«Principia Mathematica, том 1»

PRINCIPIA MATHEMATICA

ИЗДАТЕЛЬСТВО КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Лондон: ФЕТТЕР-ЛЕЙН, E.C. К. Ф. КЛЕЙ, УПРАВЛЯЮЩИЙ

Эдинбург: 100, ПРИНСЕС-СТРИТ Берлин: А. АШЕР И КО. Лейпциг: Ф. А. БРОКГАУЗ Нью-Йорк: ДЖ. П. ПУТНАМС СОНЗ Бомбей и Калькутта: МАКМИЛЛАН И КО., ЛТД.

Все права защищены

PRINCIPIA MATHEMATICA

АВТОРЫ:

АЛЬФРЕД НОРТ УАЙТХЕД, доктор естественных наук, член Королевского общества

Член и бывший лектор Тринити-колледжа, Кембридж

И

БЕРТРАН РАССЕЛ, магистр искусств, член Королевского общества

Лектор и бывший член Тринити-колледжа, Кембридж

ТОМ I

Кембридж в университетском издательстве 1910

Кембридж: ОТПЕЧАТАНО ДЖОНОМ КЛЕЕМ, магистром искусств, В УНИВЕРСИТЕТСКОМ ИЗДАТЕЛЬСТВЕ

СОДЕРЖАНИЕ ТОМА I

PAGE

PREFACE v

INTRODUCTION 1

CHAPTER I. PRELIMINARY EXPLANATIONS OF IDEAS AND NOTATIONS 4

CHAPTER II. THE THEORY OF LOGICAL TYPES 39

CHAPTER III. INCOMPLETE SYMBOLS 69

PART I. MATHEMATICAL LOGIC.

Summary of Part I 91

SECTION A. THE THEORY OF DEDUCTION 94

*1. Primitive Ideas and Propositions 95

*2. Immediate Consequences of the Primitive Propositions 102

*3. The Logical Product of two Propositions 114

*4. Equivalence and Formal Rules 120

*5. Miscellaneous Propositions 128

SECTION B. THEORY OF APPARENT VARIABLES 132

*9. Extension of the Theory of Deduction from Lower to Higher

Types of Propositions 132

*10. Theory of Propositions containing one Apparent Variable 143

*11. Theory of two Apparent Variables 157

*12. The Hierarchy of Types and the Axiom of Reducibility 168

*13. Identity 176

*14. Descriptions 181

SECTION C. CLASSES AND RELATIONS 196

*20. General Theory of Classes 196

*21. General Theory of Relations 211

*22. Calculus of Classes 217

*23. Calculus of Relations 226

*24. The Universal Class, the Null-Class, and the Existence of Classes 229

*25. The Universal Relation, the Null Relation, and the Existence of

Relations 241

SECTION D. LOGIC OF RELATIONS 244

*30. Descriptive Functions 245

*31. Converses of Relations 251

*32. Referents and Relata of a given Term with respect to a given

Relation 255

*33. Domains, Converse Domains, and Fields of Relations 260

*34. The Relative Product of two Relations 269

*35. Relations with Limited Domains and Converse Domains 278

*36. Relations with Limited Fields 291

*37. Plural Descriptive Functions 293

*38. Relations and Classes derived from a Double Descriptive Function 311

Note to Section D 314

SECTION E. PRODUCTS AND SUMS OF CLASSES 317

*40. Products and Sums of Classes of Classes 319

*41. The Product and Sum of a Class of Relations 331

*42. Miscellaneous Propositions 336

*43. The Relations of a Relative Product to its Factors 340

PART II. PROLEGOMENA TO CARDINAL ARITHMETIC.

Summary of Part II 345

SECTION A. UNIT CLASSES AND COUPLES 347

*50. Identity and Diversity as Relations 349

*51. Unit Classes 356

*52. The Cardinal Number 1 363

*53. Miscellaneous Propositions involving Unit Classes 368

*54. Cardinal Couples 376

*55. Ordinal Couples 383

*56. The Ordinal Number 395

SECTION B. SUB-CLASSES, SUB-RELATIONS, AND RELATIVE TYPES 404

*60. The Sub-Classes of a given Class 406

*61. The Sub-Relations of a given Relation 412

*62. The Relation of Membership of a Class 414

*63. Relative Types of Classes 419

*64. Relative Types of Relations 429

*65. On the Typical Definition of Ambiguous Symbols 434

SECTION C. ONE-MANY, MANY-ONE, AND ONE-ONE RELATIONS 437

*70. Relations whose Classes of Referents and of Relata belong to given

Classes 439

*71. One-Many, Many-One, and One-One Relations 446

*72. Miscellaneous Propositions concerning One-Many, Many-One, and

One-One Relations 462

*73. Similarity of Classes 476

*74. On One-Many and Many-One Relations with Limited Fields 490

SECTION D. SELECTIONS 500

*80. Elementary Properties of Selections 505

*81. Selections from Many-One Relations 519

*82. Selections from Relative Products 524

*83. Selections from Classes of Classes 531

*84. Classes of Mutually Exclusive Classes 540

*85. Miscellaneous Propositions 549

*88. Conditions for the Existence of Selections 561

SECTION E. INDUCTIVE RELATIONS 569

*90. On the Ancestral Relation 576

*91. On Powers of a Relation 585

*92. Powers of One-Many and Many-One Relations 601

*93. Inductive Analysis of the Field of a Relation 607

*94. On Powers of Relative Products 617

*95. On the Equi-factor Relation 626

*96. On the Posterity of a Term 637

*97. Analysis of the Field of a Relation into Families 654

АЛФАВИТНЫЙ СПИСОК ПРЕДЛОЖЕНИЙ, НА КОТОРЫЕ ДАЮТСЯ ССЫЛКИ ПО НАЗВАНИЯМ.

Name Number

Abs *2·01.

Add *1·3.

Ass *3·35.

Assoc *1·5.

Comm *2·04.

Comp *3·43.

Exp *3·3.

Fact *3·45.

Id *2·08.

Imp *3·31.

Perm *1·4.

Simp *2·02.

" *3·26.

" *3·27.

Sum *1·6.

Syll *2·05.

" *2·06.

" *3·33.

" *3·34.

Taut *1·2.

Transp *2·03.

" *2·15.

" *2·16.

" *2·17.

" *3·37.

" *4·1.

" *4·11.

ОПЕЧАТКИ.

стр. 14, строка 2, вместо "states" читать "allows us to infer." стр. 14, строка 7, после "*3·03" вставить "*1·7, *1·71, and *1·72." стр. 15, предпоследняя строка, вместо "function of" читать "function." стр. 34, строка 15, вместо "" читать "." стр. 68, строка 20, вместо "classes" читать "classes of classes." стр. 86, строка 2, после "must" вставить "neither be nor." стр. 91, строка 8, удалить "and in *3·03." стр. 103, строка 7, вместо "assumption" читать "assertion." стр. 103, строка 25, в конце строки, вместо "" читать "." стр. 218, предпоследняя строка, вместо "" читать "" [из-за хрупкости шрифта та же ошибка может встретиться в других местах]. стр. 382, предпоследняя строка, удалить "in the theory of selections (*83·92) and." стр. 487, строка 13, вместо "*95" читать "*94." стр. 503, строка 14, вместо "*88·38" читать "*88·36."

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическое рассмотрение принципов математики, являющееся предметом настоящего труда, возникло из соединения двух различных исследований, каждое из которых в основном весьма современно. С одной стороны, мы имеем работу аналитиков и геометров по формулированию и систематизации своих аксиом, а также работу Кантора и других над такими вопросами, как теория совокупностей. С другой стороны, мы имеем символическую логику, которая после необходимого периода роста теперь, благодаря Пеано и его последователям, приобрела техническую гибкость и логическую полноту, необходимые для математического инструментария, имеющего дело с тем, что до сих пор считалось началами математики. Из сочетания этих двух исследований вытекают два результата, а именно: (1) то, что ранее принималось, молчаливо или явно, в качестве аксиом, является либо излишним, либо доказуемым; (2) те же методы, которыми доказываются предполагаемые аксиомы, дадут ценные результаты в областях, таких как бесконечное число, которые ранее считались недоступными для человеческого познания. Таким образом, область математики расширяется как за счет добавления новых предметов, так и за счет распространения назад, в области, до сих пор оставленные философии.

Настоящий труд первоначально задумывался нами как второй том «Принципов математики». С этой целью работа над ним была начата в 1900 году. Но по мере нашего продвижения становилось все более очевидным, что предмет этот гораздо обширнее, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые в предыдущей работе были оставлены неясными и сомнительными, мы теперь пришли к тому, что считаем удовлетворительными решениями. Поэтому возникла необходимость сделать нашу книгу независимой от «Принципов математики». Однако мы избегали как полемики, так и общей философии, сделав наши утверждения догматичными по форме. Оправдание этого состоит в том, что главная причина в пользу любой теории принципов математики всегда должна быть индуктивной, т.е. она должна заключаться в том факте, что рассматриваемая теория позволяет нам дедуцировать обычную математику. В математике наибольшая степень самоочевидности обычно обнаруживается не в самом начале, а в какой-то более поздней точке; следовательно, ранние дедукции, пока они не достигают этой точки, дают основания скорее верить в посылки, потому что из них следуют истинные выводы, чем верить в выводы, потому что они следуют из посылок.

При построении дедуктивной системы, подобной той, что содержится в настоящем труде, необходимо одновременно выполнять две противоположные задачи. С одной стороны, мы должны проанализировать существующую математику с целью обнаружения того, какие посылки используются, являются ли эти посылки взаимно непротиворечивыми и способны ли они к сведению к более фундаментальным посылкам. С другой стороны, когда мы определились с нашими посылками, мы должны заново выстроить столько данных, сколько представляется необходимым из ранее проанализированных, а также столько других следствий наших посылок, сколько представляет достаточный общий интерес, чтобы заслужить изложения. Предварительная работа по анализу не появляется в окончательном представлении, которое лишь излагает результат анализа в определенных неопределяемых идеях и недоказываемых предложениях. Не утверждается, что анализ нельзя было довести дальше: у нас нет оснований полагать, что невозможно найти более простые идеи и аксиомы, с помощью которых те, с которых мы начинаем, могли бы быть определены и доказаны. Утверждается лишь то, что идеи и аксиомы, с которых мы начинаем, достаточны, а не то, что они необходимы.

При проведении дедукций из наших посылок мы сочли необходимым довести их до точки, в которой мы доказали столько, сколько является истинным во всем, что обычно принимается как должное. Но мы не сочли желательным ограничивать себя слишком строго этой задачей. Обычно принято рассматривать только частные случаи, даже когда с нашим аппаратом столь же легко иметь дело с общим случаем. Например, кардинальная арифметика обычно мыслится в связи с конечными числами, но ее общие законы в равной степени справедливы для бесконечных чисел и легче всего доказываются без какого-либо упоминания различия между конечным и бесконечным. Опять же, многие свойства, обычно ассоциируемые с рядами, справедливы для расположений, которые не являются строго сериальными, но обладают лишь некоторыми из отличительных свойств сериальных расположений. В таких случаях дефектом логического стиля является доказательство для частного класса расположений того, что могло бы быть столь же легко доказано более общим образом. Аналогичный процесс обобщения в той или иной степени вовлечен во всю нашу работу. Мы всегда искали наиболее общую, разумно простую гипотезу, из которой можно было бы получить любой данный вывод. По этой причине, особенно в поздних частях книги, важность предложения обычно заключается в его гипотезе. Вывод часто будет чем-то таким, что в определенном классе случаев является знакомым, но гипотеза будет, когда это возможно, достаточно широкой, чтобы допустить многие случаи, помимо тех, в которых вывод является знакомым.

Мы сочли необходимым привести очень полные доказательства, поскольку в противном случае едва ли возможно увидеть, какие гипотезы действительно требуются или следуют ли наши результаты из наших явных посылок. (Следует помнить, что мы утверждаем не только то, что такие-то предложения истинны, но и то, что сформулированные нами аксиомы достаточны для их доказательства.) В то же время, хотя полные доказательства необходимы для избежания ошибок и для убеждения тех, кто может чувствовать сомнения в нашей правоте, доказательства предложений обычно могут быть опущены читателем, который не особенно заинтересован в той части предмета, о которой идет речь, и который не испытывает сомнений в нашей существенной точности по данному вопросу. Читатель, который особенно заинтересован в какой-то конкретной части книги, вероятно, сочтет достаточным, что касается более ранних частей, прочитать резюме предыдущих частей, разделов и номеров, поскольку они дают объяснения вовлеченных идей и формулировки основных доказанных предложений. Однако доказательства в Части I, Разделе А необходимы, поскольку в ходе них объясняется способ изложения доказательств. Доказательства самых ранних предложений приводятся без пропуска какого-либо шага, но по мере продвижения работы доказательства постепенно сжимаются, сохраняя, однако, достаточно деталей, чтобы позволить читателю с помощью ссылок реконструировать доказательства, в которых не пропущен ни один шаг.

Принятый порядок в некоторой степени произволен. Например, мы рассмотрели кардинальную арифметику и арифметику отношений до рядов, но мы могли бы рассмотреть ряды первыми. Однако в значительной степени порядок определяется логическими необходимостями.

Очень большая часть труда, затраченного на написание настоящей работы, была израсходована на противоречия и парадоксы, которые поразили логику и теорию совокупностей. Мы исследовали огромное количество гипотез для борьбы с этими противоречиями; многие такие гипотезы были выдвинуты другими, и примерно столько же было изобретено нами самими. Иногда нам стоило нескольких месяцев работы убедить себя в том, что гипотеза несостоятельна. В ходе столь длительного изучения мы, как и следовало ожидать, время от времени модифицировали свои взгляды; но постепенно нам стало очевидно, что некоторая форма доктрины типов должна быть принята, если нужно избежать противоречий. Конкретная форма доктрины типов, отстаиваемая в настоящей работе, логически не является обязательной, и существуют различные другие формы, столь же совместимые с истинностью наших дедукций. Мы конкретизировали это как потому, что форма доктрины, которую мы отстаиваем, представляется нам наиболее вероятной, так и потому, что необходимо было дать по крайней мере одну совершенно определенную теорию, которая избегает противоречий. Но едва ли что-либо в нашей книге изменилось бы при принятии другой формы доктрины типов. Фактически, мы можем пойти дальше и сказать, что, предполагая существование какого-то другого способа избежания противоречий, не так уж много в нашей книге, за исключением того, что прямо касается типов, зависит от принятия доктрины типов в какой-либо форме, как только было показано (как мы утверждаем, что показали), что возможно построить математическую логику, которая не ведет к противоречиям. Следует заметить, что весь эффект доктрины типов является отрицательным: она запрещает некоторые выводы, которые в противном случае были бы правильными, но не разрешает никаких, которые в противном случае были бы неправильными. Следовательно, мы можем разумно ожидать, что выводы, которые разрешает доктрина типов, останутся правильными, даже если доктрина окажется неверной.

Наша логическая система полностью содержится в пронумерованных предложениях, которые не зависят от Введения и Резюме. Введение и Резюме являются полностью пояснительными и не составляют части цепи дедукций. Объяснение иерархии типов во Введении немного отличается от того, которое дано в *12 основной части работы. Более позднее объяснение является более строгим и именно оно предполагается на протяжении всей остальной книги.

Символическая форма работы была навязана нам необходимостью: без ее помощи мы были бы неспособны выполнить требуемые рассуждения. Она была разработана в результате реальной практики и не является наростом, введенным исключительно для целей изложения. Общий метод, который направляет наше обращение с логическими символами, принадлежит Пеано. Его великая заслуга состоит не столько в его определенных логических открытиях или в деталях его обозначений (хотя и то и другое превосходно), сколько в том факте, что он первым показал, как символическая логика должна быть освобождена от чрезмерной одержимости формами обычной алгебры, и тем самым сделал ее подходящим инструментом для исследования. Руководствуясь изучением его методов, мы использовали большую свободу в построении или реконструкции символики, которая была бы адекватна для работы со всеми частями предмета. Ни один символ не был введен иначе, как на основании его практической полезности для непосредственных целей наших рассуждений.

В примечаниях и пояснениях можно найти некоторое количество прямых ссылок. Хотя мы приняли все разумные меры предосторожности для обеспечения точности этих прямых ссылок, мы, конечно, не можем гарантировать их точность с той же уверенностью, какая возможна в случае обратных ссылок.

Подробные выражения признательности предыдущим авторам не всегда были возможны, так как нам приходилось трансформировать все, что мы заимствовали, чтобы адаптировать это к нашей системе и нашей нотации. Наши главные обязательства будут очевидны каждому читателю, знакомому с литературой по данному предмету. В вопросе нотации мы, насколько это было возможно, следовали Пеано, дополняя его нотацию, когда это было необходимо, нотацией Фреге или Шрёдера. Однако большая часть символики должна была быть новой, не столько из-за неудовлетворенности символикой других, сколько из-за того, что мы имеем дело с идеями, которые ранее не были символизированы. Во всех вопросах логического анализа наш главный долг — Фреге. Там, где мы расходимся с ним, это во многом потому, что противоречия показали, что он, как и все другие логики, древние и современные, допустил проникновение некоторой ошибки в свои посылки; но помимо противоречий, было бы почти невозможно обнаружить эту ошибку. В арифметике и теории рядов вся наша работа основана на работе Георга Кантора. В геометрии мы постоянно имели перед глазами труды фон Штаудта, Паша, Пеано, Пьери и Веблена.

Мы получали помощь на различных этапах от критических замечаний друзей, в частности г-на Г. Г. Берри из Бодлианской библиотеки и г-на Р. Г. Хоутри.

Мы должны поблагодарить Совет Королевского общества за грант в размере 200 фунтов стерлингов на расходы по печати из Фонда правительственных публикаций, а также синдиков Университетского издательства, которые щедро взяли на себя большую часть расходов, понесенных при производстве работы. Техническое совершенство во всех отделах Университетского издательства, а также рвение и любезность его сотрудников существенно облегчили задачу корректуры.

Второй том уже находится в печати, и как он, так и третий появятся, как только печать будет завершена.

А. Н. У. Б. Р.

КЕМБРИДЖ, ноябрь 1910 г.

ВВЕДЕНИЕ.

Математическая логика, которая занимает Часть I настоящей работы, была построена под руководством трех различных целей. Во-первых, она стремится к осуществлению максимально возможного анализа идей, с которыми она имеет дело, и процессов, посредством которых она проводит доказательства, а также к уменьшению до предела числа неопределяемых идей и недоказываемых предложений (называемых соответственно примитивными идеями и примитивными предложениями), с которых она начинает. Во-вторых, она составлена с прицелом на совершенно точное выражение в своих символах математических предложений: обеспечение такого выражения и обеспечение его в простейшей и наиболее удобной нотации — главный мотив в выборе тем. В-третьих, система специально разработана для решения парадоксов, которые в последние годы беспокоили исследователей символической логики и теории совокупностей; считается, что теория типов, как она изложена в дальнейшем, ведет как к избежанию противоречий, так и к обнаружению точной ошибки, которая породила их.

Из трех вышеуказанных целей первая и третья часто принуждают нас принимать методы, определения и нотации, которые являются более сложными или более трудными, чем они были бы, если бы мы имели в виду только вторую цель. Это особенно относится к теории дескриптивных выражений (*14 и *30) и к теории классов и отношений (*20 и *21). По этим двум пунктам, и в меньшей степени по другим, было найдено необходимым принести некоторую жертву ясности ради корректности. Однако эта жертва в основном лишь временная: в каждом случае нотация, принятая в конечном итоге, хотя ее реальное значение очень сложно, имеет внешне простое значение, которое, за исключением некоторых критических точек, может без опасности быть подставлено в мышлении вместо реального значения. Поэтому удобно в предварительном объяснении нотации рассматривать эти внешне простые значения как примитивные идеи, т.е. как идеи, введенные без определения. Когда нотация стала более или менее знакомой, легче следовать более сложным объяснениям, которые, как мы полагаем, являются более корректными. В основной части работы, где необходимо строго придерживаться строгого логического порядка, более легкий порядок развития не мог быть принят; поэтому он дан во Введении. Объяснения, данные в Главе I Введения, таковы, что ставят ясность выше корректности; полные объяснения частично представлены в последующих главах Введения, частично даны в основной части работы.

Использование символики, отличной от слов, во всех частях книги, которые направлены на воплощение строго точного доказательного рассуждения, было навязано нам последовательным преследованием трех вышеуказанных целей. Причин для этого расширения символики за пределы знакомых областей числа и родственных идей много:

(1) Идеи, используемые здесь, более абстрактны, чем те, что привычно рассматриваются в языке. Соответственно, нет слов, которые использовались бы главным образом в точных последовательных смыслах, требуемых здесь. Любое использование слов потребовало бы неестественных ограничений их обычных значений, которые на самом деле было бы труднее запомнить последовательно, чем определения совершенно новых символов.

(2) Грамматическая структура языка адаптирована к широкому разнообразию употреблений. Таким образом, она не обладает уникальной простотой в представлении немногих простых, хотя и высокоабстрактных процессов и идей, возникающих в дедуктивных цепочках рассуждений, используемых здесь. Фактически, сама абстрактная простота идей этой работы побеждает язык. Язык может легче представлять сложные идеи. Предложение «кит большой» представляет язык в его лучшем виде, давая краткое выражение сложному факту; в то время как истинный анализ «единица есть число» ведет в языке к невыносимому многословию. Соответственно, краткость достигается использованием символики, специально разработанной для представления идей и процессов дедукции, которые встречаются в этой работе.

(3) Адаптация правил символики к процессам дедукции помогает интуиции в областях, слишком абстрактных для того, чтобы воображение могло легко представить уму истинное отношение между используемыми идеями. Ибо различные сочетания символов становятся знакомыми как представляющие важные сочетания идей; и, в свою очередь, возможные отношения — согласно правилам символики — между этими сочетаниями символов становятся знакомыми, и эти дальнейшие сочетания представляют еще более сложные отношения между абстрактными идеями. И таким образом ум в конечном итоге приводится к построению цепочек рассуждений в областях мысли, в которых воображение было бы совершенно неспособно поддерживать себя без символической помощи. Обычный язык не дает такой помощи. Его грамматическая структура не представляет однозначно отношения между вовлеченными идеями. Таким образом, «кит большой» и «единица есть число» выглядят одинаково, так что глаз не дает никакой помощи воображению.

(4) Краткость символики позволяет представить целое предложение зрению как одно целое или, по крайней мере, в двух или трех частях, разделенных там, где возникают естественные разрывы, представленные в символике. Это скромное свойство, но на самом деле оно очень важно в связи с преимуществами, перечисленными под заголовком (3).

(5) Достижение первой из упомянутых целей этой работы, а именно полного перечисления всех идей и шагов в рассуждениях, используемых в математике, требует как краткости, так и представления каждого предложения с максимумом формальности в форме, максимально характерной для него самого.

Дополнительный свет на методы и символику этой книги проливается небольшим рассмотрением пределов их полезного применения:

( Большинство математических исследований касается не анализа полного процесса рассуждения, а представления такого абстракта доказательства, который достаточен для убеждения должным образом проинструктированного ума. Для таких исследований детальное представление шагов в рассуждении, конечно, излишне, при условии, что детализация доведена достаточно далеко, чтобы предохранить от ошибки. В этой связи можно вспомнить, что исследования Вейерштрасса и других представителей той же школы показали, что даже в обычных темах математической мысли требуется гораздо больше деталей, чем предполагали предыдущие поколения математиков.

( По мере того как воображение легко работает в любой области мысли, символика (за исключением целей анализа) становится необходимой лишь как удобная стенография для регистрации результатов, полученных без ее помощи. Вспомогательная цель этой работы — показать, что с помощью символики дедуктивное рассуждение может быть распространено на области мысли, которые обычно не считаются поддающимися математическому рассмотрению. И пока идеи таких отраслей знания не стали более знакомыми, детальный тип рассуждения, который также требуется для анализа шагов, является подходящим для исследования общих истин, касающихся этих предметов.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОБЪЯСНЕНИЯ ИДЕЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Нотация, принятая в настоящей работе, основана на нотации Пеано, и следующие объяснения в некоторой степени смоделированы на тех, которые он предпосылает своему «Formulario Mathematico». Его использование точек в качестве скобок принято, как и многие его символы.

Переменные. Идея переменной, как она встречается в настоящей работе, более общая, чем та, что явно используется в обычной математике. В обычной математике переменная обычно означает неопределенное число или величину. В математической логике любой символ, значение которого не является определенным, называется переменной, а различные определения, которым может быть подвержено его значение, называются значениями переменной. Значениями могут быть любой набор сущностей, предложений, функций, классов или отношений, в зависимости от обстоятельств. Если делается утверждение о «г-не А и г-не Б», «г-н А» и «г-н Б» — это переменные, значения которых ограничены людьми. Переменная может либо иметь условно назначенный диапазон значений, либо (в отсутствие какого-либо указания диапазона значений) иметь в качестве диапазона своих значений все определения, которые делают утверждение, в котором она встречается, значимым. Таким образом, когда учебник логики утверждает, что « есть », без какого-либо указания на то, чем может быть , что имеется в виду, так это то, что любое утверждение формы « есть » является истинным. Мы можем называть переменную ограниченной, когда ее значения ограничены лишь некоторыми из тех, на которые она способна; в противном случае мы будем называть ее неограниченной. Таким образом, когда встречается неограниченная переменная, она представляет любой объект такой, что рассматриваемое утверждение может быть сделано значимо (т.е. либо истинно, либо ложно) относительно этого объекта. Для целей логики неограниченная переменная удобнее, чем ограниченная переменная, и мы всегда будем использовать ее. Мы обнаружим, что неограниченная переменная все еще подвержена ограничениям, налагаемым способом ее вхождения, т.е. вещи, которые могут быть сказаны значимо относительно предложения, не могут быть сказаны значимо относительно класса или отношения, и так далее. Но ограничения, которым подвержена неограниченная переменная, не нуждаются в явном указании, поскольку они являются пределами значимости утверждения, в котором встречается переменная, и поэтому внутренне определяются этим утверждением. Это будет более полно объяснено позже [1]. Подводя итог, три выдающихся факта, связанных с использованием переменной, таковы: (1) что переменная двусмысленна в своем обозначении и, соответственно, неопределенна: (2) что переменная сохраняет узнаваемую идентичность в различных вхождениях на протяжении одного и того же контекста, так что многие переменные могут встречаться вместе в одном и том же контексте, каждая со своей отдельной идентичностью: и (3) что либо диапазон возможных определений двух переменных может быть одним и тем же, так что возможное определение одной переменной является также возможным определением другой, либо диапазоны двух переменных могут быть разными, так что, если возможное определение одной переменной дается другой, результирующая полная фраза становится бессмысленной вместо того, чтобы стать полным однозначным предложением (истинным или ложным), как это было бы в случае, если бы всем переменным в ней были даны любые подходящие определения.

Использование различных букв. Переменные будут обозначаться отдельными буквами, как и некоторые константы; но буква, которая однажды была назначена константе определением, не должна впоследствии использоваться для обозначения переменной. Малые буквы обычного алфавита будут использоваться для переменных, за исключением и после *40, где этим двум буквам присвоены постоянные значения. Следующие заглавные буквы получат постоянные значения: , , , , , и . Среди малых греческих букв мы дадим постоянные значения , и (на более позднем этапе) , и . Некоторые греческие заглавные буквы будут время от времени вводиться для констант, но греческие заглавные буквы не будут использоваться для переменных. Из оставшихся букв , , будут называться пропозициональными буквами и будут обозначать переменные предложения (за исключением того, что, начиная с *40, не должно использоваться для переменной); , , , , , и (до *33) будут называться функциональными буквами и будут использоваться для переменных функций.

Малые греческие буквы, не упомянутые ранее, будут использоваться для переменных, значениями которых являются классы, и будут называться просто греческими буквами. Обычные заглавные буквы, не упомянутые ранее, будут использоваться для переменных, значениями которых являются отношения, и будут называться просто заглавными буквами. Обычные малые буквы, отличные от , , , , , будут использоваться для переменных, значения которых не известны как функции, классы или отношения; эти буквы будут называться просто малыми латинскими буквами.

После ранней части работы переменные предложения и переменные функции почти никогда не будут встречаться. У нас тогда будет три основных вида переменных: переменные классы, обозначаемые малыми греческими буквами; переменные отношения, обозначаемые заглавными буквами; и переменные, не заданные как обязательно классы или отношения, которые будут обозначаться малыми латинскими буквами.

В дополнение к этому использованию малых греческих букв для переменных классов, заглавных букв для переменных отношений, малых латинских букв для переменных типа, полностью не определенного контекстом (они возникают из возможности «систематической двусмысленности», объясненной позже в объяснениях теории типов), читателю нужно лишь помнить, что все буквы представляют переменные, если только они не были определены как константы в каком-то предыдущем месте книги. В общем, структура контекста определяет область действия переменных, содержащихся в нем; но специальное указание природы используемых переменных, как здесь предложено, экономит значительный труд мысли.

Фундаментальные функции предложений. Агрегация предложений, рассматриваемых как целые, не обязательно однозначно определенные, в единое предложение, более сложное, чем его составляющие, является функцией с предложениями в качестве аргументов. Общая идея такой агрегации предложений или переменных, представляющих предложения, не будет использоваться в этой работе. Но есть четыре частных случая, которые имеют фундаментальное значение, поскольку все агрегации подчиненных предложений в одно сложное предложение, которые встречаются в дальнейшем, формируются из них шаг за шагом.

Они представляют собой (1) противоречивую функцию, (2) логическую сумму, или дизъюнктивную функцию, (3) логическое произведение, или конъюнктивную функцию, (4) импликативную функцию. Эти функции в том смысле, в котором они требуются в этой работе, не все независимы; и если две из них взяты в качестве примитивных неопределяемых идей, две другие могут быть определены через них. В некоторой степени — хотя и не полностью — произвольно, какие функции принимаются за примитивные. Простота примитивных идей и симметрия изложения, по-видимому, достигаются путем принятия первых двух функций в качестве примитивных идей.

Противоречивая функция с аргументом , где есть любое предложение, — это предложение, которое является противоречием , то есть предложение, утверждающее, что не является истинным. Это обозначается . Таким образом, есть противоречивая функция с в качестве аргумента и означает отрицание предложения . Она также будет называться предложением не-. Таким образом, означает не-, что означает отрицание предложения .

Логическая сумма — это пропозициональная функция с двумя аргументами и , и это предложение, утверждающее или дизъюнктивно, то есть утверждающее, что по крайней мере одно из двух и является истинным. Это обозначается . Таким образом, есть логическая сумма с и в качестве аргументов. Она также называется логической суммой и . Соответственно означает, что по крайней мере или истинно, не исключая случая, в котором оба истинны.

Логическое произведение — это пропозициональная функция с двумя аргументами и , и это предложение, утверждающее и конъюнктивно, то есть утверждающее, что и и истинны. Это обозначается , или — чтобы заставить точки действовать как скобки способом, который будет объяснен немедленно — , или , или . Таким образом, есть логическое произведение с и в качестве аргументов. Оно также называется логическим произведением и . Соответственно означает, что и и истинны. Легко видеть, что эта функция может быть определена через две предыдущие функции. Ибо когда и оба истинны, должно быть ложным, что либо истинно. Следовательно, в этой книге есть лишь сокращенная форма символики для . Если какая-либо дальнейшая идея прикрепляется к предложению «и и истинны», она здесь не требуется.

Импликативная функция — это пропозициональная функция с двумя аргументами и , и это предложение, что либо не- или истинно, то есть это предложение . Таким образом, если истинно, ложно, и, соответственно, единственная альтернатива, оставленная предложением , заключается в том, что истинно. Другими словами, если и оба истинны, то истинно. В этом смысле предложение будет цитироваться как утверждающее, что имплицирует . Идея, содержащаяся в этой пропозициональной функции, настолько важна, что она требует символики, которая с прямой простотой представляет предложение как соединяющее и без вмешательства . Но «имплицирует», как оно используется здесь, не выражает ничего иного, кроме связи между и , также выраженной дизъюнкцией «не- или ». Символ, используемый для «имплицирует», т.е. для «» — это «». Этот символ также можно читать «если , то ». Ассоциация импликации с использованием связанной переменной производит расширение, называемое «формальной импликацией». Это объясняется позже: это идея, производная от «импликации», как она определена здесь. Когда необходимо явно различать «импликацию» от «формальной импликации», она называется «материальной импликацией». Таким образом, «материальная импликация» — это просто «импликация», как она определена здесь. Процесс вывода, который в обычном употреблении часто путают с импликацией, объясняется немедленно.

Эти четыре функции предложений являются фундаментальными постоянными (т.е. определенными) пропозициональными функциями с предложениями в качестве аргументов, и все другие постоянные пропозициональные функции с предложениями в качестве аргументов, насколько они требуются в настоящей работе, сформированы из них последовательными шагами. Никакие переменные пропозициональные функции такого рода не встречаются в этой работе.

Эквивалентность. Простейший пример формирования более сложной функции предложений с использованием этих четырех фундаментальных форм представлен «эквивалентностью». Два предложения и называются «эквивалентными», когда имплицирует , а имплицирует . Это отношение между и обозначается «». Таким образом, «» означает «». Легко видеть, что два предложения эквивалентны тогда и только тогда, когда они оба истинны или оба ложны. Эквивалентность поднимается в шкале важности, когда мы переходим к «формальной импликации» и, таким образом, к «формальной эквивалентности». Не следует полагать, что два предложения, которые эквивалентны, в каком-либо смысле идентичны или даже отдаленно касаются одной и той же темы. Таким образом, «Ньютон был человеком» и «солнце горячее» эквивалентны, будучи оба истинными, а «Ньютон не был человеком» и «солнце холодное» эквивалентны, будучи оба ложными. Но здесь мы предвосхитили дедукции, которые следуют позже из наших формальных рассуждений. Эквивалентность в своем происхождении — это просто взаимная импликация, как указано выше.

Истинностные значения. «Истинностное значение» предложения — это истина, если оно истинно, и ложь, если оно ложно [2]. Будет замечено, что истинностные значения , , , , зависят только от тех, что у и , а именно: истинностное значение «» есть истина, если истинностное значение либо , либо есть истина, и ложь в противном случае; значение «» есть истина, если значение обоих и есть истина, и ложь в противном случае; значение «» есть истина, если либо значение есть ложь, либо значение есть истина; значение «» есть противоположность значения ; а значение «» есть истина, если и имеют одно и то же истинностное значение, и ложь в противном случае. Теперь единственные способы, которыми предложения будут встречаться в настоящей работе, — это способы, производные от вышеуказанных путем комбинаций и повторений. Следовательно, легко видеть (хотя это не может быть формально доказано, кроме как в каждом конкретном случае), что если предложение встречается в любом предложении , с которым нам когда-либо придется иметь дело, истинностное значение будет зависеть не от конкретного предложения , а только от его истинностного значения; т.е. если , мы будем иметь . Таким образом, всякий раз, когда два предложения известны как эквивалентные, любое из них может быть подставлено вместо другого в любой формуле, с которой нам придется иметь дело.

Мы можем называть функцию «истинностной функцией», когда ее аргумент есть предложение, и истинностное значение зависит только от истинностного значения . Такие функции отнюдь не являются единственными общими функциями предложений. Например, « верит » — это функция от , которая будет изменять свое истинностное значение для различных аргументов, имеющих одно и то же истинностное значение: может верить одному истинному предложению, не веря другому, и может верить одному ложному предложению, не веря другому. Такие функции не исключены из нашего рассмотрения и включены в область любых общих предложений, которые мы можем сделать о функциях; но конкретные функции предложений, которые нам придется конструировать или рассматривать явно, — все являются истинностными функциями. Этот факт тесно связан с характеристикой математики, а именно с тем, что математика всегда имеет дело с экстенсионалами, а не интенсионалами. Связь, если она сейчас не очевидна, станет более таковой, когда мы рассмотрим теорию классов и отношений.

Знак утверждения. Знак «», называемый «знаком утверждения», означает, что то, что следует, утверждается. Он требуется для различения полного предложения, которое мы утверждаем, от любых подчиненных предложений, содержащихся в нем, но не утвержденных. В обычном письменном языке предложение, заключенное между точками, обозначает утвержденное предложение, и если оно ложно, книга содержит ошибку. Знак «», поставленный перед предложением, служит той же цели в нашей символике. Например, если встречается «», это следует воспринимать как полное утверждение, уличающее авторов в ошибке, если только предложение «» не является истинным (как оно и есть). Также предложение, изложенное в символах без этого знака «», поставленного перед ним, не утверждается и просто выдвигается для рассмотрения или как подчиненная часть утвержденного предложения.

Вывод. Процесс вывода заключается в следующем: предложение «» утверждается, и предложение « имплицирует » утверждается, а затем в качестве следствия предложение «» утверждается. Доверие к выводу — это вера в то, что если два предыдущих утверждения не содержат ошибки, то окончательное утверждение не содержит ошибки. Соответственно, всякий раз, когда в символах, где и имеют, конечно, специальные определения, встречаются , тогда «» будет встречаться, если желательно зафиксировать это. Процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственная запись — это вхождение «». Конечно, удобно, даже рискуя повторением, писать «» и «» в непосредственной близости, прежде чем переходить к «» как результату вывода. Когда это должно быть сделано, ради привлечения внимания к выводу, который делается, мы будем писать вместо этого , что следует рассматривать как простое сокращение трехкратного утверждения . Таким образом, «» можно читать «, следовательно », будучи, по сути, тем же сокращением, что и это; ибо «, следовательно » не утверждает явно, что является частью его значения, что имплицирует . Вывод — это отбрасывание истинной посылки; это растворение импликации.

Использование точек. Точки на линии символов имеют два использования: одно для выделения предложений скобками, другое для обозначения логического произведения двух предложений. Точки, непосредственно предшествующие или сопровождаемые «» или «» или «» или «», или «», «», «» ... или «», «», «» ... или «» или «» или аналогичными выражениями, служат для выделения предложения скобками; точки, встречающиеся иначе, служат для обозначения логического произведения. Общий принцип заключается в том, что большее количество точек указывает на внешнюю скобку, меньшее количество указывает на внутреннюю скобку. Точное правило относительно области действия скобки, указанной точками, достигается путем деления вхождений точек на три группы, которые мы назовем I, II и III. Группа I состоит из точек, примыкающих к знаку импликации () или эквивалентности () или дизъюнкции () или равенства по определению (Df). Группа II состоит из точек, следующих за скобками, указывающими на связанную переменную, такие как или или или или или аналогичные выражения [3]. Группа III состоит из точек, которые стоят между предложениями для обозначения логического произведения. Группа I имеет большую силу, чем Группа II, а Группа II — чем Группа III. Область действия скобки, указанной любой совокупностью точек, простирается назад или вперед за пределы любого меньшего количества точек или любого равного количества из группы меньшей силы, пока мы не достигнем либо конца утвержденного предложения, либо большего количества точек, либо равного количества, принадлежащего группе равной или высшей силы. Точки, указывающие на логическое произведение, имеют область действия, которая работает как назад, так и вперед; другие точки работают только в сторону от примыкающего знака дизъюнкции, импликации или эквивалентности, или вперед от примыкающего символа одного из других видов, перечисленных в Группе II.

Некоторые примеры послужат для иллюстрации использования точек.

«» означает предложение «' или ' имплицирует ' или '». Когда мы утверждаем это предложение, вместо того чтобы просто рассматривать его, мы пишем , где две точки после знака утверждения показывают, что утверждается все, что следует за знаком утверждения, поскольку нигде больше нет двух точек. Если бы мы написали «», это означало бы предложение «либо истинно, или имплицирует ' или '». Если бы мы хотели утверждать это, нам пришлось бы поставить три точки после знака утверждения. Если бы мы написали «», это означало бы предложение «либо ' или ' имплицирует q, или p истинно». Формы «» и «» не имеют значения.

«» будет означать «если имплицирует , то если имплицирует имплицирует ». Если мы хотим утверждать это (что истинно), мы пишем . Опять же, «» будет означать «если ' имплицирует ' имплицирует ' имплицирует ', то имплицирует ». Это в общем неверно. (Заметьте, что «» иногда наиболее удобно читать как « имплицирует », а иногда как «если , то ».) «» будет означать «если имплицирует , и имплицирует , то имплицирует ». В этой формуле первая точка указывает на логическое произведение; следовательно, область действия второй точки простирается назад до начала предложения. «» будет означать « имплицирует ; и если имплицирует , то имплицирует ». (Это неверно в общем случае.) Здесь две точки указывают на логическое произведение; поскольку две точки нигде больше не встречаются, область действия этих двух точек простирается назад до начала предложения и вперед до конца.

«» будет означать «если либо или истинно, то если либо или ' имплицирует ' истинно, следует, что либо или истинно». Если это должно быть утверждено, мы должны поставить четыре точки после знака утверждения, таким образом: (Это предложение доказано в основной части работы; это *2·75.) Если мы хотим утверждать (что эквивалентно вышесказанному) предложение: «если либо или истинно, и либо или ' имплицирует ' истинно, то либо или истинно», мы пишем . Здесь первая пара точек указывает на логическое произведение, в то время как вторая пара — нет. Таким образом, область действия второй пары точек проходит мимо первой пары и назад, пока мы не достигнем трех точек после знака утверждения.

Другие использования точек следуют тем же принципам и будут объяснены по мере их введения. При чтении предложения точки следует заметить первыми, так как они показывают его структуру. В предложении, содержащем несколько знаков импликации или эквивалентности, тот, перед которым или после которого стоит наибольшее количество точек, является главным: все, что идет перед ним, утверждается предложением как имплицирующее или эквивалентное всему, что идет после него.

Определения. Определение — это декларация того, что определенный, вновь введенный символ или комбинация символов должны означать то же самое, что и определенная другая комбинация символов, значение которой уже известно. Или, если определяющая комбинация символов — это та, которая приобретает значение только при комбинировании подходящим образом с другими символами [4], имеется в виду, что любая комбинация символов, в которой встречается вновь определенный символ или комбинация символов, должна иметь то значение (если оно есть), которое получается из подстановки определяющей комбинации символов вместо вновь определенного символа или комбинации символов везде, где последний встречается. Мы дадим названия definiendum и definiens соответственно тому, что определяется, и тому, как оно определяется. Мы выражаем определение, помещая definiendum слева, а definiens справа, со знаком «=» между ними и буквами «Df» справа от definiens. Следует понимать, что знак «=» и буквы «Df» должны рассматриваться как вместе образующие один символ. Знак «=» без букв «Df» будет иметь другое значение, которое будет объяснено вкратце.

Примером определения является

Следует заметить, что определение, строго говоря, не является частью предмета, в котором оно встречается. Ибо определение касается целиком символов, а не того, что они символизируют. Более того, оно не является истинным или ложным, будучи выражением волеизъявления, а не предложения. (По этой причине определениям не предшествует знак утверждения.) Теоретически, нет необходимости когда-либо давать определение: мы могли бы всегда использовать definiens вместо этого и, таким образом, полностью обойтись без definiendum. Таким образом, хотя мы используем определения и не определяем «определение», все же «определение» не появляется среди наших примитивных идей, потому что определения не являются частью нашего предмета, а являются, строго говоря, просто типографскими удобствами. Практически, конечно, если бы мы не ввели никаких определений, наши формулы очень скоро стали бы настолько длинными, что стали бы неуправляемыми; но теоретически все определения излишни.

Несмотря на тот факт, что определения теоретически излишни, тем не менее верно, что они часто передают более важную информацию, чем та, что содержится в предложениях, в которых они используются. Это возникает по двум причинам. Во-первых, определение обычно подразумевает, что definiens заслуживает тщательного рассмотрения. Следовательно, совокупность определений воплощает наш выбор предметов и наше суждение о том, что является наиболее важным. Во-вторых, когда то, что определяется, является (как часто случается) чем-то уже знакомым, таким как кардинальные или ординальные числа, определение содержит анализ общей идеи и может поэтому выражать заметный прогресс. Определение континуума Кантором иллюстрирует это: его определение сводится к утверждению, что то, что он определяет, — это объект, который обладает свойствами, обычно ассоциируемыми со словом «континуум», хотя то, что именно составляет эти свойства, ранее не было известно. В таких случаях определение — это «делание определенным»: оно придает определенность идее, которая ранее была более или менее расплывчатой.

По этим причинам в дальнейшем будет обнаружено, что определения — это то, что наиболее важно и что наиболее заслуживает длительного внимания читателя.

Некоторые важные замечания должны быть сделаны относительно переменных, встречающихся в definiens и definiendum. Но они будут отложены до тех пор, пока не будет введено понятие «связанной переменной», когда предмет можно будет рассмотреть как целое.

Резюме предыдущих утверждений. В вышеизложенном есть три примитивные идеи, которые не «определены», а лишь описательно объяснены. Их примитивность лишь относительна к нашему изложению логической связи и не является абсолютной; хотя, конечно, такое изложение выигрывает в важности в соответствии с простотой своих примитивных идей. Эти идеи символизируются «» и «», и «», поставленным перед предложением.

Были введены три определения:

Примитивные пропозиции. Некоторые пропозиции должны приниматься без доказательства, поскольку всякое выведение исходит из ранее утвержденных пропозиций. Они, в той мере, в какой касаются упомянутых выше функций пропозиций, будут изложены в *1, где начинается формальное и непрерывное изложение предмета. Такие пропозиции будут называться «примитивными пропозициями». Они, подобно примитивным идеям, в некоторой степени являются делом произвольного выбора; хотя, как и в предыдущем случае, логическая система приобретает важность по мере того, как примитивные пропозиции становятся немногочисленными и простыми. Окажется, что из-за слабости воображения при работе с простыми абстрактными идеями нельзя придавать слишком большое значение их очевидности. Они очевидны для подготовленного ума, но ведь таковыми являются и многие пропозиции, которые не могут быть вполне истинными, будучи опровергнутыми своими противоречивыми следствиями. Доказательством логической системы является ее адекватность и связность. А именно: (1) система должна охватывать среди своих дедукций все те пропозиции, которые мы считаем истинными и способными быть выведенными только из логических посылок, хотя, возможно, они могут потребовать некоторого незначительного ограничения в форме повышенной строгости формулировки; и (2) система не должна приводить к противоречиям, а именно: при проведении наших выводов мы никогда не должны приходить к утверждению как p, так и не-p, т. е. и «p», и «не-p» не могут правомерно появляться.

Ниже приведены примитивные пропозиции, используемые в исчислении пропозиций. Буквы «Pp» означают «примитивная пропозиция».

(1) Все, что имплицируется истинной посылкой, есть истинная Pp.

Это правило, которое обосновывает выведение.

(2) p ∨ p . ⊃ . p,

т. е. если p или p истинно, то p истинно.

(3) q . ⊃ . p ∨ q,

т. е. если q истинно, то p или q истинно.

(4) p ∨ q . ⊃ . q ∨ p,

т. е. если p или q истинно, то q или p истинно.

(5) p ∨ (q ∨ r) . ⊃ . q ∨ (p ∨ r),

т. е. если либо p истинно, либо «q или r» истинно, то либо q истинно, либо «p или r» истинно.

(6) q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r,

т. е. если q имплицирует r, то «p или q» имплицирует «p или r».

(7) Помимо вышеуказанных примитивных пропозиций, нам требуется примитивная пропозиция, называемая «аксиомой идентификации свободных переменных». Когда мы отдельно утвердили две различные функции от x, где x неопределенно, часто важно знать, можем ли мы идентифицировать x в одном утверждении с x в другом. Это будет иметь место — так наша аксиома позволяет нам сделать вывод — если оба утверждения представляют x как аргумент к некоторой одной функции, то есть, если φx является составляющей в обоих утверждениях (какой бы ни была пропозициональная функция φ), или, более общо, если φx является составляющей в одном утверждении, а ψx является составляющей в другом. Эта аксиома вводит понятия, которые еще не были объяснены; для более полного изложения см. замечания, сопровождающие *3·03, *1·7, *1·71 и *1·72 (которая является формулировкой этой аксиомы) в основном тексте работы, а также объяснение пропозициональных функций и двусмысленного утверждения, которое будет дано в скором времени.

Некоторые простые пропозиции. В дополнение к примитивным пропозициям, которые мы уже упомянули, нижеследующие являются одними из наиболее важных элементарных свойств пропозиций, появляющихся среди дедукций.

Закон исключенного третьего: p ∨ ~p. Это *2·11 ниже. Мы будем указывать в скобках номера, данные следующим пропозициям в основном тексте работы.

Закон противоречия (*3·24): ~(p . ~p).

Закон двойного отрицания (*4·13): ~~p . ≡ . p.

Принцип транспозиции, т. е. «если p имплицирует q, то не-q имплицирует не-p», и наоборот: этот принцип имеет различные формы, а именно p ⊃ q . ≡ . ~q ⊃ ~p, а также другие, которые являются их вариантами.

Закон тавтологии в двух формах: p . ≡ . p . p и p . ≡ . p ∨ p, т. е. «p истинно» эквивалентно «p истинно и p истинно», а также «p истинно или p истинно». С формальной точки зрения именно благодаря закону тавтологии и его следствиям алгебра логики главным образом отличается от обычной алгебры.

Закон поглощения: p ⊃ q . ≡ . p . ≡ . p . q, т. е. «p имплицирует q» эквивалентно «p эквивалентно p и q». Это называется законом поглощения, потому что он показывает, что множитель p в произведении поглощается множителем q, если p имплицирует q. Этот принцип позволяет нам заменить импликацию (p ⊃ q) эквивалентностью (p . ≡ . p . q) всякий раз, когда это удобно.

Аналогичным и очень важным принципом является следующий:

Логическое сложение и умножение пропозиций подчиняются ассоциативному и коммутативному законам, а также дистрибутивному закону в двух формах, а именно p ∨ (q . r) . ≡ . (p ∨ q) . (p ∨ r) и p . (q ∨ r) . ≡ . (p . q) ∨ (p . r). Второй из них отличает отношения логического сложения и умножения от отношений арифметического сложения и умножения.

Пропозициональные функции. Пусть φx — высказывание, содержащее переменную x и такое, что оно становится пропозицией, когда x придается какое-либо фиксированное определенное значение. Тогда φx называется «пропозициональной функцией»; это не пропозиция, поскольку из-за двусмысленности x она на самом деле вообще не делает никакого утверждения. Так, «x ранен» на самом деле не делает никакого утверждения, пока мы не установим, кто такой x. Однако благодаря индивидуальности, сохраняемой двусмысленной переменной x, это двусмысленный пример из совокупности пропозиций, полученных путем придания всех возможных определений x в «x ранен», которые дают пропозицию, истинную или ложную. Также, если «φx» и «φy» встречаются в одном и том же контексте, где y — другая переменная, то в зависимости от определений, данных x и y, они могут быть установлены как (возможно) одна и та же пропозиция или (возможно) разные пропозиции. Но помимо некоторого определения, данного x и y, они сохраняют в этом контексте свою двусмысленную дифференциацию. Таким образом, «φx» является двусмысленным «значением» пропозициональной функции. Когда мы хотим говорить о пропозициональной функции, соответствующей «φx», мы будем писать «φx». Таким образом, «φx» — это пропозициональная функция, а «φx» — двусмысленное значение этой функции. Соответственно, хотя «φx» и «φy», встречающиеся в одном и том же контексте, могут быть различимы, «φx» и «φx» не передают никакого различия в значении вообще. Более общо, φx является двусмысленным значением пропозициональной функции φx, и когда определенное значение подставляется вместо x, φa является однозначным значением φx.