«Эссе об основаниях геометрии»

64. Но если «измерение состоит в наложении сравниваемых величин» (стр. 256), не следует ли из этого немедленно, что измерение логически возможно только там, где такое наложение оставляет величины неизменными? И следовательно, что измерение, как определено выше, включает в качестве априорного условия то, что величины неизменны при движении? Это следствие не делается Риманом; действительно, он переходит немедленно (стр. 256–7) к рассмотрению того, что он называет общей частью учения о величине (Grössenlehre), независимой от измерения. Но как возможно какое-либо учение о величине, в котором величины не могут быть измерены? Причина путаницы в том, что определение измерения Римана применимо ни к одному многообразию, кроме пространства, поскольку оно зависит от примечательного свойства, что то, что мы измеряем в геометрии, — это не точки, а отношения между точками, и последние, хотя и не первые, могут, конечно, быть неизменными при движении. Давайте попробуем, в качестве иллюстрации, применить определение измерения Римана к цветам. Мы должны помнить, что движение при работе с многообразием цветов означает — не движение в пространстве, а — движение в самом многообразии цветов. Теперь, поскольку каждая точка многообразия цветов полностью определяется тремя величинами, которые даны фактически и не могут быть произвольно выбраны, ясно, что измерение путем наложения — включающее, как оно делает, движение и, следовательно, изменение в этих определяющих величинах — совершенно исключено. Наложение одного цвета на другой как средство измерения — это чистая бессмыслица. И все же измерение возможно в многообразии цветов посредством закона смешения Гельмгольца (Mischungsgesetz); но измерение касается каждого отдельного элемента, а не отношений между элементами, и, таким образом, радикально отличается от измерения пространства [81]. Элементы не являются, как точки в пространстве, качественно подобными и различаемыми простым фактом их взаимной внешности. Что мы имеем в цветах, так это три фундаментальных качественно различных элемента, из определенных пропорций которых мы можем построить все остальные элементы многообразия — каждый из результирующих элементов имеет ту же комбинацию качественного разнообразия и сходства, что и три исходных элемента. Но в пространстве что мы могли бы сделать из такой процедуры? Даны три точки, как нам объединить их в определенных пропорциях? Фраза бессмысленна. Если кто-то сделает очевидное возражение, что мы должны объединять линии, а не точки, мой ответ столь же очевиден. Для начала, линии не являются элементами. Метафизически пространство не имеет элементов, будучи, как покажет продолжение, просто отношениями между непространственными элементами. Математически этот факт проявляется в самопротиворечивом понятии точки, или нулевой величины в пространстве, как предела в наших тщетных поисках пространственных элементов. Но даже если мы позволим линии сойти за пространственный элемент, что дает нам комбинация трех линий в определенных пропорциях? Она дает нам просто координаты точки. Здесь опять мы видим большую разницу между многообразиями цветов и пространства. В цветах комбинация величин дает новую величину того же рода; в пространстве она определяет не величину вообще, а претендующий на роль элемент иного рода, чем определяющие величины. В многообразии тонов мы нашли бы еще другие условия. Здесь ни одна из измеряющих величин не может исчезнуть без того, чтобы тон тоже не исчез, и все три настолько связаны вместе в едином результирующем ощущении, что ни одна не может существовать без конечного количества других. Они все качественно различны как друг от друга, так и от любого возможного тона, будучи его составляющими, как масса и скорость являются составляющими импульса. Все эти различные условия требуют исследования, прежде чем многообразие может быть полностью определено; и пока мы не провели такое исследование детально, мы не можем высказаться относительно априорной или эмпирической природы законов многообразия. Что касается пространства, я попытался провести такое исследование в третьей и четвертой главах этого эссе.

65. Я не хочу, однако, отрицать большую ценность концепции пространства как многообразия. Напротив, эта концепция, кажется, стала существенной для любого рассмотрения вопроса. Я только хочу настаивать на том, что чисто алгебраическое рассмотрение любого многообразия, каким бы важным оно ни было для вывода свежих следствий из известных посылок, имеет тенденцию скорее скрывать, чем прояснять базис самих посылок, и поэтому вводит в заблуждение в философском исследовании. Для математики, где количество царит безраздельно, концепция Римана доказала свою обильную плодотворность; для философии, напротив, где количество скорее выступает как плащ, скрывающий качества, которые оно абстрагирует, концепция кажется мне более продуктивной для ошибок и путаницы, чем для здравого учения.

Мы таким образом возвращаемся к точке, с которой начали, а именно к ложности исходной дизъюнкции Римана и, как следствие, к ошибке в его доказательстве эмпирической природы аксиом. Его философия в основном испорчена, на мой взгляд, этой ошибкой и некритическим допущением, что метрическая система координат может быть установлена независимо от каких-либо аксиом относительно измерения пространства [82]. Риман не заметил того, что я попытался доказать в следующей главе: что, если бы пространство не имело строго постоянной меры кривизны, геометрия стала бы невозможной; также что отсутствие постоянной меры кривизны влечет абсолютное положение, что есть абсурд. Отсюда он приходит к выводу, что все геометрические аксиомы эмпиричны и могут не соблюдаться в бесконечно малом, где наблюдение невозможно. Так он говорит (стр. 267): «Теперь эмпирические концепции, на которых основаны пространственные измерения, концепции твердого тела и светового луча, по-видимому, теряют свою значимость в бесконечно малом: поэтому вполне мыслимо, что отношения пространственных величин в бесконечно малом не соответствуют предпосылкам геометрии, и это, фактически, должно было бы быть допущено, как только это позволило бы нам объяснить явления проще». С этим выводом я должен полностью не согласиться. В очень больших пространствах могло бы быть отклонение от Евклида; ибо они зависят от аксиомы параллельных, которая не содержится в аксиоме свободной подвижности; но в бесконечно малом отклонения от Евклида могли бы быть обусловлены только отсутствием свободной подвижности, что, как я надеюсь, покажет моя третья глава, раз и навсегда невозможно.

Гельмгольц.

66. Гельмгольц, подобно Риману, был важен как в математике, так и в философии геометрии. С математической точки зрения его работа уже была рассмотрена в главе I; рассмотрение его философии, которое должно занять нас здесь, будет более серьезной задачей. Подобно Риману, он стремился доказать, что все аксиомы эмпиричны, и подобно Риману, он основывал свое доказательство главным образом на метагеометрии. У него был, однако, дополнительный ресурс в физиологии чувств, который впервые привел его к отрицанию Трансцендентальной эстетики и позволил ему атаковать Канта как с психологической, так и с математической стороны [83].

Основные темы для критики Гельмгольца — три: во-первых, его критерий априорного; во-вторых, его дискуссия с Ландом относительно «представимости» неевклидовых пространств; в-третьих — и это, безусловно, самая важная из трех — его теория зависимости геометрии от механики. Давайте обсудим эти три пункта последовательно.

67. Критерий априорности Гельмгольца трудно обнаружить, так как он, насколько мне известно, никогда не дает его точной формулировки. Из его дискуссии о физической и трансцендентальной геометрии [84], однако, следовало бы, что он рассматривает как эмпирическое все, что применяется к эмпирической материи. Ибо он там утверждает, что даже если бы пространство было априорной формой, все же любая геометрия, которая стремилась бы к применению в физике, была бы, поскольку фактические места тел не известны априорно, необходимо эмпирической [85]. Кажется более вероятным, что он рассматривает это как возможный критерий, так как он принят в нескольких местах его учеником Эрдманом [86], и столь странный тест вряд ли мог быть принят философом, если бы он не нашел его у своего учителя. Я назвал это странным тестом, потому что мне кажется, что он полностью игнорирует работу критической философии. Ибо если есть одна вещь, которая, можно было бы надеяться, была сделана достаточно ясной «Критикой» Канта, то это именно то, что знание, которое является априорным, будучи само по себе условием возможного опыта, применяется — и, по мнению Канта, применяется только — к эмпирической материи. Гельмгольц и Эрдман, следовательно, устанавливая этот тест без обсуждения, просто игнорируют существование Канта и возможность трансцендентального аргумента. Гельмгольц всегда предполагает, что эмпирическое знание должно быть полностью эмпирическим, что не может быть никаких априорных условий рассматриваемого опыта, что опыт всегда будет возможен и может дать любой результат. Так, обсуждая «физическую» геометрию, он предполагает, что возможность эмпирического измерения не включает никаких априорных аксиом и что никакой априорный элемент не может содержаться в процессе. Это допущение, как мы увидим в главе III, совершенно неоправданно: определенные свойства пространства, фактически, вовлечены в возможность измерения материи. Несмотря на тот факт, следовательно, что мы применяем измерение к эмпирической материи и что наши результаты, следовательно, эмпиричны, вполне может быть априорный элемент в измерении, который предполагается в его возможности. Такой критерий, следовательно, должен объявить все эмпирическим, но сам должен быть объявлен бесполезным.

Другой и лучший критерий, это правда, также может быть найден у Гельмгольца и также был принят Эрдманом. Все, что могло бы, при другом опыте, стать другим — так утверждает этот критерий — должно само зависеть от опыта и, следовательно, быть эмпирическим. Этот критерий кажется совершенно здравым, но использование его Гельмгольцем обычно испорчено тем, что он пренебрегает доказательством возможности рассматриваемого другого опыта. Он говорит, например, что если бы наш опыт показывал нам только тела, которые меняли свои формы при движении, мы не пришли бы к аксиоме конгруэнтности, которую он провозглашает, соответственно, эмпирической. Но я попытаюсь доказать в главе III, что без аксиомы конгруэнтности опыт пространственной величины был бы невозможен. Если мое доказательство верно, из этого следует, что никакой опыт никогда не может выявить пространственные величины, которые противоречат этой аксиоме — возможность, которую Гельмгольц нигде не обсуждает, устанавливая свой гипотетический опыт. Таким образом, этот второй критерий, хотя и совершенно здравый, требует всегда сопровождающего трансцендентального аргумента относительно условий возможного опыта. Но это сопровождение редко можно найти у Гельмгольца.

68. Один из немногих случаев, в которых Гельмгольц пытался дать такое сопровождение, встречается в связи с нашим вторым пунктом, представимостью неевклидовых пространств. Аргумент по этому пункту был вызван кантовскими оппонентами Гельмгольца, которые утверждали, что чисто логическая возможность этих пространств нерелевантна, поскольку базисом геометрии была не логика, а созерцание. Аксиомы, говорили они, являются синтетическими положениями, и их противоположности, следовательно, не являются самопротиворечивыми; они тем не менее являются аподиктическими положениями, поскольку никакое другое созерцание, кроме евклидова, для нас невозможно [87]. Я уже критиковал эту линию аргументации в начале настоящей главы. Критика Гельмгольца, однако, была иной: допуская внутреннюю непротиворечивость аргумента, он отрицал одну из его посылок. Мы можем представить неевклидовы пространства, сказал он, хотя их непривычность делает это трудным. Из этого взгляда следовало, конечно, что аргумент Канта, даже если бы он был формально верным, не мог доказать априорность евклидова пространства в частности, а только того общего пространства, которое включало Евклида и не-Евклида в равной степени [88].

Хотя я согласен с Гельмгольцем в том, что различие между евклидовыми и неевклидовыми пространствами эмпирично, я не могу считать его аргумент о «представимости» последних очень удачным. Значимость любого доказательства должна зависеть, очевидно, от определения представимости. Определение, которое Гельмгольц дает в своем ответе Ланду, следующее: представимость требует «die vollständige Vorstellbarkeit derjenigen Sinneseindrücke, welche das betreffende Object in uns nach den bekannten Gesetzen unserer Sinnesorgane unter allen denkbaren Bedingungen der Beobachtung erregen, und wodurch es sich von anderen ähnlichen Objecten unterscheiden würde» (Wiss. Abh. II. стр. 644). Это определение не очень ясно из-за двусмысленности слова «Vorstellbarkeit». Следующее определение кажется менее двусмысленным: «Wenn die Reihe der Sinneseindrücke vollständig und eindeutig angegeben werden kann, muss man m. E. die Sache für anschaulich vorstellbar erklären» (Vorträge und Reden, II. стр. 234). Это проясняет, что также видно из его манеры доказательства, что он рассматривает как представимые вещи, которые могут быть описаны в концептуальных терминах. Такое, как отмечает Ланд (Mind, Vol. II. стр. 45), «не является смыслом, требуемым для аргументации в данном случае». Что критика Ланда справедлива, показывает доказательство Гельмгольца для неевклидовых пространств, ибо оно состоит только в аналогии с объемом внутри сферы, которая математически получена так: мы берем символы, представляющие величины в «псевдосферическом» (гиперболическом) пространстве, и придаем им новое евклидово значение; таким образом, все наши символические положения становятся способными к двум интерпретациям, одной для псевдосферического пространства и одной для объема внутри сферы. Однако достаточно очевидно, что эта процедура, хотя она позволяет нам описать наше новое пространство, не позволяет нам представить его в смысле вызова образов того, как вещи выглядели бы в нем. Мы действительно извлекаем из этой аналогии не больше знания, чем человек, рожденный слепым, может извлечь относительно света из аналогии с теплом. Диктум «Nihil est in intellectu quod non fuerit ante in sensu» был бы, несомненно, истинным, если бы вместо «интеллекта» мы подставили «воображение»; тщетно, следовательно, если наше фактическое пространство евклидово, надеяться на способность воображения неевклидова пространства. То, что Гельмгольц мог бы, я верю, с полной истиной возразить Ланду, — это то, что образ, который мы фактически имеем о пространстве, недостаточно точен, чтобы исключить в фактическом пространстве, которое мы знаем, всякую возможность небольшого отклонения от евклидова типа. Но в утверждении, что мы не можем представить, хотя можем мыслить и описать пространство, отличное от того, которое мы фактически имеем, Ланд, по моему мнению, несомненно прав. Для чистого кантианца, который утверждает вместе с Ландом, что ни одна из аксиом не может быть доказана, этот вопрос имеет большое значение. Но если, как я утверждал, некоторые из аксиом восприимчивы к трансцендентальному доказательству, в то время как другие могут быть верифицированы эмпирически, вопрос освобождается от психологических импликаций, и представимость или непредставимость метагеометрических пространств становится неважной.

69. Мы подходим теперь к третьему и самому важному вопросу, отношению геометрии к механике. Есть три смысла, в которых может быть принято обращение Гельмгольца к твердым телам: первый, я думаю, — это смысл, в котором он первоначально намеревался его использовать; второй, кажется, — это смысл, который он принял в своей защите против Ланда; в то время как третий признается Ландом и будет признан в следующей аргументации. Эти три смысла следующие:

(1) Может быть утверждено, что фактическое значение аксиомы свободной подвижности заключается в утверждении эмпирических твердых тел и что эти два положения эквивалентны друг другу. Это, безусловно, ложно.

(2) Аксиома свободной подвижности, можно сказать, логически отличима от утверждения твердых тел и может даже не быть эмпирической; но она бесплодна, даже для чистой геометрии, без помощи мер, которые сами должны быть эмпирическими твердыми телами. Этот смысл более правдоподобен, чем первый, но я верю, что мы можем показать, что в этом смысле также положение ложно.

(3) Для чистой геометрии и абстрактного изучения пространства, можно сказать, свободная подвижность, как она применяется к абстрактной геометрической материи, дает достаточную возможность количественного сравнения; но в момент, когда мы расширяем наши результаты до смешанной математики и применяем их к эмпирически данной материи, мы требуем также, в качестве мер, эмпирически данные твердые тела или тела, по крайней мере, чьи отклонения от жесткости эмпирически известны. В этом смысле, я признаю, положение верно [89].

Обсуждая эти три значения, я не буду ограничиваться строго текстом Гельмгольца или Ланда: если бы я попытался это сделать, я столкнулся бы с трудностью, что ни один из них не определяет априорное и что каждый слишком склонен, по моему мнению, проверять его психологическими критериями. Я, следовательно, возьму три значения по очереди, не делая упора на их историческую адекватность взглядам Ланда или Гельмгольца.

70. (1) Конгруэнтность может быть принята в значении — как Гельмгольц, безусловно, хотел бы — что мы находим фактические тела в нашем механическом опыте, сохраняющие свои формы с приблизительным постоянством, и что мы выводим из этого опыта однородность пространства. Этот взгляд, по моему мнению, радикально неверно понимает природу измерения и аксиом, вовлеченных в него. Ибо что имеется в виду под нежесткостью тела? Мы имеем в виду просто, что оно изменило свою форму. Но это включает возможность сравнения с его прежней формой, иными словами, измерения. Чтобы, следовательно, мог возникнуть какой-либо вопрос о жесткости или нежесткости, измерение пространственных величин должно быть уже возможным. Из этого следует, что измерение не может, без порочного круга, быть само выведено из опыта твердых тел. Геометрическое измерение, фактически, есть сравнение пространственных величин, и такое сравнение включает, как будет доказано подробно в главе III, однородность пространства. Это, следовательно, логическая предпосылка всякого опыта твердых тел и не может быть результатом такого опыта. Без однородности пространства само понятие жесткости или нежесткости не могло бы существовать, поскольку они означают, соответственно, постоянство или непостоянство пространственной величины в кусках материи, и оба, следовательно, предполагают возможность пространственного измерения. Из однородности пространства мы узнаем, что тело, когда оно движется, не будет менять свою форму без какой-либо физической причины; что оно фактически не меняет свою форму, никогда не утверждается и, действительно, известно как ложное. Как только измерение возможно, фактические изменения формы могут быть оценены, и их эмпирические причины могут быть найдены. Но если бы пространство не было однородным, измерение было бы невозможным, постоянная форма была бы бессмысленной фразой, и жесткость никогда не могла бы быть испытана. Конгруэнтность утверждает, короче говоря, что тело может, насколько касается просто пространства, двигаться без изменения формы; жесткость утверждает, что оно фактически так движется — очень разное положение, включающее очевидно, как свой логический prius, первое геометрическое положение.

Этот аргумент может быть суммирован следующей дизъюнкцией: если тела меняют свои формы при движении — а в некоторой степени, поскольку ни одно тело не является идеально твердым, они все должны делать это — тогда должен произойти один из двух случаев. Либо изменения формы, по мере того как тела движутся с места на место, не следуют никакому геометрическому закону, не являются, например, функциями величины или направления движения; в этом случае закон причинности требует, чтобы они не были эффектами изменения места, а некоторого одновременного негеометрического изменения, такого как температура. Либо изменения регулярны, и форма S становится в новом положении p, Sf(p). В этом случае закон сопутствующих изменений ведет нас к приписыванию изменения формы простому движению, и форма, таким образом, становится функцией абсолютного положения. Но это абсурд, ибо положение означает просто отношение или набор отношений; невозможно, следовательно, чтобы простое положение было способно вызвать изменения в теле. Положение — это один термин в отношении, а не вещь сама по себе; оно не может, следовательно, действовать на вещь или существовать само по себе, отдельно от других терминов отношения. Таким образом, взгляд Гельмгольца, что конгруэнтность зависит от существования твердых тел, должен, поскольку он включает абсолютное положение, быть осужден как логическая ошибка. Конгруэнтность, фактически, как я докажу более полно в главе III, есть априорный вывод из относительности положения.

71. (2) Приведенный выше аргумент, как мне кажется, удовлетворительно отвечает на утверждение Гельмгольца в той точной форме, которую он придал ему изначально. Мы должны согласиться с тем, что аксиома конгруэнтности логически отличается от существования твердых тел. Тем не менее, в геометрии логически подразумевается некое обращение к материи, однако является ли это обращение эмпирическим или же оно указывает на априорный элемент в динамике — это уже дальнейший вопрос.

Обращение к материи обусловлено однородностью пустого пространства. До тех пор, пока мы не принимаем во внимание материю, одно положение совершенно неотличимо от другого, и наука об отношениях положений невозможна. Действительно, прежде чем пространственные отношения вообще могут возникнуть, однородность пустого пространства должна быть нарушена, и это разрушение должно быть произведено материей. Чистая страница бесполезна для геометра, пока он не нарушит ее однородность линиями, проведенными чернилами или карандашом. Короче говоря, никакие пространственные фигуры немыслимы без обращения к материи, которая не является чисто пространственной. Далее, если конгруэнтность когда-либо должна быть использована, необходимо движение: но чисто геометрическая точка, определяемая исключительно своими пространственными атрибутами, не может двигаться без противоречия в терминах. Следовательно, то, что движется, должно быть материей. Таким образом, чтобы движение могло служить критерием равенства, мы должны иметь некую материю, о которой известно, что она остается неизменной на протяжении всего движения, то есть мы должны иметь некие твердые тела. И трудность заключается в том, что эти тела должны не только не претерпевать изменений, обусловленных исключительно природой пространства, но, кроме того, должны оставаться неизменными при изменении их отношения к другим телам. И здесь мы имеем требование, которое уже не может быть выполнено априорно: требование, которое, как мы знаем, в строгом смысле неверно. Ибо силы, действующие на тело, зависят от его пространственных отношений к другим телам, а изменяющиеся силы могут приводить к изменению конфигурации. Следовательно, по-видимому, фактическое измерение должно быть чисто эмпирическим и зависеть от степени жесткости, достигаемой в процессе измерения в телах, с которыми мы имеем дело.

Этот вывод, как я полагаю, справедлив для всех фактических измерений. Но я должен настаивать на том, что возможность такой эмпирической и приближенной жесткости зависит от априорного закона, согласно которому простое движение, помимо действия другой материи, не может вызвать изменение формы. Ибо без этого закона действие другой материи было бы невозможно обнаружить; законы движения были бы абсурдны, а физика была бы невозможна. Рассмотрим, например, второй закон: как мы могли бы измерить изменение движения, если бы само движение вызывало изменение в наших мерах? Или рассмотрим закон тяготения: как мы могли бы установить закон обратных квадратов, если бы не были способны, независимо от динамики, измерять расстояния? Вся наука динамика, короче говоря, фундаментально зависит от геометрии, и если бы не независимая возможность измерения пространственных величин, ни одна из величин динамики не могла бы быть измерена. Время, сила и масса измеряются с помощью пространственных коррелятов: эти корреляты даются для времени — первым законом, для силы и массы — вторым и третьим. Таким образом, верно, что эмпирический элемент неизбежно присутствует во всех фактических измерениях, поскольку мы можем лишь эмпирически знать, что данный кусок материи сохраняет свою форму на протяжении необходимого изменения динамических отношений к другой материи, вовлеченной в движение; но также верно и то, что для геометрии — которая рассматривает материю просто как обеспечивающую необходимый разрыв в однородности пространства и необходимый член для пространственных отношений, а не как носитель сил, изменяющих конфигурацию других материальных систем, — для геометрии, которая имеет дело с этой абстрактной и чисто кинематической материей, жесткость является априорной, поскольку единственные изменения, которые она признает, — а именно изменения простого положения, — не способны повлиять на формы воображаемых и абстрактных тел, с которыми она имеет дело. Используя схоластическое различие, мы можем сказать, что материя есть causa essendi пространства, но геометрия есть causa cognoscendi физики. Без геометрии, независимой от физики, сама физика, которая неизбежно предполагает результаты геометрии, никогда не могла бы возникнуть; но когда геометрия используется в физике, она теряет часть своей априорной достоверности и приобретает эмпирический и приближенный характер, свойственный всем описаниям фактических явлений.

72. (3) Этот аргумент подводит нас к различению Ландом физической и геометрической жесткости. Это различие может быть выражено — и, я думаю, лучше выражено — путем различения концепций материи, свойственных соответственно динамике и геометрии. В динамике мы имеем дело с материей как субъектом и причиной движения, как подверженной воздействию силы и как оказывающей ее. Поэтому мы имеем дело с изменениями пространственной конфигурации, которым подвержены материальные системы: описание и объяснение этих изменений является надлежащим предметом всей динамики. Но для того чтобы такая наука могла существовать, очевидно, необходимо, чтобы пространственная конфигурация была уже измеримой. Если бы это было не так, движение, ускорение и сила оставались бы совершенно неопределенными. Следовательно, геометрия должна уже существовать до того, как станет возможной динамика: делать геометрию зависимой в своей возможности от законов движения или любых их следствий — это грубое ὕστερον πρότερον. Тем не менее, как мы видели, некий вид материи существенен для геометрии. Но эта геометрическая материя является более абстрактной и совершенно иной материей, чем материя динамики. Чтобы изучать пространство само по себе, мы сводим свойства материи к самому минимуму: мы полностью избегаем категории причинности, столь существенной для динамики, и не сохраняем в нашей материи ничего, кроме ее пространственных прилагательных. Тот вид жесткости, который приписывается этой абстрактной материи — вид, достаточный для теории нашей науки, хотя и не для ее применения к объектам повседневной жизни, — является чисто геометрическим и утверждает не более чем следующее: поскольку наша материя, ex hypothesi, лишена причинных свойств, в простом пустом пространстве не остается ничего, что было бы способно изменить конфигурацию какой-либо геометрической системы. Изменение абсолютного положения, утверждает она, есть ничто; следовательно, единственное реальное изменение, вовлеченное в движение, есть изменение отношения к другой материи; но такая другая материя, для целей нашей науки, рассматривается как лишенная причинных сил; следовательно, никакое изменение не может произойти в конфигурации нашей системы вследствие простого эффекта движения через пустое пространство. Необходимость такого принципа может быть показана простым reductio ad absurdum следующим образом. Поступательное движение Вселенной как целого с постоянным направлением и скоростью динамически пренебрежимо; фактически, философски это вообще не движение, ибо оно не предполагает изменения в состоянии или взаимных отношениях вещей во Вселенной. Но если бы наша геометрическая жесткость была отвергнута, изменение параметра пространства могло бы вызвать изменение форм всех тел вследствие простого изменения абсолютного положения, что очевидно абсурдно.

Чтобы сделать совершенно ясной функцию твердых тел в геометрии, предположим жидкого геометра в жидком мире. Мы не можем предположить жидкость совершенно однородной и недифференцированной, во-первых, потому что такая жидкость была бы неотличима от пустого пространства, во-вторых, потому что тело нашего геометра — если только он не является бесплотным духом — само по себе будет представлять для него дифференциацию. Мы можем, следовательно, предположить

"тусклые лучи,

Которые среди потоков

Сплетают сеть цветного света",

и мы можем предположить, что эта сеть создает повод для размышлений нашего геометра. Тогда он сможет вообразить сеть, в которой линии являются прямыми, или круговыми, или параболическими, или любой другой формы, и он сможет сделать вывод, что такая сеть, если ее можно сплести в одной части жидкости, может быть сплетена и в другой. Это составит достаточное основание для его дедукций. Суперпозиция, с которой он имеет дело, — поскольку предметом геометрии является не фактическое равенство, а лишь формальные условия равенства, — является чисто идеальной и не затрагивается невозможностью затвердевания какой-либо реальной сети. Но чтобы применить свою геометрию к требованиям жизни, ему потребовался бы некий стандарт сравнения между реальными сетями, и здесь, правда, ему потребовалось бы либо твердое тело, либо знание условий, при которых возникают подобные сети. Более того, эти условия, будучи неизбежно эмпирическими, вряд ли могли бы быть известны помимо предшествующего измерения. Следовательно, для прикладной, хотя и не для чистой геометрии, по крайней мере одно твердое тело кажется существенным.

73. Полезность для динамики нашей абстрактной геометрической материи достаточно очевидна. Ибо, имея с ее помощью возможность определять конфигурации материальных систем в любой части пространства и зная, что изменения конфигурации не обусловлены простым изменением места, мы можем приписать эти изменения действию другой материи и, таким образом, установить понятие силы, что было бы невозможно, если бы изменение формы могло быть обусловлено пустым пространством.

Таким образом, в заключение: геометрия требует, если она должна быть практически возможной, некоторого тела или тел, которые либо являются твердыми (в динамическом смысле), либо, как известно, претерпевают некоторые определенные изменения формы согласно некоторому определенному закону. (Эти изменения, мы можем предположить, известны из законов физики, которые были экспериментально установлены и которые повсюду предполагают истинность геометрии.) Одно или несколько таких тел необходимы для прикладной геометрии — но только в том смысле, в каком линейки и циркули необходимы. Они необходимы так же, как при проведении топографической съемки был необходим сложный аппарат для измерения базисной линии на Солсберийской равнине. Но для теории геометрии достаточно геометрической жесткости, а геометрическая жесткость означает лишь то, что форма, возможная в одной части пространства, возможна в любой другой. Эмпирический элемент на практике, возникающий из чисто эмпирической природы физической жесткости, сравним с эмпирическими неточностями, возникающими из невозможности найти прямые линии или круги в мире, — что никто, кроме Милля, не рассматривал как делающее саму геометрию эмпирической или неточной. Но заставлять геометрию ждать совершенства физики — значит делать физику, которая во всем зависит от геометрии, навсегда невозможной. С таким же успехом мы могли бы отложить образование чисел до тех пор, пока не пересчитаем дома на Пикадилли.

Эрдман.

74. В связи с Риманом и Гельмгольцем естественно рассмотреть философскую работу Эрдмана об их теориях. Это, безусловно, самая важная книга по данному предмету, появившаяся с философской стороны, и, несмотря на тот факт, что, подобно всей теории Римана и Гельмгольца, она неприменима к проективной геометрии, она все же заслуживает самого полного обсуждения.

Эрдман во всем согласен с выводами Римана и Гельмгольца, за исключением нескольких моментов второстепенной важности; и его взгляды, как и следовало ожидать из этого согласия, являются ультраэмпирическими. Действительно, его логика кажется — хотя я говорю это с колебанием — несовместимой с какой-либо системой, кроме системы Милля: для него, по-видимому, нет различия между общим и всеобщим, и, следовательно, нет понятия, не воплощенного в ряде примеров. Такая теория логики, на мой взгляд, порочит большую часть его работы, как она порочила философию Римана. Эта общая критика найдет обильное подтверждение в ходе нашего изложения взглядов Эрдмана.

75. После общего введения и краткой истории развития метагеометрии Эрдман переходит во второй главе к обсуждению того, что представляют собой аксиомы евклидовой геометрии. Арифметические аксиомы, как их называют, он оставляет в стороне, поскольку они применяются к величине вообще; то, что нам нужно здесь, говорит он, — это определение пространства, для которого релевантны только геометрические аксиомы. Но определение пространства, говорит он, следуя за Риманом, требует рода, видом которого должно быть пространство, и это, поскольку наше пространство психологически уникально, может быть предоставлено только аналитической математикой (стр. 36). Теперь пространственные формы, с которыми имеет дело геометрия, являются величинами, и концепции величины повсеместно применяются в геометрии. Но до Римана только частные определения пространства могли быть представлены как величины, и, таким образом, желаемое определение было невозможно получить. Теперь, однако, мы можем подвести пространство как целое под общее понятие величины и, таким образом, получить, помимо пространственной интуиции и пространственной концепции, третью форму, а именно концепцию пространства как величины (Grössenbegriff vom Raum, стр. 38–39). Определение этого даст нам полную, но не избыточную систему аксиом, которую нельзя было получить путем преобразования общей интуиции пространства в пространственную концепцию из-за отсутствия множества примеров (стр. 40).

76. Прежде чем рассматривать последующий метод определения, давайте поразмышляем о теориях, вовлеченных в приведенное выше описание концепции пространства как величины. Во-первых, предполагается, что концепции не могут быть сформированы, если у нас нет ряда отдельных объектов, из которых можно абстрагировать общее свойство, — иными словами, что всеобщее всегда есть общее. Во-вторых, предполагается, что всякое определение есть классификация под родом. В-третьих, концепция величины, если я не ошибаюсь, фундаментально неправильно понимается, когда предполагается применимой к пространству как целому. Но в-четвертых, даже если бы такая концепция существовала, она не могла бы дать ни одного из существенных свойств пространства. Давайте рассмотрим эти четыре пункта последовательно.

77. Что касается первого пункта, следует заметить, что люди, безусловно, имели некоторое представление о пространстве до того, как Риман изобрел понятие многообразия, и что это представление было, безусловно, чем-то иным, нежели общие качества всех точек, линий или фигур в пространстве. Во-вторых, взгляд Эрдмана сделал бы невозможным постижение Бога, если только человек не был политеистом, или Вселенной — если только, подобно Лейбницу, он не воображал ряд возможных миров, противопоставленных Богу, и ни один из них, следовательно, не был истинной Вселенной, — или, чтобы привести пример, который скорее привлечет эмпирика, необходимо уникального центра масс материальной Вселенной. Любое всеобщее, короче говоря, которое является связью или единством между вещами, а не просто общим свойством среди независимых объектов, становится невозможным при взгляде Эрдмана. Мы не можем, следовательно, если только не примем философию Милля целиком, рассматривать концепцию пространства как требующую ряда примеров, из которых можно абстрагировать. Но даже если бы мы так ее рассматривали, многообразия Римана оставили бы нас без ресурсов. Ибо евклидово пространство все еще представляется уникальным в конце его ряда определений. У нас есть примеры многообразий, но не примеры евклидова пространства. Таким образом, если бы теория концепций Эрдмана была верна, он все равно остался бы в тщетном поиске концепции евклидова пространства.

78. Второй пункт, взгляд, что всякое определение есть классификация, тесно связан с первым, и оба они вместе погружают нас в глубины схоластической формальной логики. Те же примеры вещей, которые не могли, по мнению Эрдмана, быть постигнуты, могут теперь быть приведены как вещи, которые не могут быть определены. Все, что было сказано выше, применимо и здесь, и поэтому этот пункт не нуждается в дальнейшем обсуждении.

79. Что касается третьего пункта, невозможности применения концепций величины к пространству как целому, потребуется более длинный аргумент, ибо мы имеем дело здесь со всем вопросом о логической природе суждений о величине. Как у нас раньше было слишком много сравнения для наших нужд, так теперь у нас его слишком мало. Я постараюсь объяснить этот пункт, который имеет большое значение и лежит, я думаю, в основе большинства философских заблуждений школы Римана.

Суждение о величине всегда есть суждение сравнения, и, более того, сравнение никогда не касается качества, а только количества. Качество в суждении о величине предполагается идентичным в объекте, чья величина констатируется, и в единице, с которой он сравнивается. Но качество, за исключением чистого числа и чистого количества, с которыми имеет дело исчисление, всегда присутствует и частично поглощается количеством, частично остается нетронутым суждением о величине. Как говорит Бозанкет (Logic, Vol. I, стр. 124): «Количественное сравнение не является prima facie координатным с качественным, а скорее занимает его место как эффект сравнения над качеством, которое, поскольку оно сравнимо, становится количеством, а поскольку оно несравнимо, обеспечивает различие частей, существенных для количественного целого» (курсив в оригинале). Таким образом, если мы должны рассматривать пространство как величину, мы должны быть в состоянии привести все те ряды примеров, о которых говорит Эрдман и которые для концепции пространства казались нерелевантными. Но остается доказать, что сравнение, которое мы можем установить между различными пространствами, способно к выражению в количественной форме. Скорее, казалось бы, что различие качества таково, что исключает количественное сравнение между различными пространствами, а следовательно, также исключает все суждения о величине относительно пространства как целого. Здесь исключение могло бы показаться требуемым неевклидовыми пространствами, чьи пространственные константы дают определенную величину, присущую пространству как целому, и поэтому, можно подумать, характеризующую пространство как величину. Но это ошибка. Ибо пространственная константа в таких пространствах есть предельная единица, фиксированный член во всяком количественном сравнении; она сама, следовательно, лишена количества, поскольку нет независимо данной величины, с которой ее можно было бы сравнить. Неевклидов мир, в котором пространственная константа и все линии и фигуры были бы внезапно умножены в постоянном отношении, был бы полностью неизменен; линии, измеренные относительно пространственной константы, имели бы ту же величину, что и раньше, а сама пространственная константа, не имея внешнего стандарта сравнения, была бы лишена количества и, следовательно, не подвержена изменению количества. Такое расширение неевклидова мира, иными словами, бессмысленно; и это доказывает, насколько неприменимо понятие количества к пространству как целому.

Можно было бы возразить, что это доказывает лишь отсутствие количественного различия между различными пространствами с положительной пространственной константой или между пространствами с отрицательной пространственной константой: количественное различие, можно было бы сказать, сохраняется между пространствами с положительной кривизной в целом и пространствами с отрицательной кривизной в целом, или между обоими вместе и евклидовым пространством. Это я полностью отрицаю. В трех видах пространства нет качественно подобной единицы, посредством которой могло бы быть осуществлено количественное сравнение. Прямые линии одного пространства не могут быть помещены в другое: две прямые линии в одном пространстве, произведение которых есть обратная величина меры кривизны, не имеют соответствующих кривых в другом пространстве, и меры кривизны, следовательно, не могут быть количественно сравнены друг с другом. То, что одну можно рассматривать как положительную, а другую как отрицательную, я признаю, но их значения неопределенны, а единицы в двух случаях качественно различны. Долг в 300 фунтов стерлингов может быть представлен как актив в -300 фунтов стерлингов, а высота Эйфелевой башни составляет +300 метров; но из этого не следует, что они количественно сравнимы. Так и с пространственными константами: пространственная константа сама является единицей для величин в своем собственном пространстве и качественно отличается от пространственной константы другого вида пространства.

Далее, переходя к более философскому аргументу, два различных пространства не могут сосуществовать в одном и том же мире: мы можем быть не в состоянии решить между альтернативами дизъюнкции, но они остаются, тем не менее, абсолютно несовместимыми альтернативами. Следовательно, мы не можем получить то сосуществование двух пространств, которое существенно для сравнения. Факт, по-видимому, состоит в том, что Эрдман, в своем восхищении Риманом и Гельмгольцем, поддался их математической предвзятости и предположил, как математики естественно склонны предполагать, что количество везде и всегда применимо и адекватно и может иметь дело с чем-то большим, чем простое сравнение вещей, чьи качества уже известны как подобные.

80. Это наводит на четвертый и последний из вышеуказанных пунктов, что качества пространства, даже если бы пространство можно было успешно рассматривать как величину, должны были бы быть полностью опущены при таком способе его рассмотрения, и что, следовательно, ни одно из его важных или существенных свойств не вытекало бы из такого обращения. Ибо рассматривать пространство как величину означает, как мы видели, сравнение с чем-то качественно подобным и абстрагирование от подобных качеств. В некоторой степени и с помощью некоторых сомнительных аргументов такое сравнение устанавливается Риманом и Эрдманом; но когда они установили его, они забывают обо всех общих качествах, от которых зависит его возможность. Но это именно фундаментальные свойства пространства, и те, из которых, как я постараюсь доказать в главе III, аксиомы, общие для Евклида и метагеометрии, следуют априорно. Таковы опасности количественной предвзятости.

81. После этого протеста против исходных предположений в дедукции пространства Эрдманом давайте вернемся к рассмотрению того, каким образом эта дедукция осуществляется. Здесь будет меньше оснований для критики, так как дедукция, учитывая ее предпосылки, я думаю, настолько хороша, насколько такая дедукция может быть. Определить пространство как величину, говорит он, давайте начнем с двух его наиболее очевидных свойств: непрерывности и трех измерений. Тона и цвета дают другие примеры многообразия с этими двумя свойствами, но отличаются от пространства тем, что их измерения не являются однородными и взаимозаменяемыми. Чтобы обозначить это различие, Эрдман вводит полезную пару терминов: в общем случае он называет многообразие n-определенным (n-bestimmt); в случае, когда, как в пространстве, измерения однородны, он называет многообразие n-протяженным (n-ausgedehnt). Многообразия последнего рода он называет протяженностями (Ausgedehntheiten). То, что различие между двумя видами является различием качества, а не количества, он, по-видимому, не осознает; он также упускает из виду тот факт, что во втором виде, по самому его определению, аксиома конгруэнтности должна выполняться из-за качественного сходства различных частей. Несмотря на этот факт, он определяет пространство как протяженность, а затем рассматривает конгруэнтность как эмпирическую и как, возможно, ложную в бесконечно малом. Это тем более странно, что он фактически доказывает (стр. 50), что измерение невозможно в протяженности, если части не независимы от своего места и не могут быть перенесены без изменений в качестве мер. Несмотря на это, он немедленно переходит к обсуждению того, является ли мера кривизны постоянной или переменной, не исследуя, как в последнем случае могла бы существовать геометрия. Мы не можем знать, говорит он, из геометрической суперпозиции, что геометрические тела независимы от места, ибо если бы их измерения изменялись при движении согласно какому-либо фиксированному закону, два тела, которые могли быть совмещены в одном месте, могли бы быть совмещены в любом другом. То, что такая гипотеза вовлекает абсолютное положение и отрицает качественное сходство частей пространства, которое он объявляет (стр. 171) принципом своей теории геометрии, нигде не осознается. Но что более важно, его представление о том, что величина есть нечто абсолютное, независимое от сравнения, помешало ему увидеть, что такая гипотеза бессмысленна. Он сам говорит, что даже при этой гипотезе геометрическое тело может быть определено как такое, чьи точки сохраняют постоянные расстояния друг от друга, ибо, поскольку у нас нет абсолютной меры, измерение не могло бы открыть нам изменение абсолютной величины (стр. 60). Но не является ли это reductio ad absurdum? Ибо величина есть ничто помимо сравнения, и сравнение здесь может быть осуществлено только суперпозицией; если, следовательно, как при вышеуказанной гипотезе, суперпозиция всегда дает один и тот же результат, каким бы движением она ни осуществлялась, нет смысла говорить о величинах как о более не равных при разделении: абсолютная величина есть абсурд, а величина, возникающая из сравнения, не отличается от той, которая возникла бы, если бы измерения тел были неизменны при движении. Следовательно, поскольку величина понятна только как результат сравнения, измерения тел являются неизменными при движении, и предложенная гипотеза бессмысленна. Об этом предмете я скажу больше в главе III.

82. Эта гипотеза, однако, введена не ради нее самой, а лишь для того, чтобы ввести гельмгольцевский deus ex machina — механику. Ибо механика доказывает — так уверенно продолжает Эрдман, — что жесткость должна выполняться не только в отношении отношений, в вышеуказанном ограниченном геометрическом смысле, но и в отношении абсолютных величин (стр. 62). Следовательно, мы получаем наконец истинную конгруэнтность, эмпирическую, как эмпирична механика, и невозможную для доказательства помимо механики. Я уже критиковал взгляд Гельмгольца на зависимость геометрии от механики и не должен здесь говорить об этом подробно. Жаль, что Эрдман никоим образом не уточнил процедуру, с помощью которой механика решает геометрические альтернативы, — действительно, он, по-видимому, полагается на ipse dixit Гельмгольца. Как, если бы геометрия была совершенно неспособна обнаружить изменение в измерениях предложенного рода, законы движения, которые повсюду зависят от геометрии, могли бы обнаружить его, если бы оно существовало, я совершенно не в состоянии понять. Равномерное движение по прямой линии, например, предполагает геометрическое измерение; если это измерение ошибочно, то, что механика воображает как равномерное движение, на самом деле таковым не является, но механика никогда не сможет обнаружить это несоответствие. Если бы законы движения рассматривались как априорные, геометрия, возможно, могла бы быть подкреплена ими; но до тех пор, пока они эмпиричны, они предполагают геометрическое измерение и поэтому не могут обусловливать или затрагивать его.

Вывод Эрдмана во второй главе состоит в том, что конгруэнтность вероятна, но не может быть верифицирована в бесконечно малом; что ее истинность предполагает фактическое существование твердых тел (хотя, кстати, мы знаем, что они, строго говоря, не существуют), что твердые тела свободно подвижны и не изменяют свой размер при вращении (монодромия Гельмгольца); что аксиома трех измерений достоверна, поскольку малые ошибки невозможны; и что остальные аксиомы Евклида — аксиомы прямой линии и параллельных — приблизительно, если не точно, верны для нашего фактического пространства (стр. 78, 83). Он не обсуждает, как конгруэнтность, при вышеуказанном взгляде, совместима с атомной теорией или даже с наблюдаемыми деформациями приблизительно твердых тел; или как, если пространство, как он предполагает, однородно, твердые тела могут не быть свободно подвижными через пространство. Аксиомы все свалены в кучу как эмпирические, и оказывается, в следующих главах, что Эрдман рассматривает их эмпирическую природу как достаточно доказанную их применимостью к эмпирическому материалу (ср. стр. 159, 165) — странный критерий, который доказал бы тот же вывод с равной легкостью для арифметики и законов мышления.

83. Третью главу, о философских следствиях метагеометрии, не нужно обсуждать подробно, поскольку она имеет дело скорее с пространством, чем с геометрией. В то же время стоит кратко рассмотреть критерий априорности Эрдмана. По этому предмету очень трудно обнаружить его смысл, поскольку он, по-видимому, меняется в зависимости от темы, которую он обсуждает. Так, в одно время (стр. 147) он отвергает самым решительным образом кантовскую связь априорного и субъективного, и все же в другое время (стр. 96) он рассматривает всякое представление внешних вещей как частично априорное, частично эмпирическое, просто потому, что такое представление обусловлено взаимодействием между нами и вещами и, следовательно, частично обусловлено субъективной активностью, частично обусловлено внешними объектами. Следовательно, говорит он, различие не между различными представлениями, а между различными аспектами одного и того же представления. Это, по-видимому, возвращает нас полностью к кантовскому психологическому критерию субъективности, с дополнительным недостатком, что это делает различие, подобно различию аналитического и синтетического, эпистемологически бесполезным. И все же он никогда не колеблется объявлять всякое знание по очереди эмпирическим. Факт, по-видимому, состоит в том, что там, где он хочет более логического критерия, он принимает модификацию критерия Гельмгольца для ощущений. Если пространство есть априорная форма, говорит он, никакой опыт не мог бы изменить его (стр. 108); но метагеометрия доказала, что это не так, поскольку мы можем интуитивно постичь восприятия, которые дало бы нам неевклидово пространство (стр. 115). Я критиковал этот аргумент при обсуждении Гельмгольца; в настоящее время мы имеем дело с критерием априорности Эрдмана. Критерий субъективности — хотя он, безусловно, использует его при обсуждении априорности пространства и торжественно решает с его помощью, что пространство является одновременно априорным и эмпирическим, поскольку изменение либо в нас, либо во внешнем мире могло бы изменить его (стр. 97), — по-видимому, как и несколько других его тестов, является его промахом: критерий, который он намерен использовать, — это критерий Гельмгольца. Этот критерий, я думаю, с небольшим изменением формулировки, мог бы быть принят; мне он кажется необходимым, но не достаточным условием. Априорное, мы можем сказать, есть не только то, что никакой опыт не может изменить, но и то, без чего опыт стал бы невозможным. Именно упущение обсуждения условий, которые делают геометрический (и механический) опыт возможным, на мой взгляд, порочит эмпирические выводы Гельмгольца и Эрдмана. Почему определенные условия должны быть необходимы для опыта — по причине ли конституции разума или по какой-то другой причине — это дальнейший вопрос, который вводит отношение априорного к субъективному. Но при обсуждении вопроса о том, какое знание является априорным, в противоположность вопросу о дальнейших следствиях априорности, хорошо придерживаться чисто логического критерия и тем самым сохранить нашу независимость от психологических споров. Факт, если это факт, что мир мог бы быть таким, чтобы бросить вызов нашим попыткам познать его, не обесценит, при вышеуказанном критерии, вывод о том, что определенные элементы в знании являются априорными; ибо, выполнены они или нет, они остаются необходимыми условиями для существования любого знания вообще.

84. С этой предосторожностью относительно значения априорности мы обнаружим, я думаю, что выводы последней главы Эрдмана о принципах теории геометрии в значительной степени обесценены разнообразием и неадекватностью его тестов априорного. Он начинает с утверждения, в соответствии с количественной предвзятостью, отмеченной выше, что вопрос о природе геометрических аксиом полностью аналогичен соответствующему вопросу об основаниях чистой математики (стр. 138). Это, я думаю, радикальная ошибка: ибо функция аксиом, по-видимому, состоит в том, чтобы установить ту качественную основу, на которой, как мы видели, должно покоиться всякое качественное сравнение. Но в чистой математике эта качественная основа нерелевантна, ибо мы имеем дело там с чистым количеством, т.е. с просто количественным результатом количественного сравнения, везде, где это возможно, независимо от качеств, лежащих в основе сравнения. Геометрия, как настаивает Грассман, не должна быть классифицирована вместе с чистой математикой, ибо она имеет дело с материей, которая дана интеллекту, а не создана им. Аксиомы дают средства, с помощью которых эта материя становится доступной для количества, и не могут, следовательно, быть сами выведены из чисто количественных соображений.

Оставляя этот пункт в стороне, однако, давайте вернемся к Эрдману. Он различает внутри пространства форму и материю: форма должна содержать свойства, общие для всех протяженностей, материя — свойства, которые отличают пространство от других протяженностей. Это различие, говорит он, чисто логическое и не соответствует кантовскому: материя и форма, для Эрдмана, одинаково эмпиричны. Аксиомы и определения геометрии, говорит он, имеют дело исключительно с материей пространства. Кажется жаль, сделав это различие, использовать его так мало: через несколько страниц оно отбрасывается, и никаких эпистемологических следствий из него не извлекается. Причина, я думаю, в том, что Эрдман не осознал, как много можно вывести из его определения протяженности как многообразия, в котором измерения однородны и взаимозаменяемы. Ибо это свойство достаточно для доказательства полной однородности протяженности, а следовательно — из отсутствия качественных различий между элементами — относительности положения и аксиомы конгруэнтности. Эта дедукция будет сделана подробно в продолжении; в настоящее время я должен лишь заметить, что каждая протяженность, при таком взгляде, обладает всеми свойствами (кроме трех измерений), общими для евклидова и неевклидовых пространств. Аксиомы, которые выражают эти свойства, следовательно, применяются к форме пространства и следуют из одной лишь однородности, которую Эрдман допускает (стр. 171) как принцип любой теории пространства. Вышеуказанное различие формы и материи, следовательно, соответствует, когда его полные следствия выведены, различию между аксиомами, которые следуют из однородности пространства, и теми, которые не следуют. Поскольку, следовательно, однородность эквивалентна относительности положения, а относительность положения есть сама сущность формы внешности, казалось бы, что его различие формы и материи может быть также сделано коэкстенсивным с различием априорного и эмпирического в геометрии. Об этом предмете я скажу больше в главе III.