«Введение в математическую философию»

Библиотека философии

ПОД РЕДАКЦИЕЙ ДЖ. Г. МЬЮРХЕДА, LL.D.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ФИЛОСОФИЮ

Того же автора.

ПРИНЦИПЫ СОЦИАЛЬНОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ. 3-е издание. Demy 8vo. 7 с. 6 п. нетто.

«Мистер Рассел написал большую и живую книгу». — The Nation.

ПУТИ К СВОБОДЕ: СОЦИАЛИЗМ, АНАРХИЗМ И СИНДИКАЛИЗМ. Demy 8vo. 7 с. 6 п. нетто.

Попытка извлечь сущность этих трех доктрин, сначала исторически, а затем как руководство для грядущей реконструкции.

Лондон: George Allen & Unwin, Ltd.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ФИЛОСОФИЮ

АВТОР

BERTRAND RUSSELL

ЛОНДОН: GEORGE ALLEN & UNWIN, LTD.

НЬЮ-ЙОРК: THE MACMILLAN CO.

Впервые опубликовано в мае 1919 г.

Второе издание в апреле 1920 г.

[Все права защищены]

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга задумана именно как «Введение» и не претендует на исчерпывающее обсуждение рассматриваемых в ней проблем. Представлялось желательным изложить некоторые результаты, доступные до сих пор лишь тем, кто овладел логической символикой, в форме, предлагающей минимум трудностей для начинающего. Были приложены все усилия, чтобы избежать догматизма в вопросах, которые все еще вызывают серьезные сомнения, и это стремление в некоторой степени определило выбор рассматриваемых тем. Начала математической логики известны менее определенно, чем ее поздние разделы, но представляют, по крайней мере, не меньший философский интерес. Многое из того, что изложено в следующих главах, не совсем правильно называть «философией», хотя соответствующие вопросы включались в философию до тех пор, пока не существовало удовлетворительной науки о них. Природа бесконечности и непрерывности, например, в прежние времена принадлежала философии, но теперь принадлежит математике. Математическую философию в строгом смысле, возможно, нельзя считать включающей такие определенные научные результаты, которые были получены в этой области; от философии математики естественно ожидать, что она будет иметь дело с вопросами на границе знания, относительно которых сравнительная определенность еще не достигнута. Но размышления над такими вопросами вряд ли будут плодотворными, если не известны более научные части принципов математики. Книга, посвященная этим частям, может, следовательно, претендовать на то, чтобы быть введением в математическую философию, хотя она вряд ли может претендовать, за исключением случаев, когда она выходит за пределы своей области, на то, что она действительно имеет дело с частью философии. Однако она имеет дело с совокупностью знаний, которая для тех, кто ее принимает, по-видимому, опровергает многое из традиционной философии и даже многое из того, что является общепринятым в настоящее время. Таким образом, как и благодаря своему отношению к еще не решенным проблемам, математическая логика имеет отношение к философии. По этой причине, а также ввиду внутренней важности предмета, может быть полезна краткая сводка основных результатов математической логики в форме, не требующей ни знания математики, ни склонности к математической символике. Здесь, однако, как и везде, метод важнее результатов с точки зрения дальнейших исследований; и метод не может быть хорошо объяснен в рамках такой книги, как эта. Следует надеяться, что некоторые читатели проявят достаточный интерес, чтобы перейти к изучению метода, с помощью которого математическая логика может быть полезна при исследовании традиционных проблем философии. Но это тема, которую следующие страницы не пытались затронуть.

БЕРТРАН РАССЕЛ.

ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА

Тех, кто, полагаясь на различие между математической философией и философией математики, считает, что эта книга неуместна в данной библиотеке, можно отослать к тому, что сам автор говорит по этому поводу в Предисловии. Нет необходимости соглашаться с тем, что он там предлагает относительно пересмотра области философии путем переноса из нее в математику таких проблем, как проблемы класса, непрерывности, бесконечности, чтобы осознать значение определений и дискуссий, которые последуют далее, для работы «традиционной философии». Если философы не могут согласиться с тем, чтобы переложить критику этих категорий на какую-либо из специальных наук, необходимо, по крайней мере, чтобы они знали точное значение, которое придает им наука математика, в которой эти понятия играют столь большую роль. Если, с другой стороны, найдутся математики, которым эти определения и дискуссии покажутся усложнением и запутыванием простого, возможно, стоит напомнить им со стороны философии, что здесь, как и везде, кажущаяся простота может скрывать сложность, которую чья-то задача — будь то философ или математик, или, как автор этого тома, и тот и другой в одном лице — распутать.

CONTENTS

ГЛ. ПРЕДИСЛОВИЕ ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА 1. РЯД НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА 3. КОНЕЧНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА 5. ВИДЫ ОТНОШЕНИЙ 6. СХОДСТВО ОТНОШЕНИЙ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ, ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 8. БЕСКОНЕЧНЫЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 10. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 11. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 12. ВЫБОРКИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ АКСИОМА 13. АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ТИПЫ 14. НЕСОВМЕСТИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ 15. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 16. ОПИСАНИЯ 17. КЛАССЫ 18. МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА УКАЗАТЕЛЬ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ФИЛОСОФИЮ

ГЛАВА I РЯД НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

МАТЕМАТИКА — это наука, которую, если мы начинаем с ее наиболее знакомых частей, можно развивать в одном из двух противоположных направлений. Более знакомое направление — конструктивное, ведущее к постепенно возрастающей сложности: от целых чисел к дробям, вещественным числам, комплексным числам; от сложения и умножения к дифференцированию и интегрированию и далее к высшей математике. Другое направление, менее знакомое, движется путем анализа к все большей абстрактности и логической простоте; вместо того чтобы спрашивать, что может быть определено и выведено из того, что принято вначале, мы спрашиваем, какие более общие идеи и принципы могут быть найдены, в терминах которых то, что было нашей отправной точкой, может быть определено или выведено. Именно факт следования этому противоположному направлению характеризует математическую философию в отличие от обычной математики. Но следует понимать, что различие заключается не в предмете исследования, а в состоянии ума исследователя. Древнегреческие геометры, переходя от эмпирических правил египетского землемерия к общим положениям, с помощью которых эти правила оказывались обоснованными, а оттуда к аксиомам и постулатам Евклида, занимались математической философией согласно приведенному выше определению; но как только аксиомы и постулаты были достигнуты, их дедуктивное применение, каким мы находим его у Евклида, относилось к математике в обычном смысле. Различие между математикой и математической философией зависит от интереса, вдохновляющего исследование, и от стадии, которой достигло исследование, а не от положений, с которыми исследование имеет дело.

Мы можем сформулировать то же различие иначе. Самые очевидные и легкие вещи в математике — это не те, которые логически стоят в начале; это вещи, которые с точки зрения логической дедукции находятся где-то посередине. Подобно тому как легче всего видеть тела, которые не очень близко и не очень далеко, не очень малы и не очень велики, так и легче всего постичь концепции, которые не очень сложны и не очень просты (используя «простое» в логическом смысле). И подобно тому как нам нужны два вида инструментов, телескоп и микроскоп, для расширения наших зрительных способностей, так нам нужны два вида инструментов для расширения наших логических способностей: один, чтобы двигаться вперед к высшей математике, другой, чтобы двигаться назад к логическим основаниям вещей, которые мы склонны принимать как должное в математике. Мы обнаружим, что, анализируя наши обычные математические понятия, мы приобретаем свежее понимание, новые силы и средства для достижения совершенно новых математических областей, принимая новые линии продвижения после нашего обратного пути. Цель этой книги — объяснить математическую философию просто и нетехнически, не распространяясь на те части, которые настолько сомнительны или сложны, что элементарное изложение едва ли возможно. Полное изложение можно найти в Principia Mathematica[1]; изложение в настоящем томе задумано лишь как введение.

[1] Cambridge University Press, том I, 1910; том II, 1911; том III, 1913. Авторы: Уайтхед и Рассел.

Для среднего образованного человека наших дней очевидной отправной точкой математики был бы ряд целых чисел. Вероятно, только человек с некоторыми математическими знаниями подумал бы о том, чтобы начать с 0, а не с 1, но мы предположим эту степень знания; мы возьмем в качестве отправной точки ряд: 0, 1, 2, 3, ... и именно этот ряд мы будем иметь в виду, когда говорим о «ряде натуральных чисел».

Только на высокой стадии цивилизации мы могли бы взять этот ряд в качестве отправной точки. Должны были пройти многие века, чтобы обнаружить, что пара фазанов и пара дней — это оба примера числа 2: степень абстракции, вовлеченная здесь, далеко не проста. И открытие того, что 1 — это число, должно было быть трудным. Что касается 0, то это очень недавнее дополнение; у греков и римлян не было такой цифры. Если бы мы начали заниматься математической философией в более ранние времена, нам пришлось бы начать с чего-то менее абстрактного, чем ряд натуральных чисел, к которому мы пришли бы как к этапу нашего обратного пути. Когда логические основания математики станут более знакомыми, мы сможем начать дальше, с того, что сейчас является поздним этапом нашего анализа. Но на данный момент натуральные числа кажутся тем, что является самым легким и самым знакомым в математике.

Но хотя они и знакомы, они не поняты. Очень немногие люди готовы дать определение того, что подразумевается под «числом», «0» или «1». Нетрудно увидеть, что, начиная с 0, любого другого из натуральных чисел можно достичь путем повторных прибавлений 1, но нам придется определить, что мы подразумеваем под «прибавлением 1» и что мы подразумеваем под «повторным». Эти вопросы отнюдь не легки. До недавнего времени считалось, что некоторые, по крайней мере, из этих первых понятий арифметики должны быть приняты как слишком простые и примитивные, чтобы их можно было определить. Поскольку все определяемые термины определяются с помощью других терминов, ясно, что человеческое знание всегда должно довольствоваться принятием некоторых терминов как понятных без определения, чтобы иметь отправную точку для своих определений. Неясно, должны ли существовать термины, не поддающиеся определению: возможно, что как бы далеко мы ни заходили в определении, мы всегда могли бы пойти еще дальше. С другой стороны, возможно также, что, когда анализ продвинут достаточно далеко, мы можем достичь терминов, которые действительно просты и поэтому логически не поддаются тому виду определения, который состоит в анализе. Это вопрос, который нам не обязательно решать; для наших целей достаточно заметить, что, поскольку человеческие способности конечны, известные нам определения всегда должны с чего-то начинаться, с терминов, неопределенных на данный момент, хотя, возможно, и не навсегда.

Всю традиционную чистую математику, включая аналитическую геометрию, можно рассматривать как состоящую целиком из положений о натуральных числах. Иными словами, входящие в них термины могут быть определены с помощью натуральных чисел, а положения могут быть выведены из свойств натуральных чисел — с добавлением в каждом случае идей и положений чистой логики.

То, что всю традиционную чистую математику можно вывести из натуральных чисел, — довольно недавнее открытие, хотя его давно подозревали. Пифагор, который верил, что не только математику, но и все остальное можно вывести из чисел, был первооткрывателем самого серьезного препятствия на пути того, что называется «арифметизацией» математики. Именно Пифагор открыл существование несоизмеримых величин и, в частности, несоизмеримость стороны квадрата и диагонали. Если длина стороны равна 1 дюйму, то число дюймов в диагонали — это квадратный корень из 2, который, по-видимому, вообще не является числом. Проблема, возникшая таким образом, была решена только в наши дни и была решена полностью только с помощью сведения арифметики к логике, что будет объяснено в следующих главах. На данный момент мы примем как должное арифметизацию математики, хотя это был подвиг величайшей важности.

Сведя всю традиционную чистую математику к теории натуральных чисел, следующим шагом в логическом анализе было сведение этой теории к наименьшему набору предпосылок и неопределяемых терминов, из которых она могла бы быть выведена. Эта работа была выполнена Джузеппе Пеано. Он показал, что вся теория натуральных чисел может быть выведена из трех примитивных идей и пяти примитивных положений в дополнение к положениям чистой логики. Эти три идеи и пять положений стали, таким образом, своего рода заложниками всей традиционной чистой математики. Если бы их можно было определить и доказать в терминах других, то и вся чистая математика могла бы быть таковой. Их логический «вес», если можно использовать такое выражение, равен весу всей серии наук, которые были выведены из теории натуральных чисел; истинность всей этой серии гарантирована, если гарантирована истинность пяти примитивных положений, при условии, конечно, что нет ничего ошибочного в чисто логическом аппарате, который также вовлечен. Работа по анализу математики необычайно облегчается этой работой Пеано.

Три примитивные идеи в арифметике Пеано: 0, число, преемник. Под «преемником» он понимает следующее число в естественном порядке. То есть преемник 0 — это 1, преемник 1 — это 2 и так далее. Под «числом» он понимает в этой связи класс натуральных чисел[2]. Он не предполагает, что мы знаем всех членов этого класса, а только то, что мы знаем, что подразумеваем, когда говорим, что то или это является числом, точно так же, как мы знаем, что подразумеваем, когда говорим «Джонс — человек», хотя мы не знаем всех людей индивидуально.

[2] Мы будем использовать «число» в этом смысле в настоящей главе. Впоследствии это слово будет использоваться в более общем смысле.

Пять примитивных положений, которые принимает Пеано:

(1) 0 — это число.

(2) Преемник любого числа — это число.

(3) Никакие два числа не имеют одного и того же преемника.

(4) 0 не является преемником никакого числа.

(5) Любое свойство, которое принадлежит 0, а также преемнику каждого числа, обладающего этим свойством, принадлежит всем числам.

Последнее из них — это принцип математической индукции. Мы еще много скажем о математической индукции в дальнейшем; на данный момент нас интересует только то, как она встречается в анализе арифметики у Пеано.

Рассмотрим кратко, каким образом теория натуральных чисел вытекает из этих трех идей и пяти положений. Для начала мы определяем 1 как «преемник 0», 2 как «преемник 1» и так далее. Мы, очевидно, можем продолжать сколько угодно с этими определениями, поскольку в силу (2) каждое число, которого мы достигаем, будет иметь преемника, и в силу (3) это не может быть ни одно из уже определенных чисел, потому что, если бы это было так, два разных числа имели бы одного и того же преемника; и в силу (4) ни одно из чисел, которых мы достигаем в ряду преемников, не может быть 0. Таким образом, ряд преемников дает нам бесконечный ряд постоянно новых чисел. В силу (5) все числа входят в этот ряд, который начинается с 0 и идет через последовательных преемников: ибо (а) 0 принадлежит этому ряду, и (б) если число принадлежит ему, то и его преемник, откуда, по математической индукции, каждое число принадлежит этому ряду.

Предположим, мы хотим определить сумму двух чисел. Взяв любое число n, мы определяем n + 0 как n, а n + (преемник m) как преемник (n + m). В силу (5) это дает определение суммы n и m, каким бы ни было число m. Аналогично мы можем определить произведение любых двух чисел. Читатель может легко убедиться, что любое обычное элементарное положение арифметики может быть доказано с помощью наших пяти предпосылок, и если у него возникнут трудности, он может найти доказательство у Пеано.

Пришло время обратиться к соображениям, которые делают необходимым продвижение за пределы точки зрения Пеано, представляющего последнее совершенство «арифметизации» математики, к точке зрения Готлоба Фреге, который первым преуспел в «логизации» математики, т. е. в сведении к логике арифметических понятий, которые его предшественники показали достаточными для математики. Мы не будем в этой главе давать определение числа и конкретных чисел по Фреге, но приведем некоторые причины, почему подход Пеано менее окончателен, чем кажется.

Во-первых, три примитивные идеи Пеано — а именно «0», «число» и «преемник» — допускают бесконечное число различных интерпретаций, каждая из которых будет удовлетворять пяти примитивным положениям. Приведем несколько примеров.

(1) Пусть «0» означает 100, а «число» означает числа от 100 и далее в ряду натуральных чисел. Тогда все наши примитивные положения удовлетворены, даже четвертое, ибо, хотя 100 является преемником 99, 99 не является «числом» в том смысле, который мы сейчас придаем слову «число». Очевидно, что любое число может быть подставлено вместо 100 в этом примере.

(2) Пусть «0» имеет свое обычное значение, но пусть «число» означает то, что мы обычно называем «четными числами», а «преемником» числа будет то, что получается при прибавлении к нему двух. Тогда «1» будет означать число два, «2» будет означать число четыре и так далее; ряд «чисел» теперь будет 0, 2, 4, 6, ... Все пять предпосылок Пеано по-прежнему удовлетворены.

(3) Пусть «0» означает число один, пусть «число» означает набор 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... и пусть «преемник» означает «половина». Тогда все пять аксиом Пеано будут верны для этого набора.

Ясно, что такие примеры можно множить бесконечно. Фактически, имея любой ряд x0, x1, x2, ..., который бесконечен, не содержит повторений, имеет начало и не имеет членов, которых нельзя достичь от начала за конечное число шагов, мы имеем набор терминов, проверяющих аксиомы Пеано. Это легко увидеть, хотя формальное доказательство несколько длинно. Пусть «0» означает x0, пусть «число» означает весь набор терминов, и пусть «преемник» xn означает xn+1. Тогда

(1) «0 — это число», т. е. x0 является членом набора.

(2) «Преемник любого числа — это число», т. е. взяв любой член xn в наборе, xn+1 также находится в наборе.

(3) «Никакие два числа не имеют одного и того же преемника», т. е. если xn и xm — два разных члена набора, xn+1 и xm+1 различны; это результат того факта, что (по гипотезе) в наборе нет повторений.

(4) «0 не является преемником никакого числа», т. е. ни один член в наборе не стоит перед x0.

(5) Это становится: Любое свойство, которое принадлежит x0 и принадлежит xn+1 при условии, что оно принадлежит xn, принадлежит всем x.

Это следует из соответствующего свойства для чисел.

Ряд вида x0, x1, x2, ..., в котором есть первый член, преемник для каждого члена (так что нет последнего члена), нет повторений и каждый член может быть достигнут от начала за конечное число шагов, называется прогрессией. Прогрессии имеют большое значение в принципах математики. Как мы только что видели, каждая прогрессия проверяет пять аксиом Пеано. Можно доказать, наоборот, что каждый ряд, который проверяет пять аксиом Пеано, является прогрессией. Следовательно, эти пять аксиом можно использовать для определения класса прогрессий: «прогрессии» — это «те ряды, которые проверяют эти пять аксиом». Любая прогрессия может быть взята за основу чистой математики: мы можем дать имя «0» ее первому члену, имя «число» всему набору ее членов и имя «преемник» следующему в прогрессии. Прогрессия не обязательно должна состоять из чисел: она может состоять из точек в пространстве, или моментов времени, или любых других терминов, которых имеется бесконечный запас. Каждая различная прогрессия даст начало различной интерпретации всех положений традиционной чистой математики; все эти возможные интерпретации будут одинаково верны.

В системе Пеано нет ничего, что позволило бы нам различить эти разные интерпретации его примитивных идей. Предполагается, что мы знаем, что подразумевается под «0», и что мы не будем предполагать, что этот символ означает 100, Иглу Клеопатры или что-либо другое, что он мог бы означать.

Этот момент, что «0», «число» и «преемник» не могут быть определены с помощью пяти аксиом Пеано, а должны быть поняты независимо, важен. Мы хотим, чтобы наши числа не просто проверяли математические формулы, но применялись правильным образом к обычным объектам. Мы хотим иметь десять пальцев, два глаза и один нос. Система, в которой «1» означало бы 100, «2» означало бы 101 и так далее, могла бы подойти для чистой математики, но не подошла бы для повседневной жизни. Мы хотим, чтобы «0», «число» и «преемник» имели значения, которые дадут нам правильное количество пальцев, глаз и носов. У нас уже есть некоторое знание (хотя и недостаточно четкое или аналитическое) того, что мы подразумеваем под «1», «2» и так далее, и наше использование чисел в арифметике должно соответствовать этому знанию. Мы не можем гарантировать, что это будет так, методом Пеано; все, что мы можем сделать, если примем его метод, — это сказать: «мы знаем, что подразумеваем под «0», «числом» и «преемником», хотя мы не можем объяснить, что подразумеваем, в терминах других, более простых понятий». Вполне законно говорить это, когда мы должны, и в какой-то момент мы все должны; но цель математической философии — отложить это высказывание как можно дольше. Благодаря логической теории арифметики мы можем откладывать это на очень долгое время.

Можно было бы предположить, что вместо того, чтобы устанавливать «0», «число» и «преемник» как термины, значение которых мы знаем, хотя не можем определить, мы могли бы позволить им означать любые три термина, которые проверяют пять аксиом Пеано. Тогда они перестанут быть терминами, имеющими определенное, хотя и неопределенное значение: они станут «переменными», терминами, относительно которых мы делаем определенные гипотезы, а именно те, что изложены в пяти аксиомах, но которые в остальном не определены. Если мы примем этот план, наши теоремы будут доказаны не относительно установленного набора терминов, называемых «натуральными числами», а относительно всех наборов терминов, обладающих определенными свойствами. Такая процедура не является ошибочной; действительно, для определенных целей она представляет собой ценное обобщение. Но с двух точек зрения она не дает адекватного основания для арифметики. Во-первых, она не позволяет нам узнать, существуют ли какие-либо наборы терминов, проверяющие аксиомы Пеано; она даже не дает малейшего намека на какой-либо способ обнаружения того, существуют ли такие наборы. Во-вторых, как уже отмечалось, мы хотим, чтобы наши числа были такими, которые можно использовать для счета обычных объектов, а это требует, чтобы наши числа имели определенное значение, а не просто обладали определенными формальными свойствами. Это определенное значение определяется логической теорией арифметики.

ГЛАВА II ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА

Вопрос «Что такое число?» часто задавался, но был правильно решен только в наше время. Ответ был дан Фреге в 1884 году в его «Основаниях арифметики»[3]. Хотя эта книга совсем короткая, несложная и высочайшей важности, она почти не привлекла внимания, и определение числа, которое она содержит, оставалось практически неизвестным, пока не было переоткрыто автором в 1901 году.

[3] Тот же ответ дан более полно и с большим развитием в его «Основные законы арифметики», том I, 1893.

В поиске определения числа первое, в чем нужно быть ясным, — это то, что мы можем назвать грамматикой нашего исследования. Многие философы, пытаясь определить число, на самом деле приступают к определению множественности, что совсем другое дело. Число — это то, что характерно для чисел, как человек — то, что характерно для людей. Множественность — это не пример числа, а пример какого-то конкретного числа. Трио людей, например, — это пример числа 3, а число 3 — это пример числа; но трио — не пример числа. Этот момент может показаться элементарным и едва ли заслуживающим упоминания; однако он оказался слишком тонким для философов, за редким исключением.

Конкретное число не тождественно никакой совокупности терминов, имеющих это число: число 3 не тождественно трио, состоящему из Брауна, Джонса и Робинсона. Число 3 — это то, что есть общего у всех трио и что отличает их от других совокупностей. Число — это то, что характеризует определенные совокупности, а именно те, которые имеют это число.

Вместо того чтобы говорить о «совокупности», мы, как правило, будем говорить о «классе» или иногда о «множестве». Другие слова, используемые в математике для того же самого, — это «агрегат» и «многообразие». Мы еще много скажем о классах позже. На данный момент мы скажем как можно меньше. Но есть некоторые замечания, которые должны быть сделаны немедленно.

Класс или совокупность могут быть определены двумя способами, которые на первый взгляд кажутся совершенно различными. Мы можем перечислить его членов, как когда говорим: «Совокупность, которую я имею в виду, — это Браун, Джонс и Робинсон». Или мы можем упомянуть определяющее свойство, как когда говорим о «человечестве» или «жителях Лондона». Определение, которое перечисляет, называется определением по «экстенсии», а то, которое упоминает определяющее свойство, называется определением по «интенсии». Из этих двух видов определения определение по интенсии логически более фундаментально. Это показывают два соображения: (1) что экстенсиональное определение всегда можно свести к интенсиональному; (2) что интенсиональное часто нельзя даже теоретически свести к экстенсиональному. Каждый из этих пунктов нуждается в пояснении.

(1) Браун, Джонс и Робинсон — все они обладают определенным свойством, которым не обладает больше никто во всей вселенной, а именно свойством быть Брауном, или Джонсом, или Робинсоном. Это свойство можно использовать для определения по интенсии класса, состоящего из Брауна, Джонса и Робинсона. Рассмотрим такую формулу, как «x — это Браун или x — это Джонс или x — это Робинсон». Эта формула будет верна ровно для трех x, а именно для Брауна, Джонса и Робинсона. В этом отношении она напоминает кубическое уравнение с тремя корнями. Ее можно принять как приписывающую свойство, общее для членов класса, состоящего из этих трех людей, и присущее только им. Подобный подход, очевидно, можно применить к любому другому классу, данному в экстенсии.

(2) Очевидно, что на практике мы часто можем знать очень много о классе, не будучи в состоянии перечислить его членов. Ни один человек не мог бы фактически перечислить всех людей или даже всех жителей Лондона, однако о каждом из этих классов известно очень много. Этого достаточно, чтобы показать, что определение по экстенсии не является необходимым для знания о классе. Но когда мы переходим к рассмотрению бесконечных классов, мы обнаруживаем, что перечисление даже теоретически невозможно для существ, которые живут лишь конечное время. Мы не можем перечислить все натуральные числа: они 0, 1, 2, 3 и так далее. В какой-то момент мы должны довольствоваться «и так далее». Мы не можем перечислить все дроби или все иррациональные числа, или все члены любой другой бесконечной совокупности. Таким образом, наше знание относительно всех таких совокупностей может быть получено только из определения по интенсии.

Эти замечания актуальны, когда мы ищем определение числа, тремя различными способами. Во-первых, сами числа образуют бесконечную совокупность и поэтому не могут быть определены путем перечисления. Во-вторых, совокупности, имеющие данное число членов, сами, по-видимому, образуют бесконечную совокупность: следует предполагать, например, что в мире существует бесконечная совокупность трио, ибо если бы это было не так, общее число вещей в мире было бы конечным, что, хотя и возможно, кажется маловероятным. В-третьих, мы хотим определить «число» таким образом, чтобы бесконечные числа были возможны; таким образом, мы должны иметь возможность говорить о числе членов в бесконечной совокупности, и такая совокупность должна быть определена по интенсии, т. е. свойством, общим для всех ее членов и присущим только им.

Для многих целей класс и определяющая его характеристика практически взаимозаменяемы. Жизненное различие между ними состоит в том, что существует только один класс, имеющий данный набор членов, тогда как всегда существует много различных характеристик, которыми может быть определен данный класс. Людей можно определить как двуногих без перьев, или как разумных животных, или (более правильно) по чертам, которыми Свифт описывает йеху. Именно тот факт, что определяющая характеристика никогда не бывает уникальной, делает классы полезными; иначе мы могли бы довольствоваться свойствами, общими и присущими их членам[4]. Любое из этих свойств можно использовать вместо класса, когда уникальность не важна.

[4] Как будет объяснено позже, классы можно рассматривать как логические фикции, созданные из определяющих характеристик. Но на данный момент упростит наше изложение рассмотрение классов так, как если бы они были реальными.

Возвращаясь теперь к определению числа, ясно, что число — это способ объединения определенных совокупностей, а именно тех, которые имеют данное число членов. Мы можем предположить, что все пары в одном пучке, все трио в другом и так далее. Таким образом, мы получаем различные пучки совокупностей, каждый пучок состоит из всех совокупностей, имеющих определенное число членов. Каждый пучок — это класс, членами которого являются совокупности, т. е. классы; таким образом, каждый — это класс классов. Пучок, состоящий из всех пар, например, — это класс классов: каждая пара — это класс с двумя членами, а весь пучок пар — это класс с бесконечным числом членов, каждый из которых является классом из двух членов.

Как мы решим, должны ли две совокупности принадлежать к одному и тому же пучку? Ответ, который напрашивается: «Выясните, сколько членов имеет каждая, и поместите их в один пучок, если они имеют одинаковое число членов». Но это предполагает, что мы определили числа и что мы знаем, как обнаружить, сколько членов имеет совокупность. Мы настолько привыкли к операции счета, что такое предположение могло бы легко остаться незамеченным. Фактически, однако, счет, хотя и знаком, логически является очень сложной операцией; более того, он доступен как средство обнаружения того, сколько членов имеет совокупность, только когда совокупность конечна. Наше определение числа не должно заранее предполагать, что все числа конечны; и мы не можем в любом случае, без порочного круга, использовать счет для определения чисел, потому что числа используются при счете. Нам нужен, следовательно, какой-то другой метод решения, когда две совокупности имеют одинаковое число членов.

На самом деле логически проще выяснить, имеют ли две совокупности одинаковое число членов, чем определить, что это за число. Иллюстрация сделает это ясным. Если бы в мире нигде не было полигамии или полиандрии, ясно, что число мужей, живущих в любой момент, было бы в точности таким же, как число жен. Нам не нужна перепись, чтобы убедиться в этом, и нам не нужно знать, каково фактическое число мужей и жен. Мы знаем, что число должно быть одинаковым в обеих совокупностях, потому что каждый муж имеет одну жену, а каждая жена имеет одного мужа. Отношение мужа и жены — это то, что называется «взаимно-однозначным».

Отношение называется «взаимно-однозначным», когда, если x имеет рассматриваемое отношение к y, никакой другой член x' не имеет того же отношения к y, и x не имеет того же отношения к какому-либо члену y' отличному от y. Когда выполняется только первое из этих двух условий, отношение называется «одно-многим»; когда выполняется только второе, оно называется «много-одно». Следует заметить, что число 1 не используется в этих определениях.

В христианских странах отношение мужа к жене взаимно-однозначно; в магометанских странах оно одно-многим; в Тибете оно много-одно. Отношение отца к сыну — одно-многим; отношение сына к отцу — много-одно, но отношение старшего сына к отцу — взаимно-однозначно. Если n — любое число, отношение n к n взаимно-однозначно; так же как отношение n к n+1 или к n-1. Когда мы рассматриваем только положительные числа, отношение n к n^2 взаимно-однозначно; но когда допускаются отрицательные числа, оно становится два-одно, поскольку n и -n имеют один и тот же квадрат. Этих примеров должно быть достаточно, чтобы прояснить понятия взаимно-однозначных, одно-многих и много-однозначных отношений, которые играют большую роль в принципах математики не только в отношении определения чисел, но и во многих других связях.

Два класса называются «подобными», когда существует взаимно-однозначное отношение, которое соотносит члены одного класса каждый с одним членом другого класса, таким же образом, каким отношение брака соотносит мужей с женами. Несколько предварительных определений помогут нам сформулировать это определение более точно. Класс тех членов, которые имеют данное отношение к чему-либо, называется доменом этого отношения: таким образом, отцы — это домен отношения отца к ребенку, мужья — это домен отношения мужа к жене, жены — это домен отношения жены к мужу, а мужья и жены вместе — это домен отношения брака. Отношение жены к мужу называется обратным по отношению к отношению мужа к жене. Аналогично «меньше» — это обратное отношение к «больше», «позже» — обратное к «раньше» и так далее. Вообще, обратное отношение к данному — это то отношение, которое имеет место между y и x всякий раз, когда данное отношение имеет место между x и y. Обратный домен отношения — это домен его обратного отношения: таким образом, класс жен — это обратный домен отношения мужа к жене. Теперь мы можем сформулировать наше определение подобия следующим образом:

Один класс называется «подобным» другому, когда существует взаимно-однозначное отношение, доменом которого является один класс, а обратным доменом — другой.

Легко доказать (1) что каждый класс подобен самому себе, (2) что если класс A подобен классу B, то B подобен A, (3) что если A подобен B и B подобен C, то A подобен C. Отношение называется рефлексивным, когда оно обладает первым из этих свойств, симметричным, когда оно обладает вторым, и транзитивным, когда оно обладает третьим. Очевидно, что отношение, которое является симметричным и транзитивным, должно быть рефлексивным во всем своем домене. Отношения, обладающие этими свойствами, являются важным видом, и стоит отметить, что подобие — одно из таких отношений.

Здравому смыслу очевидно, что две конечные совокупности имеют одинаковое число членов, если они подобны, но не иначе. Акт счета состоит в установлении взаимно-однозначного соответствия между набором объектов, которые считают, и натуральными числами (исключая 0), которые используются в процессе. Соответственно, здравый смысл заключает, что в наборе, который нужно посчитать, столько же объектов, сколько чисел до последнего числа, использованного при счете. И мы также знаем, что, пока мы ограничиваемся конечными числами, существует ровно n чисел от 1 до n. Отсюда следует, что последнее число, использованное при счете совокупности, — это число членов в совокупности, при условии, что совокупность конечна. Но этот результат, помимо того, что применим только к конечным совокупностям, зависит от того факта, что два класса, которые подобны, имеют одинаковое число членов, и предполагает его; ибо то, что мы делаем, когда считаем (скажем) 10 объектов, — это показываем, что набор этих объектов подобен набору чисел от 1 до 10. Понятие подобия логически предполагается в операции счета и логически проще, хотя и менее знакомо. При счете необходимо брать объекты, которые считают, в определенном порядке, как первый, второй, третий и т. д., но порядок не является сущностью числа: это несущественное дополнение, ненужное усложнение с логической точки зрения. Понятие подобия не требует порядка: например, мы видели, что число мужей такое же, как число жен, без необходимости устанавливать порядок старшинства между ними. Понятие подобия также не требует, чтобы классы, которые подобны, были конечными. Возьмем, например, натуральные числа (исключая 0) с одной стороны и дроби, у которых 1 является числителем, с другой стороны: очевидно, что мы можем соотнести 2 с 1/2, 3 с 1/3 и так далее, тем самым доказывая, что два класса подобны.

Мы можем, таким образом, использовать понятие «подобия», чтобы решить, когда две совокупности должны принадлежать к одному и тому же пучку, в том смысле, в котором мы задавали этот вопрос ранее в этой главе. Мы хотим сделать один пучок, содержащий класс, который не имеет членов: это будет для числа 0. Затем мы хотим пучок всех классов, которые имеют один член: это будет для числа 1. Затем, для числа 2, мы хотим пучок, состоящий из всех пар; затем один из всех трио; и так далее. Имея любую совокупность, мы можем определить пучок, к которому она должна принадлежать, как класс всех тех совокупностей, которые «подобны» ей. Очень легко увидеть, что если (например) совокупность имеет три члена, класс всех тех совокупностей, которые подобны ей, будет классом трио. И какое бы число членов ни имела совокупность, те совокупности, которые «подобны» ей, будут иметь одинаковое число членов. Мы можем принять это как определение «иметь одинаковое число членов». Очевидно, что оно дает результаты, соответствующие употреблению, пока мы ограничиваемся конечными совокупностями.

До сих пор мы не предложили ничего, что было бы хоть в малейшей степени парадоксальным. Но когда мы переходим к фактическому определению чисел, мы не можем избежать того, что на первый взгляд должно казаться парадоксом, хотя это впечатление скоро пройдет. Мы естественно думаем, что класс пар (например) — это нечто отличное от числа 2. Но нет никаких сомнений относительно класса пар: он несомненен и его несложно определить, тогда как число 2 в любом другом смысле — это метафизическая сущность, о которой мы никогда не можем быть уверены, что она существует или что мы ее выследили. Поэтому благоразумнее довольствоваться классом пар, в котором мы уверены, чем охотиться за проблематичным числом 2, которое всегда должно оставаться неуловимым. Соответственно, мы устанавливаем следующее определение:

Число класса — это класс всех тех классов, которые подобны ему.

Таким образом, число пары будет классом всех пар. Фактически, класс всех пар будет числом 2 согласно нашему определению. Ценой небольшой странности это определение обеспечивает определенность и несомненность; и нетрудно доказать, что числа, определенные таким образом, обладают всеми свойствами, которые мы ожидаем от чисел.

Теперь мы можем перейти к определению чисел в общем как любого из пучков, в которые подобие собирает классы. Число будет набором классов таким, что любые два подобны друг другу, и никто вне набора не подобен никому внутри набора. Иными словами, число (в общем) — это любая совокупность, которая является числом одного из своих членов; или, еще проще:

Число — это что угодно, что является числом некоторого класса.

Такое определение имеет словесный вид кругового, но на самом деле это не так. Мы определяем «число данного класса» без использования понятия числа в общем; поэтому мы можем определить число в общем в терминах «числа данного класса», не совершая никакой логической ошибки.

Определения такого рода на самом деле очень распространены. Класс отцов, например, пришлось бы определять, сначала определив, что значит быть отцом кого-то; тогда класс отцов — это все те, кто является чьим-то отцом. Аналогично, если мы хотим определить квадратные числа (скажем), мы должны сначала определить, что мы подразумеваем, говоря, что одно число является квадратом другого, а затем определить квадратные числа как те, которые являются квадратами других чисел. Такой порядок действий очень распространен, и важно осознать, что он законен и даже часто необходим.

Теперь мы дали определение чисел, которое послужит для конечных совокупностей. Остается увидеть, как оно послужит для бесконечных совокупностей. Но сначала мы должны решить, что мы подразумеваем под «конечным» и «бесконечным», что нельзя сделать в рамках настоящей главы.

ГЛАВА III КОНЕЧНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

Ряд натуральных чисел, как мы видели в Главе I, может быть полностью определен, если мы знаем, что подразумеваем под тремя терминами «0», «число» и «преемник». Но мы можем пойти на шаг дальше: мы можем определить все натуральные числа, если знаем, что подразумеваем под «0» и «преемником». Это поможет нам понять разницу между конечным и бесконечным, увидеть, как это можно сделать и почему метод, которым это делается, нельзя распространить за пределы конечного. Мы пока не будем рассматривать, как должны быть определены «0» и «преемник»: мы на данный момент предположим, что знаем, что означают эти термины, и покажем, как отсюда могут быть получены все остальные натуральные числа.

Легко увидеть, что мы можем достичь любого заданного числа, скажем 30 000. Мы сначала определяем «1» как «преемник 0», затем определяем «2» как «преемник 1» и так далее. В случае заданного числа, такого как 30 000, доказательство того, что мы можем достичь его, продвигаясь шаг за шагом таким образом, может быть сделано, если у нас хватит терпения, путем фактического эксперимента: мы можем продолжать, пока действительно не придем к 30 000. Но хотя метод эксперимента доступен для каждого конкретного натурального числа, он не доступен для доказательства общего положения, что всех таких чисел можно достичь таким образом, т. е. продвигаясь от 0 шаг за шагом от каждого числа к его преемнику. Есть ли какой-либо другой способ, которым это можно доказать?

Рассмотрим этот вопрос с другой стороны. Какие числа можно получить, имея термины «0» и «последующий»? Существует ли какой-либо способ определить весь класс таких чисел? Мы получаем 1 как последующее 0; 2 как последующее 1; 3 как последующее 2 и так далее. Именно это «и так далее» мы хотим заменить чем-то менее расплывчатым и неопределенным. У нас может возникнуть искушение сказать, что «и так далее» означает, что процесс перехода к последующему может быть повторен конечное число раз; но проблема, которой мы занимаемся, — это проблема определения «конечного числа», и поэтому мы не должны использовать это понятие в нашем определении. Наше определение не должно предполагать, что мы знаем, что такое конечное число.

Ключ к нашей проблеме лежит в математической индукции. Напомним, что в главе I это было пятое из пяти примитивных предложений, которые мы сформулировали относительно натуральных чисел. Оно гласило, что любое свойство, принадлежащее 0 и последующему любого числа, обладающего этим свойством, принадлежит всем натуральным числам. Тогда это было представлено как принцип, но теперь мы примем его в качестве определения. Нетрудно заметить, что термины, подчиняющиеся ему, — это те же самые числа, которые можно получить из 0 путем последовательных шагов от одного к другому, но, поскольку этот момент важен, мы изложим его более подробно.

Нам следует начать с некоторых определений, которые будут полезны и в других контекстах.

Свойство называется «наследственным» в ряду натуральных чисел, если всякий раз, когда оно принадлежит числу n, оно также принадлежит n', последующему числа n. Аналогично, класс называется «наследственным», если всякий раз, когда n является членом класса, таковым является и n'. Легко видеть, хотя мы еще не должны этого знать, что сказать, что свойство является наследственным, — это то же самое, что сказать, что оно принадлежит всем натуральным числам, не меньшим некоторого одного из них; например, оно должно принадлежать всем, которые не меньше 100, или всем, которые не меньше 1000, или, возможно, оно принадлежит всем, которые не меньше 0, т. е. всем без исключения.

Свойство называется «индуктивным», когда оно является наследственным свойством, принадлежащим 0. Аналогично, класс является «индуктивным», когда он представляет собой наследственный класс, членом которого является 0.

Если дан наследственный класс, членом которого является 0, то из этого следует, что 1 является его членом, поскольку наследственный класс содержит последующие своих членов, а 1 — это последующее 0. Аналогично, если дан наследственный класс, членом которого является 1, то из этого следует, что 2 является его членом; и так далее. Таким образом, мы можем доказать с помощью пошаговой процедуры, что любое заданное натуральное число, скажем 30 000, является членом каждого индуктивного класса.

Мы определим «потомство» данного натурального числа по отношению к отношению «непосредственно предшествующее» (которое является обратным отношению «последующее») как все те члены, которые принадлежат каждому наследственному классу, к которому принадлежит данное число. Опять же легко видеть, что потомство натурального числа состоит из него самого и всех больших натуральных чисел; но этого мы также пока официально не знаем.

Согласно приведенным выше определениям, потомство 0 будет состоять из тех членов, которые принадлежат каждому индуктивному классу.

Теперь нетрудно сделать очевидным, что потомство 0 — это то же самое множество, что и те члены, которые могут быть получены из 0 путем последовательных шагов от одного к другому. Ибо, во-первых, 0 принадлежит обоим этим множествам (в том смысле, в каком мы определили наши термины); во-вторых, если n принадлежит обоим множествам, то и n' также принадлежит им. Следует заметить, что мы имеем здесь дело с такого рода материей, которая не допускает точного доказательства, а именно со сравнением относительно расплывчатой идеи с относительно точной. Понятие «тех членов, которые могут быть получены из 0 путем последовательных шагов от одного к другому» расплывчато, хотя и кажется, что оно передает определенный смысл; с другой стороны, «потомство 0» точно и эксплицитно именно там, где другое понятие туманно. Это можно принять за то, что мы имели в виду, когда говорили о членах, которые могут быть получены из 0 путем последовательных шагов.

Теперь мы вводим следующее определение:

«Натуральные числа» — это потомство 0 по отношению к отношению «непосредственно предшествующее» (которое является обратным отношению «последующее»).

Таким образом, мы пришли к определению одной из трех примитивных идей Пеано через две другие. В результате этого определения два из его примитивных предложений — а именно то, которое утверждает, что 0 является числом, и то, которое утверждает математическую индукцию, — становятся ненужными, поскольку они вытекают из определения. То, которое утверждает, что последующее натурального числа является натуральным числом, необходимо только в ослабленной форме: «каждое натуральное число имеет последующее».

Мы, конечно, можем легко определить «0» и «последующее» с помощью определения числа в целом, к которому мы пришли в главе II. Число 0 — это число членов в классе, который не имеет членов, т. е. в классе, который называется «нулевым классом». Согласно общему определению числа, число членов в нулевом классе — это множество всех классов, подобных нулевому классу, т. е. (как легко доказать) множество, состоящее только из нулевого класса, т. е. класс, единственным членом которого является нулевой класс. (Это не тождественно нулевому классу: он имеет один член, а именно нулевой класс, тогда как сам нулевой класс не имеет членов. Класс, который имеет один член, никогда не тождественен этому одному члену, как мы объясним, когда перейдем к теории классов.) Таким образом, мы имеем следующее чисто логическое определение:

0 — это класс, единственным членом которого является нулевой класс.

Остается определить «последующее». Пусть дана любая число n, пусть α — класс, который имеет n членов, и пусть x — член, который не является членом α. Тогда класс, состоящий из α с добавленным x, будет иметь n' членов. Таким образом, мы имеем следующее определение:

Последующее числа членов в классе α — это число членов в классе, состоящем из α вместе с x, где x — любой член, не принадлежащий классу α.

Для того чтобы сделать это определение совершенным, требуются некоторые тонкости, но они не должны нас беспокоить.[5] Напомним, что мы уже дали (в главе II) логическое определение числа членов в классе, а именно: мы определили его как множество всех классов, которые подобны данному классу.

[5] См. Principia Mathematica, том II, * 110.

Таким образом, мы свели три примитивные идеи Пеано к идеям логики: мы дали им определения, которые делают их определенными, более не способными к бесконечному множеству различных значений, какими они были, когда они были детерминированы лишь в той мере, в какой они подчинялись пяти аксиомам Пеано. Мы удалили их из фундаментального аппарата терминов, которые должны быть просто восприняты, и тем самым увеличили дедуктивную артикуляцию математики.

Что касается пяти примитивных предложений, нам уже удалось сделать два из них доказуемыми с помощью нашего определения «натурального числа». Как обстоят дела с оставшимися тремя? Очень легко доказать, что 0 не является последующим никакого числа и что последующее любого числа является числом. Но существует трудность с оставшимся примитивным предложением, а именно: «никакие два числа не имеют одинакового последующего». Трудность не возникает, если только общее число индивидов во вселенной не является конечным; ибо, если даны два числа n и m, ни одно из которых не является общим числом индивидов во вселенной, легко доказать, что мы не можем иметь n' = m', если не имеем n = m. Но предположим, что общее число индивидов во вселенной равно (скажем) 10; тогда не было бы класса из 11 индивидов, и число 11 было бы нулевым классом. Таким же было бы и число 12. Таким образом, мы имели бы 11 = 12; следовательно, последующее 10 было бы тем же самым, что и последующее 11, хотя 10 не было бы тем же самым, что 11. Таким образом, мы имели бы два разных числа с одним и тем же последующим. Этот отказ третьей аксиомы, однако, не может возникнуть, если число индивидов в мире не является конечным. Мы вернемся к этой теме на более позднем этапе.[6]

[6] См. главу XIII.

Предполагая, что число индивидов во вселенной не является конечным, мы теперь преуспели не только в определении трех примитивных идей Пеано, но и в том, чтобы увидеть, как доказать его пять примитивных предложений с помощью примитивных идей и предложений, принадлежащих логике. Отсюда следует, что вся чистая математика, поскольку она выводима из теории натуральных чисел, является лишь продолжением логики. Распространение этого результата на те современные разделы математики, которые не выводимы из теории натуральных чисел, не представляет никаких принципиальных трудностей, как мы показали в другом месте.[7]

[7] О геометрии, поскольку она не является чисто аналитической, см. Principles of Mathematics, часть VI; о рациональной динамике — там же, часть VII.

Процесс математической индукции, с помощью которого мы определили натуральные числа, поддается обобщению. Мы определили натуральные числа как «потомство» 0 по отношению к отношению числа к его непосредственному последующему. Если мы назовем это отношение R, любое число n будет иметь это отношение к n'. Свойство является «наследственным по отношению к R», или просто «R-наследственным», если всякий раз, когда свойство принадлежит числу n, оно также принадлежит n', т. е. числу, к которому n имеет отношение R. И число m будет называться принадлежащим к «потомству» n по отношению к отношению R, если m обладает каждым R-наследственным свойством, принадлежащим n. Эти определения могут быть применены к любому другому отношению точно так же, как и к R. Таким образом, если R — любое отношение вообще, мы можем сформулировать следующие определения:[8]

[8] Эти определения и обобщенная теория индукции принадлежат Готлобу Фреге и были опубликованы еще в 1879 году в его Begriffsschrift. Несмотря на огромную ценность этой работы, я, полагаю, был первым человеком, который когда-либо читал ее — более чем через двадцать лет после ее публикации.

Свойство называется «R-наследственным», когда, если оно принадлежит члену x и x имеет отношение R к y, то оно принадлежит y.

Класс является R-наследственным, когда его определяющее свойство является R-наследственным.

Член x называется «R-предком» члена y, если y обладает каждым R-наследственным свойством, которым обладает x, при условии, что x — это член, который имеет отношение R к чему-либо или к которому что-либо имеет отношение R. (Это лишь для исключения тривиальных случаев.)

«R-потомство» x — это все те члены y, для которых x является R-предком.

Мы сформулировали приведенные выше определения так, что если член является предком чего-либо, он является своим собственным предком и принадлежит к своему собственному потомству. Это сделано исключительно для удобства.

Заметим, что если мы возьмем в качестве R отношение «родитель», то «предок» и «потомство» будут иметь обычные значения, за исключением того, что человек будет включен в число своих собственных предков и потомков. Конечно, сразу очевидно, что «предок» должен быть определим через «родителя», но до тех пор, пока Фреге не разработал свою обобщенную теорию индукции, никто не мог точно определить «предка» через «родителя». Краткое рассмотрение этого момента послужит демонстрацией важности теории. Человек, впервые столкнувшийся с проблемой определения «предка» через «родителя», естественно сказал бы, что x является предком y, если между x и y находится определенное число людей, z1, z2, ..., zn, из которых x является родителем z1, каждый zi является родителем следующего, вплоть до последнего zn, который является родителем y. Но это определение не является адекватным, если мы не добавим, что число промежуточных членов должно быть конечным. Возьмем, например, такой ряд: ... -1/2, -1/3, -1/4, 1/4, 1/3, 1/2 ... Здесь у нас сначала ряд отрицательных дробей без конца, а затем ряд положительных дробей без начала. Скажем ли мы, что в этом ряду -1/4 является предком 1/4? Это будет так согласно определению новичка, предложенному выше, но это не будет так согласно любому определению, которое даст тот тип идеи, который мы хотим определить. Для этой цели существенно, чтобы число посредников было конечным. Но, как мы видели, «конечное» должно быть определено с помощью математической индукции, и проще определить отношение предка в общем виде сразу, чем определять его сначала только для случая отношения n к n', а затем распространять на другие случаи. Здесь, как и постоянно в других местах, общность с самого начала, хотя она и может потребовать больше размышлений вначале, в конечном счете сэкономит мышление и увеличит логическую мощь.