«Эссе об основаниях геометрии»

168. Прямая линия, следовательно, не есть кратчайшее расстояние, а есть просто расстояние между двумя точками — до сих пор этот вывод оставался твердым. Но предположим, у нас есть две или более кривых, проходящих через две точки, и что все эти кривые конгруэнтны inter se. Мы тогда сказали бы, в соответствии с определением пространственного равенства, что длины всех этих кривых равны. Теперь могло бы случиться, что, хотя ни одна из кривых не была однозначно определена двумя конечными точками, общая длина всех кривых была таковой. В этом случае, что помешало бы нам назвать эту общую длину расстоянием, хотя никакая уникальная фигура в пространстве ей не соответствовала? Это случай, рассматриваемый сферической геометрией, где, как на сфере, антиподы могут быть соединены бесконечным числом геодезических, каждая из которых имеет равную длину. Предполагаемая трудность, следовательно, не является чисто воображаемой, а является той, с которой современная геометрия заставляет нас столкнуться. Я, следовательно, обсужу ее довольно подробно.

169. Прежде всего, я должен указать, что моя аксиома не совсем эквивалентна аксиоме Евклида. Аксиома Евклида гласит, что две прямые линии не могут заключать пространство, т. е. не могут иметь более одной общей точки. Теперь, если каждые две точки без исключения определяют уникальную прямую линию, из этого, конечно, следует, что две разные прямые линии могут иметь только одну общую точку — до сих пор две аксиомы эквивалентны. Но может случиться, как в сферическом пространстве, что две точки в общем случае определяют уникальную прямую линию, но не делают этого, когда они находятся друг к другу в особом отношении антиподов. В такой системе каждая пара прямых линий в одной плоскости встречается в двух точках, которые являются антиподами друг друга; но две точки в общем случае все еще определяют уникальную прямую линию. Мы все еще способны, следовательно, получать расстояния из уникальных прямых линий, за исключением предельных случаев; и в таких случаях мы можем взять любую точку, промежуточную между двумя антиподами, соединить ее той же прямой линией с обоими антиподами и измерить ее расстояние от этих антиподов обычным способом. Сумма этих расстояний тогда дает уникальное значение для расстояния между антиподами.

Таким образом, даже в сферическом пространстве нам очень помогает аксиома прямой линии; все линейное измерение осуществляется ею, и исключительные случаи могут быть обработаны с ее помощью обычными методами для пределов. Сферическое пространство, следовательно, не так враждебно, как оно поначалу казалось, априорной необходимости этой аксиомы. Тем не менее мы до сих пор не атаковали ядро возражения, которое предполагало сферическое пространство. К этой атаке мы теперь обязаны приступить.

170. Напомним, что в нашем априорном доказательстве того, что две точки должны иметь одно определенное отношение, мы считали невозможным для этих двух точек иметь по отношению к остальному пространству какое-либо отношение, которое не изменялось бы при движении. Теперь в сферическом пространстве, в частном случае, когда две точки являются антиподами, они имеют отношение к остальному пространству, не изменяющееся при движении, — а именно отношение, состоящее в том, что их расстояние равно половине окружности вселенной. В нашей прежней дискуссии мы предполагали, что любое отношение к внешнему пространству должно быть отношением положения, а отношение положения должно изменяться при движении. Но с конечным пространством, в котором мы имеем абсолютную величину, становится возможным другое отношение, а именно отношение величины. Антиподальные точки, соответственно, подобно совпадающим точкам, больше не определяют уникальную прямую линию. И поучительно заметить, что в результате этого возникает двусмысленность в выражении для расстояния, подобная обычной двусмысленности в угловом измерении. Если 1/k^2 — пространственная константа, а d — одно значение расстояния между двумя точками, то 2πkn ± d, где n — любое целое число, является столь же хорошим значением. Расстояние, короче говоря, есть периодическая функция, подобная углу. Таким образом, такое положение дел скорее подтверждает, чем разрушает мое утверждение, что расстояние зависит от кривой, однозначно определяемой двумя точками. Ибо как только мы отказываемся от этого уникального определения, мы видим, как двусмысленности проникают в наше выражение для расстояния. Расстояние все еще имеет набор дискретных значений, соответствующих тому факту, что при заданной одной точке прямая линия однозначно определена для всех других точек, кроме одной — антиподальной точки. Заманчиво пойти дальше и сказать: если бы через каждую пару точек проходило бесконечное число кривых, используемых при измерении расстояния, расстояние могло бы для той же пары точек принимать не только дискретный ряд, но и бесконечный непрерывный ряд значений.

171. Это, однако, лишь спекуляция. Я перехожу теперь к pièce de résistance моей аргументации. Двусмысленность в сферическом пространстве возникла, как мы видели, из отношения величины к остальному пространству — такое отношение не изменяется при движении двух точек и, следовательно, выпадает из нашей вводной аргументации. Но что это за отношение величины? Просто отношение расстояния между двумя точками к расстоянию, заданному в природе рассматриваемого пространства. Из этого следует, что такое отношение предполагает меру расстояния и, следовательно, не должно рассматриваться в любой аргументации, которая имеет дело с априорными требованиями для возможности определенных расстояний.

172. Я теперь показал, надеюсь, убедительно, что сферическое пространство не дает возражений против априорности моей аксиомы. Любые две точки имеют одно отношение, их расстояние, которое независимо от остального пространства, и это отношение требует в качестве своей меры кривую, однозначно определяемую этими двумя точками. Я мог бы взять быка за рога и сказать: две точки не могут иметь никакого отношения, кроме того, которое задается линиями, соединяющими их, и поэтому, если они имеют отношение, независимое от остального пространства, должна существовать одна линия, соединяющая их, которую они полностью определяют. Так, Джеймс говорит:

«Точно так же, как в области количества отношение между двумя числами есть другое число, так и в области пространства отношения суть факты того же порядка, что и факты, которые они связывают... Когда мы говорим об отношении направления двух точек друг к другу, мы имеем в виду просто ощущение линии, которая соединяет две точки вместе. Линия есть отношение... Отношение положения между верхней и нижней точками вертикальной линии есть эта линия, и ничего больше».

Если бы я был готов использовать эту доктрину в начале, я мог бы избежать всякой дискуссии. Уникальное отношение между двумя точками должно в этом случае включать уникальную линию между ними. Но казалось лучше избежать доктрины, не принятой повсеместно, тем более что я подходил к вопросу с логической, а не с психологической стороны. Однако после устранения возражений интересно найти это подтверждение вышеупомянутой теории с такой иной точки зрения. Действительно, я верю, что доктрина Джеймса могла бы быть доказана как логическая необходимость, а также как психологический факт. Ибо что за вещь может быть пространственным отношением между двумя различными точками? Это должно быть нечто пространственное, и это должно, поскольку точки целиком состоят из своих отношений, быть нечто по крайней мере столь же реальное и осязаемое, как точки, которые оно связывает. По-видимому, нет ничего, что могло бы удовлетворить этим требованиям, кроме линии, соединяющей их. Следовательно, еще раз, уникальное отношение должно включать уникальную линию. То есть линейная величина логически невозможна, если пространство не допускает кривых, однозначно определяемых любыми двумя своими точками.

173. (3) Но далее, существование кривых, однозначно определяемых двумя точками, может быть выведено из природы любой формы внешности. Ибо мы видели при обсуждении свободной подвижности, что эта аксиома вместе с однородностью и относительностью положения может быть так выведена, и мы видели в начале нашего обсуждения расстояния, что существование уникального отношения между двумя точками может быть выведено из однородности пространства. Поскольку положение относительно, мы можем сказать, любые две точки должны иметь некоторое отношение друг к другу: поскольку наша форма внешности однородна, это отношение может сохраняться неизменным, пока две точки движутся в форме, т. е. изменяют свои отношения к другим точкам; следовательно, их отношение друг к другу есть внутреннее отношение, независимое от их отношений к другим точкам. Но поскольку наша форма есть лишь комплекс отношений, отношение внешности должно проявляться в форме с той же очевидностью, что и все остальное в форме; таким образом, если форма интуитивна или сенсорна, отношение должно быть непосредственно представлено, а не быть лишь выводом. Следовательно, внутреннее отношение между двумя точками должно быть уникальной фигурой в нашей форме, т. е. в пространственных терминах, прямой линией, соединяющей две точки.

174. (4) Наконец, мы должны доказать, что существование такой кривой необходимо приводит, когда количество применяется к отношению между двумя точками, к уникальной величине, которую эти две точки полностью определяют. С этим мы вернемся к расстоянию, с которого начали, и завершим круг нашей аргументации.

Мы видели в разделе А § 119, что фигура, образованная двумя точками, проективно неотличима от фигуры, образованной любыми двумя другими точками на той же прямой линии; фигура в обоих случаях есть, с проективной точки зрения, просто прямая линия, на которой лежат две точки. Различие отношения в двух случаях не является качественным, поскольку проективная геометрия не может иметь с ним дело; тем не менее, существует некоторое различие отношения. Например, если одну точку держать неподвижной, а другая движется, очевидно, происходит некоторое изменение отношения. Это изменение, поскольку все части прямой линии качественно одинаковы, должно быть изменением количества. Если две точки, следовательно, определяют уникальную фигуру, должно существовать для различия между различными другими точками этой фигуры уникальное количественное отношение между двумя определяющими точками, и поэтому, поскольку эти точки произвольны, между только двумя точками. Это отношение есть расстояние, с которого наша аргументация началась и к которому она, по крайней мере, возвращается.

175. Подытожим: если точки определяются просто отношениями к другим точкам, т. е. если всякое положение относительно, каждая точка должна иметь к каждой другой точке одно и только одно отношение, независимое от остального пространства. Это отношение есть расстояние между двумя точками. Теперь отношение между двумя точками может быть определено только линией, соединяющей их, — более того, можно утверждать, что отношение может быть только линией, соединяющей их. Следовательно, уникальное отношение включает уникальную линию, т. е. линию, определяемую любыми двумя своими точками. Только в пространстве, которое допускает такую линию, линейная величина является логически возможным понятием. Но как только мы установили возможность в общем случае проведения таких линий и, следовательно, измерения линейных величин, мы можем обнаружить, что определенная величина имеет особое отношение к строению пространства. Прямая линия может оказаться конечной длины, и в этом случае ее длина даст определенную особую величину — пространственную константу. Две антиподальные точки, то есть точки, которые делят пополам всю прямую линию, будут тогда иметь отношение величины, которое, хотя и не изменяется при движении, становится особенным из-за определенного постоянного отношения к остальному пространству. Эта особенность предполагает меру линейной величины в общем случае и не может, следовательно, опровергнуть априорность аксиомы прямой линии. Но она разрушает для точек, имеющих особое антиподальное отношение друг к другу, аргумент, который доказывал, что отношение между двумя точками не может, поскольку оно не изменялось при движении, иметь отношение к остальному пространству. Таким образом, понятно, что для таких особых точек аксиома нарушается и между ними возможно бесконечное число прямых линий; но если бы мы не начали с предположения об общей справедливости аксиомы, мы никогда не смогли бы достичь положения, в котором антиподальные точки могли бы быть известны как особенные, или, действительно, положения, которое позволило бы нам дать какое-либо количественное определение вообще конкретных точек.

Расстояние и прямая линия как отношения, однозначно определяемые двумя точками, являются, таким образом, априорно необходимыми для метрической геометрии. Но далее, они суть свойства, которые должны принадлежать любой форме внешности. Поскольку их необходимость для геометрии была выведена из однородности и относительности положения, а поскольку они являются необходимыми свойствами любой формы внешности, та же аргументация доказывает оба вывода. Мы таким образом получаем, как и в случае свободной подвижности, двойную априорность: аксиома расстояния и ее следствие, аксиома прямой линии, с одной стороны, предполагаются в возможности пространственной величины и не могут, следовательно, быть опровергнуты никаким опытом, вытекающим из измерения пространства; в то время как они являются следствиями, с другой стороны, необходимых свойств любой формы внешности, которая должна сделать возможным опыт внешнего мира.

176. В связи с прямой линией будет удобно обсудить условия метрической системы координат. Проективная система координат, как мы видели, стремится лишь к удобной номенклатуре для различных точек и может быть установлена без введения понятия пространственного количества. Но метрическая система координат делает гораздо больше. Она определяет каждую точку количественно, посредством ее количественных пространственных отношений к некоторой координатной фигуре. Только когда система координат является таким образом метрической, т. е. когда каждая координата представляет некоторую пространственную величину, которая сама по себе есть отношение определяемой точки к некоторой другой точке или фигуре, операции с координатами могут привести к метрическому результату. Когда, как в проективной геометрии, координаты не являются пространственными величинами, никакое преобразование не может дать метрического результата. Я хочу доказать здесь, что метрическая система координат необходимо включает прямую линию и не может без логической ошибки быть установлена на какой-либо другой основе. Проективная система координат, как мы видели, целиком основана на прямой линии; но метрическая система важнее, поскольку ее величины воплощают реальную информацию о пространственных величинах, чего в проективной геометрии нет.

Во-первых, метрические координаты точки составляют ее полное количественное определение; теперь точка может быть определена, как мы видели, только своими отношениями к другим точкам, и эти отношения могут быть определены только с помощью прямой линии. Следовательно, любая метрическая система координат должна включать прямую линию как основу своих определений точек.

Этот априорный аргумент, однако, хотя я верю, что он вполне обоснован, вряд ли убедит кого-либо, убежденного в обратном. Давайте, следовательно, рассмотрим метрические системы координат в деталях и покажем в каждом случае их зависимость от прямой линии.

Мы уже видели, что понятие расстояния невозможно без прямой линии. Мы не можем, следовательно, определить наши координаты ни одним из обычных способов, как расстояния от трех плоскостей, линий, точек, сфер или чего бы то ни было еще. Полярные координаты невозможны, поскольку — отвлекаясь от прямолинейности радиус-вектора — длина радиус-вектора становится бессмысленной. Треугольные координаты включают не только углы, которые должны в пределе быть прямолинейными, но и прямые линии или, во всяком случае, некоторые хорошо определенные кривые. Теперь кривые могут быть метрически определены только двумя способами: либо отношением к прямой линии, как, например, кривизной в любой точке, либо чисто аналитическими уравнениями, которые предполагают понятную систему метрических координат. Какие методы остаются для присвоения этих произвольных значений различным точкам? Более того, как нам получить какую-либо оценку разности — чтобы избежать более специального понятия расстояния — между двумя точками? Само понятие точки стало иллюзорным. Когда у нас есть система координат, мы можем определить точку тремя ее координатами; в отсутствие такой системы мы можем определить понятие точки в общем случае как пересечение трех поверхностей или двух кривых. Здесь мы берем поверхности и кривые как понятия, которые интуиция делает ясными, но если мы хотим, чтобы они дали нам точное числовое определение конкретных точек, мы должны уточнить вид используемой поверхности или кривой. Теперь это, как мы видели, возможно только тогда, когда мы предполагаем заранее либо прямую линию, либо систему координат. Из этого следует, что каждая система координат предполагает прямую линию и логически невозможна без нее.

177. Вышеупомянутые три аксиомы, как мы видели, априорно необходимы для метрической геометрии. Никакие другие не могут быть необходимыми, поскольку метрические системы, логически столь же неуязвимые, как евклидова, и имеющие дело с пространствами столь же однородными и столь же реляционными, были построены метагеометрами без помощи каких-либо других аксиом. Остальные аксиомы евклидовой геометрии — аксиома параллельных, аксиома о том, что число измерений равно трем, и евклидова форма аксиомы прямой линии (две прямые линии не могут заключать пространство) — не являются существенными для возможности метрической геометрии, т. е. не выводимы из того факта, что наука о пространственных величинах возможна. Их скорее следует рассматривать как эмпирические законы, полученные, подобно эмпирическим законам других наук, путем фактического исследования данного предмета — в данном случае, воспринимаемого пространства.

178. Суммируя отличительную аргументацию этого раздела, мы можем придать ей более общую форму и обсудить условия измерения в любом непрерывном многообразии, т. е. качества, необходимые многообразию для того, чтобы величины в нем могли быть определимы не только как «больше» или «меньше», но и как точное «сколько».

Измерение, можно сказать, есть применение числа к континуумам или, если угодно, преобразование простого количества в число единиц. Используя «количество» для обозначения неопределенного «больше» или «меньше», а «величину» — для обозначения точного числа единиц, проблему измерения можно определить как преобразование количества в величину.

Теперь число, прежде всего, есть целое, состоящее из меньших единиц, причем все эти единицы качественно одинаковы. Для того чтобы непрерывное количество могло быть выражено как число, оно должно, с одной стороны, быть само по себе целым, а с другой стороны, быть делимым на качественно сходные части. В аспекте целого количество является интенсивным; в аспекте совокупности частей оно является экстенсивным. Чисто интенсивное количество, следовательно, не является исчислимым — чисто экстенсивное количество, если бы такое можно было вообразить, вообще не было бы единым количеством, поскольку оно должно было бы состоять из полностью несинтезированных частностей. Измеримое количество, следовательно, есть целое, делимое на сходные части. Но непрерывное количество, если оно вообще делимо, должно быть бесконечно делимым. Ибо в противном случае точки, в которых оно могло бы быть разделено, образовали бы естественные барьеры и тем самым разрушили бы его непрерывность. Но далее, недостаточно того, чтобы существовала возможность деления на взаимно внешние части; хотя части, чтобы быть воспринимаемыми как части, должны быть взаимно внешними, они должны также, чтобы быть познаваемыми как равные части, быть способными преодолеть свою взаимную внешность. Для этого, как мы видели, нам требуется наложение, которое включает свободную подвижность и однородность — отсутствие свободной подвижности во времени, где все другие требования измерения выполнены, делает прямое измерение времени невозможным. Следовательно, бесконечная делимость, свободная подвижность и однородность необходимы для возможности измерения в любом непрерывном многообразии, и они, как мы видели, эквивалентны нашим трем аксиомам. Эти аксиомы необходимы, следовательно, не только для пространственного измерения, но и для всякого измерения. Единственное многообразие, данное в опыте, в котором эти условия удовлетворены, есть пространство. Все остальное точное измерение — как можно было бы доказать, я верю, для каждого отдельного случая — осуществляется, как мы видели в случае времени, путем сведения к пространственному корреляту. Это объясняет первостепенную важность для точной науки механистического взгляда на природу, который сводит все явления к движениям во времени и пространстве. Ибо число есть из всех понятий самое легкое для оперирования, и наука ищет везде возможность применить его, но находит эту возможность только посредством пространственных эквивалентов явлений.

179. Мы теперь видели, в чем состоит априорный элемент геометрии. Этот априорный элемент может быть определен как аксиомы, общие для евклидова и неевклидовых пространств, как аксиомы, выводимые из понятия формы внешности, или — в метрической геометрии — как аксиомы, требуемые для возможности измерения. Остается обсудить в заключительной главе некоторые вопросы более общего философского характера, в которых нам придется покинуть твердую почву математики и вступить в спекуляции, которые я выдвигаю очень предварительно и с малой верой в их окончательную обоснованность. Главными вопросами для этой заключительной главы будут два: (1) Как возможна такая априорная и чисто логическая необходимость применительно к фактически данному предмету, как пространство? (2) Как мы можем устранить противоречия, которые преследовали нас в этой главе, возникающие из относительности, бесконечной делимости и безграничного протяжения пространства? Эти два вопроса навязываются нам настоящей главой, но поскольку они открывают некоторые из фундаментальных проблем философии, было бы опрометчиво ожидать окончательного или вполне удовлетворительного ответа. Можно надеяться на несколько намеков и предположений, но полное решение могло бы быть получено только из полной философии, перспективы которой слишком слабы, чтобы поощрять уверенное состояние ума.

СНОСКИ:

[116] См. ниже, «Аксиома расстояния», в разд. B этой главы.

[117] Так, на цилиндре две геодезические, например образующая и винтовая линия, могут иметь любое число точек пересечения — это весьма существенное отличие от плоскости.

[118] Ср. Кремона, «Проективная геометрия» (Clarendon Press, 2-е изд., 1893), с. 50: «Большинство положений в «Началах» Евклида являются метрическими, и нелегко найти среди них пример чисто дескриптивной теоремы».

[119] Там же, с. 226.

[120] Некоторые основания для этого выбора станут ясны, когда мы перейдем к метрической геометрии.

[121] Прямая σa обозначает прямую, общую для плоскостей σ и a, точка σa обозначает точку, общую для плоскости σ и прямой a, и аналогично для остальных обозначений.

[122] Кремона (там же, гл. IX, с. 50) определяет ангармоническое отношение как метрическое свойство, которое не меняется при проекции. Однако это разрушает логическую независимость проективной геометрии, которая может быть сохранена только при чисто дескриптивном определении.

[123] Не существует соответствующего свойства трех точек на прямой, поскольку они могут быть проективно преобразованы в любые другие три точки на той же прямой. См. § 120.

[124] Согласно «Геометрии положения» (Geometrie der Lage) фон Штаудта.

[125] См. Кремона, там же, глава VIII.

[126] Соответствующие определения для двумерного многообразия прямых, проходящих через точку, следуют из принципа двойственности.

[127] Важно отметить, что данное определение точки вводит метрические идеи. Мы видели, что без метрических идей ничто, по-видимому, не дает точке преимущества перед прямой или, по сути, не отличает ее концептуально от прямой. Поэтому обращение к количеству неизбежно при определении точки, если это определение должно быть геометрическим. Неметрическое определение должно было бы быть также негеометрическим. См. гл. IV, §§ 196–199.

[128] §§ 163–175.

[129] Относительно этой аксиомы, однако, ср. § 131.

[130] Доказательство этого положения см. в гл. III, разд. B, «Аксиома размерности».

[131] Прямая и плоскость во всех дискуссиях об общей геометрии не обязательно являются евклидовыми. Это просто фигуры, определяемые, в общем случае, двумя и тремя точками соответственно; соответствуют ли они аксиоме о параллельных и евклидовой форме аксиомы о прямой, в общем определении не рассматривается.

[132] То, что проективная геометрия должна иметь экзистенциальное значение, я попытаюсь доказать в главе IV.

[133] «Логика», книга I, глава II.

[134] Ср. «Логика» Брэдли, с. 63. Будет видно, что смысл, в котором я говорил о пространстве как о принципе дифференциации, не является смыслом «принципа индивидуации», против которого возражает Брэдли.

[135] Гл. IV, §§ 186–191.

[136] Гл. IV, § 201 и сл.

[137] Важно, однако, заметить, что такой способ рассмотрения пространственных отношений является метрическим; с проективной точки зрения отношение между двумя точками — это вся неограниченная прямая, на которой они лежат, и ее не нужно рассматривать как делимую на части или как состоящую из точек.

[138] §§ 207, 208. Cf. Hegel, Naturphilosophie, § 254.

[139] См. гл. IV, §§ 196–199.

[140] См. готовящуюся к печати статью автора «Отношения числа и количества» в журнале Mind, июль 1897 г.

[141] «Логика», том II, гл. VII, с. 211.

[142] Повсюду имеется в виду реальное, в противоположность логическому, различие. Различные аспекты могут сосуществовать в вещи в одно время и в одном месте, но две различные реальные вещи не могут сосуществовать таким образом.

[143] О недостаточности одного лишь времени см. главу IV, § 191.

[144] Геометрически аксиома плоскости состоит не в том, что три точки вообще определяют фигуру, что следует из аксиомы о прямой, а в том, что прямая, соединяющая две произвольные точки плоскости, целиком лежит в этой плоскости. Эта аксиома требует проективного метода построения плоскости, т. е. нахождения всех триад точек, которые определяют ту же проективную фигуру, что и данная триада. Требуемое построение будет получено, если мы сможем найти любую проективную фигуру, определяемую тремя точками, и любой проективный метод достижения других точек, которые определяют ту же фигуру.

Пусть O, P, Q — три точки, проективное отношение которых требуется найти. Тогда нам даны три прямые PQ, QO, OP. Метрически отношение между этими точками складывается из площади, а также величины сторон и углов треугольника OPQ, подобно тому как отношение между двумя точками есть расстояние. Но проективно фигура остается неизменной, когда P и Q перемещаются вдоль OP и OQ, или когда OP и OQ поворачиваются вокруг O таким образом, что по-прежнему пересекают PQ. Это результат общего принципа проективной эквивалентности, сформулированного выше (§§ 108, 109). Следовательно, проективное отношение между O, P, Q такое же, как между O, p, q или O, P′, Q′; то есть p, q и P′, Q′ лежат в плоскости OPQ. Таким образом, можно получить любое число точек на плоскости, и, повторяя построение с новыми триадами, можно достичь любой точки плоскости. Мы должны доказать, что когда плоскость построена таким образом, прямая, соединяющая любые две точки плоскости, целиком лежит в этой плоскости.

Из способа построения очевидно, что любая точка PQ, OP, OQ, OP′ или OQ′ лежит в плоскости. Если мы сможем доказать, что любая точка pq лежит в плоскости, мы докажем все необходимое, поскольку pq может быть преобразована путем последовательных повторений того же построения в любую прямую, соединяющую две точки плоскости. Но мы видели, что одна и та же плоскость определяется O, p, q и O, P, Q. Прямые PQ, pq имеют, следовательно, одно и то же отношение к плоскости. Но PQ целиком лежит в плоскости; следовательно, pq также целиком лежит в плоскости. Таким образом, наша аксиома доказана.

[145] Подробное доказательство было приведено выше, гл. I, 3-й период. Следует заметить, что любое обращение к бесконечно удаленным элементам включает метрические идеи.

[146] Ср. разд. A, §§ 115–117.

[147] Ср. Эрдман, там же, с. 138.

[148] Ср. Эрдман, там же, с. 164.

[149] Строго говоря, этот метод применим только там, где две величины соизмеримы. Но если мы принимаем бесконечную делимость жестко, единицы теоретически могут быть взяты настолько малыми, чтобы получить любую требуемую степень приближения. Трудность заключается в универсальной проблеме применения к континуумам по существу дискретной концепции числа.

[150] Ср. Эрдман, там же, с. 50.

[151] Также называется аксиомой конгруэнтности. Я принял конгруэнтность как определение пространственного равенства посредством наложения и поэтому обычно буду называть эту аксиому «Свободной подвижностью».

[152] О том, в каком смысле эти фигуры следует рассматривать как материальные, см. критику Гельмгольца, глава II, §§ 69 и сл.

[153] Там же, с. 60.

[154] Взгляд Гельмгольца и Эрдмана, что механического опыта здесь достаточно, хотя геометрический опыт нас подводит, обсуждался выше, глава II, §§ 73, 82.

[155] Глава II, § 81.

[156] Глава II, § 72.

[157] Ср. Дельбёф, «L'ancienne et les nouvelles géométries», II, Rev. Phil. 1894, том xxxvii, с. 354.

[158] «Пролегомены», § 13. См. «Commentar» Файхингера, II, с. 518–532, особенно с. 521–522. Вышеизложенное было всей целью Канта в 1768 году, но лишь частью его цели в «Пролегоменах», где также должно было быть доказано интуитивное свойство пространства.

[159] По вопросу измерения времени ср. «Логику» Бозанкета, том I, с. 178–183. Поскольку время в вышеприведенном изложении измеряется движением, его измерение предполагает измерение пространственных величин.

[160] Ср. Штумпф, «Ursprung der Raumvorstellung», с. 68.

[161] Как и другая аксиома Гельмгольца: что возможность наложения не зависит от пути, пройденного для его осуществления.

[162] Ср. §§ 129, 130.

[163] Это выведение практически такое же, как в разд. A, но я изложил его здесь с более специальной отсылкой к пространству и метрической геометрии.

[164] Вопрос: «Отношения к чему?» — это вопрос, содержащий много трудностей. Он будет затронут позже в этой главе и, насколько возможно, решен в четвертой главе. В настоящее время, несмотря на явный порочный круг, я буду рассматривать отношения как отношения к другим положениям.

[165] Wiss. Abh. том II, с. 614.

[166] Ср. Грассман, «Ausdehnungslehre von 1844», 2-е изд., с. XXIII.

[167] Дельбёф, правда, говорит о геометриях с m/n измерениями, но не дает ссылки (Rev. Phil. T. xxxvi, с. 450).

[168] При критике Эрдмана, как мы помним, мы видели, что свободная подвижность является необходимым свойством его протяженностей, хотя он не рассматривает ее как таковую.

[169] Ср. Риман, «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen), Gesammelte Werke, с. 266; также Эрдман, там же, с. 154.

[170] Это подлежит, в сферическом пространстве, модификации, указанной ниже при рассмотрении исключения из аксиомы о прямой. См. §§ 168–171.

[171] Говоря о расстоянии одновременно как о величине и как о внутреннем отношении, я стремлюсь предостеречь от кажущейся непоследовательности. Я говорил о суждении о количестве повсюду как о суждении сравнения; как же тогда количество может быть внутренним? Ответ заключается в том, что, хотя измерение и суждение о количестве выражают результат сравнения, члены сравнения должны существовать до сравнения; в данном случае члены, сравниваемые при измерении расстояний, т. е. при сравнении их inter se, являются внутренними отношениями между точками. Таким образом, хотя измерение расстояния включает отсылку к другим расстояниям и его выражение как величины требует такой отсылки, его существование не зависит от какой-либо внешней отсылки, а исключительно от двух точек, расстояние между которыми оно представляет.

[172] См. конец аргумента о свободной подвижности, § 155 и сл.

[173] В приложении к работе Фришауфа «Абсолютная геометрия по Яношу Бойяи» (Absolute Geometrie nach Johann Bolyai) есть ряд определений, начинающихся со сферы как геометрического места конгруэнтных пар точек, когда одна точка пары фиксирована, и, следовательно, получающих окружность и прямую. Из вышесказанного следует, что сфера, определенная таким образом, уже включает кривую между точками пары точек, посредством которой различные пары точек могут быть признаны конгруэнтными; и по мере нашего продвижения станет ясно, что эта кривая должна быть прямой линией. Определение Фришауфа посредством сферы, таким образом, содержит порочный круг, поскольку сфера предполагает прямую как критерий конгруэнтных пар точек.

[174] Равно как и в любом аргументе, который, подобно аргументам проективной геометрии, вообще избегает понятия величины или расстояния. Отсюда следует, что положения проективной геометрии без оговорок применимы к сферическому пространству, поскольку исключение из аксиомы о прямой возникает только на метрической почве.

[175] «Психология», том II, с. 149–150.

[176] Этот шаг в аргументации был изложен очень кратко, поскольку он является лишь повторением соответствующего аргумента в разд. A и включен здесь только ради логической полноты. См. § 137 и сл.

[177] Ср. Аннекен, «Essai critique sur l'hypothèse des atomes», Париж, 1895, passim.

ГЛАВА IV. ФИЛОСОФСКИЕ ПОСЛЕДСТВИЯ.

180. В настоящей главе мы должны обсудить два вопроса, которые, хотя едва ли являются геометрическими, имеют фундаментальное значение для теории геометрии, изложенной выше. Первый из этих вопросов таков: какое отношение может иметь чисто логическое и дедуктивное доказательство, подобное доказательству из природы формы внешности, к опытному предмету, такому как пространство? Вы всего лишь создали общую концепцию, могут мне сказать, содержащую пространство как частный вид, и затем показали то, что должно было быть очевидным с самого начала, а именно, что эта общая концепция содержит некоторые атрибуты пространства. Но какое основание это дает для рассмотрения этих атрибутов как à priori? Концепция «млекопитающее» имеет некоторые атрибуты лошади; но являются ли эти атрибуты поэтому à priori предикатами лошади? Ответ на это очевидное возражение настолько сложен и включает так много общей философии, что я приберег его для заключительной главы, чтобы не прерывать аргументацию по специально геометрическим темам.

181. Я уже указал в общих чертах основание для рассмотрения свойств любой формы внешности как à priori. Это основание является трансцендентальным, т. е. оно заключается в условиях, необходимых для возможности опыта. Форма внешности, подобно римановым многообразиям, есть общая концепция класса, включающая время, а также евклидовы и неевклидовы пространства. Она, однако, мотивирована не так, как многообразия, количественным сходством с пространством, а тем фактом, что она выполняет, если имеет более одного измерения, все те функции, которые в нашем реальном мире выполняются пространством. Но форма внешности, чтобы достичь этого, должна быть не просто концепцией, а актуально переживаемой интуицией. Следовательно, концепция такой формы есть общая концепция, содержащая под собой всякую логически возможную интуицию, которая может выполнять функцию, актуально выполняемую пространством. А эта функция состоит в том, чтобы сделать возможным опыт разнообразных, но взаимосвязанных вещей. Некоторая форма в чувственном восприятии, концепция которой включена в нашу форму внешности, является, таким образом, à priori необходимой для опыта разнообразия в отношении, и без опыта этого, как показывает современная логика, у нас вообще не было бы никакого опыта. Это все еще оставляет нетронутым отношение à priori к субъективному: форма внешности необходима для опыта, но ее не следует по этой причине объявлять чисто субъективной. Конечно, необходимость для опыта может возникнуть только из природы познающего ума; но из этого не следует, что необходимые условия могли бы быть выполнены, если бы объективный мир не обладал определенными свойствами. Основание необходимости, можно с уверенностью сказать, исходит от ума; но из этого вовсе не следует, что истинность того, что необходимо, зависит только от устройства ума. Там, где это не так, наш вывод, когда знание было объявлено à priori, может быть только таким: вследствие устройства ума опыт будет невозможен, если мир не примет определенные предикаты.

Таков в общих чертах аргумент первой половины этой главы, и таково оправдание для рассмотрения как à priori тех аксиом геометрии, которые были выведены выше из концепции формы внешности. Ибо эти аксиомы, и только они, являются необходимо истинными для любого мира, в котором возможен опыт.

182 [178]. Предложенный взгляд, очевидно, имеет много общего с взглядом «Трансцендентальной эстетики». Действительно, все это, я полагаю, может быть получено путем определенного ограничения и интерпретации классических аргументов Канта. Но поскольку он отличается во многих важных пунктах от выводов, к которым стремился Кант, и поскольку согласие может легко показаться большим, чем оно есть на самом деле, я начну с краткого сравнения и постараюсь, ссылаясь на авторитетную критику, обосновать правомерность моего расхождения с ним.

183. Во-первых, психологический элемент гораздо значительнее в тезисе Канта, чем в моем. Я буду утверждать, правда, что форма внешности, если она должна выполнять свою работу, не должна быть просто концепцией или просто выводом, а должна быть данным элементом в чувственном восприятии — не, конечно, изначально данным в изоляции, но обнаруживаемым путем анализа при внимании к объекту чувственного восприятия [179]. Но Кант утверждал не только то, что этот элемент дан, но и то, что он субъективен. Пространство для него, с одной стороны, не является концептуальным, но, с другой стороны, не является сенсорным. Оно для него не составляет части данных чувств, а добавляется субъективной интуицией, которую он считает не только логически, но и психологически предшествующей объектам в пространстве [180].

Эта часть аргумента Канта для нас совершенно нерелевантна. Дана ли форма внешности в чувстве или в чистой интуиции, для нас неважно, поскольку мы пренебрегаем вопросом о связи à priori и субъективного; в то время как временная приоритетность пространства по отношению к объектам в нем в целом признана нерелевантной для эпистемологии и часто рассматривалась как не составляющая части тезиса Канта [181]. Если мы называем интуитивным все, что дано в чувственном восприятии, то мы можем утверждать, что форма внешности должна быть интуитивной; но является ли она чистой интуицией в кантовском смысле или нет, для нас нерелевантно, как и ее приоритетность по отношению к объектам в ней.

То, что несенсорная природа пространства не является существенной частью логического учения Канта, видно из анализа его аргументации. Во введении он сделал чисто логическое различие материи и формы, но придал этому различению в самый момент его предложения психологический подтекст. Он делает это утверждением, что форма, в которой упорядочена материя ощущений, сама не может быть сенсорной. Из этого допущения, конечно, следует, что пространство не может быть сенсорным. Но допущение совершенно не подкреплено аргументами, будучи изложенным, по-видимому, как самоочевидная аксиома; оно было подвергнуто суровой критике Штумпфом [182] и другими [183] и было описано Файхингером как фатальное petitio principii [184]; оно нерелевантно для логического аргумента, когда этот аргумент отделен, как мы его отделили, от всякой связи с психологической субъективностью; и, наконец, оно оставляет нас во власти психологических теорий пространства, которые в последнее время кажутся малоблагоприятными для чистого кантовского учения.

184. Мы имеем право, следовательно, в эпистемологическом исследовании пренебречь психологическим учением Канта — во всяком случае, в той мере, в какой оно отличает пространственную интуицию от ощущения — и сосредоточиться только на логическом аспекте. Та часть его психологического учения, которая утверждает, что пространство не является просто концепцией, при определенных ограничениях достаточно очевидна применительно к актуальному пространству; но для нас она должна быть преобразована в гораздо более сложный тезис, а именно: никакая форма внешности, которая делает возможным опыт разнообразия в отношении, не может быть просто концептуальной. Этот вопрос, к которому мы должны вернуться позже, больше не является психологическим, а целиком принадлежит эпистемологии.

185. Что же тогда остается ядром, для наших целей, первого аргумента Канта в пользу априорности пространства? Его аргумент в той форме, в которой он его представил, касается эксцентрической проекции ощущений. Чтобы я мог отнести ощущения, говорит он, к чему-то вне меня, я уже должен иметь субъективную форму пространства в уме. В таком виде, как указывает Файхингер (Commentar, II, с. 69, 165), аргумент опирается на petitio principii, ибо только если ощущения необходимо не-пространственны, их проекция требует субъективной формы пространства. Но, далее, касается ли логическая априорность пространства внешности вещей по отношению к нам самим?

Пространство, по-видимому, выполняет две функции: с одной стороны, оно открывает вещи посредством эксцентрической проекции ощущений как внешние по отношению к «Я», в то время как, с другой стороны, оно открывает одновременно представленные вещи как взаимно внешние. Эти две функции, хотя их часто рассматривают как координатные и почти эквивалентные [185], кажутся мне весьма различными. Прежде чем мы обсудим априорность пространства, мы должны, я думаю, тщательно различить эти две функции и решить, о какой из них мы будем спорить.

Теперь внешность по отношению к «Я», по-видимому, должна неизбежно поднять весь вопрос о природе и границах Эго, и, более того, она не может быть выведена из пространственного представления, если мы не придадим «Я» определенного положения в пространстве. Но вещи приобретают положение в пространстве только тогда, когда они могут появиться в чувственном восприятии; мы вынуждены, следовательно, если принимаем этот взгляд на функцию пространства, рассматривать «Я» как феномен, представленный чувственному восприятию. Но это сводит внешность по отношению к «Я» к внешности по отношению к телу. Тело, однако, есть представленный объект, как и любой другой, и внешность объектов по отношению к нему, следовательно, есть частный случай взаимной внешности представленных вещей. Следовательно, мы не можем рассматривать пространство как дающее, во всяком случае первично, внешность по отношению к «Я», а только взаимную внешность вещей, представленных чувственному восприятию [186].

186. Это, следовательно, тот вид внешности, который мы должны ожидать от пространства, и наш вопрос должен быть таким: было бы существование разнообразных, но взаимосвязанных вещей непознаваемым, если бы в чувственном восприятии не было некоторой формы внешности? Это решающий вопрос, от которого зависит априорность нашей формы, а следовательно, и необходимых аксиом геометрии.

187. Обратный аргумент моему, аргумент от пространственно-временного элемента в восприятии к миру взаимосвязанных, но разнообразных вещей, подробно развит в «Логике» Брэдли. Он кратко изложен в следующем предложении (с. 44, примечание): «Если пространство и время непрерывны, и если всякое явление должно занимать некоторое время или пространство — а нетрудно поддержать оба этих тезиса, — мы можем сразу перейти к заключению: не существует никакого простого единичного. Каждое явление будет существовать в более чем одном времени или пространстве; и по отношению к этому разнообразию оно само будет универсалией [187]». Важность этого факта становится ясной, когда мы учитываем, что если бы существовало какое-либо просто единичное, то всякое суждение и вывод относительно этого единичного были бы невозможны, поскольку все суждение и вывод необходимо оперируют посредством универсалий. Но вся реальность сконструирована из «Это» непосредственного представления, из которого неизбежно проистекают суждение и вывод. Однако из-за непрерывности и относительности пространства и времени ни одно «Это» не может рассматриваться ни как простое, ни как самосущее. Каждое «Это», с одной стороны, может быть проанализировано на «Это»-вещи, а с другой стороны, обнаруживается как необходимо связанное с другими вещами вне пределов данного объекта чувственного восприятия. Эта функция пространства и времени предполагается в следующем утверждении из «Логики» Бозанкета (том I, с. 77–78): «Реальность дана мне в настоящем чувственном восприятии и в непосредственном чувстве моего собственного чувствующего существования, которое идет вместе с ним. Реальный мир как определенная организованная система есть для меня расширение этого настоящего ощущения и чувства себя посредством суждения, и сущность суждения состоит в том, чтобы осуществлять и поддерживать такое расширение... Субъект в каждом суждении восприятия есть некоторое данное место или точка в чувственном контакте с воспринимающим «Я». Но, поскольку вся реальность непрерывна, субъект не есть просто это данное место или точка».

188. Это учение Брэдли и Бозанкета является обратным эпистемологическому учению, которое я должен отстаивать. Благодаря непрерывности и относительности пространства и времени, говорят они, мы способны сконструировать систематический мир посредством суждения и вывода из того фрагментарного и все же необходимо сложного существования, которое дано в чувственном восприятии. Мое утверждение, наоборот, состоит в том, что, поскольку все знание необходимо выводится путем расширения «Это» чувственного восприятия и поскольку такое расширение возможно только в том случае, если «Это» обладает тем фрагментарным и все же сложным характером, который придается формой внешности, следовательно, некоторая форма внешности, данная вместе с «Это», существенна для всякого знания и, таким образом, логически à priori. Аргумент Брэдли, если он верен, уже доказывает это утверждение; ибо, хотя, с одной стороны, он не использует никаких свойств пространства и времени, кроме тех, которые принадлежат каждой форме внешности, он доказывает, с другой стороны, что суждение и вывод требуют, чтобы «Это» не было ни единичным, ни самосущим. Но я попытаюсь, поскольку этот пункт имеет фундаментальное значение, воспроизвести доказательство в форме, более подходящей, чем у Брэдли, для эпистемологического вопроса.

189. Сущность моего утверждения заключается в том, что если опыт должен быть возможен, то каждое сенсорное «Это» должно, при внимании к нему, обнаруживаться, с одной стороны, разложимым на «Это»-вещи, а с другой стороны, зависимым в отношении некоторых своих предикатов от внешней отсылки. Второй из этих тезисов следует из первого, ибо если мы возьмем одно из «Это», содержащихся в первом «Это», мы получим новое «Это», необходимо связанное с другими «Это», которые составляют исходное «Это». Я могу, следовательно, ограничиться первым положением, которое утверждает, что объект восприятия должен содержать разнообразие не только концептуального содержания, но и существования, и что это может быть познано только в том случае, если чувственное восприятие содержит в качестве элемента некоторую форму внешности.

Моя посылка в этом аргументе состоит в том, что всякое знание включает признание разнообразия в отношении, или, если мы предпочитаем, тождества в различии. Эту посылку я принимаю из логики как результат анализа суждения и вывода. Чтобы доказать такую посылку, потребовался бы трактат по логике; я должен поэтому отослать читателя к работам Брэдли и Бозанкета по этому предмету. Из моей посылки сразу следует, что знание было бы невозможно, если бы объект внимания не мог быть сложным, т. е. не был бы просто единичным. Мог ли бы ментальный объект — т. е. в этой связи объект познания — быть сложным, если бы объект непосредственного восприятия был всегда простым?

190. Мы могли бы быть склонны на первый взгляд ответить на этот вопрос утвердительно. Но несколько трудностей, я думаю, предотвратили бы такой ответ. Во-первых, знание должно начинаться с восприятия. Следовательно, либо мы не могли бы иметь никакого знания, кроме нашего настоящего восприятия, либо мы должны быть способны противопоставлять и сравнивать его с каким-то другим восприятием. Теперь в первом случае, поскольку настоящее восприятие, по гипотезе, есть просто единичное, знание о нем невозможно, согласно нашей посылке. Но во втором случае другое восприятие, с которым мы сравниваем наше первое, должно было произойти в какое-то другое время, и со временем мы сразу получаем форму внешности. Но что более важно, наше настоящее восприятие больше не является просто единичным. Ибо способность сравнивать его с другим восприятием включает точку тождества между ними и, таким образом, делает оба сложными. Более того, время должно быть непрерывным, и настоящее, как указывает Брэдли, не есть просто точка времени [188]. Таким образом, наше настоящее восприятие содержит сложность, вовлеченную в длительность на протяжении «специозного настоящего»: его простое единичное существование и его простота утрачены. Его самосущность также утрачена, ибо за пределами «специозного настоящего» лежат прошлое и будущее, к которым наше настоящее восприятие, таким образом, неизбежно нас отсылает. Время, по крайней мере, поэтому существенно для того тождества в различии, которое постулирует всякое знание.

191. Но мы не вывели из всего этого никакого основания для утверждения множественности реальных вещей или формы внешности более чем одного измерения, которая, как мы видели, была необходима для истинности двух из трех наших аксиом. Это подводит нас к вопросу: достаточно ли нам одного времени как формы внешности для возможности знания?

На этот вопрос мы должны, я думаю, ответить отрицательно. С одним лишь временем, как мы видели, наш представленный объект должен быть сложным, но его сложность должна, если я могу использовать такую фразу, быть чисто предикативной. Без второй формы внешности только одна вещь может быть дана в один момент [189], и эта одна вещь, следовательно, должна составлять весь наш мир. Объект прошлого восприятия должен — поскольку наша одна вещь не имеет ничего внешнего по отношению к ней, чем она могла бы быть создана или уничтожена — рассматриваться как та же самая вещь в другом состоянии. Сложность, следовательно, будет лежать только в изменяющихся состояниях нашей одной вещи — она будет предикативной, а не субстанциальной. Более того, у нас есть следующая дилемма: либо эта одна вещь должна быть нами самими, либо самосознание никогда не могло бы возникнуть. Но главная трудность такого мира заключалась бы в изменениях вещи. Что могло бы вызвать эти изменения, поскольку мы не знали бы ничего внешнего по отношению к нашей вещи? Это было бы похоже на лейбницевскую монаду, без какого-либо Бога вне ее, чтобы заранее упорядочить ее изменения. Причинность в таком мире не могла бы быть применена, и изменение было бы совершенно необъяснимым.

Следовательно, нам требуется также возможность разнообразия одновременно существующих вещей, а не просто последовательных предикатов; и это, как мы видели, не может быть дано одним лишь временем, а только формой внешности для одновременных частей одного представления. Мы никогда, иными словами, не могли бы вывести существование разнообразных, но взаимосвязанных вещей, если бы объект чувственного восприятия не мог обладать субстанциальной сложностью, а для такой сложности нам требуется форма внешности, отличная от времени. Такая форма, более того, как было показано в главе III, разд. A (§ 135), может выполнять свои функции только в том случае, если она имеет более одного измерения. В нашем реальном мире эта форма дана пространством; в любом мире, познаваемом существами с нашими законами мышления, некоторая такая форма, как мы теперь увидели, должна быть дана в чувственном восприятии.

Этот аргумент можно кратко суммировать, приняв доктрину Брэдли о том, что всякое знание получается путем вывода из «Это» чувственного восприятия. Ибо, если это так, то «Это» — чтобы вывод, зависящий от тождества в различии, был вообще возможен — само должно быть сложным и при анализе должно обнаруживать прилагательные, имеющие отношение за пределами самого себя. Но это, как было показано выше, может произойти только посредством формы внешности. Это устанавливает априорные аксиомы геометрии как необходимо имеющие экзистенциальное значение и значимость в любом умопостигаемом мире.

192. Вышеприведенный аргумент, надеюсь, объяснил, почему я считаю возможным вывести из простого понятия, подобного понятию формы внешности, логическую априорность определенных аксиом относительно воспринимаемого пространства. Кантовский аргумент — который был верен, если наши рассуждения были здравыми, в утверждении, что реальное многообразие в нашем действительном мире может быть познано только с помощью пространства — ошибался лишь в той мере, в какой простирается его чисто логический охват, упуская из виду возможность других форм внешности, которые могли бы, если бы они существовали, выполнять ту же задачу с равной эффективностью. Таким образом, поскольку пространство отличается от этих других концепций возможных интуитивных форм, оно является лишь эмпирическим фактом, в то время как, поскольку его свойства являются теми, которыми должны обладать все такие формы, оно априорно необходимо для возможности опыта.

Я не могу, однако, надеяться, что у читателя не останется трудностей при таком выведении из абстрактных концепций свойств фактического данного в чувственном восприятии. Рассмотрим, например, такое свойство, как непроницаемость. Предположить две вещи одновременно в одном и том же положении в форме внешности — значит допустить логическое противоречие; но можем ли мы сказать то же самое о действительном пространстве и времени? Не является ли невозможность здесь делом опыта, а не логики? Нет, если вышеприведенный аргумент был здравым, отвечаю я. Ибо в этом случае мы выводим реальное многообразие, т.е. существование различных вещей, только из различия положения в пространстве или времени. Отсюда следует, что предполагать две вещи в одной и той же точке пространства и времени — все еще логическое противоречие: не потому, что мы сконструировали данные чувств из логики, а потому, что логика зависит, в отношении своего применения, от природы этих данных. Этот пример иллюстрирует то, что я стремлюсь прояснить: мой аргумент не пытался сконструировать живое богатство чувственного восприятия из «бескровных категорий», а лишь указать на то, что, если бы чувственное восприятие не содержало определенного элемента, эти категории были бы бессильны справиться с ним.