«Фундаментальная философия, том 2»

ГЛАВА II.

ВАЖНОСТЬ И АНОМАЛИЯ ВОПРОСОВ ОБ ИДЕЕ БЕСКОНЕЧНОГО.

12. Исследование идеи бесконечного имеет высочайшую важность не только потому, что мы встречаем ее в различных науках, в том числе в точных, но и потому, что это одна из главных характеристик, с помощью которых мы отличаем Бога от творений. Конечный Бог не был бы Богом; бесконечное творение не было бы творением.

В шкале конечных существ мы обнаруживаем градацию, посредством которой они взаимосвязаны; менее совершенные, по мере своего совершенствования, приближаются к совершенному; и существуют, при сохранении пределов природы каждого из них, точки сравнения, с помощью которых мы можем измерить их соответствующие расстояния. Между конечным и бесконечным нет сравнения; все меры неадекватны и равны ничему. Мы переходим от незаметной капли к необъятному океану; от атома, ускользающего от наблюдения, к изобилию материи, рассеянной по всему пространству; и как бы много ни выражали эти переходы, они ничто по сравнению с переходом от конечного к бесконечному; эти океаны, по сравнению с бесконечной истиной, в свою очередь становятся незаметными каплями, и таким образом бесконечная шкала ставит в тупик усилия разума в поисках чего-то, что соответствовало бы его идее. Исследование идеи бесконечного должно занимать важное место в изучении философии, даже если бы оно не служило никакой другой цели, кроме созерцания бесконечного величия.

13. Споры об идее бесконечного, не только в отношении ее природы, но и в отношении ее существования, представляют собой странную аномалию. Если она существует в нашем разуме, она должна заполнять его полностью, так что было бы невозможно перестать ее воспринимать. Тем не менее хорошо известно, что философы спорят даже о существовании этой идеи; хотя это бесконечное сокровище, те, кто обладает им, сомневаются в его реальности — точно так же, как герои в романах, когда они оказываются в богато и пышно украшенном замке, воображают, что это результат волшебства.

14. Простой спор о том, является ли идея бесконечного позитивной или негативной, равносилен вопросу о ее существовании. Если она негативна, она выражает отсутствие бытия; если позитивна — полноту бытия. Какой вопрос может быть более жизненно важным для идеи, чем спор о том, представляет ли она отсутствие или полноту бытия?

15. Здесь мы снова сталкиваемся с фактом, который мы наблюдали в предыдущих дискуссиях. Разум, подкапываясь под свои собственные основания, оказывается под угрозой гибели под руинами своих высочайших сооружений.

ГЛАВА III.

ИМЕЕМ ЛИ МЫ ИДЕЮ БЕСКОНЕЧНОГО?

16. Если бы у нас не было идеи бесконечного, слово не имело бы для нас никакого значения, и при его использовании оно не было бы понято.

17. Какова бы ни была природа и совершенство нашей идеи бесконечного, несомненно, что она включает в себя нечто фиксированное и общее для всех интеллектов. Мы применяем эту идею к вещам самых разных порядков, и она всегда понимается в одном и том же смысле всеми людьми. Даже трудность, которую мы испытываем, пытаясь объяснить ее, саму по себе или в ее применениях, проистекает из самой идеи; это трудность, с которой мы все сталкиваемся, потому что мы все одинаковым образом постигаем то, что понимается под бесконечным, взятым в общем смысле.

18. Бесконечное и неопределенное выражают очень разные значения. Бесконечное подразумевает отсутствие пределов; неопределенное подразумевает, что эти пределы постоянно удаляются от нас; оно абстрагируется от их существования и лишь говорит, что они не могут быть назначены.

19. Все, что существует, является конечным или бесконечным; ибо оно либо имеет пределы, либо нет: в первом случае оно конечно, во втором — бесконечно: нет середины между «да» и «нет».

20. Следовательно, строго говоря, в реальности нет ничего неопределенного; это слово выражает лишь способ постижения вещей, или, скорее, расплывчатость в постижении, или нерешительность в суждении. Когда мы не знаем пределов чего-либо и, с другой стороны, не осмеливаемся утверждать его бесконечность, мы называем это неопределенным. Так, пространство называют неопределенным те, кто не видит способа назначить ему предел, и все же не желает говорить, что оно бесконечно. Даже в обычном языке мы называем неопределенным то, чему не назначены пределы; так, мы говорим: «концессия была сделана на неопределенное время», хотя она ограничена каким-то временем, которое не было определено.

21. Идея бесконечного не состоит в том, чтобы постигать, что к данной величине всегда может быть добавлена другая величина или что совершенство может быть сделано более интенсивным; это выражает лишь возможность ряда концепций, с помощью которых мы пытаемся приблизиться к абсолютной идее бесконечного. Легко видеть, что абсолютная идея — это нечто отличное от этих концепций, потому что мы рассматриваем ее как тип, к которому отсылается ряд связей, но которому он никогда не может быть равен, как бы долго он ни продолжался.

22. Рассмотрим слова, в которых мы естественно выражаем то, что происходит внутри нас, когда мы думаем о бесконечном.

Что такое бесконечная линия? Линия, у которой нет пределов. Является ли она миллионом или миллиардом миль в длину? Нет числа, чтобы выразить ее длину; она всегда будет больше числа. Но не приближаемся ли мы к бесконечному по мере того, как продлеваем конечную линию? Конечно, постольку, поскольку «приближение» означает лишь размещение количеств, которые находятся в том, к чему мы приближаемся; но не постольку, поскольку это означает, что эта разница может быть назначена. Нет сравнения между конечным и бесконечным; и поэтому невозможно назначить разницу между ними. Будет ли бесконечная линия образована сложением всех конечных линий? Нет; ибо мы можем постичь умножение каждого из членов сложения, а следовательно, и увеличение в бесконечном, что было бы абсурдом. Состоит ли бесконечность линии в том, что мы не знаем ее пределов или не думаем о них? Нет; но в том, что у нее их нет.

23. Таким образом, мы видим, что идея бесконечного доступна самым обычным интеллектам и выражает лишь то, что сказал бы любой человек с обычным пониманием, даже если бы он никогда не занимался философскими исследованиями; что идея бесконечного находится в нашем понимании как постоянный тип, к которому все конечные представления не способны прийти. Мы знаем условия, которые должны быть выполнены, но в то же время мы видим невозможность их выполнения. Когда кто-то пытается убедить нас в обратном, мы размышляем об идее бесконечного и говорим: «Нет; это противоречие бесконечности; это не бесконечное, а конечное». Мы прекрасно различаем отсутствие восприятия предела и его несуществование. Если кто-то пытается заставить нас смешать эти две идеи, мы отвечаем: «Нет; их нельзя смешивать; есть большая разница между тем, что мы не воспринимаем объект, и несуществованием этого объекта, и мы сейчас исследуем не то, постигаем ли мы предел, а то, существует ли он». Хотя предел удаляется и скрывается, так сказать, от наших глаз, мы не обмануты: он существует или не существует. Если он существует, условие, включенное в концепцию бесконечности, не выполнено, и объект не бесконечен, а конечен; если он не существует, есть истинная бесконечность — условие соблюдено.

24. Когда идея бесконечного рассматривается в общем, ее никогда нельзя смешивать с идеей конечного. Существует линия, которая разделяет их и предотвращает всякую ошибку; ибо это сам принцип противоречия; это различие между «да» и «нет». Когда мы говорим «конечное», мы утверждаем предел; когда мы говорим «бесконечное», мы отрицаем его. Никакие идеи не могут быть более ясными или точными.

ГЛАВА IV.

ПРЕДЕЛ.

25. Слово «бесконечное» эквивалентно «не конечному» и, по-видимому, выражает отрицание. Но отрицания не всегда являются таковыми в действительности, хотя термины это подразумевают; ибо если то, что отрицается, является отрицанием, то отрицание его есть утверждение. Вот почему говорят, что два отрицания эквивалентны утверждению. Если я говорю: «оно не изменилось», а вы отрицаете это, вы отрицаете мое отрицание; ибо одно и то же — отрицать, что оно не изменилось, или утверждать, что оно изменилось. Поэтому, чтобы определить, выражает ли слово «бесконечное» истинное отрицание, мы должны знать, что имеется в виду под словом «конечное».

26. Конечное — это то, что имеет предел. Предел — это термин, за которым нет ничего от ограниченного объекта. Пределы линии — это точки, за которыми линия не простирается; предел числа — это край, на котором число останавливается; предел человеческого знания — это точка, до которой мы можем дойти, но за которую не можем выйти. Поскольку предел является отрицанием, отрицать предел — значит отрицать отрицание, и, следовательно, это утверждение.

27. Из этих примеров легко видеть, что предел в обычном смысле выражает идею, отличную от той, которую определяют математики. Они называют пределом каждое выражение, будь то конечное, бесконечное или нулевое, к которому величина может постоянно приближаться, никогда не достигая его. Так, значение 0/a является пределом убывания дроби, числитель которой есть переменная x/a; потому что, если мы предположим, что X постоянно уменьшается, дробь будет приближаться к выражению 0/a, никогда не смешиваясь с ним, пока X не исчезнет полностью. Если мы предположим (b + x)/a — выражение, в котором X убывает, выражение будет постоянно приближаться к (b + 0)/a = b/a, что будет пределом дроби. Если мы предположим выражение a/x, в котором X убывает, мы будем постоянно приближаться к выражению a/0 = ∞, бесконечному значению, которого дробь никогда не сможет достичь, пока X не станет 0, что не может произойти, потому что X — это истинная величина. Эти примеры показывают, что математики допускают пределы, которые являются конечными, бесконечными или нулевыми, и доказывают, что математики используют слово «предел» в ином смысле, чем его обычное, а также философское значение.

28. Предел, следовательно, выражает истинное отрицание, и слово «конечное» или «ограниченное» обязательно включает в себя негативную идею. То, чего нет, не ограничено; следовательно, конечное не является абсолютным отрицанием. Абсолютное отрицание — это ничто, а мы не называем конечное ничем. Следовательно, в идее конечного содержатся бытие и отрицание другого бытия. Линия длиной в один фут включает в себя положительное значение в один фут и отрицание всякого значения более одного фута. Следовательно, конечное, постольку, поскольку оно конечно, включает в себя отрицание относительно бытия. Если бы мы могли выразить эту идею в абстрактном виде, используя слово «финитность», как у нас есть слово «инфинитность», мы бы сказали, что финитность сама по себе выражает лишь отрицание бытия относительно бытия.

29. Следовательно, слово «бесконечное» не является отрицательным; ибо это отрицание отрицания. Бесконечное — это не-конечное; это то, что не имеет отрицания бытия, следовательно, то, что обладает всем бытием.

30. Таким образом, у нас есть идея бесконечного, и эта идея не является чистым отрицанием. Но не следует полагать, что мы достигли последнего термина анализа бесконечного. Мы все еще далеки от него, и даже сомнительно, получим ли мы какой-либо удовлетворительный результат после долгих исследований.

ГЛАВА V.

СООБРАЖЕНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ИДЕИ БЕСКОНЕЧНОГО К НЕПРЕРЫВНЫМ ВЕЛИЧИНАМ И К ДИСКРЕТНЫМ ВЕЛИЧИНАМ, ПОСКОЛЬКУ ПОСЛЕДНИЕ ВЫРАЖЕНЫ В РЯДАХ.

31. Одно из характерных свойств идеи бесконечного — это применение к различным порядкам. Это дает повод для некоторых важных соображений, которые значительно помогают прояснить эту идею в нашем разуме.

32. Из точки, где я нахожусь, я провожу линию в направлении севера; очевидно, что я могу продлевать эту линию бесконечно. Эта линия больше, чем любая конечная линия может быть; ибо конечная линия должна иметь определенное значение, и поэтому, если ее поместить на бесконечную линию, она дойдет только до определенной точки. Эта линия, следовательно, кажется строго бесконечной во всей силе этого слова, потому что нет середины между конечным и бесконечным, и мы показали, что она не является конечной, поскольку она больше любой конечной линии; следовательно, она должна быть бесконечной.

Эта демонстрация, кажется, не оставляет желать ничего лучшего; однако существует убедительный аргумент против бесконечности этой линии. Бесконечное не имеет пределов, а эта линия имеет предел, потому что, начинаясь от точки, из которой она проведена в направлении севера, она не простирается в направлении юга.

33. Эта линия больше любой конечной линии; но мы можем найти другую линию, еще большую. Если мы предположим, что она продолжена в направлении юга, она будет больше на столько, на сколько она продолжена к югу; и если она будет бесконечно продолжена в этом направлении, ее длина будет вдвое больше длины первой линии.

34. Бесконечным продлением линии в двух противоположных направлениях мы, кажется, получаем абсолютно бесконечную линию; ибо мы не можем постичь линейное значение, большее, чем значение прямой линии, бесконечно продленной в противоположных направлениях. Но это не так: рядом с этой прямой линией можно провести другую, либо конечную, либо бесконечную, и сумма двух образует линейное значение, большее, чем значение первой линии; следовательно, та линия не является бесконечной, потому что возможно найти другую, еще большую. И поскольку, с другой стороны, мы можем проводить бесконечные линии и продлевать их бесконечно, из этого следует, что ни одна из них не может образовать бесконечное линейное значение, потому что это лишь часть линейной суммы, получающейся в результате сложения всех линий.

35. Размышляя об этом кажущемся противоречии в наших идеях, мы обнаруживаем, что идея бесконечного является неопределенной, а следовательно, восприимчивой к различным применениям. Так, в данном случае, нельзя сомневаться, что прямая линия, продленная до бесконечности, имеет некоторую бесконечность, поскольку несомненно, что она не имеет предела в своих соответствующих направлениях.

36. Этот пример заставил бы нас поверить, что идея бесконечного не представляет нам ничего абсолютного; потому что даже среди тех объектов, которые представлены нашему разуму наиболее ясно, таких как объекты чувственной интуиции, мы находим бесконечность под одним аспектом, который противоречит другому.

37. То, что мы наблюдали относительно линейных значений, верно и для числовых значений, выраженных в рядах. Математика говорит о бесконечных рядах, но таких рядов быть не может. Пусть ряд будет a, b, c, d, e, ....: он называется бесконечным, если его члены продолжаются ad infinitum. Нельзя отрицать, что ряд бесконечен под одним аспектом; ибо нет предела, который положил бы ему конец в одном смысле; но очевидно, что число его членов никогда не будет бесконечным, потому что есть другие, большие; таков, например, ряд, продолженный слева направо, если он продолжен справа налево в то же время, таким образом:

.......... e, d, c, b, | a, b, c, d, e, ..........

В этом случае число членов очевидно вдвое больше, чем в первом ряду.

Следовательно, ряды, которые называются бесконечными, не являются бесконечными и не могут быть таковыми в строгом смысле этого термина.

38. Но что еще более странно, так это то, что ряд не является бесконечным, даже если мы предположим, что он продолжен в противоположных направлениях; ибо рядом с ним мы можем вообразить другой, и сумма членов обоих будет больше, чем члены каждого из них; следовательно, ни один из них не будет бесконечным. Поскольку очевидно, что каким бы ни был ряд, мы всегда можем вообразить другие, из этого следует, что не может быть бесконечного ряда в том смысле, в каком математики используют слово «ряд» для выражения продолжения членов, не исключая возможности других продолжений, помимо предполагаемого бесконечного продолжения.

39. Возражения против линейной бесконечности в равной степени применимы к поверхностям. Если мы предположим бесконечную плоскость, очевидно, что мы можем описать бесконечность плоскостей, отличных от первой плоскости и пересекающих ее под различными углами; сумма всех этих поверхностей будет больше, чем любая из них. Следовательно, бесконечное расширение плоскости во всех направлениях не составляет истинно бесконечную поверхность.

40. Тело, расширяющееся во всех направлениях, кажется бесконечным; но если мы учтем, что математическая идея тела не включает в себя непроницаемость, мы увидим, что внутри первого тела можно поместить второе, которое, будучи добавлено к первому, даст значение, вдвое превышающее значение одного только первого. Пусть S — пустое пространство, которое мы воображаем бесконечным; и пусть W — мир равного расширения, помещенный в него и заполняющий его; очевидно, что S + W больше, чем S в одиночку. Следовательно, хотя мы предполагаем, что S бесконечно, = ∞, W также = ∞; следовательно, S + W = ∞ + ∞ = 2 ∞. И поскольку это значение выражает размер, первое не является бесконечным, потому что его можно удвоить. Если мы возьмем непроницаемость, операция может продолжаться ad infinitum.

Следовательно, первое бесконечное, далеко не будучи бесконечным, кажется величиной, восприимчивой к бесконечному увеличению.

ГЛАВА VI.

ПРОИСХОЖДЕНИЕ РАСПЛЫВЧАТОСТИ И КАЖУЩИХСЯ ПРОТИВОРЕЧИЙ В ПРИМЕНЕНИИ ИДЕИ БЕСКОНЕЧНОГО.

41. Трудности в применении идеи бесконечности, по-видимому, с одной стороны, доказывают, что эта идея либо не существует в нас, либо очень смутна; а с другой стороны, что мы обладаем ею, и в очень совершенной степени. Почему мы обнаруживаем, что числа не бесконечны, хотя поначалу они кажутся таковыми? Почему мы отрицаем бесконечность определенных измерений, несмотря на их бесконечное продление в одном смысле? Потому что, исследуя эти объекты, мы обнаруживаем, что они не соответствуют типу бесконечности. Если бы этот тип не существовал в нашем разуме, как было бы возможно для нас использовать его? Как могли бы мы сравнивать существа с ним, если бы мы не знали его? Возможно ли знать, когда что-либо доходит до поворота, если у нас нет идеи этого поворота? Это сравнение без точки сравнения; то есть это совершение противоречивого акта.

42. Хотя эти аргументы в пользу существования идеи бесконечного, если мы исследуем наш собственный разум, мы не можем отрицать, что находим там некоторую расплывчатость и путаницу, которые внушают сильные сомнения в реальности этой идеи. Что представляется нашему разуму, когда мы думаем о бесконечном? Воображение, предоставленное самому себе, расширяет пространство, увеличивает измерения, умножает числа бесконечно, но оно не предлагает интеллекту ничего, что имело бы признаки бесконечности. Если мы оставим воображение и будем рассматривать только рассудок, он дает тип, по которому можно судить о бесконечности или не-бесконечности объектов, представленных ему, но если мы размышляем о самом типе, он теряет ясность, которой обладал ранее, и мы даже спрашиваем, существует ли тип на самом деле.

43. Отрицаем ли мы, следовательно, существование этой идеи? собираемся ли мы отказаться от нашего намерения объяснить ее? Мы не делаем ни того, ни другого. Я считаю, что необходимо признать эту идею, что ее не невозможно объяснить и что мы можем даже указать причину ее неясности.

44. Прежде чем идти дальше, я хочу заметить, что одна из причин трудностей в объяснении идеи бесконечного проистекает из того, что мы не различаем интуитивное и абстрактное познание. [36] Многие трудности были бы устранены, если бы мы обратили внимание на это различие. Когда мы говорим, что идея бесконечного не является интуитивной, а абстрактной, мы даем ключ к решению основных возражений, выдвигаемых против нее.

45. У нас нет интуитивной идеи бесконечности; то есть эта идея не представляет нашему разуму бесконечный объект; мы можем иметь эту интуицию только тогда, когда видим сущность Бога, что произойдет в будущей жизни.

46. Если бы мы сейчас имели интуицию бесконечного объекта, мы увидели бы его совершенства такими, какие они есть, с их истинными признаками; или, скорее, мы увидели бы, как все совершенства, рассеянные среди ограниченных существ, объединены в одном бесконечном совершенстве. Мы не могли бы отнести идею бесконечного к определенным объектам, как, например, к протяженности, потому что эти объекты противоречат идее. Нам было бы невозможно модифицировать идею разными способами и применять ее сначала в одном смысле, а затем в другом, совершенно ином смысле. Идея одна и проста; поэтому она всегда относилась бы к объекту, который также один и прост, не расплывчат и неопределен, как сейчас, а с определенностью необходимого существования и бесконечного совершенства. Мы имели бы интуицию бесконечного бытия, как мы имеем интуицию фактов нашего сознания: наше познание его было бы познанием объекта, в высшей степени некоммуникабельного как предикат к любому порядку конечных существ; и было бы столь же явным противоречием применять идею этой бесконечности к любому числу или протяженности, как было бы отождествлять акт нашего сознания с внешними объектами.

47. Неопределенный характер, в котором представляется нам идея бесконечного, и легкость, с которой мы модифицируем ее разными способами и применяем к различным объектам в разных смыслах, доказывает, что эта идея не является интуитивной, а абстрактной и неопределенной, что это одна из тех общих концепций, с помощью которых разум получает определенное знание, не предоставляемое интуицией.

Это объяснит происхождение расплывчатости нашей идеи бесконечности. Неопределенные концепции, и потому что они неопределенны, не относятся ни к какому конкретному объекту или качеству, которые могут быть постигнуты сами по себе, как нечто, что может быть реализовано; они не содержат тех определений, которые фиксируют наше познание абсолютным образом. Неопределенный способ, которым они представляют любое свойство существ, вызывает разницу в применении, в зависимости от того, различны ли конкретные свойства, которые сочетаются с общими. Если мы возьмем прямоугольный треугольник, в котором мы знаем меру всех сторон и углов, определенность идеи избегает расплывчатости интеллекта и предотвращает применение этой идеи к случаям, отличным от того, который определен и фиксирован. Но если мы возьмем прямоугольник в общем, не определяя значение его сторон и углов, его применения могут быть бесконечными. Чем более общей и неопределенной становится идея треугольника, тем больше разнообразие его применений.

48. Неопределенные идеи, чтобы представлять что-либо, должны быть применены к какому-либо свойству, которое является условием их актуальной или возможной реализации. Пока это применение не сделано, они являются чистыми интеллектуальными формами, которые не представляют ничего определенного. Я не имею в виду под этим, что эти идеи — пустые концепции, которые не могут быть применены вне чувственного порядка, как утверждал Кант; [37] но только то, что, признавая за ними универсальное значение, я отрицаю, что они имеют сами по себе значение, репрезентативное для чего-либо, что может быть реализовано, помимо свойства, которое они выражают. Идея «чистого» треугольника не может быть реализована, ибо каждый «реальный» треугольник содержал бы нечто большее, чем есть в идее: он был бы прямоугольным или косоугольным и т. д., все из чего чистая идея абстрагирует. Объект будет неопределенным пропорционально неопределенности свойств, содержащихся в концепции; следовательно, то, что представляется рассудку, также будет более расплывчатым, а применения, которые могут быть сделаны из идеи, будут более разнообразными и многочисленными, как это имеет место в идеях бытия, не-бытия, предела и тому подобного.

ГЛАВА VII.

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ АБСТРАКТНОЙ ИДЕИ БЕСКОНЕЧНОГО.

49. Предполагая, что наша идея бесконечного не является интуитивной, а абстрактной, посмотрим, как может быть объяснена ее истинная природа.

У нас есть идеи бытия и его противоположности, не-бытия; эти идеи, рассматриваемые сами по себе, являются общими, неопределенными и могут быть применены ко всему, что подвержено нашему опыту.

Мы можем утверждать и отрицать что-то о каждом конечном существе: мы можем утверждать, что оно есть: мы можем отрицать, что оно не есть: предел постигается как таковой только тогда, когда что-то отрицается в нем.

50. Активность нашего бытия непрерывна, но она ограничена отсутствием или сопротивлением объектов; внешний мир — это совокупность существ, представляющих большое разнообразие ограничений.

Следовательно, как внутренний, так и внешний опыт дают нам идею конечного, то есть существа, которое включает в себя некоторое не-бытие. Животное имеет чувственное восприятие, но не имеет понимания: оно «чувствительно», и в этом оно имеет бытие; оно «не разумно», и в этом оно ограничено. Человек чувствителен и разумен; предел животного — это не предел человека. Среди разумных существ одни понимают больше, чем другие; следовательно, предел всех не один и тот же.

51. Поскольку мы находим предел как во внутреннем, так и во внешнем опыте, очевидно, что мы можем сформировать общую идею предела, то есть отрицания, примененного к объекту.

52. Тот же опыт учит, что то, что является пределом одних вещей, не является пределом других, и что предел, примененный к одному объекту, должен быть отрицаем в отношении другого. Когда мы сравниваем различные существа друг с другом, мы часто обнаруживаем, что отрицаем определенные пределы. Поскольку наш рассудок обладает способностью к обобщению, очевидно, что мы можем постичь в общем отрицание «определенных» пределов и сформировать неопределенную концепцию, включающую две идеи: «отрицания» и «предела».

53. Я не вижу, какое возражение может быть сделано как против возможности, так и против существования этой концепции; но поскольку этот факт необходим для объяснения идеи бесконечности, я сделаю некоторые дальнейшие наблюдения с целью подтверждения этого.

У нас есть идея отрицания в общем; это примитивный факт нашего разума: без него невозможны были бы никакие отрицательные суждения, и мы не могли бы даже знать принцип противоречия. Невозможно, чтобы что-то «было и не было» в одно и то же время; когда мы говорим «не быть», мы выражаем отрицание, следовательно, у нас есть концепция отрицания. Эта концепция общая, потому что она не включает в себя никакой определенности; мы говорим о не-бытии, не применяя его к какому-либо конкретному объекту, и даже не к какому-либо определенному виду или роду. Следовательно, концепция отрицания является общей и абсолютно неопределенной.

54. У нас есть идея предела; ибо, как мы видели, это отрицание, примененное к бытию. У нас есть также идея отрицания предела; ибо точно так же, как мы постигаем предел как примененный или применимый, мы можем и действительно постигаем его как не примененный или не применимый. В каждый момент мы отрицаем определенные пределы; эта идея, обобщенная, становится отрицанием в общем предела в общем.

55. После этих замечаний мы можем установить, что содержится в идее бесконечного. Эта идея — общая концепция, включающая концепцию бытия в общем и отрицание предела в общем. Союз этих двух концепций составляет абстрактную идею бесконечного.

56. Общая концепция отрицания предела дает нам идею бесконечности в абстрактном виде, но не какую-либо бесконечную вещь. Без интуитивного познания бесконечного объекта, и имея лишь очень несовершенную идею о нем, мы можем говорить о бесконечности, не впадая в противоречие, и определять случаи, в которых она может быть применена к существу или к порядку существ, будь то реальных или возможных. У человека есть много идей такого расплывчатого рода, которые, тем не менее, отвечают его потребностям. Мы сделаем это очевидным на примерах.

57. Предположим, мы возьмем необразованного человека и укажем ему на ряд ученых людей, сказав ему, что один из них знает больше, чем все остальные. Необразованный человек не имеет представления о том, что знает человек, который знает больше всех, ни о том, кто знает меньше всех; у него нет представления о степенях науки, ни о том, что такое сама наука; но он обладает общими идеями степени, большего и меньшего, а также знания, и это позволяет ему говорить, без противоречия или путаницы, о большей науке одного и меньшей науке других, и даже решать с уверенностью вопросы, касающиеся науки этих индивидов, постольку, поскольку эти вопросы содержатся в общей идее о том, что наука одного больше, чем наука всех остальных.

Слуга в заведении, где собраны самые прекрасные произведения искусства, может говорить о них всех без противоречия или путаницы, хотя он может быть неспособен знать их достоинства и совершенно невежественен в обстоятельствах, которые составляют красоту объектов. Ему достаточно иметь идею совершенства или красоты в общем и расположить по определенным произвольным знакам степени совершенства или красоты объектов, чтобы иметь возможность указывать на них посетителям и говорить о большем мастерстве одного художника, о более бедном успехе другого; о большем эффекте и ценности работ первого и неполноценности работ второго, и делать другие замечания подобного рода, которые поначалу могли бы заставить нас предположить, что он искусный художник или, по крайней мере, любитель с большим интеллектом и изысканным вкусом.

58. Было бы легко показать на других примерах, насколько плодотворны некоторые общие идеи и как они могут подвергаться бесчисленным комбинациям, не представляя ничего определенного интеллекту. Это именно то, что происходит с идеей бесконечного: напрасно мы спрашиваем, что внутри нас соответствует ей: концепция бытия в общем и отрицания предела не представляют ничего фиксированного, кроме определенных абстрактных условий, к которым мы постоянно сводим объекты, подпадающие под нашу интуицию или представленные нам с определенными характерными свойствами, которые позволяют нам сформировать менее расплывчатую идею отрицания предела.

ГЛАВА VIII.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОСТИ, ПОДТВЕРЖДЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕМ К ПРОТЯЖЕННОСТИ.

59. Мы объяснили идею бесконечности в общем с помощью неопределенных концепций бытия и отрицания предела. Чтобы убедиться, что объяснение хорошо обосновано и что мы указали существенные признаки концепции, давайте исследуем, соответствует ли их применение к определенным объектам тому, что мы установили в общем.

Если идея бесконечности такова, какой мы ее определили, мы можем применить ее ко всем объектам чувственной интуиции или чистого рассудка, и мы получим результаты, которые должны получить, включая уже упомянутые аномалии. [38]

60. Аномалии, или, скорее, противоречия, которые мы, кажется, находим в применениях идеи бесконечного, когда что-либо представляется нам как бесконечное, что мы впоследствии обнаруживаем не таковым, происходят из применения этой идеи при различных условиях. Это разнообразие не было бы возможным, если бы идея представляла что-либо определенное; но поскольку она содержит только отрицание предела «в общем», соединенное с бытием «в общем», из этого следует, что мы подчиняем это отрицание частным условиям в каждом случае, и поэтому, когда мы переходим к другим условиям, общая идея не может дать нам тот же результат.

61. Линия, проведенная из точки, где мы находимся, в направлении севера и продолженная бесконечно, дает нам бесконечное и не-бесконечное. Это противоречие лишь кажущееся; в действительности существует только разница результата, вызванная условием, при котором применяется общая идея.

Когда мы рассматриваем линию, бесконечно продолженную к северу, мы применяем идею бесконечного не к линейному значению в абстрактном виде, а к прямой линии, начинающейся из точки и продолженной только в одном направлении. Результат таков, каким он должен быть. Отрицание предела утверждается при условии; бесконечное, которое получается, подчинено этому условию. Можно сказать, что нет середины между бесконечным и не-бесконечным; но легко решить эту трудность, если мы заметим, что «да» и «нет», чтобы быть противоречивыми, должны относиться к одной и той же вещи, что не является случаем, когда условия объекта изменены.

62. Если бы вместо линии, продолженной только в одном направлении, мы пожелали применить отрицание предела к прямой линии в общем, очевидно, что мы были бы обязаны продолжить линию в двух противоположных направлениях: что дало бы нам другое бесконечное при новом условии.

Мы уже видели ранее, что даже в этом случае мы не можем иметь линейное значение, строго бесконечное; потому что эта прямая линия составляет лишь часть суммы линий, которые мы можем вообразить. Является ли она тогда бесконечной или нет? Она является и тем, и другим, если мы сделаем правильное различие. Она будет бесконечной, или у нас будет идея бесконечности или отрицания предела, примененная к прямой линии «в одиночку»; но если вместо одной прямой линии «в одиночку» мы возьмем линейное значение без какого-либо условия, предполагаемая линия не будет бесконечной; отрицание предела не применено при этом условии; результат должен поэтому быть другим.

63. Мы находим ту же аномалию, если возьмем две линии в одиночку. Предположим, прямую линию, бесконечно продолженную в обоих направлениях, и рядом с ней опишем кривую с постоянными волнами, простирающуюся бесконечно в направлении, параллельном прямой линии. Обе линии будут бесконечными, если мы рассматриваем только их направление, абстрагируясь от их линейного значения; но если мы рассматриваем это значение, кривая больше, чем прямая линия; ибо очевидно, если мы возьмем часть кривой, соответствующую части прямой линии, и вытянем или выпрямим эту часть кривой, она будет больше, чем соответствующая часть прямой линии; поскольку это может быть сделано на всей длине линий, линейное значение кривой должно быть больше, чем значение прямой линии, пропорционально закону ее волн.

64. Этого может быть достаточно, чтобы показать, как идея бесконечности может быть применена при различных условиях и давать различные результаты, без какого-либо противоречия. То, что бесконечно под одним аспектом, не является таковым под другим аспектом; отсюда у нас есть «порядки бесконечностей», которые занимают так много места в математике; но я повторяю, что эти противоречия не поддаются никакому объяснению, если мы приписываем абсолютное значение идее бесконечного, вместо того чтобы рассматривать ее как абстрактное представление отрицания предела.

65. Возможно ли постичь в прямой линии или кривой абсолютно бесконечную длину или линейное значение, к которому мы можем применить отрицание предела абсолютно? Я думаю, нет: ибо какой бы ни была линия под рассмотрением, мы всегда можем провести другие, которые, будучи добавлены к первой, дадут значение, большее, чем значение первой выше. Это случай, в котором существует противоречие между отрицанием предела и условием, которому оно подчинено. Вы требуете линейное значение, к которому отрицание предела может быть применено абсолютно; и с другой стороны, вы требуете, чтобы это линейное значение было найдено в определенной линии, которая по факту того, что она определена, исключает абсолютное отрицание предела. Проблема предполагает противоречивые данные; следовательно, результат должен быть противоречием.

66. Что мы должны предположить, чтобы постичь абсолютно бесконечное линейное значение? Нам нужно лишь предположить отсутствие условия, которое исключает абсолютное отрицание предела. Мы должны здесь различать чистую концепцию и чувственную интуицию, в которой она выражена. Концепция бесконечного линейного значения существует с момента, когда мы объединяем две общие концепции линейного значения и отрицания предела. Но чувственную интуицию, которая может представлять эту концепцию, не так легко вообразить, даже в общем. Чтобы прийти к ней, мы должны вообразить пространство без какого-либо предела; и затем, рассматривая в общем все линии, будь то прямые линии или кривые, которые могут быть проведены в нем, во всех направлениях и при всех возможных условиях, мы должны взять сумму всех этих линейных значений; и результат будет абсолютно бесконечным линейным значением; ибо мы применим отрицание предела без какого-либо ограничения.

67. Мы можем получить таким же образом бесконечное поверхностное значение; ибо очевидно, что мы можем применить к нему все, что мы сказали о линейных значениях.

68. Во всех этих случаях мы применяем отрицание предела к протяженности, рассматриваемой только в некоторых из ее измерений. Если мы хотим получить абсолютно бесконечную протяженность, мы не должны абстрагироваться ни от какого измерения; следовательно, абсолютно бесконечное этого порядка — это протяженность во всех ее измерениях с абсолютным отрицанием предела. Но также следует заметить, что мы должны предположить абсолютно бесконечное значение протяженности, чтобы получить абсолютно бесконечное значение линий или поверхностей; потому что это эквивалентно предположению бесконечного пространства, в котором линии и поверхности могут быть проведены во всех направлениях и при всех возможных условиях.

ГЛАВА IX.

КОНЦЕПЦИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА.

69. Можем ли мы постичь бесконечное число? С одной стороны, кажется, нет; потому что мы сомневаемся в его возможности, и если бы мы обладали этой идеей, у нас не было бы сомнений в его существовании. С другой стороны, кажется, что мы можем постичь бесконечное число; ибо мы знаем немедленно, когда число не является бесконечным, и мы не могли бы знать этого, если бы у нас не было идеи бесконечного числа.

Наши наблюдения над бесконечными рядами, казалось бы, доказывают, что идея бесконечного числа — это иллюзия; ибо мы обнаруживаем, что те числа, которые мы считали бесконечными, таковыми не являются.

Я думаю, этот вопрос может быть решен на тех же принципах, что и вопросы последней главы. Я не вижу трудности в признании идеи бесконечного числа, ни того, как какое-либо противоречие может проистекать из нее.

70. Число — это совокупность единиц; это общая идея, потому что для постижения числа нам не нужно знать, какого класса или сколько единиц может быть. Идея числа в общем абстрагирует абсолютно все такие определения. Очевидно, что, какое бы число мы ни вообразили, мы всегда можем постичь другое, еще большее, и если мы назначим предел числу, мы всегда можем удалить его бесконечно, так что предел одного не является пределом другого. К идее числа мы присоединяем идею предела и отрицания другого предела. Следовательно, если мы присоединим к идее числа в общем идею отрицания предела в общем, мы получим идею бесконечного числа.

71. Что представляет собой эта идея? Она не представляет ничего определенного: это чисто абстрактное понятие, образованное из двух других абстрактных понятий — числа и отрицания предела. Ей не соответствует никакой определенный объект; это продукт нашего рассудка, отнесенный к объектам вообще, без какой-либо конкретизации. Теперь мы можем разрешить трудности, о которых упоминалось ранее.

72. Почему ряд членов представляется нам бесконечным, хотя при внимательном рассмотрении мы обнаруживаем, что в нем отсутствуют некоторые признаки бесконечности? Потому что в первом случае мы применяем отрицание предела при условии, которое не принимаем во внимание во втором случае.

Возьмем ряд a, b, c, d, e, ..........

Очевидно, что мы можем продолжать его бесконечно и мыслить отрицание всякого предела этого продолжения: в этом смысле число членов бесконечно, ибо идея отрицания предела действительно применяется к ряду. Когда мы спрашиваем, является ли число членов абсолютно бесконечным, мы абстрагируемся от условия, при котором мы объединили отрицание предела. Таким образом, то, что бесконечно в одном случае, не является таковым в другом. И все же здесь нет никакого противоречия, поскольку «да» и «нет» относятся к разным предположениям.

73. Возьмем линию и измерим ее футами. Продолжая эту линию, мы умножаем число футов; и мы можем мыслить отрицание всякого предела этого умножения. Тогда число футов будет бесконечным. Если вместо фута мы возьмем дюйм в качестве единицы измерения, мы получим число в двенадцать раз большее. Это число также было бы бесконечным, и таким образом мы получили бы два бесконечных числа, одно из которых больше другого. Есть ли в этом какое-либо противоречие? Конечно, нет: здесь лишь иное сочетание идей. В первом случае идея отрицания предела была подчинена условию деления линии на футы, тогда как во втором случае мы вводим иное условие: деление линии на дюймы.

74. Но, могут сказать, эти числа, рассматриваемые сами по себе, в отвлечении от их отношения к футам или дюймам, либо равны, либо не равны; следовательно, они либо бесконечны, либо не бесконечны. Возражение исчезает, как только мы исправляем ошибку, на которой оно основывается. Когда мы абстрагируемся от всякого отношения к определенным делениям, мы рассматриваем число вообще; при таком допущении существует не два случая, а только один; тогда не может быть отношения большего или меньшего. У нас есть лишь понятие числа вообще, соединенное с идеей отрицания предела вообще; следовательно, результатом должно быть бесконечное число в абстрактном смысле.

Трудность заключается в противоречии, которое ускользает от нашего взгляда на первый взгляд. Мы абстрагируемся от частных условий, чтобы узнать, являются ли числа сами по себе бесконечными или нет; и в то же время мы не абстрагируемся от них, ибо только в отношении к ним возражение имеет какой-либо смысл, поскольку оно предполагает деление на различные виды единиц. Поэтому, когда мы говорим о частных числах и в то же время претендуем на то, чтобы рассматривать их самих по себе, мы впадаем в противоречие, потому что берем числа одновременно и с частными условиями, и без них.

75. Из всего сказанного можно заключить, что понятие бесконечного числа, абстрагированное от природы и отношений вещей, которые исчисляются, не содержит противоречия, поскольку оно включает в себя только две идеи: числа как совокупности существ и абсолютного отрицания предела; но мы не можем утверждать только на этом основании, что бесконечное число может быть реализовано. Бесконечное число не может стать актуальным без бесконечной совокупности существ; и эти существа, будучи реализованными, не могут быть абстрактными существами, которые не содержат ничего, кроме бытия; они должны обладать характерными качествами и должны быть подчинены условиям, налагаемым этими качествами. Поскольку мы абсолютно абстрагируемся от этих условий в общем понятии, невозможно обнаружить из одного только понятия противоречие, которое они могут подразумевать. Следовательно, хотя в самом понятии нет противоречия, оно все же может существовать в реальности. Точно так же некоторые механические теории вполне мыслимы, но они не могут быть воплощены на практике из-за сопротивления материи, к которой они должны быть применены. Конечные существа — это материя, на которой должны быть реализованы неопределенные и метафизические концепции; возможность концепций не доказывает абсолютно возможность самих существ. Реальность может нести с собой определенные детерминации, влекущие за собой противоречие, которое было скрыто в общем понятии и становится явным благодаря реальности.

ГЛАВА X.

ПОНЯТИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ.

76. Мыслима ли бесконечная протяженность? Это понятие включает две идеи: идею протяженности и идею отрицания предела. Идея протяженности — это общее понятие, относящееся к интуиции, которая, чем бы она ни была сама по себе и в своем объекте, представляет протяженность и соединение трех измерений, чистой формой которых является пространство. Очевидно, что мы можем объединить в одном понятии две идеи: протяженности вообще и отрицания предела; и если это то, что называется идеей бесконечной протяженности, то ясно, что мы обладаем этой идеей. Это понятие бесконечной протяженности абстрагируется от всех условий реальности; мы не знаем, есть ли в природе протяженных вещей что-либо, что препятствует абсолютной бесконечности их протяженности; следовательно, мы не знаем, существует или нет какое-либо скрытое противоречие, которое общее понятие нам не раскрывает.

77. Следует помнить, что я говорю об идее, а не о чувственном представлении протяженности; ибо, хотя я придерживаюсь мнения, что мы можем иметь понятие бесконечной протяженности, я не думаю того же в отношении ее чувственного представления. Последнее может быть неопределенно расширено, но оно не может стать бесконечным.

Разум доказывает эту невозможность, о которой нам сообщает сознание. Внутренние чувственные представления являются лишь повторением внешних или, по крайней мере, сформированы из элементов, которые предоставляют последние. Зрение и осязание — это два чувства, которые породили представление о протяженности, и оба они предполагают предел. Осязание достигает только того, что непосредственно ему доступно, а зрение не может видеть без предела, который посылает ему лучи света. Внутренние чувственные представления всегда должны сохранять это ограничение; их объект может быть расширен, или предел может быть отодвинут на большее расстояние, но уничтожить этот предел означало бы уничтожить их самих. Следовательно, воображение бесконечной протяженности невозможно для любого чувствующего существа.

78. Выше (§ 40) я предложил возражение против бесконечности протяженности, поскольку мы можем представлять ее как величину без пределов.

Возражение состояло в том, что, поскольку идея непроницаемости не содержится в понятии твердого тела, мы можем вообразить бесконечный ряд бесконечностей, помещенных одна внутри другой. Эта трудность является убедительной только при обсуждении понятия твердого тела, которое содержит нечто большее, чем чистая идея протяженности. Идея протяженности необходимо предполагает, что одни части находятся вне других, и невозможно мыслить протяженность иначе. Несомненно, тело может быть расположено в части пространства; отнимая у этого тела его непроницаемость, мы можем поместить другое тело в то же самое место, и так до бесконечности; но в этом случае мы мыслим нечто помимо чистой протяженности, мы соединяем нечто, хотя и в общем и неопределенном виде, с идеей вещей, расположенных в пространстве; иначе мы не отличали бы пространство, представляющее чистую протяженность, от твердых тел, помещенных в него, и не отличали бы эти твердые тела друг от друга, если бы не признавали в них некоторого различия, пусть даже общего и неопределенного.

79. Представляется наиболее вероятным, что чистая идея бесконечной протяженности содержится в идее бесконечной величины, которая есть не что иное, как идея пространства. Все, что еще вводится в эту идею, является чужеродным элементом, добавляющим к чистой протяженности нечто, ей не принадлежащее, как, например, различие между протяженными существами, хотя и мыслимое в неопределенном виде.

ГЛАВА XI.

ВОЗМОЖНОСТЬ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ.

80. Что мы должны думать о возможности бесконечностей, которые мы мыслим? Давайте рассмотрим этот вопрос.

Возможна ли бесконечная протяженность? Нет никакой несовместимости между идеей протяженности и отрицанием предела, по крайней мере, согласно нашему способу их осмысления. Нам труднее мыслить протяженность абсолютно ограниченной, чем мыслить ее неограниченной: за всяким пределом мы воображаем пространство без конца.

81. Мы также не обнаруживаем никакой невозможности в существовании неограниченной протяженности, если рассматриваем вопрос в отношении божественного всемогущества. За пределами всякой протяженности Бог может создать другую протяженность; если мы предположим, что он применил свою творческую силу ко всей возможной протяженности, он должен был создать бесконечную протяженность.

82. Здесь возникает трудность. Если бы Бог создал бесконечную протяженность, он не смог бы создать другую протяженность; его сила была бы исчерпана, и, следовательно, она не была бы бесконечной.

Эта трудность проистекает из понимания бесконечной силы в ложном смысле. Когда мы говорим, что Бог может делать все, мы не имеем в виду, что он может делать вещи противоречивые: всемогущество не является абсурдным атрибутом, каким оно было бы, если бы применялось к вещам абсурдным. Абсолютно бесконечная протяженность противоречива по отношению к другой отличной от нее протяженности; ибо, будучи абсолютно бесконечной, она содержит все возможные протяженности. Если мы предположим, что она существует, никакая другая невозможна: утверждать, что Бог не мог бы произвести другую, — значит не ограничивать его всемогущество, а лишь сказать, что он не может сделать вещь, которая абсурдна.

83. Мы проясним это решение. Разум Бога бесконечен; и он не может понимать больше, чем понимает сейчас; всякий прогресс предполагал бы несовершенство, потому что он включал бы переход от меньшего разума к большему. Если, следовательно, мы говорим, что Бог никогда не будет понимать больше, чем он понимает сейчас, ограничиваем ли мы его разум? Конечно, нет. Он не может понимать больше, потому что он понимает все, что реально, и все, что возможно, и мы не можем без противоречия мыслить, что он может понимать больше, чем он понимает сейчас: это не значит ограничивать его разум, а значит утверждать его бесконечность: он не восприимчив к совершенствованию, потому что он бесконечен. Это позволит нам понять выражение «не может» применительно к Богу. То, что отрицается, — это не совершенство, а абсурд: поэтому Святой Фома весьма уместно замечает, что нам гораздо лучше сказать, что вещь не может быть сделана, чем что Бог не может ее сделать.

ГЛАВА XII.

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВОЗРАЖЕНИЙ ПРОТИВ ВОЗМОЖНОСТИ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ.

84. Дискуссии о возможности бесконечной протяженности имеют очень древнюю историю. Как могло быть иначе? Разве величественное зрелище вселенной и пространство, которое мы воображаем за границами всех миров, не должны были естественным образом породить вопросы о существовании или возможности предела этой необъятности?

Некоторые философы считают бесконечную протяженность невозможной. Посмотрим, на чем они основывают свое мнение.

85. Протяженность есть свойство конечной субстанции, а то, что принадлежит конечному, не может быть бесконечным; следовательно, невозможно мыслить бесконечность какого-либо рода в конечном существе. Этот аргумент не является убедительным. Верно, что протяженная субстанция конечна в том смысле, что она не обладает абсолютной бесконечностью, как она мыслится в Верховном Существе; но из этого не следует, что она не может быть бесконечной в определенных аспектах. Также неверно говорить, что никакая конечная субстанция не может иметь бесконечного свойства, потому что свойства проистекают из субстанции, а бесконечное не может происходить из конечного. Чтобы этот аргумент был обоснованным, необходимо доказать, что все свойства существа исходят из его субстанции: фигуры являются акцидентальными свойствами тел, и все же многие из них не имеют отношения к субстанции и являются лишь акциденциями, которые появляются или исчезают не в силу внутренней силы субстанции, а под действием внешней причины. Мы видим протяженность в телах; но так как мы не знаем сущности телесной субстанции, мы не можем сказать, насколько это свойство связано с субстанцией, является ли оно эманацией из нее или только чем-то, что было ей дано и может быть отнято без какого-либо существенного изменения. [39]

Более того, когда мы говорим, что бесконечное не может происходить из конечного, мы не отрицаем, что бесконечное свойство может происходить из субстанции, конечной в своей сущности.

Когда мы допускаем бесконечное свойство, мы допускаем в то же время все, что необходимо в субстанции для того, чтобы это свойство могло иметь в ней свой корень, до тех пор, пока мы не отрицаем характер конечного, который существенно принадлежит каждому творению. Когда мы отрицаем, что творения являются или могут быть бесконечными, мы говорим об эссенциальной бесконечности, о той бесконечности, которая подразумевает необходимость бытия и абсолютную независимость во всех аспектах; но мы не отрицаем им относительную бесконечность, такую как бесконечность протяженности.

Браться доказывать, что бесконечная протяженность невозможна, потому что каждое свойство конечной субстанции должно быть конечным, равносильно предположению того самого, что является предметом спора; ибо точный вопрос заключается в том, может ли одно из этих свойств, а именно протяженность, быть бесконечным. Чтобы установить отрицательное суждение «Никакое свойство конечной субстанции не может быть бесконечным», необходимо доказать это применительно к протяженности. Следовательно, аргумент, который мы рассматриваем, в некотором роде подразумевает предвосхищение основания, когда они основывают его на общем суждении, которое может быть достоверным только тогда, когда решен настоящий вопрос.

86. Бесконечная протяженность должна была бы быть величайшей из всех протяженностей, но такой протяженности не существует. Из любой данной протяженности Бог может отнять определенное количество; например, ярд: в этом случае бесконечная протяженность стала бы конечной, ибо она была бы меньше первой; и так как разница между двумя протяженностями составляет всего один ярд, ясно, что даже первая не могла бы быть бесконечной; ибо невозможно, чтобы между конечным и бесконечным была разница всего в один ярд.

Эта трудность заслуживает серьезного рассмотрения: на первый взгляд она кажется настолько убедительной, что невозможно представить удовлетворительное решение.

Суждение о том, что разница между конечным и бесконечным не может быть конечной, не совсем верно. Мы должны прежде всего заметить, что разница между двумя величинами, будь то конечные или бесконечные, не может быть абсолютно бесконечной в смысле уменьшения. Разница — это избыток одной величины над другой, и необходимость подразумевает предел; ибо, поскольку рассматривается только избыток, превышаемая величина не содержится в разнице. Называя разницу D, большую величину A, а меньшую a, я говорю, что D ни при какой гипотезе не может быть бесконечной. По предположению D = A - a; следовательно, D + a = A; чтобы D могло равняться A, необходимо добавить к нему a; следовательно, D не может быть бесконечным. Если мы предположим A = ∞, мы получим D = A - a = ∞ - a, или D + a = ∞. Следовательно, чтобы сделать D бесконечным, мы должны добавить к нему a, и мы никогда не сможем получить D = ∞, если только a = 0; но в этом случае не было бы истинной разницы, поскольку уравнение D = A - a превратилось бы в D = A - 0 = A, и разница была бы не реальной, а воображаемой.

Из этого следует, что никакая разница между двумя положительными величинами не может быть абсолютно бесконечной; если это так в каком-то смысле, то это не так в смысле уменьшения; и соединение этих двух идей разницы и бесконечности приводит к противоречию. [40]

Разница между бесконечной величиной и данной конечной величиной не может быть другой данной конечной величиной, но она должна быть бесконечной в некотором смысле. Предположим бесконечную линию и данную конечную линию, разница между ними не может быть выражена данной конечной линейной величиной. Ибо, предполагая вторую линию конечной и данной, мы можем поместить ее на бесконечную линию в любом из ее направлений, и от любой точки на ней она достигнет определенной точки бесконечной линии. Если мы предположим вторую данную конечную линию, представляющую разницу между двумя другими линиями, мы должны поместить ее на бесконечную линию в точке, где заканчивается другая; и очевидно, что она закончится в другой точке, определяемой ее длиной; следовательно, она не измерит всю разницу между бесконечной и конечной линиями.

Мы получаем тот же результат в алгебраических выражениях. Если A — данная конечная величина, разница между A и ∞ не может быть другой данной конечной величиной. Ибо, выражая разницу через D, мы будем иметь ∞ - D = A + D. Следовательно, D + A = ∞; следовательно, если бы обе были данными конечными величинами, из двух данных конечных величин получилось бы бесконечное, что абсурдно.