' ∈ P ∧ x' P x}, каждый из них является пределом функции для аргумента x, ибо приближается снизу. Следует заметить, что если f определена для множества аргументов, которые плотны в P, т. е. если D'f ∈ δ'P, то lim_(P ↓ α)_f и lim_(P ↓ α)_f_upper определены для всех аргументов в P.

*230. О СХОДЯЩИХСЯ.

Сводка *230.

В настоящем номере мы должны рассмотреть понятие функции, сходящейся в заданный класс, или, как мы можем выразиться, понятие того, что значение функции "в конечном итоге" принадлежит заданному классу. Если f — рассматриваемая функция, α — заданный класс, а P — ряд, к которому принадлежат аргументы, мы говорим, что "f является P-сходящимся в α", если существует аргумент x такой, что для всех аргументов от x и далее (в P-порядке) значение функции является членом α. То есть f является P-сходящимся в α, если ε!{x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}. Член x, который обладает этим свойством, как говорят, принадлежит классу P_conv_α. Таким образом, f является P-сходящимся в α, если класс P_conv_α не пуст. Следовательно, мы имеем следующую пару определений:

Во всех случаях, которые имеют какое-либо значение, f будет однозначной функцией (т. е. одно-многозначным отношением), P будет рядом, а α будет классом, не имеющим максимума в P. Ибо, если α имеет максимум в P, то классы, в которые f сходится, — это просто те, к которым принадлежит значение для этого максимума. Следующие предложения, хотя и важны только при вышеуказанных обстоятельствах, в общем случае верны при гораздо более широких гипотезах.

Возможно обобщить понятие сходимости еще дальше, чтобы применить его к любому свойству, которое принадлежит f, когда оно ограничено достаточно поздними аргументами. Для этой цели мы должны рассмотреть f ∈ P_conv_α, где f должно быть ограничено членами, более поздними или равными некоторому члену x. Если при этих обстоятельствах f''{x' ∈ P ∧ x P x'} всегда принадлежит классу α, мы можем сказать, что f в конечном итоге становится α. Мы можем полагать f ∈ P_conv_α = ε!{x ∈ P ∧ f''{x' ∈ P ∧ x P x'} ⊆ α}.

Это общее понятие, частным случаем которого является f ∈ P_conv_α; на самом деле, f ∈ P_conv_α придется использовать, когда предельные свойства функции, с которыми мы имеем дело, не являются свойствами ее значений; но когда они являются свойствами ее значений, f ∈ P_conv_α позволяет нам иметь с ними дело легче, чем f ∈ P_conv_α.

В этом номере мы доказываем, среди прочих, следующие предложения:

*230·171.

*230·211.

*230·253.

*230·4.

*230·42.

*230·53.

В силу этого предложения случай, когда α имеет максимум, неинтересен, и чтобы получить интересные интерпретации наших предложений, необходимо предположить, что α не имеет максимума. Аналогично, когда в более поздних номерах мы рассматриваем lim_P_f, мы получим интересные результаты только тогда, когда это не имеет максимума, что требует, чтобы P был компактным рядом, а α был плотным в P. Эти предположения, однако, обычно не требуются для истинности наших предложений.

*230·01.

*230·02.

*230·1.

*230·11.

*230·12.

Док.

*230·13.

Док.

*230·131.

*230·14.

Док.

*230·141.

*230·142.

*230·15.

*230·151.

*230·152.

*230·16.

Док.

*230·161.

*230·17.

Док.

*230·171.

Док.

*230·21.

*230·211.

*230·22.

*230·221.

*230·23.

Док.

*230·231.

*230·24.

*230·25.

Док.

*230·251.

Док.

*230·252.

*230·253.

*230·31.

Док.

*230·311.

Док.

*230·32.

Док.

*230·321.

Док.

*230·4.

Док.

*230·41.

Док.

*230·42.

Док.

*230·421.

*230·51.

Док.

*230·511.

Док.

*230·512.

Док.

*230·513.

Док.

*230·514.

Док.

*230·52.

Док.

*230·53.

Док.

*230·54.

Док.

*231. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОСЦИЛЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ.

Сводка *231.

В настоящем номере мы имеем дело с предельным сечением, определяемым в ряде Q, к которому принадлежат значения функции f, по мере того как аргументы функции возрастают в аргументном ряде P. То есть мы имеем дело с сечением, состоящим из тех членов y ряда Q, которые таковы, что, как бы велик ни становился аргумент f, существуют значения, по крайней мере столь же большие, как y. Такие члены, как y, можно назвать P-устойчивыми; y является P-устойчивым, если функция в конечном итоге не становится и не остается меньше y в Q-ряду. Класс устойчивых членов называется предельным сечением. Предельное сечение lim_P_f может быть определено следующим образом. Если α — любой класс, в который f является P-сходящимся, то сечение α таково, что значения функции в конечном итоге содержатся в нем. Произведение таких членов, как α, есть наименьшее сечение, обладающее этим свойством. Следовательно, если β будет любым членом этого сечения, то в конечном итоге (т. е. для аргументов, достаточно далеко продвинувшихся вдоль ряда P) значения функции f не остаются устойчиво меньше β в Q-ряду. Таким образом, произведение таких членов, как α, есть предельное сечение, и мы можем поэтому полагать lim_P_f = Π{α ∈ α_P ∧ f ∈ P_conv_α}, где буквы "lim" призваны навести на мысль о "сечении". (Множитель ι'(Λ_Q) справа излишен, за исключением случаев, когда Λ_Q ∈ α, т. е. когда α = Q.)

Мы будем называть предельное сечение lim_P_f, т. е. lim_P_f, "предельным верхним сечением". Будет видно, что если y является членом lim_P_f_upper, то функция в конечном итоге не становится и не остается, насколько это касается некоторых ее аргументов, больше y, то есть, как бы велик мы ни делали аргумент, мы все равно находим значения, не большие y. Следовательно, если y принадлежит как lim_P_f, так и lim_P_f_upper, мы находим значения, не меньшие y, и значения, не большие y, как бы велик мы ни делали аргумент. Этот класс, osc_P_f, может поэтому рассматриваться как класс предельных значений функции. Мы будем называть его "предельной осцилляцией" функции, поскольку, по мере того как аргумент приближается к P, значение функции в конечном итоге осциллирует в этом отрезке Q, и никакой меньший отрезок не обладает тем же свойством. Мы будем обозначать этот класс через "osc_P_f", где "osc" призвана навести на мысль об "осцилляции". osc_P_f — это отрезок в Q, потому что он является произведением двух сечений. Следовательно, мы также будем называть его "предельным отрезком". Когда функция имеет определенный предел по мере того, как аргумент приближается к P, предельный отрезок не должен содержать более одного члена.