«Исследование принципов естествознания»

26.5 Дальнейшее рассмотрение объектов, в частности их мгновенных пространственных положений и количественного распределения материала в пространстве, возобновляется в Части IV, после того как будет установлена теория пространства и времени.

[5] Ср. Главы XIV и XV Части IV.

ЧАСТЬ III МЕТОД ЭКСТЕНСИВНОЙ АБСТРАКЦИИ

ГЛАВА VIII ПРИНЦИПЫ МЕТОДА ЭКСТЕНСИВНОЙ АБСТРАКЦИИ

27. Отношение протяженности, фундаментальные свойства. 27.1 Факт, что событие e1 простирается над событием e2, будет выражен аббревиатурой e1 > e2. Таким образом, «e1 > e2» следует читать как «простирается над» и является символом для фундаментального отношения протяженности.

27.2 Некоторые свойства >, существенные для метода экстенсивной абстракции:

(i) e1 > e2 подразумевает, что e1 отлично от e2, а именно: «часть» здесь означает «собственная часть»:

(ii) Каждое событие простирается над другими событиями и само является частью других событий: множество событий, над которыми простирается событие e, называется множеством частей e:

(iii) Если части e1 также являются частями e2, и e1 и e2 различны, то e2 > e1:

(iv) Отношение > транзитивно, т.е. если e1 > e2 и e2 > e3, то e1 > e3:

(v) Если e1 > e2, существуют события, такие как e3, где e1 > e3 и e3 > e2:

(vi) Если e1 и e2 — любые два события, существуют события e3, такие как e1 > e3 и e2 > e3.

Из (i) и (iv) следует, что e1 > e2 и e2 > e1 несовместимы. Свойства (ii), (v) и (vi) вместе постулируют нечто вроде существования эфира; но здесь нет необходимости развивать эту аналогию.

28. Пересечение, разделение и рассечение. 28.1 Два события «пересекаются», когда они имеют общие части. Пересечение, как оно определено здесь, включает случай, когда одно событие простирается над другим, поскольку > транзитивно. Если каждый пересекающий e1 также пересекает e2, то либо e1 > e2, либо e1 и e2 идентичны.

События, которые не пересекаются, называются «разделенными». «Разделенное множество» событий — это множество событий, любые два из которых отделены друг от друга.

28.2 «Рассечение» события — это разделенное множество такое, что множество пересекающих его членов идентично множеству пересекающих само событие. Таким образом, рассечение — это неперекрывающийся исчерпывающий анализ события на множество частей, и, наоборот, рассеченное событие — это единственное событие, для которого это множество является рассечением. Всегда будет существовать неопределенное число рассечений любого данного события.

Если e1 > e2, существуют рассечения e1, членом которых является e2. Отсюда следует, что если e2 является частью e1, всегда существуют события, отделенные от e2, которые также являются частями e1.

29. Соединение событий. 29.1 Два события e1 и e2 «соединены», когда существует третье событие e3 такое, что (i) e3 пересекает и e1, и e2, и (ii) существует рассечение e3, каждый член которого является частью e1, или e2, или обоих.

Понятие непрерывности природы возникает целиком из этого отношения соединения между двумя событиями. Два соединенных события непрерывны одно с другим. Пересекающиеся события обязательно соединены; но понятие соединения шире, чем понятие пересечения, ибо возможно, чтобы два разделенных события были соединены. Два события, которые соединены, имеют то отношение друг к другу, которое необходимо для существования одного события, простирающегося над ними и не простирающегося над никакими посторонними событиями. Два события, которые одновременно разделены и соединены, называются «присоединенными».

29.2 Событие e1 называется «входящим в соединение» (injoin) с событием e2, когда (i) e1 простирается над e2, и (ii) существует некоторое третье событие e3, которое отделено от e2 и присоединено к e1.

Рис. 4.

В этом определении впервые появляется свойство границы события. Предположение, что примеры отношения соединения (injunction) имеют место, является большим шагом к теории таких границ, как иллюстрирует прилагаемая диаграмма. Важно отметить, что соединение было определено чисто в терминах протяженности.

Если e1 > e2 и e3 отделено от e2 и примыкает к e1, то e1 примыкает к e2.

29.3 Соединение (injunction) и примыкание (adjunction) — это самые близкие типы объединения границ, возможные соответственно для события с его частью и для пары разделенных событий. Геометрия событий четырехмерна, но в трехмерном аналоге такое поверхностное объединение для пары объемов было бы существованием конечной площади общей поверхности.

[Заметьте, что пространственные диаграммы, подобные приведенной выше, в некоторой степени вводят в заблуждение, поскольку они подчеркивают пространственный характер событий за счет их временного характера. Временной характер очень далек от того, чтобы быть представленным дополнительным измерением, создающим обычную четырехмерную евклидову геометрию.]

30. Абстрактивные классы. 30.1 Множество событий называется «абстрактивным классом», когда (i) из любых двух его членов один простирается над другим, и (ii) не существует события, над которым простиралось бы каждое событие множества.

Свойства абстрактивного класса обеспечивают то, что его члены образуют ряд, в котором предшественники простираются над своими преемниками, и что протяженность членов ряда (по мере того, как мы переходим к «сходящемуся концу», включающему меньшие члены) уменьшается без предела; так что нет конца ряду в этом направлении вдоль него, и уменьшение протяженности в конечном итоге исключает любое назначаемое событие. Таким образом, любое свойство индивидуальных событий, которое сохраняется на протяжении членов ряда по мере нашего перехода к сходящемуся концу, является свойством, принадлежащим идеальной простоте, которая выше простоты любого одного назначаемого события. Нет одного события, которое выделял бы ряд, но сам ряд является путем приближения к идеальной простоте «содержания». Систематическое использование этих абстрактивных классов есть «метод экстенсивной абстракции». Все пространственные и временные концепции могут быть определены с их помощью.

30.2 Один класс событий — скажем, a — называется «покрывающим» другой класс событий — скажем, b — когда каждый член a простирается над некоторым членом b.

Если a — абстрактивный класс и a покрывает b, то b должен иметь бесконечное число членов, и не может быть события, над которым простирался бы каждый член b. Ибо любой член b, как бы мал он ни был, простирается над некоторым членом a. Обычный случай покрытия — когда оба класса, a и b, являются абстрактивными классами; тогда каждый член a, покрывающего класса, простирается над всем сходящимся концом b, следующим за первым членом a, над которым он простирается.

30.3 Два класса событий называются «-равными», когда каждый покрывает другой. Очевидно, что такие классы не могут иметь конечное число членов. Неравенство — это отношение, в котором два абстрактивных класса могут находиться друг к другу. Отношение симметрично и транзитивно, и каждый абстрактивный класс является -равным самому себе.

[Примечание. Абстрактивные классы и отношение «покрытия» могут быть проиллюстрированы пространственными диаграммами с тем же предостережением относительно их потенциально вводящего в заблуждение характера.

Рис. 5.

Рассмотрим ряд квадратов, концентрических и одинаково расположенных. Пусть длины сторон последовательных квадратов, указанные в порядке уменьшения размера, будут l1, l2, ..., ln, .... Тогда каждый квадрат простирается над всеми последующими квадратами множества. Также пусть ln -> 0, а именно: пусть ln стремится к нулю, когда n увеличивается неограниченно. Тогда множество образует абстрактивный класс.

Опять же, рассмотрим ряд прямоугольников, концентрических и одинаково расположенных. Пусть длины сторон последовательных прямоугольников, указанные в порядке уменьшения размера, будут (l1, m1), (l2, m2), ..., (ln, mn), ....

Рис. 6.

Таким образом, одна пара противоположных сторон имеет одинаковую длину на протяжении всего ряда. Тогда каждый прямоугольник простирается над всеми последующими прямоугольниками. Пусть ln, mn стремятся к нулю, когда n увеличивается неограниченно. Тогда множество образует абстрактивный класс.

Очевидно, что множество квадратов сходится к точке, а множество прямоугольников — к прямой линии. Аналогично, используя три измерения и объемы, мы можем таким образом диаграмматически найти абстрактивные классы, которые сходятся к областям. Если мы предположим, что центр множества квадратов совпадает с центром множества прямоугольников, и расположим квадраты так, чтобы их стороны были параллельны сторонам прямоугольников, то множество прямоугольников покрывает множество квадратов, но множество квадратов не покрывает множество прямоугольников.

Опять же, рассмотрим множество концентрических кругов с их общим центром в центре квадратов, и пусть каждый круг будет вписан в один из квадратов, и пусть каждый квадрат имеет один из кругов, вписанных в него. Тогда круги образуют абстрактивный класс, сходящийся к их общему центру. Множество квадратов покрывает множество кругов, и множество кругов покрывает множество квадратов. Соответственно, два множества являются -равными.]

31. Простые и антипростые элементы. 31.1 Абстрактивный класс называется «простым в отношении формирующего условия P» [каким бы ни было условие «P»], когда (i) он удовлетворяет условию P, и (ii) он покрывается каждым другим абстрактивным классом, удовлетворяющим тому же условию P.

Для краткости абстрактивный класс, который является простым в отношении формирующего условия P, называется P-простым. Очевидно, что два P-простых класса с одним и тем же формирующим условием P в двух случаях являются -равными.

31.2 Абстрактивный класс называется «антипростым в отношении формирующего условия P» [каким бы ни было условие «P»], когда (i) он удовлетворяет условию P, и (ii) он покрывает каждый другой абстрактивный класс, удовлетворяющий тому же условию P. Для краткости абстрактивный класс, который является антипростым в отношении формирующего условия P, называется P-антипростым. Очевидно, что два P-антипростых класса с одним и тем же формирующим условием P в двух случаях являются -равными.

31.3 Пусть P будет любым назначенным формирующим условием, пусть P' будет условием «быть P-простым», а P'' будет условием «быть P-антипростым». Таким образом, абстрактивный класс, который удовлетворяет условию P''', (i) удовлетворяет условию P', и (ii) покрывается каждым другим абстрактивным классом, удовлетворяющим тому же условию P'.

Следовательно, любые два абстрактивных класса, которые удовлетворяют условию P', покрывают друг друга. Следовательно, каждый класс, который удовлетворяет условию P', покрывается каждым другим классом, который удовлетворяет тому же условию P'. То есть каждый такой класс является P-простым. Аналогично, он является P-антипростым.

Аналогично, P-антипростые являются P-простыми и P-антипростыми.

Формирующее условие P будет называться «регулярным для простых», когда (i) существуют P-простые и (ii) множество абстрактивных классов, -равных любому одному назначенному P-простому, идентично полному множеству P-простых; и P будет называться «регулярным для антипростых», когда (i) существуют P-антипростые и (ii) множество абстрактивных классов, -равных любому одному назначенному P-антипростому, идентично полному множеству P-антипростых. Таким образом, если P — формирующее условие, регулярное для простых, множество P-простых есть то же самое, что и множество абстрактивных классов, -равных P-простым; и если P — формирующее условие, регулярное для антипростых, множество P-антипростых есть то же самое, что и множество абстрактивных классов, -равных P-антипростым.

31.4 Ошибки возникают, если мы не помним о существовании некоторых исключительных абстрактивных классов. Поскольку мы предполагаем, что каждое событие имеет определенное разграничение, мы знаем, что законы природы, обычно предполагаемые в науке, приведут к приписыванию каждому событию определенной границы, которая будет пространственной поверхностью, продленной в три измерения по причине ее временной протяженности. Таким образом, возможности пространственного контакта поверхностей воспроизводятся в трехмерных границах событий. Существуют абстрактивные классы, чьи сходящиеся концы сходятся к элементам [мгновенным точкам, или путям, или т.д.] на поверхности одного из членов класса. В таком случае, по мере нашего продвижения вниз по абстрактивному классу к его сходящемуся концу, после некоторого определенного члена класса остальные члены, все покрываемые e, имеют некоторую форму внутреннего контакта с границей e. Ближайшая форма такого контакта — быть присоединенным (injoined) в e. Но будут также более абстрактные типы точечного контакта или линейного контакта, которые мы здесь не определили, но знаем о них из их появления в геометрии. Если мы просто исключаем такие случаи без явного определения, мы на самом деле апеллируем к фундаментальным отношениям и свойствам, которые не были явно распознаны. Мы должны использовать определения, основанные исключительно на тех свойствах отношения >, которые были сделаны явными. Мы не можем явно учитывать точечный контакт, пока не будут определены точки.

32. Абстрактивные элементы. 32.1 «Конечный абстрактивный элемент, выведенный из формирующего условия P» — это множество событий, которые являются членами P-простых, где P — формирующее условие, регулярное для простых. Элемент называется «выведенным» из своего формирующего условия P.

«Бесконечный абстрактивный элемент, выведенный из формирующего условия P» — это множество событий, которые являются членами P-антипростых, где P — формирующее условие, регулярное для антипростых. Элемент называется «выведенным» из своего формирующего условия P.

Абстрактивные элементы — это множество конечных и бесконечных абстрактивных элементов.

32.2 Абстрактивный элемент, выведенный из регулярного формирующего условия P, таков, что каждый абстрактивный класс, сформированный из его членов, либо покрывает все P-простые [элемент конечен], либо покрывается всеми P-антипростыми [элемент бесконечен]. Таким образом, он представляет множество эквивалентных путей приближения, направляемых условием, что каждый путь должен удовлетворять условию P.

32.3 Будет сказано, что абстрактивный элемент «присущ» (inhere) любому событию, которое является его членом. Два элемента, такие, что существуют абстрактивные классы, покрываемые обоими, называются «пересекающимися» в этих абстрактивных классах.

Один абстрактивный элемент может покрывать другой абстрактивный элемент. Элементы предельной простоты будут теми, которые не покрывают никаких других абстрактивных элементов. Это элементы, которые в евклидовой фразеологии можно назвать «не имеющими частей и не имеющими величины». Нашим делом будет классифицировать некоторые из более важных типов элементов. Элементы наибольшей сложности будут теми, которые могут покрывать элементы всех типов. Это будут «моменты».

Важен момент номенклатуры. Мы будем называть индивидуальные абстрактивные элементы заглавными латинскими буквами, классы элементов — заглавными или строчными латинскими буквами, а также, как и прежде, события — строчными латинскими буквами. > будет продолжать обозначать фундаментальное отношение протяженности, из которого выводятся все рассматриваемые здесь отношения.

ГЛАВА IX ДЛИТЕЛЬНОСТИ, МОМЕНТЫ И СИСТЕМЫ ВРЕМЕНИ

33. Антипростые элементы, длительности и моменты. 33.1 Среди констант внешности, обсуждавшихся в Части II, была отсылка событий к длительностям, которые являются, в некотором смысле, полными целыми природы. Таким образом, длительность в некотором смысле имеет неограниченную протяженность, хотя она ограничена в своей временной протяженности. Хотя мы еще не различали в нашем исследовании > между пространственной и временной протяженностью, длительности тем не менее могут быть определены в терминах > этим неограниченным аспектом их протяженностей. А именно, мы предполагаем, что нет других событий с тем же неограниченным свойством. Соответственно, любой абстрактивный класс, который состоит чисто из длительностей, может покрываться только абстрактивными классами, которые также состоят чисто из длительностей.

33.2 Абстрактивный класс a называется «абсолютным антипростым», когда a сам по себе является одним из антипростых, которые удовлетворяют формирующему условию покрытия a. Другими словами, абсолютный антипростой — это абстрактивный класс, который покрывает каждый абстрактивный класс, который покрывает его.

Если абстрактивный класс является абсолютным антипростым, очевидно, что формирующее условие «покрытия его» является регулярным для антипростых. Таким образом, множество событий, которые являются членами абсолютных антипростых, покрывающих некоторый один назначенный абсолютный антипростой, составляет абстрактивный элемент. Такой элемент будет называться «моментом». Таким образом, момент — это абстрактивный элемент, выведенный из условия покрытия абсолютного антипростого.

Только события определенного типа могут быть членами абсолютного антипростого, а именно события, которые в Части II были названы «длительностями». Только длительности могут простираться над длительностями, и, соответственно, все члены момента являются длительностями.

33.3 Мы можем представить длительность как своего рода временную толщину (или слой) природы [6]. В абсолютном антипростом мы имеем ряд временных толщин, последовательно упакованных одна внутри другой и сходящихся к идеалу отсутствия толщины. Абсолютный антипростой указывает на идеал лишенного протяженности момента времени.

[6] Слой природы, формирующий длительность, ограничен в своем временном измерении и неограничен в своих пространственных измерениях. Таким образом, он представляет конечное время и бесконечное пространство.

Рис. 7.

Например, пусть горизонтальная линия представляет время; и предположим, что природа пространственно одномерна, так что неограниченная вертикальная линия на диаграмме представляет пространство в мгновение.

Рис. 8.

Тогда область между неограниченными параллельными линиями t1 и t2 представляет длительность. Также область между t3 и t4 представляет другую длительность, над которой простирается длительность, ограниченная t1 и t2. Но на рис. 7 мы предположили только одну систему времени, которая является ньютоновской гипотезой. Предположим, существует много систем времени, и рассмотрим две такие системы, S и S'. Они представлены двумя линиями, наклоненными друг к другу. Длительность системы времени S представлена областью между t1 и t2, а длительность системы времени S' представлена областью между t'1 и t'2. Две такие длительности обязательно пересекаются, а также ни одна из них не может полностью простираться над другой.

Эти диаграммы являются грубыми иллюстрациями некоторых свойств длительностей и во многих отношениях вводят в заблуждение, как будет показано далее.

Множество моментов, присущих некоторой длительности, полностью характеризует эту длительность, и наоборот. Момент следует понимать как абстракт всей природы в некий миг. Никакой абстрактивный элемент не может охватывать момент, за исключением самого этого момента. Момент — это путь приближения ко всей природе, утративший свою (сущностную) временную протяженность; таким образом, это природа в аспекте трехмерного мгновенного пространства. Это идеал, к которому мы стремимся приблизиться в наших точных наблюдениях.

34. Параллельность и системы времени. 34.1 Если бы ньютоновская теория относительности была верна, не существовало бы ни одной пары длительностей, у которых отсутствовали бы длительности, простирающиеся поверх обеих, а именно более крупные длительности, включающие обе данные длительности. Но в электромагнитной теории относительности это не обязательно так, а именно: некоторые пары длительностей охватываются семейством длительностей, а некоторые — нет. Мы примем электромагнитную теорию относительности.

Пара длительностей, обе из которых являются частями одной и той же длительности, называются «параллельными»; также пара моментов, таких, что существуют длительности, в которых оба они присущи, называются «параллельными».

Параллельность обладает обычными свойствами транзитивности, симметричности и рефлексивности. Также две длительности, которые не пересекаются, параллельны; и параллельные моменты, которые не являются тождественными, никогда не пересекаются. Если две параллельные длительности пересекаются, существует длительность, являющаяся их полным пересечением, но среди общих частей двух длительностей, которые не параллельны, нет никаких длительностей. Два момента, которые не параллельны, обязательно пересекаются.

34.2 Две длительности, параллельные одной и той же длительности, параллельны друг другу; таким образом, очевидно, что каждый абсолютный антипрайм и каждый момент должны состоять из параллельных длительностей.

«Семейство параллельных длительностей» образуется всеми длительностями, параллельными данной длительности, включая саму эту длительность. Очевидно, что любые два члена такого семейства параллельны, и никакая длительность вне этого семейства не параллельна никакой длительности из этого семейства.

Аналогично таким семействам параллельных длительностей существуют семейства параллельных моментов, обладающие тем свойством, что никакие два момента одного и того же семейства не пересекаются, а любой момент вне данного семейства пересекает каждый момент, принадлежащий этому семейству.

Длительности, являющиеся членами различных моментов данного семейства моментов, сами образуют семейство параллельных длительностей. Таким образом, каждому семейству параллельных длительностей соответствует одно и только одно семейство параллельных моментов; и каждому семейству параллельных моментов соответствует одно и только одно семейство параллельных длительностей. Пара таких соответствующих семейств, одно из длительностей, а другое из моментов, образуют «систему времени», ассоциированную с любым из этих двух семейств.

Очевидно, что каждая длительность принадлежит одному и только одному семейству параллельных длительностей; и, таким образом, каждая длительность принадлежит одной и только одной системе времени. Также каждый момент принадлежит одному и только одному семейству параллельных моментов; и, таким образом, каждый момент принадлежит одной и только одной системе времени. Таким образом, две различные системы времени не имеют общих длительностей и общих моментов. Но каждое событие, не являющееся длительностью, содержится в некоторых длительностях любой данной системы времени. Более того, в данной системе времени будет существовать минимальная длительность, которая является длительностью «когда» событие произошло в этой системе времени; а именно, минимальная длительность обладает свойствами (i) того, что она простирается поверх события, и (ii) того, что каждая длительность, являющаяся ее частью, пересекает это событие.

34.3 Моменты системы времени расположены в серийном порядке следующим образом:

(i) Длительность, принадлежащая системе времени, «ограничена» моментом той же системы времени, когда каждая длительность, в которой присущ этот момент, пересекает данную длительность, а также пересекает события, отделенные от данной длительности:

(ii) Каждая длительность имеет два таких ограничивающих момента, и каждая пара параллельных моментов ограничивает одну длительность этой системы времени:

(iii) Момент системы времени «лежит между» двумя моментами и той же системы времени, когда присущ длительности, которую и ограничивают:

(iv) Это отношение «лежания между» обладает следующими свойствами, которые порождают непрерывный серийный порядок в каждой системе времени, а именно,

( ) Из любых трех моментов одной и той же системы времени один из них лежит между двумя другими:

( ) Если момент лежит между моментами и , а момент лежит между моментами и , то лежит между и :

( ) Не существует четырех моментов в одной и той же системе времени таких, что один из них лежит между каждой парой из оставшихся трех:

( ) Серийный порядок среди моментов одной и той же системы времени имеет тип непрерывности Кантора-Дедекинда.

Ничего еще не было сказано об измерении течения времени. Эта тема будет рассмотрена как часть общей теории конгруэнтности.

35. Уровни, ректы и пункты. 35.1 Электромагнитная теория относительности, очевидно, является более общей из двух. Она также имеет то достоинство, что предоставляет определения плоскостности, прямолинейности, пунктуальной позиции, параллельности, временного и пространственного порядка как взаимосвязанных явлений, а (с помощью когредиентности) — перпендикулярности и конгруэнтности. Теория протяженности также предоставила определение длительности. Примечателен тот факт, что характерные понятия времени и геометрии должны таким образом проявляться как возникающие из природы вещей, выраженной двумя фундаментальными отношениями протяженности и когредиентности. Уже было объяснено, что момент — это путь приближения к мгновенному трехмерному целому природы. Множество абстрактивных элементов и абстрактивных классов, охватываемых обоими из двух непараллельных моментов, является локусом, который представляет собой их общее пересечение. Такой локус будет называться «уровнем» в любом из моментов. Уровень фактически является мгновенной плоскостью в мгновенном пространстве любого момента, в котором он лежит. Но мы резервируем конвенциональные пространственные термины, такие как «плоскость», для вневременных пространств, которые будут определены позже. Соответственно, здесь используется слово «уровень».

35.2 Неопределенное число непараллельных моментов будут пересекаться друг с другом на одном и том же уровне, образуя их полное пересечение; и один уровень никогда не будет просто (логической) частью другого уровня. Пусть три взаимно пересекающихся момента (скажем, ) пересекаются на уровнях . Тогда могут возникнуть три случая: либо (i) уровни все идентичны [это произойдет, если любые два идентичны], либо (ii) никакая пара уровней не пересекается, либо (iii) пара уровней, скажем и , пересекается. В случае (i) три момента называются «соуровневыми». В случае (ii) существуют особые отношения параллельности уровней, которые будут рассмотрены позже. В случае (iii) локус абстрактивных элементов и абстрактивных классов, который образует пересечение и , будет называться «ректом»; пусть этот рект называется . Тогда также является полным пересечением и , и и , и трех моментов . Когда три момента имеют рект в качестве своего полного пересечения, они называются «соректовыми». Рект — это мгновенная прямая линия в мгновенном трехмерном пространстве любого момента, в котором он лежит. Но, как и прежде, конвенциональная пространственная номенклатура избегается в связи с мгновенными пространствами.

35.3 Для четырех различных моментов существуют четыре возможных случая в отношении их пересечения. В случае (i) нет общего пересечения: в случае (ii) есть общее пересечение, которое является уровнем: в случае (iii) есть общее пересечение, которое является ректом: в случае (iv) есть общее пересечение, которое не является ни ректом, ни уровнем; в этом случае общее пересечение будет называться «пунктом».

Рассмотрим четыре момента , которые составляют пример случая (iv). Пусть будет уровнем, который является пересечением и , и пусть будет ректом, который является пересечением . Тогда рект не лежит на уровне . Рект пересекает уровень в общем пересечении четырех моментов. Это общее пересечение является мгновенной точкой в мгновенных пространствах моментов. В соответствии с нашей практикой избегания конвенциональных пространственных терминов при разговоре о мгновенном пространстве, мы назвали это пересечение «пунктом». Поскольку пространство трехмерно, любой момент либо охватывает каждый член данного пункта, либо не охватывает ни одного из его членов. Пункт представляет идеал максимальной простоты абсолютной позиции в мгновенном пространстве момента, в котором он лежит.

Заманчиво, по математической аналогии с четырехмерным пространством, утверждать существование неограниченных событий, которые можно назвать полными пересечениями пар непараллельных длительностей. Однако опасно слепо следовать пространственным аналогиям; и я не могу найти никаких доказательств существования таких неограниченных событий, образующих полные пересечения пар пересекающихся длительностей, за исключением исключенного случая параллельности, когда полное пересечение (если оно существует) само является длительностью. Соответственно, помимо параллельности, можно предположить, что события, охватываемые парой пересекающихся длительностей, являются конечными событиями. Никаких изменений в дальнейшем не требуется, если утверждается существование таких бесконечных событий.

36. Параллельность и порядок. 36.1 Два уровня, которые являются пересечениями одного момента с двумя параллельными моментами, называются «параллельными». Два параллельных уровня не пересекаются, и, наоборот, два уровня в одном и том же моменте, которые не пересекаются, параллельны.

В любом моменте будет существовать полная система уровней, параллельных данному уровню в этом моменте, и такие уровни будут параллельны друг другу.

Аналогично «параллельные» ректы определяются пересечением параллельных уровней с данным уровнем, все в одном моменте. Таким образом, внутри любого момента следует вся теория евклидовой параллельности (поскольку она неметрическая), и ее не нужно далее разрабатывать, за исключением того, чтобы отметить существование параллелограммов.

36.2 Определения параллельных уровней и параллельных ректов могут быть расширены, чтобы включить уровни и ректы, которые не являются сомоментальными:

(i) Два уровня и ′ параллельны, если является пересечением моментов и , а ′ — моментов ′ и ′, где параллелен ′, а — ′:

(ii) Два ректа и ′ параллельны, если является пересечением сомоментальных уровней и , а ′ — сомоментальных уровней ′ и ′, где параллелен ′, а — ′.

Момент и рект, которые не пересекаются, параллельны. Рект либо пересекает момент в одном пункте, либо параллелен ему, либо содержится в нем.

36.3 Существенная характеристика пространства связана с тем, что можно назвать «свойством повторения» параллельности. Это свойство повторения является существенным элементом конгруэнтности, как будет видно позже; также от него зависит однородность пространства. Примеры свойства повторения следующие: если рект пересекает любой момент в одном и только одном пункте, то он пересекает каждый момент этой системы времени в одном и только одном пункте: если уровень пересекает любой момент в одном и только одном ректе, то он пересекает любой момент этой системы времени в одном и только одном ректе. Но мы не должны применять теорию повторения в параллельности механически, без внимания к природе рассматриваемого свойства. Например, если рект инцидентен моменту, он не пересекает никакой другой момент той же системы времени и, следовательно, à fortiori не инцидентен ни одному из них; и аналогично для уровня, инцидентного моменту.

36.4 Пункты на ректе имеют порядок, который является производным от порядка моментов в системе времени и который связывает порядки различных систем времени. Пункты на любом данном ректе будут соответственно инцидентны моментам любой системы времени , которой рект не параллелен. Любой момент будет содержать один пункт , и любой пункт будет лежать в одном моменте . Таким образом, пункты имеют производно порядок моментов . Опять же, пусть будет другой такой системой времени. Тогда пункты имеют производно порядок моментов . Но обнаруживается, что эти два порядка для пунктов на идентичны, а именно: существует только один порядок для пунктов на , который можно получить таким образом. С помощью этих пунктов на ректах порядки моментов различных систем времени коррелируют. Таким образом, объясняется существование порядка в мгновенных пространствах моментов; но теория конгруэнтности еще не была затронута.

36.5 Множество пунктов, ректов и уровней в любом одном моменте таким образом образуют полную трехмерную евклидову геометрию, значение метрических свойств которой еще не исследовалось. Здесь нет необходимости формулировать фундаментальные положения [такие как два пункта, определяющие рект, и так далее], из которых можно вывести всю теорию, поскольку метрические отношения не затрагиваются.

ГЛАВА X. КОНЕЧНЫЕ АБСТРАКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

37. Абсолютные праймы и события-частицы. 37.1 Из принципов сходимости к простоте при уменьшении протяженности следует, что для демонстрации отношений между событиями в их предельной простоте требуются абстрактивные элементы минимальной сложности, то есть элементы, которые сходятся к идеалу атомного события. Это требование требует, чтобы формирующее условие, из которого выводится «атомный» элемент, было таким, чтобы налагать минимум ограничений на сходимость.

37.2 Абстрактивный класс, который является праймом в отношении формирующего условия «охвата всех элементов и абстрактивных классов, составляющих некий назначенный пункт», называется «абсолютным праймом».

Очевидно, что условие, удовлетворяемое абсолютным праймом, является регулярным для праймов. Абстрактивный элемент, выведенный из абсолютного прайма, называется «событием-частицей». Событие-частица — это путь приближения к атомному событию, которое является идеалом, не удовлетворяемым никаким актуальным событием.

Абстрактивный класс, который является антипраймом в отношении формирующего условия «быть членом некоего назначенного пункта», очевидно, является абсолютным праймом. Фактически это множество антипраймов идентично множеству абсолютных праймов.

Событие-частица — это мгновенная точка, рассматриваемая в виде атомного события. Пункт, который охватывает событие-частица, придает ему абсолютную позицию в мгновенном пространстве любого момента, в котором оно лежит. События-частицы на ректе лежат в порядке, производном от пунктов, которые они охватывают.

37.3 Полное множество событий-частиц, присущих событию, будет называться множеством, «анализирующим» это событие. Множество событий-частиц может анализировать только одно событие, и событие может быть проанализировано только одним множеством событий-частиц.

Событие-частица «ограничивает» событие , когда каждое событие, в котором присуще событие-частица, пересекает как , так и события, отделенные от . Множество событий-частиц, ограничивающих событие, называется «границей» этого события. Граница может ограничивать только одно событие, и каждое событие имеет границу.

События-частицы, которые не присущи событию и не ограничивают его, как говорят, лежат «вне» него.

Существование границ позволяет определить контакт событий, а именно: события находятся в «контакте», когда их границы имеют одно или более общих событий-частиц. Адъюнкция событий подразумевает контакт, но не наоборот; поскольку адъюнкция требует, чтобы тело границ было общим. Но мы определяем понятие тела с помощью понятия адъюнкции, а не наоборот.

37.4 Если и — различные события-частицы, существуют события, отделенные друг от друга, в которых соответственно присущи и .

Два события пересекаются, если существуют события-частицы, каждое из которых присуще обоим событиям; и, наоборот, существуют события-частицы, присущие обоим событиям, если они пересекаются.

37.5 Тот факт, что мгновенная геометрия внутри момента является трехмерной, приводит к выводу, что геометрия для всех событий-частиц будет четырехмерной. Следует, однако, отметить, что прямые линии для этой четырехмерной геометрии до сих пор были определены только для событий-частиц, которые являются сомоментальными, а именно ректы. События-частицы, которые не являются сомоментальными, будут называться «секвентными». Прямые линии четырехмерного пространства, соединяющие секвентные события-частицы, будут определены в Главе XI.

37.6 Теория контакта основана на четырехмерности геометрии событий-частиц. Некоторые результаты этого данного теперь должны быть отмечены.

«Простой» абстрактивный класс — это абстрактивный класс, для которого нет ни одного события-частицы на границах всех тех членов сходящегося конца, которые следуют за неким данным членом класса; а именно, для простого абстрактивного класса нет ни одного события-частицы, в котором все члены сходящегося конца имеют контакт.

Абсолютные антипраймы и абсолютные праймы являются простыми абстрактивными классами. «Атомное» свойство абсолютного прайма выражается теоремой, что абсолютный прайм — это простой абстрактивный класс, который охватывается каждым простым абстрактивным классом, который он охватывает. Свойство «мгновенной полноты», демонстрируемое абсолютным антипраймом, выражается теоремой, что абсолютный антипрайм — это абстрактивный класс, который охватывает каждый абстрактивный класс, который охватывает его.

38. Маршруты. 38.1 События-частицы — это абстрактивные элементы атомной простоты. Маршруты — это абстрактивные элементы, в которых обнаруживается первый шаг к возрастающей сложности.

«Линейный» абстрактивный класс — это простой абстрактивный класс ( ), который (i) охватывает два события-частицы и (называемые конечными точками), и (ii) является таким, что никакой выбор событий-частиц, которые он охватывает, не может быть полным множеством событий-частиц, охватываемых другим простым абстрактивным классом, при условии, что выбор включает и и не включает все события-частицы, охватываемые . Условие (i) обеспечивает, что линейный абстрактивный класс сходится к элементу более высокой сложности, чем событие-частица; и условие (ii) обеспечивает, что он имеет линейный тип непрерывности.

«Линейный прайм» — это абстрактивный класс, который является праймом в отношении формирующего условия (i) быть охваченным назначенным линейным абстрактивным классом, охватывающим две назначенные конечные точки, и (ii) быть самому линейным абстрактивным классом, охватывающим те же назначенные конечные точки. Это формирующее условие, очевидно, является регулярным для праймов.

«Маршрут» — это абстрактивный элемент, выведенный из линейного прайма. Две назначенные события-частицы, которые встречаются как конечные точки в определении линейного прайма, из которого выведен маршрут, называются «конечными точками» этого маршрута. Говорят, что маршрут лежит между своими конечными точками.

38.2 Маршрут — это линейный сегмент, прямой или кривой, между двумя событиями-частицами, сомоментальными или секвентными. Существует неопределенное число маршрутов между данной парой событий-частиц в качестве конечных точек. Маршрут будет охватывать бесконечное число событий-частиц в дополнение к своим конечным точкам. Непрерывность событий приводит к теории непрерывности маршрутов.

Если и — любые два события-частицы, охватываемые маршрутом , существует один и только один маршрут с и в качестве конечных точек, который охватывается .

Если , и — любые три события-частицы, охватываемые маршрутом , то говорят, что лежит «между» и на маршруте , если охватывается тем маршрутом с и в качестве конечных точек, который охватывается .

Частицы на любом маршруте расположены в непрерывном серийном порядке благодаря этому отношению «лежания между», выполняющемуся для триад точек на нем. Необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять отношение для создания этого серийного порядка, подробно описаны в (iv) пункта 34.3.

38.3 Маршрут может быть или не быть охвачен моментом. Если он так охвачен, он называется «сомоментальным маршрутом». «Прямолинейный маршрут» — это маршрут, такой, что все события-частицы, которые он охватывает, лежат на ректе. В прямолинейном маршруте порядок событий-частиц на ректе согласуется с порядком событий-частиц, как определено отношением «лежания между», определенным для маршрута.

Между любыми двумя событиями-частицами на ректе существует один и только один прямолинейный маршрут. Если и — две события-частицы на ректе, прямолинейный маршрут между ними может быть также определен как элемент, выведенный из прайма с формирующим условием быть простым абстрактивным классом, который охватывает и и все события-частицы между и на ректе.

38.4 Среди маршрутов, которые не являются сомоментальными, важным типом является тот, который здесь назван «кинематическими маршрутами». «Кинематический маршрут» — это маршрут (i) чьи конечные точки являются секвентными и (ii) такой, что каждый момент, который в любой системе времени лежит между двумя моментами, охватывающими конечные точки, охватывает одно и только одно событие-частицу на маршруте, и (iii) все события-частицы маршрута так охвачены.

События-частицы, охватываемые кинематическим маршрутом, представляют возможный путь для «материальной частицы». Но это предвосхищает более поздние разработки предмета, поскольку понятие «материальной частицы» еще не было определено.

39. Тела. 39.1 «Телесный прайм» — это прайм с формирующим условием быть простым абстрактивным классом, который охватывает все события-частицы, общие для обеих границ двух адъюнктированных событий. Это формирующее условие, очевидно, является регулярным для праймов. «Тело» — это абстрактивный элемент, выведенный из телесного прайма.

39.2 Если две события-частицы охвачены телом, существует неопределенное число маршрутов между ними, охватываемых тем же телом.

Тело может быть или не быть охвачено моментом. Если оно так охвачено, оно называется «сомоментальным».

Тело, которое не является сомоментальным, называется «вагрантным». Свойства вагрантных тел приобретают важность в связи с теорией гравитации Эйнштейна; рассмотрение этих свойств в данном исследовании не предпринимается. Сомоментальные тела также называются «объемами». Объемы способны к более простому определению, которое дается в следующей статье.

40. Объемы. 40.1 «Объемный прайм» — это прайм с формирующим условием быть простым абстрактивным классом, который охватывает все события-частицы, присущие назначенному событию и охваченные назначенным моментом. Если таких частиц нет, не будет соответствующего объемного прайма. Это формирующее условие, очевидно, является регулярным для праймов.

«Объем» — это абстрактивный элемент, выведенный из объемного прайма. Таким образом, объем — это сечение события, сделанное моментом.

40.2 Любой объем охвачен назначенным моментом, упоминание о котором встречается в его определении. Таким образом, каждый объем (как здесь определено) является сомоментальным. Также объем охватывает только те события-частицы, упоминание о которых встречается в его определении. Это множество событий-частиц полностью характеризует объем и может рассматриваться как объем, задуманный как локус событий-частиц.

Точно так же тело или маршрут полностью определяются событиями-частицами, которые они охватывают, и наоборот. Таким образом, тела и маршруты могут быть задуманы как локусы событий-частиц.

Конкретное событие само по себе также определяется (или анализируется) событиями-частицами, присущими ему, и такое множество событий-частиц определяет только одно событие. Таким образом, событие можно рассматривать как локус событий-частиц. Событие ′, которое является частью события , определяется таким образом множеством событий-частиц, которые являются некоторыми из множества, определяющего . Этот факт является причиной путаницы логических «все» и «некоторые» с физическими «целое» и «часть», которые применяются исключительно к событиям. Событие также однозначно определяется множеством событий-частиц, которые образуют его границу.

ГЛАВА XI. ТОЧКИ И ПРЯМЫЕ ЛИНИИ

41. Станции. 41.1 Тот факт, что событие «когредиентно» с длительностью, является фундаментальным фактом, который нельзя объяснить чисто в терминах протяженности. В Части II было указано, что точное понятие когредиентности — это «Здесь на протяжении всей длительности» или «Там на протяжении всей длительности». Пусть это фундаментальное отношение конечных событий к длительностям будет обозначено через « », и пусть « » означает « — это конечное событие, которое когредиентно с длительностью ».

41.2 «Стационарный прайм» внутри длительности — это прайм, чье формирующее условие ( ) состоит в том, чтобы быть простым абстрактивным классом, таким, что каждый из его членов простирается поверх событий, которые (i) присущи некоему назначенному событию-частице , присущему в , и (ii) имеют отношение к . Это формирующее условие является регулярным для праймов. «Станция» внутри длительности — это абстрактивный элемент, выведенный из стационарного прайма внутри .

Каждое событие-частица в длительности охвачено одной и только одной станцией в этой длительности; и любое событие-частица, охваченное станцией, может быть взято в качестве «назначенного события-частицы» формирующего условия, присущего каждому событию, которое является членом станции. Каждая станция является маршрутом; а также каждая станция в длительности пересекает каждый момент этой длительности [т.е. присущий ей] в одном и только одном событии-частице и не пересекает никаких других моментов этой системы времени. Будет отмечено, что станция ассоциирована с определенной системой времени, а именно с системой времени, соответствующей ее длительности.

41.4 Станция одной системы времени либо не пересекает станцию другой системы времени, либо пересекает ее только в одном событии-частице. Таким образом, станции принадлежат к типу маршрутов, которые были названы «кинематическими маршрутами». Каждая станция демонстрирует неизменное значение «здесь» на протяжении всей длительности, в которой она является станцией; а именно, каждое событие-частица в станции — это «здесь» в длительности в том же смысле «здесь», что и для каждого другого события-частицы в этой станции.

42. Точечные треки и точки. 42.1 Рассмотрим все длительности, принадлежащие одной системе времени. Из этих длительностей некоторые пересекают друг друга, а некоторые являются частями других. Таким образом, любое событие-частица охвачено многими длительностями этой системы времени и лежит в станциях, соответствующих этим длительностям. Теперь мы должны рассмотреть отношения друг к другу этих различных станций, каждая из которых содержит . Фундаментальная теорема следующая: Если и ′ — длительности одной и той же системы времени, и простирается поверх ′, и если — событие-частица, присущее ′, и и ′ — станции в и ′ соответственно, то охватывает ′. Другими словами, используемыми в менее технических смыслах: Если ′ — часть , то ′ — часть .

Любая данная станция в длительности может, таким образом, быть бесконечно продолжена на протяжении всей системы времени, к которой принадлежит . Ибо пусть будет любой другой длительностью той же системы времени, которая пересекает в длительности ′, а также простирается за пределы . Тогда часть , которая включена в ′, а именно ′ (скажем), является станцией в ′. Также существует одна и только одна станция в , (скажем), которая охватывает ′; и никакая другая станция в не охватывает никакого события-частицы ′. Таким образом, станция продлевается в системе времени добавлением станции , и так далее до бесконечности. Полный локус событий-частиц, таким образом определенный бесконечным продлением станции на протяжении всей ее ассоциированной системы времени, называется «точечным треком».

Точечный трек пересекает любой момент любой системы времени в одном и только одном событии-частице.

42.3 Каждый точечный трек имеет уникальную ассоциацию с системой времени, в которой маршруты, лежащие на нем, являются станциями. Точечный трек называется «точкой» в «пространстве своей ассоциированной системы времени». Это пространство системы времени называется «вневременным», потому что его точки не имеют особого отношения к какому-либо одному моменту своей ассоциированной системы времени.

Каждое событие-частица содержится в одной и только одной точке каждой системы времени и, как будет сказано, «занимает» такую точку. Две точки одной и той же системы времени никогда не пересекаются; два точечных трека, которые являются соответственно точками в пространствах различных систем времени, либо не пересекаются, либо пересекаются только в одном событии-частице.

Поскольку каждый точечный трек пересекает любой момент в одном и только одном событии-частице, два сомоментальных события-частицы не могут лежать на одном и том же точечном треке. Пара секвентных событий-частиц лежит в одном и только одном точечном треке, за исключением исключительных случаев, когда они лежат в «нулевых треках». Нулевые треки введены позже в статье 45.

42.4 В четырехмерной геометрии событий-частиц уже было указано, что ректы имеют характер прямых линий, но поскольку секвентные события-частицы не лежат на одном и том же ректе, существует недостающий набор прямых линий, необходимый для завершения геометрии. Точечные треки [вместе с исключительным набором локусов, называемых «нулевыми треками»] образуют этот недостающий набор прямых линий для этой геометрии событий-частиц.

События-частицы, занимающие точечный трек, имеют порядок, производный от охватывающих моментов любой системы времени. Те, что на нулевом треке, имеют порядок, производный от маршрутов, которые нет необходимости обсуждать.

43. Параллельность. 43.1 Теория параллельности справедлива для точечных треков и может быть связана с аналогичной теорией для ректов. Точечные треки, которые являются точками в пространстве одной и той же системы времени, называются «параллельными». Таким образом, полное семейство параллельных точечных треков — это просто полное семейство точек в пространстве некоторой системы времени. Параллельность точечных треков, очевидно, транзитивна, симметрична и рефлексивна. Определение параллельности станций выводится из определения точечных треков.

43.2 Параллельность точечных треков и параллельность ректов и моментов взаимосвязаны. Пусть будет любым ректом в моменте , и пусть будет любым семейством параллельных точечных треков. Тогда определенный набор точечных треков, принадлежащих , будет пересекать , и этот набор будет пересекать любой момент, параллельный , в ректе, параллельном . Опять же, пусть будет любым точечным треком, и пусть будет любым полным семейством параллельных ректов. Тогда определенный набор ректов, принадлежащих , будет пересекать ; назовем его . Пусть будет любым событием-частицей на некотором члене ; тогда точечный трек, содержащий и параллельный , будет пересекать каждый член .

43.3 Теорема, аналогичная теоремам 43.2, также справедлива для двух семейств точечных треков. Пусть будет любым точечным треком, и пусть будет любым семейством параллельных точечных треков, к которым не принадлежит . Тогда определенный набор точечных треков, принадлежащих , будет пересекать ; назовем его . Пусть P будет любым событием-частицей, занимающим некоторый член ; тогда точечный трек, занимаемый и параллельный , будет пересекать каждый член .

Эта теорема, теоремы 43.2 и соответствующая теорема для двух семейств параллельных ректов являются примерами свойства повторения параллельности. Очевидно, что, учитывая любые три события-частицы, не лежащие на одном ректе или одном точечном треке, можно завершить параллелограмм, углами которого являются эти три события-частицы, причем любое из событий-частиц находится в месте соединения смежных сторон, проходящих через эти три угла. В таком параллелограмме противоположные стороны всегда одного наименования, а именно: либо оба ректы, либо оба точечные треки; но смежные стороны могут быть разных наименований.

43.4 События-частицы, занимающие точку во вневременном пространстве системы времени , появляются в последовательные моменты как последовательно занимающие одну и ту же точку . Если будет любой другой системой времени, то точка пространства пересекает серию точек пространства в событиях-частицах, которые лежат на последовательных моментах . Эти события-частицы таким образом занимают последовательность точек в последовательность моментов ; и мы обнаружим, что этот локус точек — это то, что подразумевается под прямой линией в пространстве . Таким образом, точка в пространстве коррелирует последовательные точки на прямой линии с последовательными моментами . Таким образом, в пространстве точка пространства предстает как пример кинематической концепции движущейся материальной частицы, пересекающей прямую линию. Позже выяснится, что благодаря «свойству повторения» параллельности движение является равномерным.

44. Матрицы. 44.1 Уровень получается путем взятия ректа и события-частицы , сомоментального с , и формирования локуса событий-частиц на ректах, проходящих через и пересекающих , включая также частицы на ректе, проходящем через и параллельном .

Тот же уровень был бы получен путем взятия частиц на ректах, пересекающих и параллельных некоторому одному ректу, проходящему через , который пересекает .

44.2 Аналогично уровням, локус событий-частиц, называемый «матрицей», получается путем взятия ректа и события-частицы , которое не является сомоментальным с , и формирования локуса событий-частиц на ректах или точечных треках, проходящих через и пересекающих , включая также события-частицы на ректе, проходящем через и параллельном .

«Матрица» — это двумерная плоскость в четырехмерной геометрии событий-частиц. Уровни и матрицы вместе составляют полный набор таких двумерных плоскостей и обладают обычными свойствами таких плоскостей, которые здесь не нужно детализировать.

44.3 Матрицы также получаются путем взятия события-частицы и точечного трека , и формирования локуса событий-частиц на ректах или точечных треках, проходящих через и пересекающих , включая также события-частицы на точечном треке, проходящем через и параллельном . Любая матрица может быть сгенерирована любым из двух способов. Более того, матрицы могут быть сгенерированы с использованием параллелей таким же образом, как уровни генерируются, как объяснено в 44.1 и как предполагается в 43.4.

45. Нулевые треки. 45.1 Отношения между ректами и точечными треками лучше всего понять, взяв рект и частицу , которая не является соуровневой с . Таким образом получается матрица, как объяснено в 44.2.

Рис. 9.

Тогда в отношении рект делится на три (логические) части двумя событиями-частицами и . Сегмент между и обладает тем свойством, что любое событие-частица на нем соединено с точечным треком [например, на рисунке]; и любой из двух бесконечных сегментов, а именно тот, что за , и тот, что за , таков, что любое событие-частица на нем соединено с ректом [например, ′ и ″ на рисунке]. Вышеприведенная диаграмма и последующие диаграммы имеют недостаток, заключающийся в представлении матриц уровнями, и, таким образом, в придании концепциям незаслуженного налета парадоксальности.

Опять же, мы можем взять событие-частицу и точечный трек , не содержащий . Таким образом получается матрица, как объяснено в 44.3.

Рис. 10.

Тогда в отношении точечный трек делится двумя событиями-частицами и на три (логические) части. Сегмент между и обладает тем свойством, что любое событие-частица на нем соединено с ректом [например, на рисунке]; и любой из двух бесконечных сегментов, соответственно за и за , таков, что любое событие-частица на нем соединено с точечным треком [например, ′ и ″ на рисунке].

45.2 Очевидно, поэтому, что матрица в отношении события-частицы P, лежащего на ней, разделена на четыре области двумя локусами и , которые с равным успехом могут быть названы ректами или точечными треками.