«Философское эссе о вероятностях»

Можно рассматривать свободный народ как великую ассоциацию, члены которой взаимно обеспечивают свою собственность, пропорционально неся расходы по этой гарантии. Конфедерация нескольких народов дала бы им преимущества, аналогичные тем, которыми пользуется каждый индивид в обществе. Конгресс их представителей обсуждал бы объекты общей для всех полезности, и, без сомнения, система мер, весов и денег, предложенная французскими учеными, была бы принята на этом конгрессе как одна из вещей, наиболее полезных для торговых отношений.

Среди институтов, основанных на вероятностях человеческой жизни, лучшими являются те, в которых посредством небольшой жертвы своим доходом человек обеспечивает свое существование и существование своей семьи на время, когда следует опасаться неспособности удовлетворить их потребности. Насколько азартные игры аморальны, настолько эти институты выгодны для нравов, поощряя самые сильные склонности нашей природы. Правительство должно поэтому поощрять их и уважать в превратностях общественной судьбы; поскольку надежды, которые они представляют, устремлены в далекое будущее, они могут процветать только тогда, когда защищены от всякого беспокойства в течение своего существования. Это преимущество, которое обеспечивает им институт представительного правительства.

Скажем слово о займах. Ясно, что для того чтобы занимать бессрочно, необходимо каждый год выплачивать произведение капитала на процентную ставку. Но можно пожелать погасить этот основной капитал равными платежами, производимыми в течение определенного количества лет, платежами, которые называются аннуитетами и стоимость которых получается таким образом. Каждый аннуитет, чтобы быть приведенным к текущему моменту, должен быть разделен на степень единицы, увеличенной на процентную ставку, равную числу лет, через которые этот аннуитет должен быть выплачен. Формируя затем геометрическую прогрессию, первым членом которой является аннуитет, деленный на единицу, увеличенную на процентную ставку, а последним членом — этот аннуитет, деленный на ту же величину, возведенную в степень, равную числу лет, в течение которых должен был производиться платеж, сумма этой прогрессии будет эквивалентна заемному капиталу, что определит стоимость аннуитета. Амортизационный фонд по сути является лишь средством преобразования бессрочной ренты в аннуитеты, с той лишь разницей, что в случае займа посредством аннуитетов процент предполагается постоянным, тогда как процент на средства, приобретенные амортизационным фондом, является переменным. Если бы он был одинаковым в обоих случаях, аннуитет, соответствующий приобретенным средствам, формировался бы из этих средств, и из этого аннуитета государство ежегодно вносит вклад в амортизационный фонд.

Если желают сделать пожизненный заем, будет замечено, что таблицы пожизненных рент дают капитал, необходимый для установления пожизненной ренты в любом возрасте; простая пропорция даст ренту, которую следует платить индивиду, у которого заимствован капитал. На основе этих принципов могут быть рассчитаны все возможные виды займов.

Принципы, которые мы только что изложили относительно выгод и потерь институтов, могут служить для определения среднего результата любого числа уже сделанных наблюдений, когда желают учесть отклонения результатов, соответствующих различным наблюдениям. Обозначим через x поправку наименьшего результата, а через x, увеличенное последовательно на q, q', q'' и т. д., поправки следующих результатов. Назовем e, e', e'' и т. д. ошибки наблюдений, закон вероятности которых мы предположим известным. Поскольку каждое наблюдение является функцией результата, легко видеть, что при допущении, что поправка x этого результата очень мала, ошибка e первого наблюдения будет равна произведению x на определенный коэффициент. Аналогично, ошибка e' второго наблюдения будет произведением суммы q плюс x на определенный коэффициент, и так далее. Вероятность ошибки e, будучи заданной известной функцией, будет выражена той же функцией от первого из предыдущих произведений. Вероятность e' будет выражена той же функцией от второго из этих произведений, и так далее для остальных. Вероятность одновременного существования ошибок e, e', e'' и т. д. будет тогда пропорциональна произведению этих различных функций, произведению, которое будет функцией от x. При этом, если представить кривую, абсциссой которой является x, а соответствующей ординатой — это произведение, эта кривая будет представлять вероятность различных значений x, пределы которых будут определяться пределами ошибок e, e', e'' и т. д. Теперь обозначим через X абсциссу, которую необходимо выбрать; X, уменьшенное на x, будет ошибкой, которая была бы совершена, если бы абсцисса x была истинной поправкой. Эта ошибка, умноженная на вероятность x или на соответствующую ординату кривой, будет произведением потери на ее вероятность, рассматривая, как и следует, эту ошибку как потерю, связанную с выбором X. Умножая это произведение на дифференциал x, интеграл, взятый от первой крайности кривой до X, будет невыгодным положением X, возникающим из значений x, меньших X. Для значений x, больших X, x минус X было бы ошибкой X, если бы x был истинной поправкой; интеграл произведения x на соответствующую ординату кривой и на дифференциал x будет тогда невыгодным положением X, возникающим из значений x, больших X, причем этот интеграл берется от x, равного X, до последней крайности кривой. Добавляя это невыгодное положение к предыдущему, сумма будет невыгодным положением, связанным с выбором X. Этот выбор должен быть определен условием, чтобы это невыгодное положение было минимумом; и очень простой расчет показывает, что для этого X должен быть абсциссой, ордината которой делит кривую на две равные части, так что таким образом вероятно, что истинное значение x не попадает ни на ту, ни на другую сторону от X.

Знаменитые геометры выбрали для X наиболее вероятное значение x и, следовательно, то, которое соответствует наибольшей ординате кривой; но предыдущее значение представляется мне очевидно тем, которое указывает теория вероятности.

ГЛАВА XVI. ОБ ИЛЛЮЗИЯХ ПРИ ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Разум имеет свои иллюзии, как и чувство зрения; и подобно тому, как чувство осязания исправляет последнее, размышление и расчет исправляют первое. Вероятность, основанная на повседневном опыте или преувеличенная страхом и надеждой, поражает нас больше, чем высшая вероятность, но она является лишь простым результатом исчисления. Так, мы не боимся ради небольших преимуществ подвергать свою жизнь опасностям, гораздо менее невероятным, чем выигрыш квинта в лотерее Франции; и все же никто не пожелал бы обеспечить себе те же преимущества с уверенностью в потере жизни, если бы этот квинт выпал.

Наши страсти, наши предрассудки и господствующие мнения, преувеличивая благоприятные для них вероятности и преуменьшая противоположные вероятности, являются обильными источниками опасных иллюзий.

Настоящие беды и причина, их породившая, воздействуют на нас гораздо сильнее, чем воспоминание о бедах, вызванных противоположной причиной; они мешают нам справедливо оценить неудобства тех и других, а также вероятность надлежащих средств для защиты от них. Именно это приводит попеременно к деспотизму и к анархии народы, которые вырваны из состояния покоя, в которое они никогда не возвращаются иначе, как после долгих и жестоких потрясений.

Это яркое впечатление, которое мы получаем от присутствия событий и которое едва позволяет нам заметить противоположные события, наблюдаемые другими, является главной причиной ошибки, против которой невозможно достаточно предостеречься.

Именно в азартных играх множество иллюзий поддерживают надежду и сохраняют ее против неблагоприятных шансов. Большинство тех, кто играет в лотереи, не знают, сколько шансов в их пользу, сколько против них. Они видят только возможность при небольшой ставке выиграть значительную сумму, и проекты, которые порождает их воображение, преувеличивают в их глазах вероятность ее получения; бедняк особенно, возбужденный желанием лучшей участи, рискует в игре своим необходимым, цепляясь за самые неблагоприятные комбинации, которые обещают ему большую выгоду. Все были бы, без сомнения, удивлены огромным числом проигранных ставок, если бы могли узнать о них; но, напротив, заботятся о том, чтобы придать выигрышам большую огласку, что становится новой причиной возбуждения для этой печальной игры.

Когда номер в лотерее Франции долго не выпадает, толпа стремится покрыть его ставками. Они судят, что, поскольку номер долго не выпадал, он должен при следующем тираже выпасть в предпочтение другим. Столь распространенная ошибка представляется мне основанной на иллюзии, посредством которой невольно возвращаются к началу событий. Например, очень невероятно, что в игре в орлянку выпадет орел десять раз подряд. Эта невероятность, которая действительно поражает нас, когда это случилось девять раз, заставляет нас верить, что при десятом броске выпадет решка. Но прошлое, указывая в монете на большую склонность к орлу, чем к решке, делает первое из событий более вероятным, чем второе; оно увеличивает, как мы видели, вероятность выпадения орла при следующем броске. Подобная иллюзия убеждает многих людей, что можно наверняка выиграть в лотерею, ставя каждый раз на один и тот же номер, пока он не выпадет, ставку, произведение которой превосходит сумму всех ставок. Но даже если бы подобные спекуляции не останавливались часто невозможностью их поддерживать, они не уменьшили бы математическую невыгодность спекулянтов и увеличили бы их моральную невыгодность, поскольку при каждом тираже они рисковали бы очень большой частью своего состояния.

Я видел людей, страстно желавших иметь сына, которые могли узнать только с тревогой о рождениях мальчиков в месяц, когда они ожидали стать отцами. Воображая, что отношение этих рождений к рождениям девочек должно быть одинаковым в конце каждого месяца, они судили, что уже родившиеся мальчики сделают более вероятными рождения в дальнейшем девочек. Так, извлечение белого шара из урны, которая содержит ограниченное число белых и черных шаров, увеличивает вероятность извлечения черного шара при следующем извлечении. Но это перестает происходить, когда число шаров в урне неограниченно, как нужно предполагать, чтобы сравнить этот случай со случаем рождений. Если в течение месяца родилось гораздо больше мальчиков, чем девочек, можно было бы заподозрить, что ко времени их зачатия общая причина благоприятствовала мужскому зачатию, что сделало бы более вероятным рождение в дальнейшем мальчика. Случайные события природы не совсем сравнимы с извлечением номеров лотереи, в которой все номера перемешиваются при каждом тираже таким образом, чтобы сделать шансы их выпадения совершенно равными. Частота одного из этих событий, кажется, указывает на причину, слегка благоприятствующую ему, что увеличивает вероятность его следующего возвращения, и его повторение, продленное на долгое время, такое как длинная серия дождливых дней, может развить неизвестные причины для его изменения; так что при каждом ожидаемом событии мы не возвращаемся, как при каждом тираже лотереи, к тому же состоянию нерешительности относительно того, что должно произойти. Но по мере того, как наблюдение за этими событиями умножается, сравнение их результатов с результатами лотерей становится более точным.

Иллюзией, противоположной предыдущим, является поиск в прошлых тиражах лотереи Франции номеров, выпадавших чаще всего, чтобы сформировать комбинации, на которые думают поставить ставку с выгодой. Но когда рассматривается способ, которым происходит перемешивание номеров в этой лотерее, прошлое не должно иметь никакого влияния на будущее. Очень частые выпадения номера — это лишь аномалии случая; я подверг несколько из них расчету и постоянно находил, что они включены в пределы, которые допущение равной возможности выпадения всех номеров позволяет нам признать без невероятности.

В длинной серии событий одного и того же рода единичные шансы случая должны иногда предлагать исключительные полосы удачи или неудачи, которые большинство игроков не преминет приписать своего рода фатализму. Часто случается в играх, которые зависят одновременно от случая и от компетентности игроков, что тот, кто проигрывает, встревоженный своим проигрышем, стремится исправить его рискованными бросками, которых он избежал бы в другой ситуации; таким образом, он усугубляет свою собственную неудачу и продлевает ее продолжительность. Именно тогда становится необходимой осторожность и важно убедить себя, что моральное невыгодное положение, связанное с неблагоприятными шансами, увеличивается самой неудачей.

Мнение, что человек долгое время был помещен в центр вселенной, считая себя особым объектом забот природы, побуждает каждого индивида сделать себя центром более или менее обширной сферы и верить, что случай имеет предпочтение к нему. Поддерживаемые этой верой, игроки часто рискуют значительными суммами в играх, когда знают, что шансы неблагоприятны. В поведении жизни подобное мнение может иногда иметь преимущества; но чаще всего оно ведет к катастрофическим предприятиям. Здесь, как и везде, иллюзии опасны, и одна лишь истина обычно полезна.

Одним из великих преимуществ исчисления вероятностей является обучение нас недоверию к первым мнениям. Поскольку мы признаем, что они часто обманывают, когда могут быть подвергнуты исчислению, мы должны заключить, что в других делах доверие следует оказывать только после крайней осмотрительности. Докажем это на примере.

Урна содержит четыре шара, черных и белых, но которые не все одного цвета. Один из этих шаров был извлечен, цвет которого белый, и который был положен обратно в урну, чтобы снова приступить к подобным извлечениям. Требуется вероятность извлечения только черных шаров в четырех следующих извлечениях.

Если бы белых и черных было равное число, эта вероятность была бы четвертой степенью вероятности ½ извлечения черного шара при каждом извлечении; она была бы тогда 1/16. Но извлечение белого шара при первом извлечении указывает на превосходство в числе белых шаров в урне; ибо если предположить в урне три белых шара и один черный, вероятность извлечения белого шара равна ¾; она равна 2/4, если предположить два белых шара и два черных; наконец, она сводится к ¼, если предположить три черных шара и один белый. Следуя принципу вероятности причин, извлеченных из событий, вероятности этих трех предположений относятся между собой как величины ¾, 2/4, ¼; они, следовательно, равны 3/6, 2/6, 1/6. Это, таким образом, пари 5 против 1, что число черных шаров меньше или, самое большее, равно числу белых. Кажется тогда, что после извлечения белого шара при первом извлечении вероятность извлечения последовательно четырех черных шаров должна быть меньше, чем в случае равенства цветов, или меньше, чем одна шестнадцатая. Однако это не так, и очень простым расчетом найдено, что эта вероятность больше, чем одна четырнадцатая. Действительно, это была бы четвертая степень ¼, 2/4 и ¾ в первом, втором и третьем из предыдущих предположений относительно цветов шаров в урне. Умножая соответственно каждую степень на вероятность соответствующего предположения, или на 3/6, 2/6 и 1/6, сумма произведений будет вероятностью извлечения последовательно четырех черных шаров. Имеем таким образом для этой вероятности 29/384, дробь, большую, чем 1/14. Этот парадокс объясняется рассмотрением того, что указание на превосходство белых шаров над черными при первом извлечении вовсе не исключает превосходства черных шаров над белыми, превосходства, которое исключает предположение о равенстве цветов. Но это превосходство, хотя и мало вероятное, должно сделать вероятность извлечения последовательно данного числа черных шаров большей, чем в этом предположении, если число значительно; и только что видели, что это начинается, когда данное число равно четырем. Рассмотрим снова урну, которая содержит несколько белых и черных шаров. Предположим сначала, что есть только один белый шар и один черный. Это тогда равное пари, что белый шар будет извлечен в одном извлечении. Но кажется для равенства пари, что тот, кто ставит на извлечение белого шара, должен иметь два извлечения, если урна содержит два черных и один белый, три извлечения, если она содержит три черных и один белый, и так далее; предполагается, что после каждого извлечения извлеченный шар кладется обратно в урну.

Мы легко убеждаемся, что эта первая идея ошибочна. Действительно, в случае двух черных и одного белого шара вероятность извлечения двух черных в двух извлечениях есть вторая степень 2/3 или 4/9; но эта вероятность, добавленная к вероятности извлечения белого шара в двух извлечениях, есть достоверность или единица, так как достоверно, что два черных шара или по крайней мере один белый шар должны быть извлечены; вероятность в этом последнем случае есть тогда 5/9, дробь, большая, чем ½. Было бы все еще большее преимущество в пари на извлечение одного белого шара в пяти бросках, когда урна содержит пять черных и один белый шар; это пари даже выгодно в четырех извлечениях; оно возвращается тогда к пари на выпадение шести в четырех бросках с одной игральной костью.

Шевалье де Мере, который вызвал изобретение исчисления вероятностей, побудив своего друга Паскаля, великого геометра, заняться им, сказал ему, «что он нашел ошибку в числах по этому отношению. Если мы беремся сделать шесть с одной костью, есть преимущество в том, чтобы взяться за это в четырех бросках, как 671 к 625. Если мы беремся сделать две шестерки с двумя костями, есть невыгодность в том, чтобы взяться за это в 24 бросках. По крайней мере 24 относится к 36, числу граней двух костей, как 4 относится к 6, числу граней одной кости». «Это был», — писал Паскаль Ферма, — «его великий скандал, который заставил его смело сказать, что предложения не постоянны и что арифметика сошла с ума.... У него очень хороший ум, но он не геометр, что является, как вы знаете, большим недостатком». Шевалье де Мере, обманутый ложной аналогией, думал, что в случае равенства пари число бросков должно увеличиваться пропорционально числу всех шансов возможных, что не точно, но что приближается к точности по мере того, как это число становится больше.

Пытались объяснить превосходство рождений мальчиков над рождениями девочек общим желанием отцов иметь сына, который увековечил бы имя. Так, воображая урну, наполненную бесконечностью белых и черных шаров в равном числе, и предполагая большое число лиц, каждое из которых извлекает шар из этой урны и продолжает с намерением остановиться, когда он извлечет белый шар, полагали, что это намерение должно сделать число извлеченных белых шаров превосходящим число черных. Действительно, это намерение дает обязательно после всех извлечений число белых шаров, равное числу лиц, и возможно, что эти извлечения никогда не привели бы к черному шару. Но легко видеть, что это первое понятие — лишь иллюзия; ибо если представить, что в первом извлечении все лица извлекают сразу шар из урны, очевидно, что их намерение не может иметь никакого влияния на цвет шаров, которые должны появиться при этом извлечении. Его единственным эффектом будет исключение из второго извлечения лиц, которые извлекли белый шар при первом. Также очевидно, что намерение лиц, которые примут участие в новом извлечении, не будет иметь никакого влияния на цвет шаров, которые будут извлечены, и что то же самое будет при следующих извлечениях. Это намерение не будет иметь влияния тогда на цвет шаров, извлеченных в совокупности извлечений; оно, однако, заставит больше или меньше лиц участвовать в каждом извлечении. Отношение извлеченных белых шаров к черным будет отличаться таким образом очень мало от единицы. Отсюда следует, что число лиц предполагается очень большим, если наблюдение дает между извлеченными цветами отношение, которое отличается ощутимо от единицы, очень вероятно, что та же разница находится между единицей и отношением белых шаров к черным, содержащимся в урне.

Я отношу снова к иллюзиям применение, которое Лейбниц и Даниил Бернулли сделали из исчисления вероятностей к суммированию рядов. Если привести дробь, числителем которой является единица, а знаменателем — единица плюс переменная, в ряд, предписанный отношением к степеням этой переменной, легко видеть, что при допущении переменной равной единице дробь становится ½, а ряд становится плюс один, минус один, плюс один, минус один и т. д. При сложении первых двух членов, вторых двух и так далее, ряд преобразуется в другой, каждый член которого есть ноль. Гранди, итальянский иезуит, заключил из этого возможность творения; потому что ряд, будучи всегда ½, он видел эту дробь, возникающую из бесконечности нулей или из ничего. Именно так Лейбниц верил, что видел образ творения в своей двоичной арифметике, где он использовал только два знака, единицу и ноль. Он воображал, поскольку Бог может быть представлен единицей, а ничто — нулем, что Верховное Существо извлекло из ничего все существа, как единица с нулем выражает все числа в этой системе арифметики. Эта идея была столь приятна Лейбницу, что он сообщил ее иезуиту Гримальди, президенту трибунала математики в Китае, в надежде, что эта эмблема творения обратит в христианство императора там, который особенно любил науки. Я сообщаю этот инцидент только для того, чтобы показать, до какой степени предрассудки младенчества могут ввести в заблуждение величайших людей.

Лейбниц, всегда ведомый своеобразной и очень свободной метафизикой, считал, что ряд плюс один, минус один, плюс один и т. д. становится единицей или нулем в зависимости от того, останавливаются ли на числе членов нечетном или четном; и так как в бесконечности нет причины предпочесть четное число нечетному, следует, следуя правилам вероятности, взять половину результатов, относящихся к этим двум видам чисел, которые есть ноль и единица, что дает ½ для значения ряда. Даниил Бернулли с тех пор расширил это рассуждение на суммирование рядов, сформированных из периодических членов. Но все эти ряды не имеют значений, собственно говоря; они получают их только в случае, когда их члены умножены на последовательные степени переменной, меньшей единицы. Тогда эти ряды всегда сходящиеся, как бы мало ни предполагали разницу переменной от единицы; и легко продемонстрировать, что значения, назначенные Бернулли, в силу правила вероятностей, являются теми же значениями порождающей дроби ряда, когда предполагают в этих дробях переменную равной единице. Эти значения являются снова пределами, к которым ряды приближаются все больше и больше, по мере того как переменная приближается к единице. Но когда переменная точно равна единице, ряды перестают быть сходящимися; они имеют значения только до тех пор, пока их останавливают. Замечательное отношение этого применения исчисления вероятностей с пределами значений периодических рядов предполагает, что члены этих рядов умножены на все последовательные степени переменной. Но этот ряд может возникнуть из развития бесконечности различных дробей, в которых этого не происходило. Так, ряд плюс один, минус один, плюс один и т. д. может возникнуть из развития дроби, числителем которой является единица плюс переменная, а знаменателем — этот числитель, увеличенный на квадрат переменной. Предполагая переменную равной единице, это развитие меняется в предложенный ряд, и порождающая дробь становится равной 2/3; правила вероятностей дали бы тогда ложный результат, что доказывает, как опасно было бы использовать подобные рассуждения, особенно в математических науках, которые должны быть особенно отличены строгостью своих операций.

Нас естественным образом подталкивает к убеждению то, что порядок, в котором мы видим обновление вещей на Земле, существовал всегда и будет продолжаться вечно. Действительно, если бы нынешнее состояние Вселенной было в точности подобно предшествующему состоянию, которое его породило, оно, в свою очередь, породило бы подобное состояние; последовательность этих состояний была бы тогда вечной. Применяя анализ к закону всемирного тяготения, я обнаружил, что движение вращения и обращения планет и спутников, а также положение орбит и их экваторов подвержены лишь периодическим неравенствам. Сравнивая теорию векового уравнения Луны с древними затмениями, я нашел, что со времен Гиппарха продолжительность суток не изменилась и на сотую долю секунды, а средняя температура Земли не уменьшилась и на сотую долю градуса. Таким образом, стабильность существующего порядка представляется установленной одновременно теорией и наблюдениями. Но этот порядок подвержен влиянию различных причин, которые обнаруживаются внимательным изучением и которые невозможно подчинить исчислению.

Действия океана, атмосферы и метеоров, землетрясения и извержения вулканов постоянно взбудораживают поверхность Земли и в конечном итоге должны приводить к значительным изменениям. Температура климата, объем атмосферы и пропорция составляющих ее газов могут варьироваться в незначительной степени. Поскольку инструменты и средства, пригодные для определения этих вариаций, являются новыми, наблюдение до сих пор не могло дать нам ничего определенного в этом отношении. Но вряд ли вероятно, что причины, которые поглощают и обновляют газы, составляющие воздух, поддерживают в точности свои соответствующие пропорции. Длинная череда столетий покажет изменения, которые испытывают все эти элементы, столь существенные для сохранения организованных существ. Хотя исторические памятники не восходят к очень глубокой древности, они тем не менее предлагают нам достаточно значительные изменения, произошедшие в результате медленного и непрерывного действия природных агентов. Исследуя недра Земли, обнаруживают многочисленные остатки прежней природы, совершенно отличные от нынешней. Более того, если вся Земля вначале была жидкой, как все, по-видимому, указывает, можно представить, что при переходе от этого состояния к тому, которое она имеет сейчас, ее поверхность должна была претерпеть колоссальные изменения. Сами небеса, несмотря на порядок своих движений, не являются неизменными. Сопротивление света и других эфирных жидкостей, а также притяжение звезд должны по прошествии большого числа столетий значительно изменить планетарные движения. Вариации, уже наблюдаемые в звездах и в форме туманностей, дают нам предчувствие тех, которые время разовьет в системе этих великих тел. Можно представить последовательные состояния Вселенной в виде кривой, абсциссой которой было бы время, а ординатами — различные состояния. Едва зная один элемент этой кривой, мы далеки от того, чтобы иметь возможность вернуться к ее истокам; и если, чтобы удовлетворить воображение, всегда беспокойное из-за нашего незнания причин интересующих его явлений, кто-то решается на некоторые предположения, мудро будет представлять их лишь с крайней осторожностью.

В оценке вероятностей существует своего рода иллюзии, которые, завися особенно от законов интеллектуальной организации, требуют для защиты от них глубокого изучения этих законов. Желание проникнуть в будущее и сопоставление некоторых примечательных событий с предсказаниями астрологов, прорицателей и предсказателей, с предчувствиями и снами, с числами и днями, считающимися счастливыми или несчастливыми, породили множество предрассудков, до сих пор очень распространенных. Люди не задумываются о большом количестве несовпадений, которые не произвели никакого впечатления или неизвестны. Однако необходимо быть знакомым с ними, чтобы оценить вероятность причин, которым приписываются совпадения. Это знание, несомненно, подтвердило бы то, что говорит нам разум в отношении этих предрассудков. Так, философ древности, которому в храме показывают, чтобы возвеличить силу почитаемого там бога, обетные дары всех тех, кто после призыва к нему был спасен от кораблекрушения, представляет случай, согласующийся с исчислением вероятностей, замечая, что он не видит начертанными имена тех, кто, несмотря на это призывание, погиб. Цицерон опроверг все эти предрассудки с большим разумом и красноречием в своем «Трактате о дивинации», который он заканчивает отрывком, который я процитирую; ибо любят находить вновь среди древних громы разума, которые, рассеяв своим светом все предрассудки, станут единственным фундаментом человеческих институтов.

«Необходимо, — говорит римский оратор, — отвергнуть дивинацию по снам и все подобные предрассудки. Распространенное суеверие подчинило большинство умов и завладело слабостью людей. Именно это мы изложили в наших книгах о природе богов и особенно в этой работе, будучи убеждены, что окажем услугу другим и самим себе, если преуспеем в разрушении суеверия. Однако (и я особенно желаю, чтобы в этом отношении моя мысль была хорошо понята), разрушая суеверие, я далек от желания нарушить религию. Мудрость предписывает нам поддерживать институты и церемонии наших предков, касающиеся культа богов. Более того, красота Вселенной и порядок небесных вещей заставляют нас признать некую высшую природу, которая должна быть замечена и восхищена человеческим родом. Но насколько подобает распространять религию, которая соединена с познанием природы, настолько необходимо работать над искоренением суеверия, ибо оно мучает, докучает и преследует человека постоянно и во всех местах. Если кто-то консультируется с прорицателем или предсказателем, если кто-то приносит в жертву животное, если кто-то наблюдает за полетом птицы, если кто-то встречает халдея или гаруспика, если сверкает молния, если гремит гром, если ударяет молния, наконец, если рождается или проявляется своего рода чудо, вещи, одна из которых часто должна случаться, тогда суеверие доминирует и не оставляет покоя. Сам сон, это прибежище смертных в их бедах и трудах, становится благодаря ему новым источником беспокойства и страха».

Все эти предрассудки и ужасы, которые они внушают, связаны с физиологическими причинами, которые иногда продолжают сильно действовать после того, как разум избавил нас от них. Но повторение действий, противоречащих этим предрассудкам, всегда может их разрушить.

ГЛАВА XVII. О РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ К ДОСТОВЕРНОСТИ.

Индукция, аналогия, гипотезы, основанные на фактах и постоянно исправляемые новыми наблюдениями, счастливый такт, данный природой и укрепленный многочисленными сравнениями его указаний с опытом, — таковы основные средства для достижения истины.

Если рассматривать ряд объектов одной природы, то среди них и в их изменениях можно заметить отношения, которые проявляются все больше и больше по мере того, как ряд удлиняется, и которые, постоянно расширяясь и обобщаясь, приводят наконец к принципу, из которого они были выведены. Но эти отношения окутаны столькими странными обстоятельствами, что требуется большая проницательность, чтобы распутать их и вернуться к этому принципу: именно в этом состоит истинный гений наук. Анализ и натурфилософия обязаны своими важнейшими открытиями этому плодотворному средству, которое называется индукцией. Ньютон был обязан ей своей теоремой о биноме и принципом всемирного тяготения. Трудно оценить вероятность результатов индукции, которая основана на том, что простейшие отношения являются наиболее распространенными; это подтверждается в формулах анализа и встречается вновь в природных явлениях, в кристаллизации и в химических соединениях. Эта простота отношений не покажется удивительной, если мы учтем, что все эффекты природы являются лишь математическими результатами небольшого числа неизменных законов.

Однако индукция, ведя к открытию общих принципов наук, не достаточна для их абсолютного установления. Всегда необходимо подтверждать их демонстрациями или решающими опытами; ибо история наук показывает нам, что индукция иногда приводила к неточным результатам. Я процитирую, например, теорему Ферма относительно простых чисел. Этот великий геометр, глубоко размышлявший над этой теоремой, искал формулу, которая, содержа только простые числа, давала бы непосредственно простое число, большее любого другого назначаемого числа. Индукция привела его к мысли, что два, возведенное в степень, которая сама является степенью двойки, образует с единицей простое число. Так, два в квадрате плюс один образует простое число пять; два во второй степени двойки, или шестнадцать, образует с единицей простое число семнадцать. Он обнаружил, что это остается верным для восьмой и шестнадцатой степени двойки, увеличенной на единицу; и эта индукция, основанная на нескольких арифметических соображениях, заставила его рассматривать этот результат как общий. Однако он признавал, что не доказал его. Действительно, Эйлер признал, что это неверно для тридцать второй степени двойки, которая, будучи увеличенной на единицу, дает 4 294 967 297, число, делимое на 641.

Мы судим по индукции, что если различные события, например, движения, появляются постоянно и долгое время связаны простым отношением, они будут продолжать подчиняться ему; и мы заключаем из этого, согласно теории вероятностей, что это отношение обусловлено не случайностью, а регулярной причиной. Так, равенство движений вращения и обращения Луны; равенство движений узлов орбиты и лунного экватора, и совпадение этих узлов; сингулярное отношение движений первых трех спутников Юпитера, согласно которому средняя долгота первого спутника минус три долготы второго плюс две долготы третьего равна двум прямым углам; равенство интервала приливов интервалу прохождения Луны через меридиан; возвращение наибольших приливов с сизигиями, а наименьших — с квадратурами; все эти вещи, которые сохраняются с тех пор, как были впервые замечены, указывают с чрезвычайной вероятностью на существование постоянных причин, которые геометры с успехом сумели связать с законом всемирного тяготения, и знание которых делает достоверной неизменность этих отношений.

Канцлер Бэкон, красноречивый пропагандист истинного философского метода, сделал очень странное злоупотребление индукцией, чтобы доказать неподвижность Земли. Он рассуждает так в «Novum Organum», своей лучшей работе: «Движение звезд с востока на запад увеличивается в быстроте пропорционально их удаленности от Земли. Это движение самое быстрое у звезд; оно немного замедляется у Сатурна, еще немного у Юпитера и так далее до Луны и самых высоких комет. Оно все еще заметно в атмосфере, особенно между тропиками, из-за больших кругов, которые описывают там молекулы воздуха; наконец, оно почти незаметно у океана; значит, оно равно нулю для Земли». Но эта индукция доказывает лишь то, что Сатурн и звезды, которые ниже его, имеют свои собственные движения, противоположные реальному или кажущемуся движению, которое охватывает всю небесную сферу с востока на запад, и что эти движения кажутся более медленными у более удаленных звезд, что соответствует законам оптики. Бэкон должен был быть поражен невообразимой быстротой, которую требуют звезды, чтобы совершить свое суточное обращение, если Земля неподвижна, и чрезвычайной простотой, с которой ее вращение объясняет, как тела, столь удаленные друг от друга, как звезды, Солнце, планеты и Луна, все кажутся подчиненными этому обращению. Что касается океана и атмосферы, он не должен сравнивать их движение с движением звезд, которые отделены от Земли; но поскольку воздух и море являются частью земного шара, они должны участвовать в его движении или в его покое. Удивительно, что Бэкон, увлеченный своим гением к великим перспективам, не был покорен величественной идеей, которую предлагает Коперниканская система Вселенной. Он мог бы, однако, найти в пользу этой системы сильные аналогии в открытиях Галилея, которые были продолжены им. Он дал для поиска истины предписание, но не пример. Но настаивая со всей силой разума и красноречия на необходимости отказа от незначительных тонкостей школы, чтобы посвятить себя наблюдениям и опытам, и указывая истинный метод восхождения к общим причинам явлений, этот великий философ способствовал огромным шагам, которые сделал человеческий разум в великом веке, в котором он завершил свою карьеру.

Аналогия основана на вероятности того, что подобные вещи имеют причины того же рода и производят те же эффекты. Эта вероятность возрастает по мере того, как сходство становится более совершенным. Так, мы судим без сомнения, что существа, снабженные одними и теми же органами, делающие одни и те же вещи, испытывают одни и те же ощущения и движимы одними и теми же желаниями. Вероятность того, что животные, которые похожи на нас, имеют ощущения, аналогичные нашим, хотя и немного уступает той, которая относится к индивидам нашего вида, все же чрезвычайно велика; и потребовалось все влияние религиозных предрассудков, чтобы заставить нас думать вместе с некоторыми философами, что животные — это просто автоматы. Вероятность существования чувства уменьшается в той же пропорции, в какой уменьшается сходство органов с нашими, но она всегда очень велика, даже у насекомых. Видя, как особи одного и того же вида выполняют очень сложные вещи в точности одинаковым образом из поколения в поколение, не научившись им, приходишь к убеждению, что они действуют посредством своего рода сродства, аналогичного тому, которое сближает молекулы кристаллов, но которое, вместе с ощущением, присущим всей животной организации, производит, с регулярностью химических соединений, комбинации, которые гораздо более своеобразны; можно было бы, возможно, назвать это смешение избирательных сродств и ощущений животным сродством. Хотя существует большое сходство между организацией растений и животных, мне не кажется достаточным распространить на овощи чувство ощущения; но ничто не уполномочивает нас отрицать его у них.

Поскольку Солнце порождает, благодаря благотворному действию своего света и тепла, животных и растения, которые покрывают Землю, мы судим по аналогии, что оно производит подобные эффекты на других планетах; ибо неестественно думать, что причина, активность которой мы видим развитой столькими способами, должна быть бесплодной на такой большой планете, как Юпитер, который, подобно земному шару, имеет свои дни, свои ночи и свои годы, и на котором наблюдения указывают на изменения, предполагающие очень активные силы. Однако это было бы слишком большим расширением аналогии, чтобы заключать из нее о сходстве обитателей планет и Земли. Человек, созданный для температуры, которой он наслаждается, и для элемента, которым он дышит, не смог бы, по всей видимости, жить на других планетах. Но не должно ли быть бесконечности организаций, относительных к различным конституциям глобусов этой Вселенной? Если единственная разница элементов и климатов создает такое разнообразие в земных произведениях, насколько большей должна быть разница среди таковых различных планет и их спутников! Самое активное воображение не может составить об этом никакого представления; но их существование очень вероятно.

Нас подталкивает сильная аналогия рассматривать звезды как множество солнц, наделенных, подобно нашему, силой притяжения, пропорциональной массе и обратно пропорциональной квадрату расстояний; ибо эта сила, будучи доказанной для всех тел солнечной системы и для их мельчайших молекул, по-видимому, принадлежит всей материи. Уже движения малых звезд, которые были названы двойными из-за того, что они бинарны, по-видимому, указывают на это; столетие точных наблюдений самое большее, подтвердив их движения обращения друг вокруг друга, поставит вне сомнения их взаимные притяжения.

Аналогия, которая ведет нас к тому, чтобы сделать каждую звезду центром планетарной системы, гораздо менее сильна, чем предыдущая; но она приобретает вероятность благодаря гипотезе, которая была предложена относительно формирования звезд и Солнца; ибо в этой гипотезе каждая звезда, будучи, подобно Солнцу, примитивно окруженной обширной атмосферой, естественно приписать этой атмосфере те же эффекты, что и солнечной атмосфере, и предположить, что она произвела, конденсируясь, планеты и спутники.

Большое количество открытий в науках обязано аналогии. Я процитирую как одно из самых примечательных открытие атмосферного электричества, к которому пришли по аналогии электрических явлений с эффектами грома.

Самый верный метод, который может направлять нас в поиске истины, состоит в восхождении путем индукции от явлений к законам и от законов к силам. Законы — это отношения, которые связывают частные явления вместе: когда они показали общий принцип сил, из которых они выведены, его проверяют либо прямыми опытами, когда это возможно, либо исследованием, согласуется ли он с известными явлениями; и если путем строгого анализа мы видим, что они исходят из этого принципа, даже в своих мелких деталях, и если, более того, они весьма разнообразны и очень многочисленны, тогда наука приобретает высшую степень достоверности и совершенства, которой она способна достичь. Такой стала астрономия благодаря открытию всемирного тяготения. История наук показывает, что медленный и трудоемкий путь индукции не всегда был путем изобретателей. Воображение, нетерпеливое дойти до причин, находит удовольствие в создании гипотез, и часто оно изменяет факты, чтобы приспособить их к своей работе; тогда гипотезы опасны. Но когда их рассматривают лишь как средство связи явлений для открытия законов; когда, отказываясь приписывать им реальность, их постоянно исправляют новыми наблюдениями, они способны привести к истинным причинам или, по крайней мере, поставить нас в положение заключать из наблюдаемых явлений те, которые должны произвести данные обстоятельства.

Если бы мы испытали все гипотезы, которые могут быть сформированы относительно причины явлений, мы пришли бы путем процесса исключения к истинной. Это средство применялось с успехом; иногда мы приходили к нескольким гипотезам, которые объясняют одинаково хорошо все известные факты и среди которых ученые разделены, пока решающие наблюдения не сделали известной истинную. Тогда интересно для истории человеческого разума вернуться к этим гипотезам, увидеть, как они преуспевают в объяснении большого количества фактов, и исследовать изменения, которые они должны претерпеть, чтобы согласиться с историей природы. Именно так система Птолемея, которая является лишь реализацией небесных явлений, трансформируется в гипотезу движения планет вокруг Солнца, делая равными и параллельными солнечной орбите круги и эпициклы, которые он заставляет описывать ежегодно, и величину которых он оставляет неопределенной. Достаточно тогда, чтобы изменить эту гипотезу в истинную систему мира, перенести кажущееся движение Солнца в смысле, противоположном Земле.

Почти всегда невозможно подчинить исчислению вероятность результатов, полученных этими различными средствами; это верно также для исторических фактов. Но совокупность объясненных явлений или свидетельств иногда такова, что, не будучи в состоянии оценить вероятность, мы не можем разумно позволить себе какие-либо сомнения в отношении них. В других случаях благоразумно допускать их лишь с большой осторожностью.

ГЛАВА XVIII. ИСТОРИЧЕСКОЕ ЗАМЕЧАНИЕ КАСАТЕЛЬНО ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Давно были определены в простейших играх отношения шансов, которые благоприятны или неблагоприятны для игроков; ставки и пари регулировались согласно этим отношениям. Но никто до Паскаля и Ферма не давал принципов и методов для подчинения этого предмета исчислению, и никто не решал довольно сложные вопросы такого рода. Именно к этим двум великим геометрам мы должны отнести первые элементы науки о вероятностях, открытие которой можно причислить к примечательным вещам, прославившим семнадцатый век — век, который сделал величайшую честь человеческому разуму. Основная проблема, которую они решили разными методами, состоит, как мы видели, в справедливом распределении ставки между игроками, которые предполагаются одинаково искусными и которые соглашаются остановить игру до того, как она закончена, при условии игры, что для выигрыша игры нужно набрать данное число очков, различное для каждого из игроков. Ясно, что распределение должно быть сделано пропорционально соответствующим вероятностям игроков на выигрыш этой игры, причем вероятности зависят от чисел очков, которых еще не хватает. Метод Паскаля очень остроумен и в основе своей является лишь уравнением в частных разностях этой проблемы, примененным при определении последовательных вероятностей игроков, переходя от наименьших чисел к следующим. Этот метод ограничен случаем двух игроков; метод Ферма, основанный на комбинациях, применяется к любому числу игроков. Паскаль полагал сначала, что он, подобно его собственному, ограничен двумя игроками; это вызвало между ними дискуссию, по завершении которой Паскаль признал общность метода Ферма.

Гюйгенс объединил различные проблемы, которые уже были решены, и добавил новые в небольшом трактате, первом, который появился по этому предмету и который имеет заглавие «De Ratiociniis in ludo aleæ». Несколько геометров занимались этим предметом с тех пор: Хадде, великий пенсионарий, Витт в Голландии и Галлей в Англии применили исчисление к вероятностям человеческой жизни, и Галлей опубликовал в этой области первую таблицу смертности. Около того же времени Якоб Бернулли предложил геометрам различные проблемы вероятности, решения которых он впоследствии дал. Наконец, он составил свою прекрасную работу под названием «Ars conjectandi», которая появилась через семь лет после его смерти, последовавшей в 1706 году. Наука о вероятностях более глубоко исследована в этой работе, чем в работе Гюйгенса. Автор дает общую теорию комбинаций и рядов и применяет ее к нескольким трудным вопросам, касающимся случайностей. Эта работа до сих пор примечательна благодаря справедливости и остроте взгляда, применению формулы бинома в такого рода вопросах и доказательству этой теоремы, а именно, что при умножении до бесконечности наблюдений и опытов отношение событий различных природ приближается к отношению их соответствующих вероятностей в пределах, интервал которых становится все более узким по мере того, как они умножаются, и становится меньше любого назначаемого количества. Эта теорема очень полезна для получения путем наблюдений законов и причин явлений. Бернулли придает, с основанием, большое значение своему доказательству, над которым, как говорят, он размышлял двадцать лет.

В интервале от смерти Якоба Бернулли до публикации его работы Монмор и Муавр выпустили два трактата об исчислении вероятностей. Трактат Монмора имеет заглавие «Essai sur les Jeux de hasard»; он содержит многочисленные применения этого исчисления к различным играм. Автор добавил во втором издании некоторые письма, в которых Николай Бернулли дает остроумные решения нескольких трудных проблем. Трактат Муавра, более поздний, чем трактат Монмора, появился сначала в «Philosophical Transactions» 1711 года. Затем автор опубликовал его отдельно, и он улучшал его последовательно в трех изданиях. Эта работа в основном основана на формуле бинома, и проблемы, которые она содержит, имеют, подобно их решениям, великую общность. Но ее отличительной чертой является теория рекуррентных рядов и их использование в этом предмете. Эта теория представляет собой интегрирование линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами, которое Муавр совершил очень удачным образом.

В своей работе Муавр вновь взялся за теорию Якоба Бернулли относительно вероятности результатов, определенных большим числом наблюдений. Он не довольствуется тем, что показывает, как Бернулли, что отношение событий, которые должны произойти, приближается без конца к отношению их соответствующих вероятностей; но он дает, кроме того, элегантное и простое выражение вероятности того, что разность этих двух отношений содержится в данных пределах. Для этой цели он определяет отношение наибольшего члена разложения очень высокой степени бинома к сумме всех его членов и гиперболический логарифм избытка этого члена над членами, прилежащими к нему.

Наибольший член будучи тогда произведением значительного числа факторов, его числовое исчисление становится непрактичным. Чтобы получить его путем сходящегося приближения, Муавр использует теорему Стирлинга относительно среднего члена бинома, возведенного в высокую степень, примечательную теорему, особенно в том, что она вводит квадратный корень из отношения окружности к радиусу в выражение, которое, по-видимому, должно быть нерелевантным к этому трансцендентному числу. Более того, Муавр был сильно поражен этим результатом, который Стирлинг вывел из выражения окружности в бесконечных произведениях; Валлис пришел к этому выражению путем сингулярного анализа, который содержит зародыш очень любопытной и полезной теории определенных интегралов.

Многие ученые, среди которых следует назвать Депарсье, Керссебума, Варгентина, Дюпре де Сен-Мора, Симпсона, Зюссмильха, Мессена, Моэ, Прайса, Бейли и Дювийяра, собрали большое количество точных данных относительно населения, рождений, браков и смертности. Они дали формулы и таблицы, относящиеся к пожизненным рентам, тондинам, страхованиям и т. д. Но в этом кратком замечании я могу лишь указать на эти полезные работы, чтобы придерживаться оригинальных идей. Из этого числа особого упоминания заслуживают математические и моральные ожидания и остроумный принцип, который Даниил Бернулли дал для подчинения последних анализу. Таково же счастливое применение, которое он сделал из исчисления вероятностей к инокуляции. Следует особенно включить в число этих оригинальных идей прямое рассмотрение возможности событий, выведенных из наблюдаемых событий. Якоб Бернулли и Муавр предполагали эти возможности известными, и они искали вероятность того, что результат будущих опытов будет все более точно представлять их. Байес в «Philosophical Transactions» 1763 года искал непосредственно вероятность того, что возможности, указанные прошлыми опытами, заключены в данных пределах; и он пришел к этому утонченным и очень остроумным образом, хотя и немного запутанным. Этот предмет связан с теорией вероятности причин и будущих событий, заключенных из наблюдаемых событий. Несколько лет спустя я изложил принципы этой теории с замечанием о влиянии неравенств, которые могут существовать среди шансов, предполагаемых равными. Хотя неизвестно, какие из простых событий эти неравенства благоприятствуют, тем не менее это незнание само часто увеличивает вероятность сложных событий.

Обобщая анализ и проблемы, касающиеся вероятностей, я пришел к исчислению частных конечных разностей, которое Лагранж с тех пор трактовал очень простым методом, элегантные применения которого он использовал в этом роде проблем. Теория производящих функций, которую я опубликовал примерно в то же время, включает эти предметы среди тех, которые она охватывает, и приспособлена сама по себе и с величайшей общностью к самым трудным вопросам вероятности. Она определяет вновь, путем очень сходящихся приближений, значения функций, составленных из большого числа членов и факторов; и, показывая, что квадратный корень из отношения окружности к радиусу входит наиболее часто в эти значения, она показывает, что бесконечность других трансцендентных величин может быть введена.

Свидетельства, голоса и решения избирательных и совещательных собраний, а также суждения трибуналов были подчинены также исчислению вероятностей. Столько страстей, различных интересов и обстоятельств усложняют вопросы, относящиеся к предметам, что они почти всегда неразрешимы. Но решение очень простых проблем, которые имеют большое сходство с ними, может часто пролить на трудные и важные вопросы большой свет, который достоверность исчисления делает всегда предпочтительным самым спекулятивным рассуждениям.

Одно из самых интересных применений исчисления вероятностей касается средних значений, которые должны быть выбраны среди результатов наблюдений. Многие геометры изучали этот предмет, и Лагранж опубликовал в «Mémoires de Turin» прекрасный метод для определения этих средних значений, когда закон ошибок наблюдений известен. Я дал для той же цели метод, основанный на сингулярной уловке, которая может быть применена с выгодой в других вопросах анализа; и это, позволяя бесконечное расширение во всем ходе долгого вычисления функций, которые должны быть ограничены природой проблемы, указывает модификации, которые каждый член окончательного результата должен получить в силу этих ограничений. Уже было замечено, что каждое наблюдение доставляет условное уравнение первой степени, которое всегда может быть расположено таким образом, чтобы все его члены были в первой части, вторая будучи нулем. Использование этих уравнений является одной из главных причин большой точности наших астрономических таблиц, потому что огромное число отличных наблюдений было таким образом заставлено содействовать в определении их элементов. Когда есть только один элемент, который должен быть определен, Котс предписал, чтобы условные уравнения были подготовлены таким образом, чтобы коэффициент неизвестного элемента был положительным в каждом из них; и чтобы все эти уравнения были сложены, чтобы сформировать нормальное уравнение, откуда выводится значение этого элемента. Правило Котса соблюдалось всеми вычислителями, но поскольку он не смог определить несколько элементов, не было фиксированного правила для комбинирования условных уравнений таким образом, чтобы получить необходимые нормальные уравнения; но выбирали для каждого элемента наблюдения, наиболее подходящие для его определения. Именно чтобы избежать этих блужданий, Лежандр и Гаусс решили сложить квадраты первых частей условных уравнений и сделать сумму минимумом, варьируя каждый неизвестный элемент; этим средством получается непосредственно столько нормальных уравнений, сколько есть элементов. Но заслуживают ли значения, определенные этими уравнениями, предпочтения перед всеми теми, которые могут быть получены другими средствами? На этот вопрос исчисление вероятностей одно было способно ответить. Я применил его тогда к этому предмету и получил путем деликатного анализа правило, которое включает предыдущий метод и которое добавляет к преимуществу давать регулярным процессом желаемые элементы то, что получает их с величайшим проявлением очевидности из совокупности наблюдений и определяет значения, которые оставляют опасаться лишь наименьших возможных ошибок.

Однако мы имеем лишь несовершенное знание результатов, полученных до тех пор, пока закон ошибок, которым они подвержены, неизвестен; мы должны быть в состоянии назначить вероятность того, что эти ошибки содержатся в данных пределах, что сводится к определению того, что я назвал весом результата. Анализ ведет к общим и простым формулам для этой цели. Я применил этот анализ к результатам геодезических наблюдений. Общая проблема состоит в определении вероятностей того, что значения одной или нескольких линейных функций ошибок очень большого числа наблюдений содержатся в любых пределах.

Закон возможности ошибок наблюдений вводит в выражения этих вероятностей константу, значение которой, по-видимому, требует знания этого закона, который почти всегда неизвестен. К счастью, эта константа может быть определена из наблюдений.

В исследовании астрономических элементов она дается суммой квадратов разностей между каждым наблюдением и вычисленным. Ошибки, одинаково вероятные, будучи пропорциональными квадратному корню из этой суммы, можно путем сравнения этих квадратов оценить относительную точность различных таблиц одной и той же звезды. В геодезических операциях эти квадраты заменяются квадратами ошибок наблюдаемых сумм трех углов каждого треугольника. Сравнение квадратов этих ошибок позволит нам судить об относительной точности инструментов, которыми были измерены углы. Этим сравнением видно преимущество повторяющего круга над инструментами, которые он заменил в геодезии.

Часто существует в наблюдениях много источников ошибок: так, положения звезд, определяемые с помощью меридианного телескопа и круга, оба подвержены ошибкам, закон вероятности которых не следует предполагать одинаковым, элементы, которые выводятся из этих положений, затронуты этими ошибками. Условные уравнения, которые составляются для получения этих элементов, содержат ошибки каждого инструмента, и они имеют различные коэффициенты. Самая выгодная система факторов, на которые эти уравнения должны быть умножены соответственно, чтобы получить путем объединения произведений столько нормальных уравнений, сколько есть элементов, которые должны быть определены, больше не является системой коэффициентов элементов в каждом условном уравнении. Анализ, который я использовал, ведет легко, каким бы ни было число источников ошибки, к системе факторов, которая дает самые выгодные результаты, или те, в которых та же ошибка менее вероятна, чем в любой другой системе. Тот же анализ определяет законы вероятности ошибок этих результатов. Эти формулы содержат столько неизвестных констант, сколько есть источников ошибки, и они зависят от законов вероятности этих ошибок. Было замечено, что в случае единственного источника эта константа может быть определена путем формирования суммы квадратов остатков каждого условного уравнения, когда значения, найденные для этих элементов, были подставлены. Подобный процесс обычно дает значения этих констант, каким бы ни было их число, что завершает применение исчисления вероятностей к результатам наблюдений.

Я должен сделать здесь важное замечание. Небольшая неопределенность, которую наблюдения, когда они не многочисленны, оставляют в отношении значений констант, о которых я только что говорил, делает немного неопределенными вероятности, определенные анализом. Но почти всегда достаточно знать, если вероятность того, что ошибки полученных результатов заключены в узких пределах, приближается близко к единице; и когда это не так, достаточно знать, до какой точки наблюдения должны быть умножены, чтобы получить вероятность такую, что не остается никакого разумного сомнения в отношении правильности результатов. Аналитические формулы вероятностей удовлетворяют идеально этому требованию; и в этой связи они могут рассматриваться как необходимое дополнение наук, основанных на совокупности наблюдений, подверженных ошибке. Они также незаменимы при решении большого числа проблем в естественных и моральных науках. Регулярные причины явлений наиболее часто либо неизвестны, либо слишком сложны, чтобы быть подчиненными исчислению; опять же, их действие часто нарушается случайными и нерегулярными причинами; но их отпечаток всегда остается в событиях, произведенных всеми этими причинами, и он ведет к модификациям, которые только длинная серия наблюдений может определить. Анализ вероятностей развивает эти модификации; он назначает вероятность их причин и указывает средства постоянного увеличения этой вероятности. Так, посреди нерегулярных причин, которые нарушают атмосферу, периодические изменения солнечного тепла, от дня к ночи и от зимы к лету, производят в давлении этой великой массы жидкости и в соответствующей высоте барометра суточные и годовые колебания; и многочисленные барометрические наблюдения обнаружили первые с вероятностью, по крайней мере равной вероятности фактов, которые мы считаем достоверными. Так это опять же, что серия исторических событий показывает нам постоянное действие великих принципов этики посреди страстей и различных интересов, которые нарушают общества всяким образом. Примечательно, что наука, которая началась с рассмотрения игр случая, должна быть возведена в ранг самых важных предметов человеческого знания.

Я собрал все эти методы в своей «Théorie analytique des Probabilités», в которой я предложил изложить наиболее общим образом принципы и анализ исчисления вероятностей, также решения самых интересных и самых трудных проблем, которые представляет исчисление.

В этом эссе видно, что теория вероятностей в основе своей является лишь здравым смыслом, сведенным к исчислению; она заставляет нас оценить с точностью то, что точные умы чувствуют своего рода инстинктом, не будучи в состоянии зачастую дать этому причину. Она не оставляет произвола в выборе мнений и сторон, которые должны быть приняты; и ее использованием всегда может быть определен самый выгодный выбор. Тем самым она дополняет самым счастливым образом невежество и слабость человеческого разума. Если мы рассмотрим аналитические методы, которым эта теория дала рождение; истинность принципов, которые служат основой; тонкую и деликатную логику, которую требует их использование в решении проблем; учреждения общественной пользы, которые покоятся на ней; расширение, которое она получила и которое она может еще получить своим применением к самым важным вопросам натурфилософии и моральной науки; если мы рассмотрим опять же, что даже в вещах, которые не могут быть подчинены исчислению, она дает самые верные намеки, которые могут направлять нас в наших суждениях, и что она учит нас избегать иллюзий, которые зачастую сбивают нас с толку, тогда мы увидим, что нет науки, более достойной наших размышлений, и что никакой более полезной нельзя было бы включить в систему общественного образования.