Еще одно очень важное предложение, при доказательстве которого полезен настоящий номер, — это *121·47, которое доказывает, что если P ∈ 1→Rel или P ∈ Rel→1, и x и y — любые два члена, то P_seq`x ∩ P_seq`y (который мы называем «интервалом» от x до y) всегда является конечным классом. Доказательство того, что прогрессии являются вполне упорядоченными рядами, зависит от предложений этого номера, поскольку оно использует *122·23, которое зависит от *96·52.
Настоящий номер начинается с серии предложений (заканчивающихся *96·16) о P_seq`x и P_seq`x, как в общем случае, так и когда P ∈ 1→Rel. Затем мы переходим к нескольким предложениям (*96·2—·25) о P_seq`x, когда P ∈ 1→Rel; за исключением *96·24, все эти предложения используются в кардинальной теории конечного и бесконечного. Однако они менее важны, чем последующие предложения, которые касаются P_seq`x, когда P ∈ 1→Rel.
Если P — отношение «многие-один», и x является членом P_seq`x, отношение P в общем случае располагает P_seq`x (т. е. потомство x) в фигуре, подобной приведенной здесь. Отношение P выполняется между каждой точкой и следующей, начиная с x и двигаясь по кругу в направлении, указанном стрелкой. Точки от x до y составляют хвост, а точки в круге составляют круг. y — последний член хвоста, т. е. y = P_seq`x; z — член круга, и P`z — член круга, или, что то же самое, P`z = z. y — единственный член, который имеет более одного непосредственного предшественника в P_seq`x; z всегда существует, если ни хвост, ни круг не пусты, и наоборот, если z существует, ни хвост, ни круг не пусты. Доказательство этих предложений длинное; следующие этапы полезны при доказательстве.
Если P`x = x, все потомство x есть сам x (*96·33); если P`x = y и P`y = x, x и y составляют все потомство x (*96·331) и так далее. Преемники членов P_seq`x принадлежат P_seq`x (*96·341), а предшественники членов P_seq`x, если они принадлежат P_seq`x, принадлежат P_seq`x (*96·351). (Следует заметить, что, поскольку P предполагается только «многие-один», а не «один-один», каждый член P_seq`x может иметь любое число предшественников, которые не принадлежат P_seq`x. У нас есть ряд предложений, начинающийся с *96·4, которые имеют дело с гипотезой P ∈ 1→Rel. Мы доказываем (*96·42), что если x ∈ P_seq`x и y ∈ P_seq`x, то P_seq`x = P_seq`y, т. е. y принадлежит P_seq`x. Мы доказываем (*96·431), что хвост полностью предшествует кругу; что P_seq`x и P_seq`y оба «один-один» (*96·45), так что если x ∈ P_seq`x, один из x и y должен принадлежать хвосту, а другой — кругу (*96·441). Отсюда следует (*96·453), что если либо x ∈ хвосту (в этом случае x ∈ P_seq`x), либо x ∈ кругу (в этом случае x ∈ P_seq`x), то P_seq`x является «один-один» отношением. (Это предложение используется дважды в кардинальной теории конечного и бесконечного, а именно в *121·43 и *122·17.) Отсюда мы приходим к предложению (*96·47), что если два разных члена x и y из P_seq`x оба непосредственно предшествуют члену z, то один из x и y (скажем x) является последним членом хвоста, z — его непосредственный преемник, и y — непосредственный предшественник z в круге, т. е. мы имеем P`x = z, P`y = z. Таким образом, x, y, z уникальны, если они существуют. Мы доказываем далее (*96·475), что x, y, z существуют тогда и только тогда, когда ни хвост, ни круг не пусты.
Из вышеприведенных предложений следует, что если P ∈ 1→1, либо хвост, либо круг должны быть пустыми (*96·491), т. е. потомство члена является либо открытым рядом, либо циклом, и не может иметь форму «ρ».
*96·01.
*96·02.
*96·1.
*96·101.
*96·102.
*96·103.
Док.
*96·104.
Док.
*96·11.
Док.
*96·111.
Док.
*96·112.
Док.
*96·121.
*96·122.
*96·13.
*96·131.
*96·14.
*96·141.
Док.
*96·142.
*96·143.
Док.
*96·144.
Док.
*96·15.
Док.
*96·151.
Док.
*96·152.
*96·153.
*96·154.
*96·155.
Док.
*96·156.
Док.
*96·157.
*96·158.
Док.
*96·159.
*96·16.
Док.
*96·2.
Док.
*96·21.
Док.
*96·22.
Док.
*96·23.
Док.
*96·24.
Док.
*96·25.
Док.
Следующие предложения ведут к *96·32, т. е. P_seq`x ∩ P_seq`y = 0, что является предложением, используемым в следующем номере (*97).
*96·3·301·302·303 также часто используются в других местах.
*96·3.
*96·301.
*96·302.
*96·303.
*95·31.
*96·311.
*96·32.
Док.
*96·33.
Док.
*96·331.
Док.
Этот процесс доказательства может быть очевидно распространен на любой конечный цикл членов.
*96·34.
Док.
*96·341.
Док.
*96·342.
*96·35.
*96·351.
Док.
*96·352.
Следующие предложения являются леммами для *96·45·47.
*96·4.
Док.
*96·401.
Док.
*96·402.
Док.
*96·403.
Док.
*96·41.
Док.
*96·42.
Док.
*96·421.
Док.
*96·431.
Док.
*96·432.
Док.
*96·44.
*96·441.
Док.
*96·442.
Следующее предложение (*96·45) важно.
*96·45.
*96·451.
*96·452.
Док.
*96·453.
Док.
*96·46.
Док.
*96·461.
Док.
*96·462.
Док.
Вышеприведенное предложение, поскольку оно представляет x, y, z как функции P и x, показывает, что существует не более одного z в P_seq`x, имеющего более одного непосредственного предшественника, и что этот z имеет ровно один непосредственный предшественник в хвосте и один в круге. (Эти результаты требуют *96·441 в дополнение к *96·462.) Таким образом, мы приходим к следующему предложению:
*96·47.
Нам еще предстоит доказать P_seq`x ∩ P_seq`y = 0 или, что то же самое из-за *96·441, P_seq`x ∩ P_seq`y = 0. Это осуществляется в следующих предложениях.
*96·472.
Док.
*96·473.
*96·474.
Док.
*96·475.
Это предложение и *96·45·47 воплощают основные результаты этого номера.
*96·48.
Док.
В вышеприведенном предложении мы пишем «P_seq`x» вместо «P_seq`x», потому что последнее подразумевает существование P_seq`x.
*96·49.
Док.
*96·491.
Док.
*96·492.
Док.
Вышеприведенное предложение используется в *122·52.
Следующие предложения, не будучи нужными в дальнейшем, просто сформулированы:
*96·5.
Док.
*96·501.
*96·502.
Док.
*96·51.
Док.
*96·52.
Док.
Предложение используется в *122·23.
*97. АНАЛИЗ ПОЛЯ ОТНОШЕНИЯ НА СЕМЕЙСТВА.
Резюме *97.
В этом номере мы рассматриваем не только потомство члена, но и предков и потомство вместе, т. е. (P ∪ P_conv)_seq`x. Мы полагаем...
Таким образом, все семейство члена, т. е. его предки и потомство вместе, есть (P ∪ P_conv)_seq`x. Наиболее важный случай здесь — когда P ∈ 1→1; в этом случае семейства взаимно исключительны, т. е. мы имеем...
В случае, когда P ∈ 1→1 и x принадлежит семейству, которое имеет начало, т. е. в случае, когда x ∈ D`P, все семейство x состоит из потомства начала, т. е. мы имеем...
*97·21.
Когда P ∈ 1→1, отношение x к y может быть представлено как отношение строк к столбцам. Например, пусть поле P состоит из точек в прилагаемом прямоугольнике, и пусть каждая точка имеет отношение P к точке под ней. Тогда верхняя строка — это D`P, вторая строка — это P`D`P, третья — P^2`D`P и так далее; таким образом, строки — это поколения P. Опять же, если x — любая точка в верхней строке, столбец, начинающийся с x, есть P_seq`x, и если y — любой член этого столбца, столбец есть P_seq`y. Таким образом, столбцы — это семейства P. Будет видно, что в случае, представленном вышеприведенным рисунком, каждое семейство состоит из выборки из поколений, и каждое поколение состоит из выборки из семейств, т. е....
Обстоятельства, при которых это происходит, будут рассмотрены в настоящем номере (*97·3—·47). Результаты суммируются в *97·47.
Остальные предложения (*97·5—·58) касаются циклических семейств «один-один» отношений. Если P ∈ 1→1, семейство является циклическим, если P_seq`x содержит цикл. В этом случае мы имеем P_seq`x = P_seq`y; более того, существует определенная степень P, скажем P^n, такая, что каждый член семейства x имеет отношение P^n к самому себе (*97·54). (То же самое, конечно, будет справедливо для всех степеней P.) Семейства P ∈ 1→1 все либо циклические, либо открытые, т. е. мы имеем (*97·55) либо P_seq`x ∈ Open, либо P_seq`x ∈ Cyclic. Семейства формы «ρ», рассмотренные в *96, невозможны для P ∈ 1→1, так как в таких семействах член в соединении хвоста и круга имеет два предшественника. Семейство любого члена P_seq`x должно быть открытым (*97·57). Семейство члена P_seq`x не обязательно должно быть замкнутым, но не может иметь начала; если оно открыто, оно образует ряд типа η или ω или ω^* или ζ, в зависимости от того, имеет ли оно или не имеет конца [68]. Конечные открытые семейства содержатся в Fin; семейства типа ζ содержатся в Rel; те, что типа ω, в Rel; те, что типа ω^* и циклические семейства, содержатся в Rel. Те, что типа ζ, отличаются от циклических семейств тем фактом, что в первых мы не имеем P^n`x = x, в то время как в последних мы имеем это.
В дополнение к уже упомянутым предложениям, наиболее полезными предложениями настоящего номера являются следующие:
*97·13.
*97·17.
*97·5.
*97·501.
*97·01.
Заметьте, что «P_seq`x» означает, что x должен быть включен, если он является членом D`P ∪ D`P_conv, но не иначе; ибо если x ∈ D`P ∪ D`P_conv, P_seq`x = P_seq`x, и иначе P_seq`x = 0.
*97·1.
Док.
*97·101.
Док.
*97·11.
Док.
*97·111.
Док.
*97·12.
Док.
*97·13.
Примечание. P^n должно означать (P^n), а не (P^n). Последнее бессмысленно, так как P никогда не является однородным отношением, и поэтому его квадрат и более высокие степени бессмысленны.
Док.
*97·14.
*97·15.
Док.
*97·16.
Док.
*97·17.
Док.
*97·18.
Док.
*97·2.
Док.
*97·21.
Док.
*97·22.
*97·23.
Док.
*97·231.
Док.
*97·24.
Док.
*97·241.
Док.
*97·242.
Остальные предложения этого номера (кроме *97·5 и след.) касаются доказательства того, что при определенных гипотезах...
Эти предложения имеют достоинство доказательства существования выборок в случаях, к которым они применяются.
*97·3.
Док.
*97·301.
Док.
*97·31.
Док.
*97·32.
*97·33.
Док.
*97·34.
Док.
*97·341.
*97·35.
Док.
*97·36.
*97·37.
Док.
*97·38.
Док.
*97·4.
Док.
*97·401.
Док.
*97·402.
Док.
*97·403.
Док.
*97·41.
*97·42.
Док.
*97·43.
Док.
*97·44.
Док.
*97·45.
Док.
*97·46.
Док.
*97·47.
Док.
*97·5.
Док.
*97·501.
*97·51.
*97·52.
*97·53.
*97·54.
*97·55.
Док.
*97·56.
*97·57.
*97·58.
Док.
Из этого предложения следует, что каждое семейство либо полностью содержится в поколениях P, либо полностью содержится в P_seq`x, что можно назвать остатком поля P.
СНОСКИ:
[68] Здесь тип «ζ» — это тип обратных отношений типа ζ, т. е. тип отрицательных целых чисел в порядке величины, заканчивающихся на 0, ω — тип положительных целых чисел в порядке величины, и поэтому ζ — тип отрицательных и положительных целых чисел в порядке величины.
КЕМБРИДЖ: ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ, МАГИСТРОМ ИСКУССТВ, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ
ПРИМЕЧАНИЯ ТРАНСКРИПТОРА
Все пункты в списке опечаток из всех трех томов были добавлены и исправлены соответствующим образом.
Авторское обозначение «*2·37·38» является сокращением для *2·37 и *2·38. По этой причине эти номера не рассматривались в перекрестных ссылках.
Лемма *84.44, цитируемая на странице 326, не была описана авторами в соответствующем разделе.